# The research of the heat-transfer during the flowing of liquid in a cylindrical channel

## Abstract

Using the integral method of heatbalance, was developed a method of analytically solving the problem of heat-transfer for liquid flowing in a cylindrical channel under first-type boundary conditions on the pipe walls. This method is based on the use of an additional sought-for function and additional boundary conditionsdetermined in such a way that the sought-for function would satisfy the original differential equation in the boundary points. The additional sought-for function shows the temperature changing in the centre of the pipe as depending on the longitudinal variable. Because of the heat-propagation infinite speed described by a parabolic equation of heat-conduction, the temperature in the channel centrewould change immediately after the application of first-type boundary conditions onthe cylindrical channel surfaces. Therefore, the region of the additional sought-for function change includes the entire temperature and longitudinal spatial-variable change range. This approach allows the solution of partial-derivatives differential equation to be reduced to the integration of an ordinary differential equation with respect to the additional sought-for function only depending on the longitudinal variable. The paper shows that, through the use of the additional sought-for function and additional boundary conditions, and with the increasing number of the sought-for solution approximations, the original equation would be satisfied not only at the region boundaries (via the implementation of the additional boundary conditions), but also inside that region.

## Full Text

Задача теплообмена при ламинарном течении жидкости в цилиндрическом канале (рис. 1) впервые была решена Гретцем и независимо от него Нуссельтом. Уточненное решение задачи Гретца - Нуссельта дано в [1, 2]. Отметим, что это решение представляет бесконечный функциональный ряд, плохо сходящийся при малых значениях продольной координаты (). Кроме того, решение содержит функции Бесселя различного (в том числе и дробного) порядка. Такое решение малопригодно для инженерных приложений. Рис. 1. Схема стабилизированного ламинарного течения жидкости в круглой трубе Математическая постановка задачи Гретца - Нуссельта для цилиндрического канала имеет вид [1, 2] (см. рис. 1) ; ; (1) ; (2) ; (3) , (4) где - температура; продольная и поперечная координаты; радиус трубы; температура жидкости на входе в трубу (при ); - температура стенки (при ); коэффициент температуропроводности; функция, описывающая распределение скорости по поперечной координате. Введем следующие безразмерные переменные и параметры: ; ; ; , (5) где - относительная избыточная температура; безразмерная поперечная координата; безразмерная продольная координата; число Пекле. С учетом принятых обозначений задача (1) - (4) будет (рис. 2): ; ; (6) ; (7) ; (8) . (9) Рис. 2. Схема теплообмена при течении жидкости в цилиндрическом канале Рассмотрим приближенный аналитический метод решения указанной задачи, основанный на использовании дополнительных граничных условий. С целью упрощения процесса получения решения введем дополнительную искомую функцию , (10) описывающую изменение температуры в центре трубы. Стоит отметить, что ввиду бесконечной скорости распространения теплоты, заложенной в параболическом уравнении (6), температура жидкости в центре трубы будет изменяться тотчас же после начала действия граничного условия (8). Следовательно, диапазон изменения функции включает весь диапазон изменения пространственной переменной . Решение задачи (6) - (9) разыскивается в виде , (11) где - неизвестные коэффициенты, зависящие от ; - координатные функции (). Для нахождения будем использовать основные (8), (9) и дополнительные граничные условия, определяемые в таком виде, чтобы их выполнение искомым решением (1) было эквивалентно выполнению уравнения (6) в граничных точках и [3 - 6]. Для получения решения задачи (6) - (9) в первом приближении подставим (11), ограничиваясь тремя членами ряда, в (8), (9), (10). Относительно неизвестных коэффициентов получим систему трех линейных алгебраических уравнений, из решения которой находим , , . (12) С учетом (12) соотношение (11) примет вид . (13) Потребуем, чтобы соотношение (13) удовлетворяло осредненному уравнению (6), то есть интегралу теплового баланса вида . (14) Подставляя (13) в (14), после вычисления интегралов относительно будем иметь следующее обыкновенное дифференциальное уравнение: . (15) Интегрируя уравнение (15), находим , (16) где - постоянная интегрирования. Подставляя (16) в (13), получаем . (17) Для определения постоянной интегрирования составим невязку граничного условия (7) и потребуем ортогональности невязки к первой координатной функции : . Определяя интегралы, находим . Соотношение (13) с учетом найденного значения постоянной интегрирования принимает вид . (18) Результаты расчетов по формуле (18) в сравнении с точным решением приведены на рис. 3. Рис. 3. Распределение безразмерной температуры (): 1, 2, 3, 4 - первое, второе, третье и четвертое приближения соответственно; 5 - точное решение Для повышения точности найдем решение задачи (6) - (9) во втором приближении. При этом используются шесть членов ряда (11). Неизвестные коэффициенты определяются из условий (8), (9), (10) и дополнительных граничных условий. Согласно методу [5] для получения решения задачи (6) - (9) во втором и последующих приближениях всякий раз необходимо добавлять три дополнительных граничных условия, причем два из них записываются применительно к точке и одно - к точке . Записывая уравнение (6) для точки , получаем первое дополнительное граничное условие . (19) Уравнение (6) в точке совпадает с граничным условием (9), которое искомым решением удовлетворяется в любом приближении. Для получения второго дополнительного граничного условия продифференцируем уравнение (6) по переменной и запишем полученное соотношение применительно к точке : . (20) Дифференцируя (10) по переменной , получаем . (21) Сравнивая (20) и (21), получаем второе дополнительное граничное условие . (22) Для нахождения третьего дополнительного граничного условия дважды продифференцируем уравнение (6) по переменной и запишем полученное соотношение для точки : . (23) Дифференцируя (9) по переменной и сравнивая полученное соотношение с (23), получаем третье дополнительное граничное условие . (24) Таким образом, многократно дифференцируя уравнение (6) по переменной и сравнивая получаемые соотношения с основными и полученными ранее дополнительными граничными условиями, продифференцированными по переменной , можно найти любое число дополнительных граничных условий. Четвертое, пятое и шестое условия соответственно имеют вид ; ; . Для получения решения во втором приближении, подставляя (11) (ограничиваясь шестью членами ряда) в (8), (9), (10), (19), (22), (24), относительно получим систему шести линейных алгебраических уравнений, из решения которой находим , , , , , . (25) Соотношение (11) с учетом (25) будет . (26) Подставляя (26) в (14), после вычисления интегралов относительно будем иметь следующее обыкновенное дифференциальное уравнение: . (27) Интегрируя уравнение (27), находим , (28) где - постоянные интегрирования. Для их определения составляется невязка граничного условия (7) и требуется ортогональность невязки к координатным функциям и : (29) Подставляя (26) (с учетом (28)) в (29), относительно и будем иметь систему двух алгебраических линейных уравнений, из решения которой находим , . (30) После определения постоянных интегрирования и решение задачи (6) - (9) во втором приближении находится из (26). Соотношение (26) точно удовлетворяет основным (8), (9) и дополнительным (10), (19), (22), (24) граничным условиям, а также интегралу теплового баланса (14) и приближенно (во втором приближении) - уравнению (6) и граничному условию (7). Результаты расчетов безразмерной температуры во втором приближении в сравнении с точным решением представлены на рис. 3. Из их анализа следует, что расхождение результатов не превышает 6 %. На рис. 3 приведены графики изменения температуры в первом, втором, третьем и четвертом приближениях при в сравнении с точным решением. Из их анализа следует, что расхождение результатов в четвертом приближении не превышает 1 %. Таким образом, с увеличением числа приближений получаемое решение существенно уточняется, что свидетельствует о сходимости предлагаемого метода решения задачи (6) - (9). Выводы 1. С использованием дополнительной искомой функции и дополнительных граничных условий в интегральном методе теплового баланса получено приближенное аналитическое решение задачи теплообмена в жидкости, движущейся в цилиндрическом канале (задача Гретца - Нуссельта). Введение дополнительной искомой функции обосновывается бесконечной скоростью распространения теплоты, описываемой параболическим уравнением теплообмена. Область ее изменения, так же как и область изменения основной искомой функции , включает весь диапазон изменения температуры и весь диапазон продольной пространственной переменной . 2. Дополнительные граничные условия находятся в таком виде, чтобы их выполнение искомым решением было эквивалентно выполнению исходного дифференциального уравнения в граничных точках и . Показано, что выполнение дифференциального уравнения на границах области с увеличением числа приближений приводит к его выполнению и внутри нее с точностью, зависящей от числа приближений. 3. Метод получения решения, основанный на использовании дополнительной искомой функции в интегральном методе теплового баланса, позволяет свести решение дифференциального уравнения в частных производных к интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения, что оказывается возможным благодаря использованию интеграла теплового баланса. То есть в данном случае требуется выполнение не исходного дифференциального уравнения, а этого же уравнения, осредненного по поперечной пространственной переменной. Такой метод позволяет находить решения краевых задач со сложными дифференциальными операторами в уравнениях (нелинейных, с переменными коэффициентами и др.), получение решений которых с помощью классических аналитических методов либо затруднительно, либо вообще не представляется возможным.
×

### Anton V Eremin

Samara State Technical University

(Ph.D. (Techn.)), Associate Professor 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia

### Igor V Kudinov

Samara State Technical University

Email: totig@yandex.ru
(Ph.D. (Techn.)), Associate Professor 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia

### Lyubov S Abisheva

Samara State Technical University

Assistant 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia

### Vitaly V Zhukov

Samara State Technical University

Assistant 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia

## References

1. Петухов Б.С. Теплообмен и сопротивление при ламинарном течении жидкости в трубах. - М.: Энергия, 1967. - 412 с.
2. Цой П.В. Системные методы расчета краевых задач тепломассопереноса. - М.: Изд - во МЭИ, 2005. - 568 с.
3. Кудинов В.А., Стефанюк Е.В., Антимонов М.С. Аналитические решения задач теплообмена при течении жидкости в плоскопараллельных каналах на основе определения фронта температурного возмущения // Инженерно - физический журнал. - 2007. - Т. 80. - № 5. - С. 176-186.
4. Стефанюк Е.В., Кудинов И.В., Ларгина Е.В. Построение приближенных аналитических решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений на основе использования дополнительных граничных условий // Вестник Самарского государственного технического университета. Сер. Физико - математические науки.- 2009. - № 1 (18). - С. 122-132.
5. Стефанюк Е.В., Кудинов В.А. Дополнительные граничные условия в нестационарных задачах теплопроводности // Теплофизика высоких температур. - 2009. - Т. 47. - № 2. - С. 269-282.
6. Еремин А.В., Стефанюк Е.В., Рассыпнов А.Ю., Кузнецова А.Э. Нестационарный теплообмен в цилиндрическом канале при ламинарном течении жидкости // Вестник Самарского государственного технического университета. Сер. Физико - математические науки. - 2013. - № 4. - С. 122-130.

Copyright (c) 2015 Samara State Technical University