Stability analysis of positional servo actuator taking into account the discreteness of the zero-order extrapolator

Full Text

Структурная схема рассматриваемого электропривода, построенная по принципу подчиненного регулирования [1] и настроенная на реализацию технического оптимума с включением экстраполятора нулевого порядка, показана на рис. 1. Рис.1. Структурная схема электропривода Дискретность системы определяется регулятором , который включает в себя преобразователь АЦП, преобразующий непрерывный сигнал δ(t) в (рис. 2). Полученный код подается на центральный процессор, в котором выполняется программа регулятора и который имеет определенную дискретность в выборке кода с АЦП, обозначая ее Т. В эти же дискретные моменты времени код, полученный в результате вычисления в центральном процессоре, подается в ЦАП, который генерирует сигналы управления для аналоговой части электропривода y(t) усилителя мощности. ЦАП включает в себя экстраполятор нулевого порядка, который удерживает полученный сигнал на протяжении всего периода Т[2, 3]. Эта величина определяет дискретность системы. В системах управления координатно-расточных станков (КРС) величина периода дискретности Т может достигать 63 мс в зависимости от сложности выполнения программы в ЦП [5]. Введение экстраполятора в структурную схему позиционно-следящего электропривода изменяет качество управления, и в первую очередь влияет на устойчивость системы. Рис.2. Структурная схема регулятора Цель работы - показать, в какой степени показатели устойчивости САУ (запас устойчивости по фазе (∆φ); запас устойчивости по модулю (∆А)) зависят от периода дискретности Т экстраполятора. При преобразовании непрерывного сигнала δ(t) в цифровую форму происходит некоторая потеря информации. Этот процесс определен теоремой Шеннона - Котельникова, которая доказывает, что если частотный спектр непрерывного сигнала строго ограничен полосой , то, представляя такой сигнал импульсами частотой , где , затем его можно восстановить узкополосным фильтром [2, 3]. В практических примерах сигналы имеют неограниченный спектр, а поэтому проявляется эффект Алиасинга, который приводит к взаимовлиянию высокочастотных составляющих смещенных спектров сигнала, что следует из представления, например, вещественно-частотной характеристики дискретной системы в разомкнутом состоянии с экстраполятором нулевого порядка: (1) ;; - вещественно-частотные характеристики дискретного сигнала, смещенного непрерывного сигнала и экстраполятора нулевого порядка соответственно. В (1) принято: m - номер импульса; - частота квантования экстраполятора; ω - текущее значение частоты. Анализ зависимости (1) показывает на то, что чем меньше период дискретности Т, тем меньше взаимодействие смещенных спектров, тем меньше погрешность между непрерывным входным сигналом и восстановленным из дискретного входным сигналом. Однако эта погрешность всегда присутствует. Анализ влияния периода дискретности Т на запасы устойчивости по амплитуде ∆А и фазе ∆φ проведем с помощью Z-преобразования с последующим переходом в плоскость псевдочастот λ. Это позволит использовать логарифмические амплитудно-фазовые частотные характеристики, которые наглядно позволят выявить особенности влияния Т на упомянутые выше показатели. Передаточная функция рассматриваемой системы (см. рис. 1) в разомкнутом состоянии в форме Z-преобразования имеет вид [4] . (2) В (2) обозначено: Т - период дискретности; - постоянная времени апериодического звена; К - коэффициент передачи системы в разомкнутом состоянии; . Анализ зависимости (2) в общем виде с точки зрения поставленной задачи затруднен, поэтому для дальнейшего исследования примем: и Т - варьирует в пределах 0,04; 0,08; 0,16; 0,4; 0,45; 0,5с. С учетом принятого передаточные функции системы в форме Z-преобразования примут вид, представленный в таблице. Используя билинейное преобразование [4, 2], перейдем в плоскость w, связанную с плоскостью Zзависимостью . В соответствии с этим преобразуем передаточные функции разомкнутой системы в Заменив в полученных величину w на [2, 4], получим некоторые зависимости, позволяющие построить ЛАФЧХ разомкнутой системы и дать оценку запасам устойчивости по модулю и по фазе. Расчет логарифмических амплитудно-фазовых частотных характеристик дискретной системы Период дискретности экстраполятора «0» порядка Т, с Передаточная функция разомкнутой системы Передаточная функция разомкнутой системы Амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы ,,дек, К дб 0,04 0,08 0,16 0,4 0,45 0,5 На основании полученных данных и того, что линейная часть САУ имеет значение , на рис. 3 представлены соответствующие ЛАФЧХ линейной части САУ и дискретной системы с экстраполятором нулевого порядка. Граничные частоты, определяющие разграничение области низких и высоких частот управляющих сигналов, определены для каждого значения периода дискретности Т: Т=0,04с., Т=0,08с., Т=0,16с., Т=0,4с., Т=0,45с., Т=0,5с., Рис. 3. ЛАФЧХ разомкнутой САУ с экстраполятором «0» порядка: 1 - ЛАФЧХ аналоговой САУ; 2 - ЛАФЧХ дискретной САУ с Т=0,04с; 3 - ЛАФЧХ дискретной САУ с Т = 0,08 с; 4 - ЛАФЧХ дискретной САУ с Т=0,16с; 5 - ЛАФЧХ дискретной САУ с Т=0,4 с На рис. 4 представлены графические зависимости изменения запасов устойчивости∆φ = f(T) и ∆А = f(T) от дискретности Т экстраполятора. Рис. 4. Зависимостии Анализ этих зависимостей показывает, что при увеличении дискретности запасы устойчивости снижаются и при Т≈0,5 с система в аналоговом виде устойчивая теряет ее и становится неустойчивой. Таким образом, в случае, если спектр сигнала не имеет четкого ограничения, эффект Алиасинга приведет к более жестким требованиям по эквивалентированию дискретной системы с экстраполятором нулевого порядка к непрерывной. Из приведенного выше анализа следует, что система существенно снижает запасы устойчивости, а следовательно, существенно изменяет динамические показатели качества управления: σ%, - перерегулирование и время переходного процесса соответственно. Рис. 5. Переходный процесс в системе с экстраполятором нулевого порядка: 1 - Т=0с; 2 - Т=0,04с; 3 - Т=0,08с; 4 - Т=0,16с; 5 - Т=0,4 с Для прецизионных САУ требуются более жесткие требования для признания системы эквивалентной аналоговой. В приведенных в статье примерах приближение возможно при Т = 0,04 с. Это в свою очередь говорит о том, что нужно выдержать условие . Результаты моделирования для рассматриваемых выше случаев показаны на рис. 5 и полностью подтверждают результаты аналитического анализа.

About the authors

Vladimir E Lysov

Samara State Technical University

(Dr. Sci. (Techn.)), Professor 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

Igor S Sidorov

Samara State Technical University

Postgraduate Student 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

References

Supplementary files