Решение краевой задачи математического моделирования процесса трубопроводного транспорта нефти методом Фурье

Полный текст

Введение Для решения широкого круга задач моделирования и оптимального управления процессами трубопроводного транспорта нефти и нефтепродуктов применяются различные методы, в том числе численные. Однако аналитические методы получения решений для линейных модификаций математических моделей имеют свои преимущества, в частности для нахождения аналитических представлений оптимальных управлений, получаемых методами, основанными на принципе максимума Понтрягина. В статье проведена линеаризация краевой задачи математического моделирования процесса трубопроводного транспорта жидких углеводородов, предложенной в работах [1-2], и получено ее аналитическое решение методом Фурье (разделения переменных). Краевая задача Взаимосвязь двух управляемых функций (давления P и скорости ω) объекта управления с распределенными параметрами (ОРП), характеризующих движение нефтепродукта плотностью ρ по трубопроводу постоянного диаметра D длиной L в любой точке x, , по направлению движения потока и в любой момент времени t, , может быть описана системой двух пространственно-одномерных нелинейных неоднородных уравнений вида [1, 2] (1) здесь – угол наклона оси трубопровода к произвольной горизонтальной поверхности; – ускорение свободного падения; – коэффициент гидравлического сопротивления, который определяется в зависимости от скорости по формулам Стокса, Блазиуса, Альтшуля; c – скорость распространения волн в жидкости, текущей в стальной трубе с толщиной стенки , определяется по формуле Жуковского [1-4]. Система уравнений (1), дополненная начальными условиями вида , , (2) и любыми двумя граничными условиями из набора (3) составляет краевую задачу математического моделирования процесса транспорта нефти по магистральному трубопроводу (МТП). В правые части уравнений системы (1) входят функция распределения источников давления по длине трубопровода и функция распределения источников жидкости по длине трубопровода , которые, как показано в [1, 2], можно рассматривать в качестве внутренних управляющих сосредоточенных воздействий , приложенных в точках расположения нефтеперекачивающих станций (НПС) ,, и , приложенных в точках отбора нефти ,, где K – число работающих НПС, а S – общее число точек отбора нефти по длине трубопровода [1, 2]: , , (4) где – функции Дирака. Линейная краевая задача Линеаризуем первое уравнение в (1) следующим образом [3]: , (5) способы выбора описаны в [3, 4]. Далее будем рассматривать задачу при наличии только внутренних источников давления, т. е. . Дифференцируя в (1) первое уравнение по , второе по и приравнивая правые части, получаем: , (6) где определяется как . (7) В качестве граничных условий выберем пару из (3), обусловливающую неизменное значение давлений в начальной и конечной точках системы с координатами и соответственно, при и , тогда с учетом второго уравнения системы (1) получим: . (8) Начальные условия запишем в виде ,, (9) характеризующем стационарное состояние гидродинамической системы в начальный момент времени. Решение краевой задачи будем искать в виде , (10) где – решение однородной задачи при заданных (в общем неоднородных) начальных условиях; – решение неоднородной задачи при однородных начальных условиях. Рассмотрим на первом этапе решение однородной краевой задачи при и краевых условиях (8)-(9). Будем искать решение задачи в виде . (11) Подставляя (11) в (6), после разделения переменных получим: , (12) . (13) Далее необходимо найти те значения параметра , при которых задача имеет нетривиальное (отличное от нуля) решение, удовлетворяющее краевым условиям. Перейдем к задаче на собственные функции. Для левой части (13) собственные функции являются решением задачи Штурма – Лиувилля вида (14) с граничными условиями, получаемыми подстановкой (10) в (9): . (15) Ввиду однородности уравнений (14) собственные функции определяются с точностью до постоянных множителей, и общее решение уравнения (14) будет иметь вид , (16) ; (17) с учетом граничных условий (15) получаем: , (18) , (19) , (20) где – произвольное действительное число, примем . Подставляя (20) в (13), запишем для правой части: . (21) Характеристическое уравнение для (21) будет иметь вид , (22) решение характеристического (22) уравнения запишем в виде (23) где (24) Решения уравнения (21) для действительных корней уравнения (22) примет вид (25) Решение уравнения (21) для комплексных корней в (22) может быть получено из второго уравнения в (25) по формулам Эйлера: (26) Подставляя (25) в (11) и суммируя по n частные решения задачи, запишем общее решение для в виде (27) Подставляя (27) в начальные условия (9), получим: (28) . (29) Физически решение (29) означает, что при отсутствии внутренних управлений (возмущений) и однородных ГУ второго рода в системе бесконечно долго сохраняется начальное стационарное состояние. Замечание 1. Особенностью полученного решения является учет членов ряда при . Необходимость учета в решении значения возникает в задачах моделирования протяженных трубопроводов. Оценим значение в зависимости от длины L, [м], для задачи моделирования магистрального трубопровода диаметром D = 1000 мм, транспортирующего нефть плотностью с кинематической вязкостью , и скоростью распространения звука в системе «нефть – труба» с≈998 м/c [2]. Для рациональных скоростей перекачки значение линеаризующего коэффициента в (5) примем , тогда с учетом (24) получим: при ; при ; при . Найдем теперь решение неоднородной задачи (6-7) при однородных граничных условиях (8) и однородных начальных условиях вида ,. (30) Согласно теореме о разложимости функций в ряд Фурье периодическая функция с периодом может быть представлена (для четных функций) в виде , (31) где коэффициенты разложения будут иметь вид (32) Представим функцию , описываемую уравнением (7), как периодическую четную функцию, для чего симметрично относительно начала координат отразим ее на отрицательную полуось на участке , а затем получим ее описание в виде (31), т. е. разложим в ряд Фурье по косинусам, тогда , (33) где коэффициенты разложения будут определяться согласно (32) и известным свойствам -функции в виде (34) Разделяя переменные и переходя к задаче о собственных функциях в (6, 7, 8, 30), получим аналогично (21) (35) с однородными начальными условиями . (36) Решение задачи будем искать в виде , (37) где – общее решение однородной задачи при в (35); – частное решение неоднородной задачи (35, 36), определяемое методом подбора. Далее положим в (7) . (38) Так, при < 0 выражение (7) эквивалентно росту с постоянной скоростью потери напора (давления) в точке трубопровода, что может быть вызвано закрывающейся с линейно зависимой от угла поворота степенью дросселирования потока задвижкой. Общее решение задачи для произвольных начальных условий получено нами выше в виде (25, 26), частное решение будем искать в виде (39) а б Распределение скорости потока по длине трубопровода в различные моменты времени: а – при ; б – при Подставляя (39) в (35), получаем: (40) подставляя (25, 26) и (39) в (37), а затем в (36), получаем значения неизвестных коэффициентов: (41) Подставляя (41) в (11) и суммируя все частные решения по n, после окончательной подстановки полученного результата и (29) в (10) получим: (42) На рисунке приведен пример расчета распределения скорости потока нефти в трубопроводе протяженностью L=450 км и диаметром D=1200 мм при наличии прироста и снижения с постоянной скоростью давления в точках . Для расчетов учитывались первые сто членов ряда в (42) при N*=4. Замечание 2. Для отыскания функции пространственно-временного распределения давления транспортируемой жидкости в трубопроводе необходимо подставить полученное решение (42) в первое уравнение системы (1) с учетом того, что , (43) где – высота оси трубопровода над плоскостью сравнения (уровень моря). Заключение Полученное в работе решение краевой задачи математического моделирования процесса трубопроводного транспорта нефти описывает в аналитическом виде зависимости от времени и координаты давления и скорости потока в трубопроводе, рассматриваемых в качестве управляемых величин объекта управления с распределенными параметрами (ОРП). Для применения описанной выше методики аналитического представления ОРП необходимо наличие гладкой, как минимум дважды дифференцируемой функции в правой части уравнения (35). При наличии разрывных функций в правой части (35), получаемых при решении задач оптимального управления на основе принципа максимума Понтрягина, для интегрирования уравнений необходимо применение аппарата обобщенных функций, в частности метода функций Грина.

Об авторах

Александр Александрович Афиногентов

Самарский государственный технический университет

(к.т.н.), ассистент кафедры «Трубопроводный транспорт» 443110, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244

Юлия Александровна Тычинина

Самарский государственный технический университет

доцент кафедры «Автоматика и управление в технических системах» 443110, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244

Список литературы

Дополнительные файлы