Control of a diffusion displacement process with chemical reaction between interacting components

Abstract

The problem of synthesis of the system of control of a diffusion process is described. Representation of the control action is based on the modal description in the form of the infinite expansion in terms of orthogonal system of eigenfunctions, the coefficients of this series are temporary modes

Full Text

Применительно к задаче стабилизации установившихся режимов химико-технологических установок непрерывного действия проблема сводится к аналитическому конструированию регуляторов для линеаризованных моделей (8)-(10) [1] диффузионных процессов. Применение к уравнениям объекта конечных интегральных преобразований с ядрами, равными его собственным функциям, приводит к представлению модели (8)-(10) [1] бесконечной системой линейных уравнений относительно коэффициентов (временных мод) , разложения и в бесконечные ряды по [2]: (1) ; ; , (2) где ; (3) . (4) Ограничиваясь учетом конечного числа N членов указанных рядов, получим приближенное описание объекта управления с временными модами , в роли переменных состояния: ; (5) (6) где , , , - векторы-столбцы переменных состояний; , , ; Т - символ транспонирования; А представляет собой матрицу: , (7) где B – матрица-столбец , (8) Вектор u имеет вид , (9) либо , а рассматривается в качестве возмущающего воздействия. Для объекта (5)-(6) всегда можно найти известными способами такую матрицу K постоянных коэффициентов обратных связей по всем переменным состояния с линейным законом управления [3] , (10) при которой достигается любые заданные распределения корней характеристического полинома с отрицательной действительной частью, и, следовательно, обеспечиваются необходимые качественные показатели функционирования системы в статических и динамических режимах работы. Для реализации алгоритма управления (10) должна быть предусмотрена возможность полного (в идеализированном варианте) измерения распределенного выхода объекта, в частности, с помощью специального наблюдателя состояния, для получения необходимого сигнала обратной связи, по которому в специальном блоке H (анализаторе) вычисляются временные моды , , , по правилам определения коэффициентов разложения управляемых величин в бесконечные ряды по собственным функциям (рис. 1). Если первые N значений матрицы постоянных коэффициентов K выбрать равными значениям собственных функций с весовым коэффициентом в некоторой фиксированной точке , а остальные принять равными нулю: Рис. 1. Система автоматического управления по переменным состояния (11) где – постоянный коэффициент передачи, одинаковый для всех мод, то в таком случае, используя разложение управляемой величины в ряд по собственным функциям модели объекта, получим для управляющего воздействия (10) при : . (12) а б Рис. 2. Система автоматического регулирования концентрации а - б - Аналогично, при (13) будем иметь . (14) Таким образом, задача сводится к построению значительно более простых автономных систем пропорционального регулирования концентраций и , если выбор согласно (11) и (13) обеспечивает необходимое качество управления рассматриваемым объектом. На рис. 2 приведены структурные схемы системы автоматического регулирования концентрацией и . При этом объект управления в структуре такой системы описывается передаточными функциями [1]. а б Рис. 3. Переходные процессы для в САР при скачкообразных воздействиях (а – по управляющему воздействию; б – по возмущающему) Анализ режимов работы замкнутых системы с регуляторами (12) и (14) и численной моделью объекта управления, выполненный с помощью системы визуального моделирования Simulink пакета MATLAB показывает, что надлежащий выбор коэффициентов усиления и обеспечивает удовлетворительное качество отработки задающих и возмущающих воздействий. Некоторые численные результаты приведены на рис. 3 при м/с, м2/с, л/(моль×с), моль/л, моль/л, м, , в системе рис. 2.