Algorithm modification for vapor fraction calculation at gas-liquid equilibrium modelling

Full Text

Задача определения доли отгона является одним из основных этапов расчета газожидкостных равновесий [1]. В своей классической постановке задача заключается в определении мольной доли газа e при заданных значениях компонентного состава смеси zi и констант фазового равновесия ki (i - номер компонента). При этом на единичном интервале e = [0; 1] решается уравнение , (1) где yi, xi - мольные составы пара и жидкости соответственно. Уравнение (1) обычно предлагается решать с помощью алгоритма Ньютона - Рафсона, причем в качестве начального приближения рекомендуется значение e = 1 [1]. Однако при практической реализации указанного метода расчета на ЭВМ возникают следующие проблемы: - из-за ограниченной точности чисел с плавающей точкой величина ki - 1 некорректно вычисляется при очень малых значениях ki и при значениях ki, очень близких к единице; - при наличии очень малых констант фазового равновесия ki определение доли отгона алгоритмом Ньютона - Рафсона при начальном значении e = 1 требует большого количества итераций. Указанные проблемы приводят к тому, что при проведении значительного количества расчетов для многокомпонентных смесей в широком диапазоне температур могут возникнуть дополнительные погрешности определения доли отгона или потребоваться значительные временные затраты. В этой связи необходима модификация алгоритма, которая гарантированно обеспечивает небольшое число итераций при самых различных значениях zi и ki. Для устранения первой проблемы предлагается модифицировать уравнение (1) следующим образом: . (2) Уравнение (2) тождественно уравнению (1), но вычисления на ЭВМ производятся в другом порядке, что снижает погрешность расчетов. Для решения второй проблемы предлагается первые несколько итераций делать с помощью метода половинного деления. Это позволит исключить попадание алгоритма Ньютона - Рафсона в область вертикальной асимптоты и, как следствие, большого числа итераций. С учетом вышеизложенного был разработан модифицированный алгоритм определения доли отгона (см. рисунок). В начале расчета проверяются условия существования чистой жидкости и чистого газа. При их выполнении доли отгона устанавливаются равными соответственно e = 0 и e = 1 и расчет заканчивается. Затем устанавливаются минимальная eL = 0 и максимальная eR = 1 границы доли отгона для половинного деления, а также вычисляются значения функции f(e) в этих точках. Первые итерации (в ходе исследований было определено, что достаточно четырех) выполняются методом половинного деления, а затем происходит переход к алгоритму Ньютона - Рафсона. Специфической особенностью является то, что за начальное приближение здесь берется результат метода половинного деления и при определенных значениях zi и ki возможен выход за пределы интервала e = [0; 1]. Для исключения этого предусмотрена следующая коррекция значений: при и при . (3) Решение считается найденным, если значения доли отгона на текущей и предыдущей итерациях не превышают величину погрешности a: . (4) Если решение не найдено за максимальное количество итераций N, то алгоритм выдает ошибку. Для апробации данного алгоритма была проведена серия вычислительных экспериментов с различными значениями zi и ki. Тестирование проводилось на системе из четырех компонентов для трех различных значений погрешности a. Каждый тест состоял из 10 000 вычислений доли отгона. При каждом вычислении доли отгона составы zi создавались с помощью равномерно распределенного генератора случайных чисел ri с последующей нормировкой: . (5) Модифицированный алгоритм расчета доли отгона Результаты тестирования модифицированного алгоритма Параметр Значение при a = 10-8 при a = 10-10 при a = 10-12 Число итераций: 6 7 8 9 10 11 и более 0,1 % 10,6 % 42,7 % 12,5 % 2,5 % 2,3 % 0,0 % 3,7 % 38,3 % 21,9 % 5,2 % 2,3 % 0,0 % 1,2 % 29,1 % 30,9 % 6,6 % 3,0 % Чистые газ или жидкость (0 итераций) 29,3 % 28,6 % 29,2 % Ошибки 0 % 0 % 0 % Максимальное число итераций 56 58 58 В свою очередь, константы фазового равновесия ki также формировались с помощью случайных чисел Ri следующим образом: . (6) Здесь случайные числа Ri являлись аналогом температуры, а параметры A и B подбирались таким образом, чтобы константы фазового равновесия находились в пределах от 10-16 до 107. Результаты тестирования сведены в таблицу. Из рассмотрения данных таблицы видно, что предлагаемый вариант алгоритма расчета доли отгона: - обеспечивает сходимость в среднем за 7-10 итераций при значениях погрешностей, достаточных для проведения технических расчетов (в число итераций входят четыре итерации, выполняемые по методу половинного деления); - допускает порядка 2-3 % вычислений с числом итераций более 10; - обеспечивает определение чистых газа или жидкости; - не приводит к появлению ошибок.

About the authors

Sergey B Konygin

Samara State Technical University

(Dr. Sci. (Techn.)), Professor 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

References

Supplementary files