The formulation of the problem of the beam fluctuations with moving spring-loaded support

Full Text

Задачи о колебаниях балки с движущейся опорой относятся к широкому классу задач, связанных с колебаниями объектов с движущимися границами [1-5]. Во всех рассмотренных ранее случаях жесткое закрепление движущейся опоры исключало обмен энергией через нее. При наличии энергетического обмена возрастает сложность в записи условий на движущейся границе. В данной работе для постановки задачи предлагается использовать вариационный принцип Гамильтона. Из всех возможных законов движения в действительности реализуется такой, для которого действие где и – кинетическая и потенциальная энергия системы, принимает стационарное значение [6]. Рассмотрим балку, изображенную на рис. 1, где введены следующие обозначения: – длина балки; – поперечное смещение точки с координатой балки в момент времени ; – модуль упругости материала балки; – осевой момент инерции сечения балки; – линейная плотность массы балки; – закон движения границы; – масса, присоединенная к движущейся опоре; – жесткость опоры по отношению к поперечному смещению; – жесткость опоры по отношению к угловому смещению; – коэффициент, учитывающий вязкоупругость. При учете вязкоупругости с помощью модели Фойхта имеет место следующее соотношение: , (1) где напряжения; деформации. Рис. 1. Кинематическая схема балки Для учета энергетического обмена через движущуюся границу разобьем область колебаний в координатах на две части (рис. 2). Область соответствует части балки справа от движущейся границы, область – слева. Через и обозначены замкнутые контуры, окружающие области Через обозначена объединенная область Рис. 2. Области энергетического обмена Для использования вариационного принципа Гамильтона необходимо получить интеграл действия от кинетической и потенциальной энергий объекта. Найдем составляющие интеграла действия, а также их вариации. Выражение для интеграла действия от кинетической энергии балки имеет вид Здесь и далее, где это возможно, вместо будем использовать просто Найдем вариацию (2) Представим подынтегральное выражение в виде (3) С помощью формулы Грина и с учетом (3) выражение (2) можно записать следующим образом: (4) Интеграл действия для кинетической энергии присоединенной массы равен (5) Вариация выражения (5) после интегрирования по частям примет следующий вид: . (6) Полную производную выражения (5) можно представить так: С учетом выражения (1) изгибающий момент в сечении балки записывается следующим образом: Интеграл действия потенциальной энергии балки определяется выражением Найдем вариацию (7) Подынтегральное выражение в (7) можно привести к следующему виду: (8) С помощью формулы Грина и с учетом (8) для вариации (7) получим: (9) Вариация интеграла действия внутренних вязкоупругих сил имеет вид Делая аналогичные преобразования, получим: (10) Потенциальная энергия от деформации опоры имеет вид Интеграл действия потенциальной энергии от деформации опоры определяется выражением Вариация интеграла действия потенциальной энергии опоры имеет следующий вид: (11) Применяя вариационный принцип Гамильтона, получим следующее уравнение: (12) Перед получением начальных и граничных условий запишем естественные соотношения между значениями функции и ее производными слева и справа от движущейся границы: (13) (14) (15) Распишем уравнение (12) с учетом соотношений (13), (14), (15): Выражение (16) должно быть тождественно равно нулю. Это возможно, если коэффициенты перед вариациями равны нулю. Выполнение равенства (16) также возможно, если функции заданы. В этом случае их вариации равны нулю. Приравняв нулю коэффициенты перед получим дифференциальное уравнение колебаний для областей и (17) Выражения и могут быть равны нулю, если При этом функции должны быть заданы. Начальные условия краевых задач гиперболического типа обычно записываются в следующем виде: (18) где – заданные функции. При этом вариация Если решение краевой задачи существует и единственно, то значение при любых однозначно определяется дифференциальным уравнением, начальными и граничными условиями. При этом вариация Равенство нулю безинтегральных членов (16) обеспечивается заданием начальных условий для сосредоточенной массы: (19) где начальное смещение и начальная скорость сосредоточенной массы Равенство нулю выражений с может быть обеспечено следующими видами условий на границе АД: (20) где заданные функции. Для балки, изображенной на рис. 1, не заданы. Граничные условия при задаются и имеют вид (20). При постановке краевых задач с использованием вариационных принципов такие условия называются естественными [6]. На левом конце балки При этом интегралы тождества (16), содержащие , равны нулю. На движущейся границе не заданы. Естественные условия на движущейся границе имеют следующий вид: (21) (22) Таким образом, для балки, изображенной на рис. 1, получено дифференциальное уравнение (17), начальные условия (18), (19) и граничные условия (20) – (22). Отметим, что методов аналитического решения поставленной задачи в настоящее время не существует, поэтому данную задачу, по всей видимости, можно решать только численными методами.

About the authors

Valeriy N Anisimov

Syzran Branch of Samara State Technical University

Email: anisimov170159@mail.ru
(Ph. D. (Phis. & Math.)), Associate Professor 45, Sovetskaya str., Syzran, Samara region, 446001

Vladislav L Litvinov

Syzran Branch of Samara State Technical University

Email: vladlitvinov@rambler.ru
Teacher, Dept. of general – theoretical disciplines 45, Sovetskaya str., Syzran, Samara region, 446001

Inna V Korpen

Syzran Branch of Samara State Technical University

(Ph. D.), Associate Professor 45, Sovetskaya str., Syzran, Samara region, 446001

References

Supplementary files