Application of penalty method to derivation of variational motion equation of continuum«indenter – deformable medium»

Full Text

Введение В настоящее время большое распространение получили различные технологии обработки деталей пластическим деформированием, возникающим за счет приложения к их поверхностям технологического инструмента с относительно жесткой рабочей поверхностью. В связи с этим весьма актуальным представляется исследование механических процессов, происходящих в обрабатываемом материале при такого рода воздействиях. Как правило, оно сводится к решению контактных задач о взаимодействии жесткого индентора и упругопластической среды. В подавляющем большинстве случаев получить аналитические выражения, описывающие поведение индентора и среды при упругопластическом поведении ее материала в реальном технологическом процессе, практически невозможно. Поэтому возникает необходимость разработки различных подходов к решению подобного рода задач с применением упрощающих допущений и численных методов исследования. Так, в работах [1, 2] для решения осесимметричной задачи о контактном взаимодействии колеблющегося с ультразвуковой частотой абсолютно жесткого индентора с упругопластической средой в форме короткого кругового цилиндра принимается упрощенная физико-математическая модель, основанная на замене реального контактного воздействия рабочего инструмента на материал обрабатываемой среды действием эквивалентной ему, распределенной по определенному закону нагрузки. Здесь в качестве упрощенного подхода предлагается замена исходной задачи в классической постановке [3] ее вариационным аналогом, получаемым на основе вариационного принципа Даламбера – Лагранжа и метода штрафных функций. В качестве исходной за основу примем математическую модель, предложенную в работах [1-3], согласно которой в окрестностях локальной зоны контакта в обрабатываемой среде выделим некоторый объем в виде кругового цилиндра высоты и радиуса , к центру одной из торцевых поверхностей которого прикладывается рабочий инструмент в виде индентора со сферической рабочей поверхностью. Силовое воздействие рабочего органа на материал среды будем моделировать путем приложения к индентору направленного вдоль общей оси симметрии индентора и цилиндра динамического усилия , где – время. Будем полагать, что как упругие, так и пластические деформации материалов среды и индентора являются малыми и что твердость материала рабочей поверхности индентора значительно выше твердости обрабатываемого материала. Возникающими при контакте силами трения и выделяемой при взаимодействии контактирующих тел теплотой будем пренебрегать, считая процесс деформирования изотермическим. Отнесем цилиндр и индентор к цилиндрической системе координат , расположив ее начало в центральной точке контактной поверхности и направив ось вдоль общей оси симметрии индентора и цилиндра вглубь среды. Обозначим через , и , () проекции векторов скорости движения точек континуума и их вариации на оси координат, а через () () – компоненты тензора напряжений, где означает, что соответствующая величина относится к индентору, а – к среде. Тогда вариационное уравнение движения континуума «индентор – среда», полученное на основе вариационного принципа Даламбера – Лагранжа в работе [3] и эквивалентное сформулированной выше исходной задаче, в общем случае может быть записано так: , (1) где (), (2) – равномерно распределенная нагрузка по верхней торцевой поверхности индентора, эквивалентная приложенной к нему сосредоточенной силе , () – плотность материала среды или индентора соответственно; и – радиус и высота цилиндрической части индентора; – время; () – пока не определенные функции, входящие в уравнения контактных поверхностей индентора и среды: (). (3) Вариационное уравнение (2) описывает движение среды и индентора с учетом граничных условий на поверхностях континуума и обобщенного контактного условия, но без учета условия «непроникновения» [3] (4) и требования () в области контакта, где – проекции векторов скорости принадлежащих индентору и среде точек возможного контакта в направлении соответствующей нормали, связанные с проекциями скорости на оси системы координат соотношениями , (), (5) а – нормальные компоненты вектора напряжений на площадках, перпендикулярных внешним нормалям деформированных поверхностей индентора и среды в области контакта и ее окрестностях, связанные с компонентами тензора напряжений () известными соотношениями [4] (). (6) В выражениях (5) и – направляющие косинусы главных внешних нормалей и деформированных поверхностей индентора и среды, включая и область контакта, определяемые из соотношений ; (). (7) Для того чтобы учесть ограничение (5) непосредственно в вариационном уравнении движения среды (1), а также требование () в области контакта, воспользуемся методом штрафных функций. Особенность использования этого метода в контактных задачах состоит в том, что его применение допускает возможность проникновения тела индентора в материал среды. Причем уровень проникновения существенно зависит от выбора вида штрафной функции. Следуя [5], в данном случае представим ее выражение в виде . (8) В соотношении (8) функция исходя из физических соображений может быть задана в форме, содержащей сомножитель в виде разности осевых координат и точек возможного контакта, лежащих на поверхности среды и рабочей поверхности индентора соответственно (см. рисунок), а именно . (9) В (8) и (9) – функция Хэвисайда, а – некоторый коэффициент. Схема взаимопроникновения индентора и среды На рисунке значениям координат соответствует зона идеального контакта поверхностей индентора и среды, – область взаимопроникновения (выделена двойной штриховкой), а соответствует зона, в которой контакт возможен, но в данный момент времени не реализован. Представление штрафной функции в виде (8) с учетом (9) позволяет сделать штрафную функцию положительно определенной, что обеспечивает выполнение требования в области контакта, и отличной от нуля только в точках возможного проникновения тела индентора в материал среды. Учитывая выражения для нормальной и касательной составляющих вектора скорости произвольной точки континуума (5), представим вариацию функции проникновения (4) так: . (10) Умножая (8) на вариацию (10) и интегрируя затем полученное выражение по поверхности контакта, с учетом правила сведения поверхностного интеграла к обыкновенному имеем: (11) где – радиус контактной поверхности. Добавляя (11) в левую часть уравнения (1), получаем: . (12) В (12) входят до сих пор не определенные направляющие косинусы главных нормалей деформированных поверхностей индентора и среды, возникающих в результате их взаимодействия. Для того чтобы выразить их значения через подлежащие определению составляющие вектора перемещения и точек, лежащих на этих поверхностях, проведем следующие рассуждения. Очевидно, что выражения для текущих координат любой точки индентора и среды, лежащей на деформированных поверхностях в области и окрестностях возможного контакта, в системе координат могут быть представлены в виде: ; (); , (13) где и – начальные значения координат соответствующей точки континуума, а – момент времени, в который эти текущие координаты определяются. Соотношения (13) представляют собой уравнения деформированных поверхностей индентора и среды в параметрической форме. Используя их, можно выразить производные от левых частей уравнений (3), входящие в выражения для направляющих косинусов (7), через искомые компоненты вектора перемещений точек континуума, лежащих на поверхностях возможного контакта. Опуская промежуточные рассуждения, получаем: ; (14) ; (15) ; . (16) При записи (14) – (16) учитывалось, что на основании (3) , , () и то, что начальные значения координат точек, лежащих на недеформированных поверхностях возможного контакта, не являются независимыми, а связаны между собой соотношениями: ; . Докажем, что вариационное уравнение движения континуума (12) содержит в себе постановку исходной задачи. С этой целью с учетом (2) и соотношений , , (); , () с применением теоремы Остроградского – Гаусса преобразуем правую часть (12) следующим образом: (17) Интегралы, входящие в уравнение (17), имеют различные пределы интегрирования. Поэтому выполнение этого уравнения возможно лишь в случае, когда каждый из них равен нулю. С учетом этого и того, что вариации скоростей движения точек континуума произвольны, из двойных интегралов формулы (17) следуют четыре уравнения движения индентора и среды: ; (). (18) Оставшиеся интегралы, за исключением двух последних, в силу произвольности вариаций скоростей дают граничные условия на поверхностях индентора и среды, свободных от внешней нагрузки, условие приложения усилия к верхней поверхности индентора и условие жесткого закрепления нижней поверхности ограничивающего среду объема: , , , ; , , ; при ; (19) при ; при . Из двух последних интегралов следует равенство контактных напряжений на площадках нормальных к контактной поверхности с одновременным выполнением требования их отрицательности: при . (20) Уравнения движения континуума (18) с граничными и контактными условиями (19) и (20) представляют собой постановку исходной задачи. Таким образом, эквивалентность задачи в вариационной постановке исходной доказана. Заключение Полученное выше с использованием метода штрафных функций вариационное уравнение движения (12) является основой для исследования напряженно-деформированного состояния тел, образующих континуум. С его помощью решение исходной задачи с применением какого-либо из численных методов может быть сведено к отысканию полей скоростей точек индентора и среды, обеспечивающих безусловный минимум функционала . При этом следует отметить, что уравнение (12) универсально в том смысле, что оно получено без наложения каких-либо ограничений на форму деформированных поверхностей индентора и среды вследствие контакта, геометрические соотношения и физические уравнения, определяющие состояние материала тел (упругое, пластическое, упругопластическое, вязкоупругое, вязкоупругопластическое), образующих континуум. Поэтому при решении конкретных задач уравнение (12) должно быть дополнено соответствующими геометрическими, кинематическими и физическими соотношениями, а также условиями для определения границ области контакта.

About the authors

Nataliya V Ovchinnikova

Saratov State Technical University

Email: alanita@inbox.ru
Assistant 77 Polytechnicheskaya street, Saratov, Russia, 410054

Yury V Chebotarevsky

Saratov State Technical University

Email: alanita@inbox.ru
(Dr. Sci. (Techn.)), Professor 77 Polytechnicheskaya street, Saratov, Russia, 410054

References

Supplementary files