Two-channel time-optimal control of the process of nonstationary heat conductivity

Full Text

Постановка задачи оптимального управления В качестве объекта управления рассматривается процесс нагрева неограниченной пластины, температурное поле которой описывается с учетом неравномерности температурного распределения только по одной координате x линейным однородным уравнением теплопроводностиследующеговида [1]: (1) с заданными начальными (2) и граничными условиями 2-го рода (3) где - толщина пластины; -теплофизические постоянные; - сосредоточенные граничные управляющие воздействия, стесненные заранее известными пределами их изменения (рис. 1): (4) Рис.1. Иллюстрация двухканальногоуправления Требуется обеспечить заданную точность равномерного приближения конечного распределения температуры к заданному: . (5) Качество процесса управления оценивается интегральным функционалом . (6) Метод конечных интегральных преобразований [2, 3] приводит к описанию управляемой функции в (1) в зависимости от пространственной координаты и временибесконечной системой дифференциальных уравнений для временных мод разложения в сходящийся в среднем ряд по собственным функциям начально-краевой задачи (1)-(3): (7) (8) Здесь собственные числа и коэффициенты определяются соотношениями [3]: (9) Интегрирование уравнений (7) с последующей подстановкой результата в (8) приводит к следующим зависимостям температурного поля от внешних воздействий по граничным условиям: . (10) Таким образом, может быть сформулирована следующая задача оптимального по быстродействию управления. Требуется определить такие программные управляющие воздействия , стесненные ограничениями (4), которые переводят объект управления (7) из заданного начального состояния в требуемое конечное согласно (5), где определяется выражениями (8)-(10) при минимальном значении критерия оптимальности (6). Параметризация управляющих воздействий и редукция к задаче полубесконечного программирования На основании необходимых условий оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина оптимальное по быстродействию управление устанавливается в форме релейных функций времени, попеременно принимающих только свои предельно допустимые значения согласно (4)[4]: (11) где и - конечные значения сопряженных переменных . В соответствии с (11) и определяются в параметризованной форме , и , с точностью до числа и длительностей и их постоянства: (12) где согласно (2) в пределах первого интервала постоянства. Подстановка управляющих воздействий вида (12) в выражение (10) приводит к параметризованной форме представления конечного температурного состояния после вычисления интегралов в (10) при. В частности, ограничиваясь здесь и далее случаем двухинтервального управления при , будем иметь в результате: (13) где переходные функции объекта и , представляющие собой реакции объекта на единичные ступенчатые воздействия по граничным управлениям и , определяются следующими выражениями [1]: (14) (15) При полученном параметрическом представлении искомых управляющих воздействий можно представить критерий оптимальности (6) в виде простой суммы длительностей отдельных интервалов постоянства оптимального управления: (16) в условиях одинаковой продолжительности процесса управления для обоих управляющих воздействий, а условие (5) оценки конечного распределения температур представляется в форме (17) где определяется по формуле (13). Таким образом, производится точная редукция исходной задачи к задаче полубесконечной оптимизации (ЗПО) (16)-(17) на минимум целевой функции (16)конечного числа переменных с бесконечным числом ограничений(17) для всех точек [4, 5]. Решение задачи полубесконечной оптимизации альтернансным методом Задача (16)-(17) разрешима только для в (17), где - минимально достижимая величина в рассматриваемом классе граничных управлений: . (18) В этих условиях искомое решение задачи (16)-(17) обладает базовыми альтернансными свойствами [4],[5], согласно которым при некоторых обычно выполняющихся в прикладных задачах допущениях максимальные отклонения в (17), равные , достигаются в некоторых точках . Суммарное число этих точек оказывается равным числу всех неизвестных в ЗПО (16), (17), включая длительности интервалов постоянства и величину минимакса при в (17). Иначе говоря, на отрезке [0,R] найдутся точек , в которых выполняются равенства [4, 5]: , (19) где (20) Здесь s - число свободно варьируемых параметров в составе , равное в условиях одинаковой длительности процесса управления для обоих управляющих воздействий. В рассматриваемом случае получаем отсюда (21) Рис. 2. Форма кривой результирующего температурного распределения при Редукция системы равенств (19)-(21), замкнутой относительно искомых параметрических характеристик оптимального процесса, к однозначно фиксируемой системе уравнений, разрешаемой относительно этих неизвестных, должна быть выполнена путем определения координат точек и знаков разностей в каждой из них. Эта задача может быть решена только при известной конфигурации кривой температурного распределения на отрезке при двухинтервальном граничном управлении, устанавливаемой на основании физических закономерностей процессов нестационарной теплопроводности в зависимости от величины . Анализ этих закономерностей [4, 5] приводит к двум вариантам по форме кривой в условиях в (17) (рис. 2) в зависимости от выбора согласно (20) в качестве трех независимо варьируемых параметров (рис. 2, а) или (рис. 2, б) в условиях равенства . В первом случае следует принять , а во втором (рис. 3). Рис. 3. Оптимальные по быстродействию граничные управления При этом согласно (19)-(21) в обоих случаях и формам кривой результирующих температурных состояний, указанным на рис. 2, а и рис. 2, б, отвечают соответственно системы (22) и (23), составляемые на основании равенств (19), дополняемых условиями существования экстремума функции во внутренних точках отрезка для определения их координат. (22) (23) Эти системы семи уравнений решаются стандартными численными методами относительно семи неизвестных в (22) и в (23). Численные результаты решения систем уравнений (22), (23) в программной среде MATLAB для исходных данных, указанных в табл. 1, приведены в табл. 2и на рис. 2. Решение систем уравнений производилось с учетом первых 10 членов бесконечного ряда в (14), (15). Оптимальным считается вариант с наименьшей длительностью процесса управления. Таблица 1 Исходные данные для расчета Материал Титановый сплав Толщина пластины R, м 0,2 Начальная температура, 0 Требуемая конечная температура, 960 Коэффициент теплопроводности титанового сплава λ, 35 Коэффициент температуропроводности, Коэффициент теплопередачи , 260 Максимальная температура в рабочем пространстве печи, 1600 Максимальная величина теплового потока 416000 Минимальная величина теплового потока -62400 Максимальная величина теплового потока 208000 Минимальная величина теплового потока -31200 Таблица 2 Расчетные результаты при двухканальном управлении Решение системы (22) , с , с , с , м , м , м 4276 3952 1260 7 0,032 0,1 0,167 Решение системы (23) , с , с , с , м , м , м 3880 4374 1745 10 0,03 0,112 0,1803 Для сравнения решалась задача одноканального управления как со стороны внешнего теплового потока на границе x=0, так и отдельно для случая, когда управляющее воздействие сосредоточено на границе x=R. Тогда вместо систем (22) и (23)имеет место система четырех уравнений относительно четырех неизвестных:или .Численные результаты решения для двух случаев одноканального управления приведены в табл. 3. Таблица 3 Расчетные результаты при одноканальном управлении Со стороны теплового потока , с , с , м 4031 892 13,6 0,134 Со стороны теплового потока , с , с , м 4031 891 13 0,065 На рис. 4 приведены два варианта пространственного распределения управляемой величины в конце оптимального процесса с отклонениями от заданного состояния. На основе полученных результатов отметим, что двухканальное управление процессом нестационарной теплопроводности обеспечивает более высокую точность приближения конечного распределения температуры к заданному. Рис. 4. Кривые результирующего температурного распределения при одноканальном управлении

About the authors

Edgar Ya Rapoport

Samara State Technical University

Email: edgar.rapoport@mail.ru
(Dr. Sci. (Techn.)), Professor 244, Molodogvardeyskayast., Samara, 443100, Russian Federation

Natalya A Ilina

Samara State Technical University

Email: ilina.natalyaa@yandex.ru
Postgraduate Student 244, Molodogvardeyskayast., Samara, 443100, Russian Federation

References

Supplementary files