Stationary characteristics of unreliable two-channel queueing loss system with immediately replenishable time reserve

Full Text

Введение Одним из методов повышения надежности технических систем является временное резервирование - такой способ повышения надежности, при котором системе в процессе функционирования предоставляется возможность израсходовать некоторое время, называемое резервом, для восстановления надежностных характеристик. Резерв времени может создаваться за счет увеличения времени, выделяемого системе для выполнения задания. Он возникает и при создании запаса производительности отдельных устройств. Еще одним источником резерва времени является функциональная инерционность протекающих в системе процессов. Построение математических моделей таких систем и обзор результатов в этом направлении содержится, например, в [1-4]. Отказ от экспоненциальности распределений случайных величин, описывающих системы обслуживания,приводит к усложнению моделей. В этом случае для исследований может привлекаться аппарат теории полумарковских процессов с дискретно-непрерывным фазовым пространством состояний. Так, в [5] найдены стационарные характеристики ненадежной одноканальной системы обслуживания с потерями и мгновенно пополняемым резервом времени в предположении общего вида случайных величин, определяющих систему. В данной работерезультаты [5] обобщаются на случай двухканальной системы обслуживания. Постановка задачи В ненадежную систему обслуживания поступает простейший поток заявок с интенсивностью . Длительность обслуживания заявки -м каналом - случайная величина (СВ) с функцией распределения (ФР) и плотностью распределения (ПР) .Во время обслуживания заявки канал может выйти из строя. Время с момента начала обслуживания заявки до момента отказа канала -СВ с ФР и ПР. Восстановление канала начинается сразу после его отказа и длится случайное время с ФР и ПР. После отказа канала обслуживание заявки продолжается за счет временного резерва, который представляет собой СВ с ФР и ПР. Если временной резерв исчерпывается, то обслуживание заявки прекращается и она теряется. Следующую заявку на обслуживание канал принимает после своего восстановления. В случае завершения обслуживания заявки за счет резерва следующая заявка к обслуживанию также принимается после восстановления канала. Если же восстановление канала происходит до завершения обслуживания, то обслуживание заявки вновь продолжается каналом. В случае повторного отказа канала обслуживание заявки снова продолжается за счет временного резерва, который представляет собой ту же СВ . Таким образом, обслуживание заявки может быть завершено за счет неоднократного использования временного резерва. Предполагается, что все указанные случайные величины имеют конечные математические ожидания и дисперсии. Цель работы - найти финальные вероятности пребывания системы в различных физических состояниях, определить средние стационарные времена пребывания в этих состояниях и исследовать влияние временного резерва на эти характеристики. Построение математической модели Для построения модели функционирования рассматриваемой системы обслуживания используем полумарковский процесс с дискретно-непрерывным множеством состояний. Для задания этого процесса введем фазовое пространство состояний , вероятности и плотности вероятностей переходов из состояний, а также времена пребывания в состояниях. Начнем с описания физических состояний системы. Они могут быть заданы двухкомпонентным вектором , каждая компонента которого описывает физическое состояние соответствующего канала и принимает следующие значения: - работоспособный канал обслуживает заявку; - канал восстанавливается, обслуживание заявки продолжается за счет временного резерва;- канал восстанавливается, заявка не обслуживается; - канал в работоспособном состоянии находится в ожидании заявки. Для того чтобы в моменты изменения физических состояний каналов система обладала марковским свойством, перед вектором физических состояний укажем номер канала, который изменил свое физическое состояние последним, а также расширим фазовое пространство состояний добавлением непрерывных составляющих. Опишем содержательный смысл этих расширений. Для состояния -го канала составляющая - время, прошедшее с момента начала обслуживания заявки, - время, оставшееся до отказа канала. В частном случае - момент начала обслуживания вновь поступившей заявки, - момент переключения канала на обслуживание заявки после восстановления. Для состояния составляющая - время, прошедшее с момента начала обслуживания заявки;- время, оставшееся до окончания восстановления канала; - оставшийся временной резерв. При этом- момент переключения обслуживания заявки за счет резерва. Для состояния составляющая - время, оставшееся до окончания восстановления -го канала. Например, состояние соответствует моменту окончания восстановления первого канала и его переключению на обслуживание заявки, которая уже обслуживается время .В этот момент второй канал восстанавливается (до конца восстановления осталось время ), а заявка обслуживается за счет резерва (-оставшийся временной резерв), и с момента начала ее обслуживания прошло время . Состояние - момент перехода второго канала в состояние ожидания заявки в работоспособном состоянии. В этот момент первый канал продолжает восстанавливаться, до конца восстановления осталось время (заявку канал не обслуживает). Укажем, как определяются времена пребывания системы в состояниях. Если последним изменил свое физическое состояние -й канал, то время пребывания системы в состоянии есть минимум детерминированной величины , и случайной величины, где Здесь - знак минимума;-время между поступления заявок в систему с плотностью ; -СВ с ФР, причем в случае СВ есть . Например, время пребывания системы в состоянии есть минимум величин ; время в состоянии- минимум . Опишем плотности вероятностей переходов системы на примере переходов из состояния : ; . Аналогично выписываются плотности и вероятности переходов из других состояний системы. Стационарное распределение вложенной цепи Маркова (ВЦМ) находится из системы уравнений , где - вероятность перехода из состояния во множество состоянийВ; - стационарное распределение ВЦМ. В рассматриваемой модели система уравнений содержит 40 уравнений. Выпишем для примера одно из уравнений этой системы: Непосредственной подстановкой можно убедиться, что решениями этого уравнения являются функции ;; , где - плотность функции четных восстановлений (т. е. восстановлений работоспособности первого канала) обрывающегося альтернирующего процесса восстановления, который порождается СВ и СВс несобственным распределением и плотностью; функция - по переменной плотность распределения остаточной наработки до отказа этого альтернирующего процесса, если с момента обслуживания заявки этим каналом прошло время.Постоянная находится из условия нормировки. Аналогично выписываются остальные уравнения системы и доказывается, что стационарное распределение ВЦМ для состояний с точностью до постоянного множителя представляет собой произведение двух сомножителей. Если последним изменил свое физическое состояние канал с номером , то ему соответствует множитель вида а другому каналу - множитель Здесь - плотность функции нечетных восстановлений (т. е. отказов-го канала) обрывающегося альтернирующего процесса восстановления, который порождается СВ и СВс несобственным распределением и плотностью; функция - по переменной плотность распределения времени, оставшегося до ближайшего момента восстановления работоспособности-го канала, если с момента обслуживания заявки этим каналом прошло время, а оставшийся временной резерв равен . Финальные вероятности состояний Разобьем фазовое пространство состояний системы на непересекающиеся подмножества . К подмножеству (оба канала заняты) отнесем все состояния, для которых компоненты вектора физических состоянийпринимают значенияили. Подмножество (один канал занят, второй свободен) включает в себя состояния, в которых одна из компонент векторафизических состояний равна. Подмножество(оба канала свободны) образуют состояния с нулевыми компонентами вектора физических состояний, т. е.. Финальные вероятности пребывания системы в указанных подмножествах состояний найдем с помощью предельных соотношений [6] ,(1) где - среднее время пребывания системы в состоянии ;- стационарное распределение вложенной цепи Маркова. Не составляет труда выписать средние времена пребывания рассматриваемой системы в состояниях. Например, для состояний , и эти времена определяются соответственно формулами ;; . При использовании выражений для средних времен, а также найденной плотности стационарного распределения ВЦМ интегралы в формуле (1) в результате преобразований принимают вид ; ; . Введем обозначения: ;; ; . Заметим, что - среднее время пребывания-го канала в состоянии на периоде регенерации, т. е. между двумя соседними моментами начала обслуживания заявок. С учетом полученных выражений и обозначений финальные вероятности состояний:оба канала свободны, один канал свободен, оба канала заняты - определяются соответственно формулами ; (2) ;, где .(3) Если система обслуживания однородная, т.е. каналы однотипны и описываются одинаковыми случайными величинами, то формулы для финальных вероятностей могут быть записаны в форме формул Эрланга: ;;, где . Заметим, что вероятность полного обслуживания заявки k-м каналом () для системы без временного резерва равна . Наличие временного резерва увеличивает эту вероятность до значения . (4) Средние стационарные времена пребывания системы в состояниях Среднее стационарное время пребывания системы в состоянии найдем с помощью соотношений [6] , (5) где - вероятности переходовиз состояния в подмножество состояний . В результате преобразований соотношения (5) с учетом вероятностей переходов системы из состояний и стационарного распределения ВЦМ приводятся к виду ;; (6) . В случае однородной системы обслуживания последние формулы принимают вид ; . Замечание. С помощью изложенной методики можно найти стационарныехарактеристики и других физических состояний системы. Так, например, финальная вероятность того, что первый канал обслуживает заявку, а второй- восстанавливается и заявка обслуживается за счет временного резерва,вычисляется по формуле . При этом среднее стационарное время пребывания системы в этом состоянии определяется выражением . Стационарные характеристики для системы В качестве частного случая рассмотрим систему обслуживания . Пусть времяобслуживания заявки -мканалом () имеет плотность; время безотказной работы канала- плотность ; время восстановления канала- плотность ; резерв времени -плотность . Тогда в формулах (2) и (6) для определения финальных вероятностей и средних стационарных времен пребывания в состояниях выражение (3) принимает вид . Заметим, что в частном случае, когда в системе отсутствует временной резерв (), формулы для вычисления финальных вероятностей совпадают с известными формулами работы [7]. Для ненадежной системы без временного резерва вероятность того, что принятая -м каналом заявка будет обслужена, равна , а для системы с временным резервом эта же вероятность принимает значение . Численный пример Рассмотрим систему обслуживания, в которую поступает простейший поток заявок с интенсивностью 1/мин. Все остальные случайные величины, описывающие систему, имеют распределение Эрланга, их параметры приводятся в табл. 1. Таблица 1 Характеристики каналов обслуживания Характеристики случайных величин Первый канал Второй канал Порядок распределения Эрланга Среднее значение величины, мин Порядок распределения Эрланга Среднее значение величины, мин Время обслуживания заявки 2 4 2 8 Время безотказной работы 3 9 3 15 Временной резерв 2 3,33 2 4 Время восстановления 2 2,5 2 6 Результаты вычислений стационарных характеристик системы в случае наличия временного резерва по формулам (2) и (6) и без резерва времени, а также результаты сравнения этих характеристик помещены в табл. 2. Таблица 2 Стационарные показатели системы Состояния системы Стационарные показатели Финальные вероятности Среднее время пребывания Без резерва Срезервом Относительная разница, % Без резерва С резервом Относительная разница, % Оба канала свободны 0,124 0,118 -4,8 2 2 0 Один канал свободен 0,376 0,370 -1,6 1,502 1,516 +0,9 Оба канала заняты 0,500 0,512 +2,4 2,662 2,770 +4,1 При наличии временного резерва финальная вероятность того, что поступившая в систему заявка будет принята к обслуживанию, равна При этом вычисленная по формуле (4) вероятность полного обслуживания заявки первым каналом равна , а для второго канала -. При отсутствии резерва времени эти вероятности соответственно равны ; и Таким образом, наличие временного резерва в данной системе приводит к уменьшению на финальной вероятности принятия заявки к обслуживанию, но при этом увеличивает на вероятность полного обслуживания принятой заявки для первого канала ина- для второго. Выводы С помощью аппарата теории полумарковских процессов с общим фазовым пространством состояний построена математическая модель функционирования ненадежной двухканальной системы обслуживания , в которой в случае отказа предоставляется возможность завершить обслуживание заявки за счет мгновенно пополняемого временного резерва. Найдено стационарное распределение вложенной цепи Маркова как решение системы интегральных уравнений в терминах процессов восстановлений, порожденных плотностями функций наработки на отказ, временами восстановления и временного резерва каналов. Установлены расчетные формулы для вычислениястационарных характеристик системы, с помощью которых можнооценить влияние временного резерва на финальные вероятности пребывания системы в различных физических состояниях и средние стационарные времена пребывания в этих состояниях.

About the authors

Aleksey I Peschansky

Sevastopol State University

Email: peschansky_sntu@mail.ru
(Dr. Sci. (Techn.)), Professor 33, Universitetskaya st., Sevastopol, 299053,Russian Federation

References

Supplementary files