The formulation of the problem of the beam fluctuations with moving spring-loaded support

Abstract


The problem of beam fluctuations with moving spring-loaded support which has got joined mass is received. When the support is not absolutely fastened within the moving border energy exchange occurs. This leads to complexity in record boundary conditions. To formulate the task the variational principle of Hamilton is used. The visco-elastic properties of material of the beam are taken into account. The task includes differential equation, initial conditions for a curved axis of the beam and for joined mass, boundary conditions. Note that the conditions on the moving border are written as ratios between function and its derivatives on the left and right sides of the border.

Full Text

Задачи о колебаниях балки с движущейся опорой относятся к широкому классу задач, связанных с колебаниями объектов с движущимися границами [1-5]. Во всех рассмотренных ранее случаях жесткое закрепление движущейся опоры исключало обмен энергией через нее. При наличии энергетического обмена возрастает сложность в записи условий на движущейся границе. В данной работе для постановки задачи предлагается использовать вариационный принцип Гамильтона. Из всех возможных законов движения в действительности реализуется такой, для которого действие где и – кинетическая и потенциальная энергия системы, принимает стационарное значение [6]. Рассмотрим балку, изображенную на рис. 1, где введены следующие обозначения: – длина балки; – поперечное смещение точки с координатой балки в момент времени ; – модуль упругости материала балки; – осевой момент инерции сечения балки; – линейная плотность массы балки; – закон движения границы; – масса, присоединенная к движущейся опоре; – жесткость опоры по отношению к поперечному смещению; – жесткость опоры по отношению к угловому смещению; – коэффициент, учитывающий вязкоупругость. При учете вязкоупругости с помощью модели Фойхта имеет место следующее соотношение: , (1) где напряжения; деформации. Рис. 1. Кинематическая схема балки Для учета энергетического обмена через движущуюся границу разобьем область колебаний в координатах на две части (рис. 2). Область соответствует части балки справа от движущейся границы, область – слева. Через и обозначены замкнутые контуры, окружающие области Через обозначена объединенная область Рис. 2. Области энергетического обмена Для использования вариационного принципа Гамильтона необходимо получить интеграл действия от кинетической и потенциальной энергий объекта. Найдем составляющие интеграла действия, а также их вариации. Выражение для интеграла действия от кинетической энергии балки имеет вид Здесь и далее, где это возможно, вместо будем использовать просто Найдем вариацию (2) Представим подынтегральное выражение в виде (3) С помощью формулы Грина и с учетом (3) выражение (2) можно записать следующим образом: (4) Интеграл действия для кинетической энергии присоединенной массы равен (5) Вариация выражения (5) после интегрирования по частям примет следующий вид: . (6) Полную производную выражения (5) можно представить так: С учетом выражения (1) изгибающий момент в сечении балки записывается следующим образом: Интеграл действия потенциальной энергии балки определяется выражением Найдем вариацию (7) Подынтегральное выражение в (7) можно привести к следующему виду: (8) С помощью формулы Грина и с учетом (8) для вариации (7) получим: (9) Вариация интеграла действия внутренних вязкоупругих сил имеет вид Делая аналогичные преобразования, получим: (10) Потенциальная энергия от деформации опоры имеет вид Интеграл действия потенциальной энергии от деформации опоры определяется выражением Вариация интеграла действия потенциальной энергии опоры имеет следующий вид: (11) Применяя вариационный принцип Гамильтона, получим следующее уравнение: (12) Перед получением начальных и граничных условий запишем естественные соотношения между значениями функции и ее производными слева и справа от движущейся границы: (13) (14) (15) Распишем уравнение (12) с учетом соотношений (13), (14), (15): Выражение (16) должно быть тождественно равно нулю. Это возможно, если коэффициенты перед вариациями равны нулю. Выполнение равенства (16) также возможно, если функции заданы. В этом случае их вариации равны нулю. Приравняв нулю коэффициенты перед получим дифференциальное уравнение колебаний для областей и (17) Выражения и могут быть равны нулю, если При этом функции должны быть заданы. Начальные условия краевых задач гиперболического типа обычно записываются в следующем виде: (18) где – заданные функции. При этом вариация Если решение краевой задачи существует и единственно, то значение при любых однозначно определяется дифференциальным уравнением, начальными и граничными условиями. При этом вариация Равенство нулю безинтегральных членов (16) обеспечивается заданием начальных условий для сосредоточенной массы: (19) где начальное смещение и начальная скорость сосредоточенной массы Равенство нулю выражений с может быть обеспечено следующими видами условий на границе АД: (20) где заданные функции. Для балки, изображенной на рис. 1, не заданы. Граничные условия при задаются и имеют вид (20). При постановке краевых задач с использованием вариационных принципов такие условия называются естественными [6]. На левом конце балки При этом интегралы тождества (16), содержащие , равны нулю. На движущейся границе не заданы. Естественные условия на движущейся границе имеют следующий вид: (21) (22) Таким образом, для балки, изображенной на рис. 1, получено дифференциальное уравнение (17), начальные условия (18), (19) и граничные условия (20) – (22). Отметим, что методов аналитического решения поставленной задачи в настоящее время не существует, поэтому данную задачу, по всей видимости, можно решать только численными методами.

About the authors

Valeriy N Anisimov

Syzran Branch of Samara State Technical University

Email: anisimov170159@mail.ru
45, Sovetskaya str., Syzran, Samara region, 446001
(Ph. D. (Phis. & Math.)), Associate Professor

Vladislav L Litvinov

Syzran Branch of Samara State Technical University

Email: vladlitvinov@rambler.ru
45, Sovetskaya str., Syzran, Samara region, 446001
Teacher, Dept. of general – theoretical disciplines

Inna V Korpen

Syzran Branch of Samara State Technical University

45, Sovetskaya str., Syzran, Samara region, 446001
(Ph. D.), Associate Professor

References

  1. Самарин Ю.П. О волновых явлениях в областях с подвижными границами // Волжский математический сборник. – Куйбышев, 1967. – Вып. 5. – С. 337-340.
  2. Весницкий А.И., Потапов А.И. О некоторых общих свойствах волновых процессов в одномерных механических системах переменной длины // Прикладная механика. – 1975. – № 4. – С. 98-102.
  3. Горошко О.А., Савин Г.Н. Введение в механику деформируемых одномерных тел переменной длины. – Киев: Наук. думка, 1971. – 270 с.
  4. Лежнева А.А. Изгибные колебания балки переменной длины // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. – 1970. – № 1. – C. 159-161.
  5. Анисимов В.Н., Литвинов В.Л. Резонансные свойства механических объектов с движущимися границами: Монография. – Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2009. – 131 с.: ил.
  6. Мышкис А.Д. Математика для технических вузов: спец. курсы. 2-е изд. – СПб.: Лань, 2002. – 640 с.

Statistics

Views

Abstract - 23

PDF (Russian) - 5

Cited-By


Article Metrics

Metrics Loading ...

PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2013 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies