Semi-markov model of informational system with variable probability of illegal access to information

Full Text

Моделирование процессов, связанных с информационной безопасностью, является важной составляющей обеспечения безопасного функционирования информационных систем [1-4]. Одним из видов моделирования является стохастическое моделирование функционирования систем. Большинство работ в этой области посвящено лишь оценке рисков, надежностных и вероятностных показателей; возможность управления этими показателями практически не рассматривается. В настоящей работе построена полумарковская модель функционирования информационной системы в условиях попыток несанкционированного доступа к защищенной информации. Применение техники, представленной в [5] В.С. Королюком и А.Ф. Турбиным, позволяет допустить общий вид всех функций и вероятностных распределений и определить явный вид стационарных характеристик. В работе показано, что особенно важным в данной системе является рассмотрение переменной (убывающей со временем) функции - вероятности успешного доступа к защищенной информации. Построенная в работе модель используется для управления периодичностью обновления системы безопасности (например, смены ключа в криптосистеме). Постановка задачи Рассмотрим следующую информационную систему. Попытки злоумышленника получить доступ к информации образуют рекуррентный поток, порожденный случайной величиной (СВ) с функцией распределения . При этом с вероятностью , зависящей от времени, прошедшего с момента обновления системы безопасности, попытка не удается, а с вероятностью завершается успехом. С целью повышения надежности информационной системы через время, равное СВ с функцией распределения , проводится обновление системы безопасности. Оно длится время, равное СВ с функцией распределения . После этого обновления вероятность успешной атаки становится равной 0 и отсчет времени для функции вероятности успеха попыток начинается заново. Попытки атак прекращаются либо в случае получения доступа к информации, либо в момент начала обновления системы безопасности. В момент окончания обновления системы безопасности атаки возобновляются. Предполагается, что случайные величины , , независимы, имеют плотности распределения вероятностей , , , конечные математические ожидания , , и дисперсии соответственно. Целью работы является нахождение стационарных характеристик информационной системы и оптимизация периодичности проведения обновления системы безопасности для улучшения надежности и экономических показателей функционирования системы. Полумарковская модель системы Для описания функционирования системы используем процесс марковского восстановления и соответствующий ему полумарковский процесс с дискретно-непрерывным множеством состояний. Для этого определим фазовое пространство состояний системы: . - ИС начала функционировать, защита включена; - осуществлена попытка доступа к информации, которая закончилась неудачей; с момента начала функционирования системы прошловремя х; - осуществлена успешная попытка доступа к информации; с момента начала функционирования системы прошло время х; - начинается обновление системы безопасности, при этом доступ к информации получен; - начинается обновление системы безопасности, при этом доступ к информации не получен; с момента предыдущей попытки доступа к информации прошло время х. Времена однократного пребывания системы в соответствующих состояниях определяются формулами , где - знак минимума; - прямое остаточное время до обновления системы безопасности. Временная диаграмма функционирования системы изображена на рис. 1. Плотности вероятностей переходов из состояний определяются формулами Рис. 1. Временная диаграмма функционирования системы: I - атаки злоумышленника; II - обновление системы безопасности Нахождение стационарного распределения вложенной цепи Маркова Обозначим через и значения стационарного распределения для состояний и , а и - плотности стационарного распределения вложенной цепи Маркова для состояний и соответственно. Составим и решим методом сжатых отображений (как в работе [6]) систему интегральных уравнений для стационарного распределения: , , . Здесь функция определяется рекуррентно следующим образом: . Постоянная определяется условием нормировки Введем СВ - количество предпринятых атак для получения доступа к информации. Плотность распределения этой СВ , функция распределения Стационарные характеристики информационной системы Разобьем фазовое пространство состояний на непересекающиеся подмножества состояний, соответствующие различным физическим состояниям системы: - система функционирует, информация в безопасности; - система функционирует, получен доступ к информации; - осуществляется обновление системы безопасности. Определим следующие надежностные и экономические показатели функционирования рассматриваемой системы по формулам из [7]: - вероятность безопасного функционирования системы, - средний удельный доход в единицу календарного времени, - средние удельные затраты в единицу времени безопасного функционирования системы. С учетом найденного стационарного распределения вложенной цепи Маркова получаем следующие формулы характеристик при условии, что обновление службы безопасности проводится через определенный период времени : , ; . Здесь - доход в единицу времени безопасного функционирования информационной системы; - затраты в единицу времени функционирования системы, к которой получен доступ злоумышленника; - затраты в единицу времени обновления службы безопасности. Определение оптимальной периодичности обновления службы безопасности В качестве критериев оптимальности функционирования рассматриваемой системы приняты: - средний удельный доход в единицу календарного времени (позитивный критерий); - средние удельные затраты в единицу времени безопасного функционирования системы (негативный критерий); . Одним из способов сведения многокритериальной задачи к однокритериальной является использование в качестве целевой функции линейной свертки частных критериев [9]. Целевой будет функция : . Здесь и - положительные весовые коэффициенты, определяющие «показатели относительной важности» критериев , соответственно. Таким образом, задача оптимизации сводится к нахождению точки максимума функции . Пример 1 Рассмотрим пример оптимизации периодичности проведения обновления службы безопасности для системы, в которой среднее время между моментами попыток доступа к информации (простейший поток) - 1 сутки, среднее время проведения обновления - час, а вероятность доступа к информации при каждой попытке определяется функцией ; ден. ед./сут., ден. ед./сут., ден. ед./сут. Численное решение задачи в пакете Maple приводит к следующим результатам. Линейная свертка частных критериев при весовых коэффициентах достигает наибольшего значения в точке час; при этом ден. ед./час, ден. ед./час, . Графики зависимостей частных критериев от периодичности проведения ТО прибора представлены на рис. 2. Рис.2. Графики зависимостей средней удельной прибыли , средних удельных затрат , финальной вероятности защищенной системы для примера 1 Пример 2 Для сравнения результатов приведем пример с теми же условиями при постоянной вероятности успешной попытки доступа к информации, равной 0,98. Линейная свертка частных критериев при весовых коэффициентах достигает наибольшего значения в точке час. При данном значении периода обновления «реальные» показатели эффективности (рассчитанные по формулам примера 1): ден. ед./час, ден. ед./час, . То есть если для упрощения моделирования и возможности использования марковских моделей полагать вероятность успеха атаки злоумышленника постоянной (что является приближением к реальности), получим при оптимизации следующие потери: 18 % средней удельной прибыли, 2 % средних удельных затрат, увеличение на 0,082 вероятности доступа к конфиденциальной информации. Заключение Рассмотрена информационная система с защитой от несанкционированного доступа к информации, в которой предполагается обновление системы безопасности. Найдено стационарное распределение вложенной цепи Маркова как решение системы интегральных уравнений. Получены математические выражения для определения финальной вероятности защищенного функционирования системы, средних удельных дохода и затрат. Сформулирована задача двухкритериальной оптимизации проведения обновления. Рассмотрен численный пример решения задачи двухкритериальной оптимизации с использованием линейной свертки экономических критериев для сужения Парето-оптимальных решений. Для рассмотренного примера допущение о постоянной вероятности доступа к информации ухудшает все показатели эффективности и надежности функционирования информационной системы: среднюю удельную прибыль на 18 %, средние удельные затраты на 2 %; увеличивает вероятность доступа к конфиденциальной информации на 0,082. Применение аппарата полумарковских процессов с общим фазовым пространством состояний позволяет проводить более эффективную оптимизацию этих процессов и избегать указанных потерь.

About the authors

Anna I Kovalenko

Samara State Technical University

Email: annushka199@bk.ru
Postgraduate Student 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

References

Supplementary files