Receiving and research of the analytical solution of the cable equation for conductors with the distributed parameter

Full Text

Электрические линии с сосредоточенными параметрами описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, в которых искомые функции (напряжение или сила тока ) не зависят от пространственной переменной и являются функциями лишь времени. При этом считается, что все элементы линии при прохождении электрического тока не выделяют теплоту; что переменный магнитный поток индуцирует электродвижущую силу лишь в катушке индуктивности, а токи электрического смещения появляются только между обкладками конденсатора. Указанные предположения считаются допустимыми в случае, когда линейные размеры всех элементов цепи намного меньше длины электромагнитной волны в окружающем цепь диэлектрике. Протяженность длинных цепей (например, телеграфных или линий передачи электрической энергии) при используемых на практике частотах сопоставима с длиной электромагнитной волны. Такие цепи будут уже не с сосредоточенными, а с распределенными параметрами, и при их исследовании необходимо учитывать индуктивность линий, активное сопротивление проводов, утечки тока вследствие несовершенства изоляции, а также взаимную емкость между проводами (или между проводом и землей) [1, 2]. Ниже будет рассмотрена однородная однопроводная линия с равномерно распределенными параметрами, заряженная до потенциала по отношению к земле, потенциал которой равен нулю. Один конец линии () изолирован, а другой () в начальный момент времени заземлен. Необходимо определить распределение напряжения по длине линии во времени. Математическая постановка задачи в данном случае имеет вид ; (1) ; (2) ; (3) ; (4) , (5) где - напряжение, ; - координата, ; - время, ; - сила тока, ; - активное сопротивление, ; - емкость, ; - индуктивность, ; - проводимость изоляции, ; - фарада; - кулон; - вольт; - ампер; - секунда; - Генри; - длина линии, ; , , , рассчитаны на единицу длины провода; - длина элементарного участка, ; - начальный потенциал линии относительно земли, ; - скорость распространения электрических колебаний, равная скорости света в воздухе, . Вывод уравнения (1) базируется на законе Ома, записанном в виде следующих двух соотношений: ; (6) . (7) Согласно соотношению (6) разность напряжений в начале и в конце рассматриваемого участка проводника (по отношению к нулевому потенциалу земли) равна сумме падения напряжения на активном сопротивлении () и индуктивного падения напряжения (). Из (7) следует, что изменение силы тока на этом же участке равно величине тока, требуемого для зарядки данного участка проводника (), и количеству тока, теряемого вследствие несовершенства изоляции (). Дифференцируя соотношение (6) по переменной , а соотношение (7) - по переменной (предварительно умножив его на ), и затем вычитая из первого уравнения второе, получаем телеграфное уравнение вида (1). Для получения аналогичного уравнения для силы тока продифференцируем (6) по (умножив на ), а (7) по и, вычитая из первого уравнения второе, находим . (8) Для получения точного аналитического решения задачи (1) - (5) введем следующие безразмерные переменные и параметры: ; ; ; ; , где , , - соответственно безразмерные напряжение, координата, время; , - безразмерные комплексы. С учетом принятых обозначений задача (1) - (5) будет ; (9) ; (10) ; (11) ; (12) . (13) Если пренебречь потерями через изоляцию () и активным сопротивлением провода (), то и уравнение (9) приводится к классическому гиперболическому уравнению, описывающему незатухающие волновые колебания искомой функции: . (14) Следуя методу разделения переменных, решение задачи (9) - (13) примем в виде [3] , (15) где , - соответственно функции времени и координаты . Подставляя (15) в (9), находим ; (16) , (17) где - некоторая постоянная; ; ; . Подставляя (15) в (12), (13), находим граничные условия к уравнению (17) (18) Решение краевой задачи Штурма - Лиувилля (17), (18) принимается в виде . . (19) Очевидно, что соотношение (19) удовлетворяет граничным условиям (18). Подставляя (19) в (17), находим формулу для определения собственных чисел краевой задачи Штурма - Лиувилля: . (20) Собственные функции с точностью до постоянного множителя, который в данном случае можно положить равным единице [1], находятся из (19). Характеристическое уравнение для уравнения (16) будет . (21) Уравнение (21) имеет следующие корни: . . (22) В случае, если подкоренное выражение соотношения (22) больше нуля , будем иметь два действительных отрицательных корня. Решение уравнения (16) в этом случае записывается в виде , (23) где и - постоянные интегрирования. Подставляя (19), (23) в (15), находим . (24) Каждое частное решение (24) удовлетворяет уравнению (9) и граничным условиям (12), (13), но ни одно из них не удовлетворяет начальным условиям (10), (11). С целью их выполнения составим сумму частных решений: . (25) Для определения постоянных интегрирования , используются начальные условия (10), (11). Подставляя (25) в (11), получаем . . (26) Подставляя (25) в (10), с учетом (26) находим . . (27) Соотношение (27) представляет разложение единицы в ряд Фурье по косинусам на отрезке [0; 1]. Умножим (27) на и найдем интеграл от полученного соотношения: . (28) Соотношение (28) с учетом ортогональности косинусов приводится к виду . (29) Определяя интегралы в (29), находим . (30) После определения постоянных интегрирования и точное аналитическое решение задачи (9) - (13) находится из (25). Непосредственной подстановкой (25) во все уравнения задачи (9) - (13) можно убедиться в их точном выполнении. В случае, если в отношении (22) подкоренное выражение меньше нуля , будем иметь следующие комплексные корни [4]: ; ; (31) где ; ; . Решение уравнения (16) с учетом (31) будет , (32) где , - постоянные интегрирования. Соотношение (32) можно представить в виде . (33) Используя формулы Эйлера ; , соотношение (33) приводим к виду [3] . (34) Обозначив ; , находим . (35) Подставляя (19), (35) в (15) и составляя сумму частных решений, получаем . (36) Для нахождения постоянных , используются начальные условия (10), (11). Подставляя (36) в (11), находим . . Отсюда получаем . (37) Подставляя (36) в (10), находим . . (38) Умножая обе части соотношения (38) на и определяя интеграл в пределах от до , находим . (39) Соотношение (39) с учетом ортогональности косинусов приводится к виду . (40) Определяя интегралы в (40), получаем . После определения постоянных и решение задачи (9) - (13) в случае, когда подкоренное выражение отношения (22) меньше нуля , в замкнутом виде находится из (36). Непосредственной подстановкой можно убедиться, что все уравнения задачи (9) - (13) решением (36) выполняются точно. Результаты расчетов по формуле (25) для различных значений безразмерных параметров и приведены на рис. 1-12. И, в частности, при колебания напряжения в сети незатухающие, что объясняется отсутствием потерь в проводах () и через изоляцию () (пример сверхпроводящих линий) (см. рис. 1, 2). В прямой волне напряжение скачкообразно изменяется от нулевого значения, заданного граничным условием первого рода (13), до значения, равного единице, заданного начальным условием (10). Следовательно, на фронте волны производная от напряжения по пространственной переменной равна бесконечной величине. После достижения фронтом волны конца проводника () происходит ее отражение со сменой знака напряжения в обратной волне. При достижении обратной волной координаты вновь происходит смена знака напряжения во второй прямой волне, и таким образом осуществляется процесс незатухающих колебаний напряжения в прямой и обратной волнах, движущихся со скоростью света (см. рис. 1, 2). Рис. 1. Изменение напряжения во времени в отдельных точках по длине проводника: ; ( - число членов ряда (36)) Рис. 2. Изменение напряжения по длине проводника для отдельных значений времени: ; Рис. 3. Изменение напряжения во времени: ; Рис. 4. Изменение напряжения по длине проводника: ; Рис. 5. Изменение напряжения во времени: . ; Рис. 6. Изменение напряжения по длине проводника: ; Рис. 7. Изменение напряжения во времени: ; Рис. 8. Изменение напряжения по длине проводника: ; Рис. 9. Изменение напряжения во времени: ; Рис. 10. Изменение напряжения по длине проводника: ; Рис. 11. Изменение напряжения во времени: ; Рис. 12. Изменение напряжения по длине проводника: ; В случае, когда безразмерные комплексы и не равны нулю, колебания напряжения будут затухающими вплоть до достижения нулевого значения напряжения, заданного граничным условием (13). И, в частности, на рис. 3 и 4 приведены результаты расчетов при , из анализа которых следует, что скачкообразное изменение напряжения в прямой и обратной волнах сохраняется. С увеличением и (; см. рис. 5, 6) колебательный процесс смещается в область положительных значений напряжений. При после достижения фронтом волны конца проводника () скачки напряжения прекращаются и при дальнейшем увеличении напряжение монотонно уменьшается вплоть до при (см. рис. 7, 8). При скачки напряжения прекращаются уже при и в дальнейшем уменьшение напряжения вплоть до нулевого его значения происходит практически при отсутствии градиента напряжения по длине проводника (см. рис. 9, 10). И при каких-то больших значениях и () падение напряжения в проводнике происходит без скачков и при отсутствии градиента напряжений по длине проводника (см. рис. 11, 12). Выводы 1. Анализ точного аналитического решения телеграфного уравнения (9), представленного в безразмерном виде, позволяет заключить, что при малых значениях безразмерных комплексов и изменение напряжения по длине проводника происходит скачкообразно со сменой знака напряжения в прямой и обратной волнах плоть до полного затухания колебаний. 2. С увеличением и происходит смещение колебательного процесса в область положительных значений напряжения. При этом его скачкообразное изменение происходит лишь на части длины проводника, а на оставшейся длине напряжение уменьшается практически при отсутствии градиента напряжения по пространственной переменной. 3. При дальнейшем увеличении и изменение напряжения происходит без скачков и при отсутствии градиента напряжений по длине проводника.

About the authors

Igor V Kudinov

Samara State Technical University

Email: totig@yandex.ru
(Ph.D. (Techn.)), Associate Professor 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

References

Supplementary files