Calculation of the spectrum amplitudes based processing pseudoensembles sign-function analog-stochastic quantization of random process

Full Text

Гармонический анализ является одним из наиболее эффективных методов исследования случайных процессов. Данный вид анализа позволяет получить представление о распределении мощности (дисперсии) исследуемого процесса по частотам составляющих его гармоник. При этом в настоящее время широкое применение получил цифровой гармонический анализ, в основе которого лежит прямое дискретное преобразование Фурье. Однако при анализе многокомпонентных широкополосных случайных процессов для вычисления дискретных спектральных оценок классические цифровые алгоритмы гармонического анализа даже при использовании быстрого преобразования Фурье могут потребовать существенных временных затрат на обработку многоразрядных отсчетов, полученных в ходе равномерной дискретизации во времени и многоуровневого квантования. Данное обстоятельство приводит к необходимости разработки новых быстродействующих цифровых алгоритмов гармонического анализа. В [1-3] разработан подход, который обеспечивает повышение быстродействия цифровых процедур гармонического анализа за счет использования в качестве первичного преобразования исследуемого процесса знакового аналого-стохастического квантования. Данный вид квантования основан на формировании знакового сигнала [4] , где - оператор знакового преобразования, результат которого может принимать значения, равные только «», если , и «», если ; - центрированная, т. е. имеющая нулевое математическое ожидание, реализация исследуемого многокомпонентного процесса ; - вспомогательный случайный процесс (ВСП). Мгновенные значения ВСП распределены равномерно внутри интервала от «» до «». Здесь , где - максимально возможное по абсолютной величине значение, которое может принять . Согласно разработанному подходу в [1] оценки коэффициентов Фурье на интервале времени вычисляются следующим образом: ; ; ; , где определяет интервал дискретизации по частоте; - число подлежащих оцениванию гармонических компонент с частотами . В [1, 2] математически обосновано, что оценки и являются несмещенными и состоятельными. В соответствии со свойством состоятельности для дисперсий и этих оценок имеем и . Данные предельные соотношения свидетельствуют о том, что оценки и при сходятся по вероятности к искомым коэффициентам Фурье. Исходя из этого для уменьшения их дисперсий используем метод сегментирования и усреднения, который, в частности, описан в работе [5]. Согласно этому методу будем вычислять оценки и по отдельным сегментам знакового сигнала с последующим усреднением полученных результатов. На рис. 1 представлена иллюстрация процедуры сегментирования знакового сигнала . Сегменты , длительность каждого из которых равна , сдвинуты во времени друг относительно друга на значение , так что они связаны с подлежащим обработке знаковым сигналом соотношением , , , где - число сегментов (для случая, приведенного на рис. 1, ). В приведенном на рис. 1 примере , т. е. имеет место частичное перекрытие соседних сегментов. Целью такого формирования сегментов с частичным перекрытием является увеличение их числа при заданной или ограниченной общей продолжительности времени анализа . Оценки коэффициентов ряда Фурье и в процессе гармонического анализа для каждого из сегментов будем искать в следующем виде: ; ; ; . В свою очередь, оценки амплитудного спектра будем вычислять следующим образом: , . Рис. 1. Сегментирование знакового сигнала Значения «» и «», являющиеся результатом знакового аналого-стохастического квантования, строго последовательно сменяют друг друга во времени. Поэтому сегменты в пределах интервалов времени их формирования можно однозначно представить с помощью конечных множеств , , где - значения, которые знаковый сигнал принимает в моменты времени , определяемые началом формирования каждого из сегментов ; - отсчеты моментов времени, в которые эти сегменты пересекают нулевой уровень (т. е. меняют свое текущее значение на противоположное); . Индексы и являются целыми числами и обозначены именно так, чтобы показать их зависимость от номера сегмента . Принимая во внимание, что в пределах интервалов времени для значения сегментов остаются постоянными, интегралы в выражениях для оценок и могут быть вычислены аналитически. Тогда после интегрирования получаем , ; , ; Оценки амплитудного спектра будут вычисляться следующим образом: . Полученные алгоритмы вычисления , и не требует выполнения многоразрядных цифровых операций умножения. Основными операциями этих алгоритмов являются арифметические операции суммирования и вычитания фильтрующих функций и . Данное обстоятельство ведет к увеличению быстродействия процедур гармонического анализа. На основе выше разработанных алгоритмов вычисления , и был разработан специализированный программный модуль, предназначенный для функционирования в составе программного обеспечения измерительной системы комплексного оперативного анализа многокомпонентных процессов. Для проверки метрологических характеристик разработанных алгоритмов были проведены экспериментальные исследования на основе имитационного моделирования процедуры аналого-стохастического квантования. При этом модель центрированной реализации анализируемого процесса представляла собой сумму независимых в статистическом смысле гармонических составляющих в аддитивном шуме , т. е. . Гармонические составляющие генерировались с частотами , которые интерпретировались как нормированные , где частота рассматривается как верхняя граничная частота диапазона, в пределах которого осуществляется гармонический анализ. Использование в ходе экспериментальных исследований понятия нормированных частот объясняется тем, что это обеспечивает постоянство частотного диапазона представления результатов гармонического анализа моделей процессов, имеющих априори различные частотные диапазоны. Амплитуды гармонических составляющих принимались равными от нуля до единицы и также интерпретировались как нормированные. Начальные фазы гармонических составляющих задавались генератором равномерно распределенных величин из интервала . Аддитивный шум представлял собой белый шум с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. В частности, модель реализации содержала шесть гармонических составляющих с нормированными частотами , , , , и . При этом нормированные амплитуды этих гармонических составляющих были соответственно равны , , , , и . На рис. 2 представлены оценки спектра амплитуд, полученные в результате обработки одного, трех, семи и десяти сегментов. При этом обработка сегментов проводилась с их половинным перекрытием. Хорошо видно, что с увеличением числа обрабатываемых сегментов наблюдается постепенное улучшение разрешения гармонических составляющих. Уже для семи сегментов имеет место устойчивая идентификация гармонических составляющих. На последнем графике, полученном для десяти сегментов, положение в спектре всех шести гармонических составляющих точно соответствует их исходным значениям. Ложных спектральных пиков в спектре не наблюдается, также не наблюдается расщепление спектральных линий. Каждая спектральная линия четко различима, и сильные гармонические составляющие не маскируют слабые. а б в г Рис. 2. Оценка спектра амплитуд: а - один сегмент; б - три сегмента; в - семь сегментов; г - десять сегментов Таким образом, полученные результаты моделирования позволяют сделать вывод о том, что с помощью разработанных алгоритмов можно с высокой точностью и разрешением по частоте осуществлять цифровой гармонический анализ многокомпонентных процессов. При этом практическая реализация данных алгоритмов не требует выполнения многочисленных операций цифрового умножения многоразрядных отсчетов реализаций исследуемых процессов, что обеспечивает их более высокую вычислительную эффективность по сравнению с классическими цифровыми процедурами гармонического анализа.

About the authors

Vladimir N Yakimov

Samara State Technical University

(Dr. Sci. (Techn.)), Professor. 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

Oleg V Gorbachev

Open Code Ltd., Russia

Specialist. 55, Yarmarochnaya st., Samara, 443001, Russian Federation

References

Supplementary files