Calibration of measuring instruments using reverse mathematical models

Abstract

Methods of calibration measuring instruments based on using inverse mathematical models of transfer function and different weight functions for accuracy are considered in this paper.

Full Text

Целью калибровки конкретного экземпляра средства измерения (измерительного прибора, измерительного канала информационно-измерительной системы) является построение индивидуальной эмпирической модели его функции преобразования. Обычно эта задача решается путем проведения активного регрессионного эксперимента, в результате которого строится прямая математическая модель функции преобразования , где – входная величина; – выходная величина; – функция заданного вида; – неизвестные параметры. В процессе калибровки задают ряд значений и получают ряд значений . Для получения оптимальных оценок параметров обычно используют метод наименьших квадратов, в котором минимизируется функция . Следовательно, в этом случае минимизируются (в среднеквадратическом смысле) абсолютные погрешности во всем диапазоне измерений. Однако такая ситуация далеко не всегда оказывается удовлетворительной по следующим причинам: 1) в ряде случаев необходимо во всем диапазоне измерения минимизировать не абсолютную, а относительную погрешность измерений; 2) в конкретных условиях проведения измерений иногда возникает необходимость обеспечить максимальную точность измерений в определенной области (или областях) рабочего диапазона измерений. Указанные задачи могут быть решены, если при калибровке средства измерений ввести весовую функцию , отражающую значимость абсолютной погрешности в различных областях диапазона измерений. Так как есть функция значения измеряемой величины, то целесообразно использовать обратную математическую модель функции преобразования , где – неизвестные параметры. В процессе калибровки задают ряд значений и получают ряд значений . Каждому значению соответствует значение весовой функции. Для вычисления оптимальных оценок неизвестных параметров используем взвешенный метод наименьших квадратов, в котором минимизируется функция . На практике чаще всего применяют обратную математическую модель в виде степенного полинома, линейную относительно коэффициентов регрессии: . В матричном виде оптимальные оценки коэффициентов регрессии равны [1] , ; ; ; . Приведенное выше решение задачи построения обратной математической модели является общим и позволяет находить оптимальное решение при любой конкретной весовой функции . В качестве примера рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся ситуации. Пример 1. Минимизация абсолютной (или приведенной) погрешности во всем диапазоне измерений. В этом случае весовая функция , а матрица весов имеет вид , т. е. имеет место обычный («невзвешенный») метод наименьших квадратов. Пример 2. Минимизация относительной погрешности во всем диапазоне измерений. В этом случае весовая функция , а матрица весов имеет вид . Этот случай имеет место при калибровке широкодиапазонных средств измерений, когда экспериментатора интересует относительная погрешность результатов измерений, например при калибровке широкодиапазонных средств измерения удельной электрической проводимости жидкости [2]. Пример 3. Минимизация абсолютной погрешности в двух поддиапазонах измерений с различными весами. Пусть весь диапазон измерений разделен на два поддиапазона: и , причем в первом поддиапазоне необходимо обеспечить абсолютную погрешность в раз меньшую, чем во втором. Допустим, что при калибровке из общего числа экспериментальных точек находятся в первом поддиапазоне, а – во втором. В этом случае весовая функция имеет вид (), если , и , если . Соответственно матрица весов равна . Этот пример имеет место, когда средство измерений должно быть откалибровано во всем рабочем диапазоне измерений, но в первом диапазоне должна быть обеспечена более высокая точность измерений. Ниже приведены результаты калибровки канала измерения электрической проводимости жидкости комплексной скважинной аппаратуры «КОМПАС» при использовании рассмотренных выше методов калибровки (примеры 1 и 2). Калибровка проводилась в диапазоне удельных электрических проводимостей от 0,4 до 50 См/м. Калибровочные растворы представляли собой растворы NaCl в дистиллированной воде. Было использовано 8 термостатированных растворов, проводимости которых в логарифмическом масштабе были примерно равноотстоящими друг от друга. В каждом растворе фиксировался выходной код АЦП. В качестве математической модели измерительного канала применена линейная обратная модель , где – измеряемая удельная электрическая проводимость (См/м); – выходной код АЦП. Оптимальные оценки коэффициентов и , вычисленные по экспериментальным данным для , равны См/м и См/м. Те же самые экспериментальные данные были обработаны для . При этом оптимальные оценки коэффициентов и равны См/м и См/м. При этом в первом случае () модули абсолютной и относительной погрешностей не превышают 3 мкСм/см и 4 % соответственно. Во втором случае () модули абсолютной и относительной погрешностей не превышают 3 мкСм/см и 0,5 % соответственно. Таким образом, использование взвешенного метода оценивания параметров обратной математической модели измерительного канала позволило при незначительном изменении абсолютной погрешности существенно (почти на порядок) уменьшить относительную погрешность измерений.