Optimal control of induction heating processes with combined requirements to the final temperature distribution of the object

Full Text

В реальных производственных условиях наряду с требуемой точностью приближения управляемой величины объекта с распределенными параметрами к заданному эталону в конце оптимального процесса может потребоваться учет дополнительного ограничения на ошибку отклонения от желаемого стационарного состояния объекта при использовании последующей стадии его стабилизации [1]. Например, вполне возможны нарушения непрерывности производственного цикла в технологическом комплексе «нагрев-обработка давлением» (перерыв в работе деформирующего оборудования, отсутствие необходимости дальнейшего выпуска продукции технологического комплекса определенной номенклатуры в рассматриваемый момент времени, возникновение нештатных ситуаций и др.). В таких ситуациях возникает необходимость сохранения достигнутого в нагревательной установке температурного состояния в течение некоторого заранее не известного промежутка времени и обеспечения на протяжении указанного перерыва возможности последующей передачи заготовок для операций пластического деформирования в любой требуемый момент возобновления процесса работы комплекса. Постановка задачи оптимального управления В качестве объекта управления в настоящей работе рассматривается технологический процесс индукционного нагрева металлического изделия цилиндрической формы перед обработкой давлением, описываемый одномерным неоднородным дифференциальным уравнением теплопроводности в частных производных параболического типа с краевыми условиями третьего рода [2, 3]. Температурное поле заготовки цилиндрической формы в пренебрежении на стадии нагрева неравномерностью температурного распределения в осевом направлении описывается в зависимости от радиальной координаты и времени в любой точке решением линейного одномерного неоднородного уравнения теплопроводности в относительных единицах следующего вида [2]: (1) (2) (3) Здесь - функция радиального распределения электромагнитных внутренних источников тепла; - суммарная удельная мощность внутреннего тепловыделения, рассматриваемая в качестве управляющего воздействия с ограничением: (4) коэффициент β=const > 0 определяет уровень тепловых потерь в окружающую среду. Функция распределения по радиусу источников тепла определяется выражением: (5) где , , , - функции Кельвина и их первые производные; ξ - характерный параметр: (6) Здесь R - радиус цилиндрической заготовки; δ - глубина проникновения тока в металл; ω - частота питающего тока; σ - электропроводность нагреваемого материала; μ - абсолютная магнитная проницаемость. Характерные требования технологии индукционного нагрева сводятся к обеспечению равномерного нагрева заготовок до заданной температуры . К результирующему температурному полю оптимального процесса в момент окончания процесса нагрева, как правило, предъявляется требование равномерного приближения к желаемому конечному распределению температур с заданной точностью [2]: (7) Пусть далее предусматривается возможность перехода к последующей стадии термостатирования достигнутого в процессе нагрева температурного состояния в стационарном режиме работы нагревательной установки [1]. Температурное поле на стадии термостатирования описывается в пренебрежении неравномерностью радиального распределения температур в зависимости от осевой координаты по длине цилиндра в любой точке по радиусу цилиндра решением линейного одномерного неоднородного уравнения стационарной теплопроводности в относительных единицах с краевыми условиями второго рода [1]: (8) (9) Здесь - распределенное по длине цилиндра управляющее воздействие по мощности нагрева в режиме термостатирования с ограничением: (10) значения определяют тепловые потери с боковой и торцевой поверхностей цилиндра соответственно. Рассматриваемый объект (8)-(9) неуправляем относительно желаемого состояния [1], и в связи с этим возникает задача минимизации ошибки равномерного приближения к путем выбора управления в (10) [1]. Как показано в [1], решение этой задачи зависит от числа интервалов постоянства оптимального по выбранному критерию управления кусочно-постоянной структуры, попеременно принимающего только свои предельно допустимые значения в (10). Далее рассматривается случай одноинтервального управления , Î[0, 1] с равномерно распределенной мощностью термостатирования по длине индуктора при наиболее просто реализуемой конструкции термостата, которому отвечает известное стационарное температурное состояние с минимально возможным в классе таких управляющих воздействий отклонением от в равномерной метрике [1] (Рисунок 1): (11) В таком случае вместе с требование (7), предусматривающим возможность передачи изделия на последующую обработку давлением непосредственно по окончанию процесса нагрева, требуется выполнить подобное (7) условие равномерного приближения к с требуемой точностью при необходимости перехода к режиму термостатирования: (12) В итоге может быть сформулирована следующая задача оптимального быстродействия. Необходимо определить стесненное ограничением (4) управляющее воздействие , которое переводит объект (1)-(3) из заданного начального состояния (2) в требуемое конечное согласно двум условиям (7), (12) за минимально возможное время . Рис. 1. Температурное распределение по длине цилиндра в режиме термостатирования Редукция к специальной задаче математического программирования Стандартная процедура принципа максимума определяет оптимальное по быстродействию управление в форме релейной функции времени, попеременно принимающей только свои предельно допустимые значения согласно (4) заранее заданной с точностью до числа N и длительностей , интервалов своего постоянства [2-4]: (13) При равномерном начальном распределении температур , совпадающим с постоянной температурой окружающей среды, решение уравнений (1)-(3) модели объекта с управлением вида (13) в конечный момент времени t* принимает следующий вид [2-4]: (14) Здесь - определяемая известными выражениями температура в точке в момент времени при и постоянной максимальной мощности нагрева, т.е. при управлении . В таком случае в роли критерия оптимальности выступает сумма длительностей интервалов постоянства : (15) а условия (7), (12) достижения заданных конечных температурных кондиций записываются в виде: (16) (17) где определяется по формуле (14). В итоге проблема сводится к задаче математического программирования на минимум целевой функции (15) N переменных с заданным ограничением на множество допустимых значений в форме неравенств (16), (17). Оптимальное управление, являющееся решением рассматриваемой задачи быстродействия, отличается от всех других N-интервальных управлений вполне определёнными длительностями интервалов постоянства, совокупность которых и является решением задачи математического программирования (15)-(17). Способ и пример решения задачи оптимального быстродействия по схеме альтернансного метода На первом этапе сначала решается задача быстродействия (15), (16) с учетом одного ограничения (7) на конечное температурное состояние. Согласно технологии альтернансного метода [2-4] решение задачи (15), (16) для типичного случая , где - минимально достижимая величина в классе управлений вида (13) с двумя интервалами постоянства, для которых следует принять N=2 в (13) [2-4], сводится с учетом известных свойств температурных полей в оптимальном процессе индукционного нагрева [2, 3] к решению системы четырех уравнений в точках максимума в (16): (18) где - искомое решение задачи (15), (16). Система решается стандартными численными методами с требуемой точностью с использованием выражений (14) относительно четырех неизвестных: и координаты точки экстремума кривой температурного распределения. Зависимость от своих аргументов в (14) после подстановки известных выражений для выглядит следующим образом [3]: (19) где при следует принять N=2. Здесь - собственные числа; , n=1,2,…, -бесконечно возрастающая последовательность корней уравнения: (20) R -радиус цилиндра; - моды функции (5): (21) и - функции Бесселя нулевого и первого порядка соответственно. Численное решение системы (18) производилось с учетом первых 20 членов бесконечного ряда (19). В итоге, после перехода к абсолютным величинам по правилам перехода от относительных единиц согласно [2, 3], получим в соответствии (19) следующий окончательный вид формулы для расчета температурного поля : (22) Здесь - коэффициент теплопроводности нагреваемого материала, - максимально допустимая величина объемной плотности мощности внутреннего тепловыделения при индукционном нагреве. В итоге были получены следующие результаты решения системы уравнений (18) в программной среде MATLAB: (23) Кривая результирующего распределения температуры по радиусу цилиндра представлена на рис. 2. На рис. 3 показано результирующее температурное поле по объему нагреваемого слитка с равномерным распределением по длине цилиндра в соответствии с пренебрежением температурным градиентом в осевом направлении в исходной модели (1)-(3) процесса нагрева. Если теперь, в соответствии с (17) для найденного решения выполняется непосредственно проверяемое с помощью выражения (22) условие: (24) для требуемой точности приближения результирующего температурного состояния нагреваемой заготовки к заданному распределению температур в режиме термостатирования, то является искомым решением задачи (15)-(17) с обоими ограничениями. Исходные данные для процесса индукционного нагрева Материал Титановый сплав Радиус заготовки R, м 0.27 Длина заготовки L, м 1.0 Начальная температура , °С 30 Требуемая температура , °С 1050 Частота питающего тока ω, Гц 50 Коэффициент β 0.7 Параметр ξ 4 Коэффициент теплопроводности титанового сплава λ, Вт/(м∙°С) 14 Если неравенство (24) не выполняется, необходимо перейти на следующем этапе к решению задачи (15), (17) с одним ограничением (17) применительно к ситуации с промежуточной стадией термостатирования температурного состояния нагреваемого слитка перед его передачей к деформирующему оборудованию. Подобно (18) такая задача при , N=2 сводится к решению по схеме альтернансного метода системы четырех уравнений: (25) с четырьмя неизвестными , , и . Рис. 2. Кривая результирующего распределения температуры по радиусу нагреваемой заготовки Рис.3. Результирующее пространственное распределение температуры по всему объему заготовки Здесь - искомое решение задачи (15), (17); - минимально достижимая величина в (17) при N=2; , и радиальные координаты не меняются по сравнению с их значениями в (18). Система (25) решалась аналогично (18) после перехода к абсолютным единицам с подстановкой выражений для вида (22) при в (11). В итоге получены следующие результаты: отличающиеся от (23) только величиной . Результирующее температурное поле по объему цилиндра, характеризующееся теперь уже одинаковым радиальным распределением температур по длине цилиндра в соответствии с моделью (8), (9) режима термостатирования, показано на рисунке 4. Рис. 4. Результирующее пространственное распределение температуры по всему объему заготовки в задаче (15), (17) Таким образом, в данном случае при оптимальные двухинтервальные управления в задачах (15), (16) и (15), (17) совпадают, обеспечивая при этом различную максимально возможную точность приближения к требуемым конечным температурным состояниям. Такие результаты получаются из-за использования одинаковой формулы для вычисления температурного поля и совпадения точек альтернанса в (25) на границах изменения радиальной и продольной координат по объему цилиндрической заготовки. Из сказанного следует, что решением исходной задачи (15)-(17) с двумя ограничениями является , если в (16), (17). При других заданных значениях и опять сначала следует решить по схеме альтернансного метода подобно (18), (25) две различные задачи (15), (16) и (15), (17) с одним ограничением с последующей оценкой неравенств: (26) (27) При выполнении (26) или (27) или соответственно. Если оба неравенства нарушаются, следует перейти непосредственно к задаче (15)-(17) путем её преобразования к виду, содержащему единственное ограничение [5], с последующим решением по схеме альтернансного метода.

About the authors

Edgar Ya Rapoport

Samara State Technical University

Email: rapoport@samgtu.ru
(Dr. Sci. (Techn.)), Professor 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

Alena V Kapustina

Samara State Technical University

Email: alenakapustina@outlook.com
Postgraduate Student 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

References

Supplementary files