Stationary characteristics of unreliable two-channel queueing loss system with immediately replenishable time reserve


Cite item

Abstract

The object of research is a two-channel unreliable queueing loss system. The in-coming flow of requests is considered to be simplest. The rest of random variables, de-scribing the system operation, are general ones. During request service the failure of channel can occur. In this case, the service goes on by means of random time reserve. Time reserve can be enough to complete service or to restore the channel. In the latter case, request service by the channel goes on. In case of short reserve, the request is lost. By means of the apparatus of theory of semi-Markov processes with discrete-continuous states mathematical model of the queuing system is built. Final probabilities of different physical states and average stationary sojourn times in these states are obtained.

Full Text

Введение Одним из методов повышения надежности технических систем является временное резервирование - такой способ повышения надежности, при котором системе в процессе функционирования предоставляется возможность израсходовать некоторое время, называемое резервом, для восстановления надежностных характеристик. Резерв времени может создаваться за счет увеличения времени, выделяемого системе для выполнения задания. Он возникает и при создании запаса производительности отдельных устройств. Еще одним источником резерва времени является функциональная инерционность протекающих в системе процессов. Построение математических моделей таких систем и обзор результатов в этом направлении содержится, например, в [1-4]. Отказ от экспоненциальности распределений случайных величин, описывающих системы обслуживания,приводит к усложнению моделей. В этом случае для исследований может привлекаться аппарат теории полумарковских процессов с дискретно-непрерывным фазовым пространством состояний. Так, в [5] найдены стационарные характеристики ненадежной одноканальной системы обслуживания с потерями и мгновенно пополняемым резервом времени в предположении общего вида случайных величин, определяющих систему. В данной работерезультаты [5] обобщаются на случай двухканальной системы обслуживания. Постановка задачи В ненадежную систему обслуживания поступает простейший поток заявок с интенсивностью . Длительность обслуживания заявки -м каналом - случайная величина (СВ) с функцией распределения (ФР) и плотностью распределения (ПР) .Во время обслуживания заявки канал может выйти из строя. Время с момента начала обслуживания заявки до момента отказа канала -СВ с ФР и ПР. Восстановление канала начинается сразу после его отказа и длится случайное время с ФР и ПР. После отказа канала обслуживание заявки продолжается за счет временного резерва, который представляет собой СВ с ФР и ПР. Если временной резерв исчерпывается, то обслуживание заявки прекращается и она теряется. Следующую заявку на обслуживание канал принимает после своего восстановления. В случае завершения обслуживания заявки за счет резерва следующая заявка к обслуживанию также принимается после восстановления канала. Если же восстановление канала происходит до завершения обслуживания, то обслуживание заявки вновь продолжается каналом. В случае повторного отказа канала обслуживание заявки снова продолжается за счет временного резерва, который представляет собой ту же СВ . Таким образом, обслуживание заявки может быть завершено за счет неоднократного использования временного резерва. Предполагается, что все указанные случайные величины имеют конечные математические ожидания и дисперсии. Цель работы - найти финальные вероятности пребывания системы в различных физических состояниях, определить средние стационарные времена пребывания в этих состояниях и исследовать влияние временного резерва на эти характеристики. Построение математической модели Для построения модели функционирования рассматриваемой системы обслуживания используем полумарковский процесс с дискретно-непрерывным множеством состояний. Для задания этого процесса введем фазовое пространство состояний , вероятности и плотности вероятностей переходов из состояний, а также времена пребывания в состояниях. Начнем с описания физических состояний системы. Они могут быть заданы двухкомпонентным вектором , каждая компонента которого описывает физическое состояние соответствующего канала и принимает следующие значения: - работоспособный канал обслуживает заявку; - канал восстанавливается, обслуживание заявки продолжается за счет временного резерва;- канал восстанавливается, заявка не обслуживается; - канал в работоспособном состоянии находится в ожидании заявки. Для того чтобы в моменты изменения физических состояний каналов система обладала марковским свойством, перед вектором физических состояний укажем номер канала, который изменил свое физическое состояние последним, а также расширим фазовое пространство состояний добавлением непрерывных составляющих. Опишем содержательный смысл этих расширений. Для состояния -го канала составляющая - время, прошедшее с момента начала обслуживания заявки, - время, оставшееся до отказа канала. В частном случае - момент начала обслуживания вновь поступившей заявки, - момент переключения канала на обслуживание заявки после восстановления. Для состояния составляющая - время, прошедшее с момента начала обслуживания заявки;- время, оставшееся до окончания восстановления канала; - оставшийся временной резерв. При этом- момент переключения обслуживания заявки за счет резерва. Для состояния составляющая - время, оставшееся до окончания восстановления -го канала. Например, состояние соответствует моменту окончания восстановления первого канала и его переключению на обслуживание заявки, которая уже обслуживается время .В этот момент второй канал восстанавливается (до конца восстановления осталось время ), а заявка обслуживается за счет резерва (-оставшийся временной резерв), и с момента начала ее обслуживания прошло время . Состояние - момент перехода второго канала в состояние ожидания заявки в работоспособном состоянии. В этот момент первый канал продолжает восстанавливаться, до конца восстановления осталось время (заявку канал не обслуживает). Укажем, как определяются времена пребывания системы в состояниях. Если последним изменил свое физическое состояние -й канал, то время пребывания системы в состоянии есть минимум детерминированной величины , и случайной величины, где Здесь - знак минимума;-время между поступления заявок в систему с плотностью ; -СВ с ФР, причем в случае СВ есть . Например, время пребывания системы в состоянии есть минимум величин ; время в состоянии- минимум . Опишем плотности вероятностей переходов системы на примере переходов из состояния : ; . Аналогично выписываются плотности и вероятности переходов из других состояний системы. Стационарное распределение вложенной цепи Маркова (ВЦМ) находится из системы уравнений , где - вероятность перехода из состояния во множество состоянийВ; - стационарное распределение ВЦМ. В рассматриваемой модели система уравнений содержит 40 уравнений. Выпишем для примера одно из уравнений этой системы: Непосредственной подстановкой можно убедиться, что решениями этого уравнения являются функции ;; , где - плотность функции четных восстановлений (т. е. восстановлений работоспособности первого канала) обрывающегося альтернирующего процесса восстановления, который порождается СВ и СВс несобственным распределением и плотностью; функция - по переменной плотность распределения остаточной наработки до отказа этого альтернирующего процесса, если с момента обслуживания заявки этим каналом прошло время.Постоянная находится из условия нормировки. Аналогично выписываются остальные уравнения системы и доказывается, что стационарное распределение ВЦМ для состояний с точностью до постоянного множителя представляет собой произведение двух сомножителей. Если последним изменил свое физическое состояние канал с номером , то ему соответствует множитель вида а другому каналу - множитель Здесь - плотность функции нечетных восстановлений (т. е. отказов-го канала) обрывающегося альтернирующего процесса восстановления, который порождается СВ и СВс несобственным распределением и плотностью; функция - по переменной плотность распределения времени, оставшегося до ближайшего момента восстановления работоспособности-го канала, если с момента обслуживания заявки этим каналом прошло время, а оставшийся временной резерв равен . Финальные вероятности состояний Разобьем фазовое пространство состояний системы на непересекающиеся подмножества . К подмножеству (оба канала заняты) отнесем все состояния, для которых компоненты вектора физических состоянийпринимают значенияили. Подмножество (один канал занят, второй свободен) включает в себя состояния, в которых одна из компонент векторафизических состояний равна. Подмножество(оба канала свободны) образуют состояния с нулевыми компонентами вектора физических состояний, т. е.. Финальные вероятности пребывания системы в указанных подмножествах состояний найдем с помощью предельных соотношений [6] ,(1) где - среднее время пребывания системы в состоянии ;- стационарное распределение вложенной цепи Маркова. Не составляет труда выписать средние времена пребывания рассматриваемой системы в состояниях. Например, для состояний , и эти времена определяются соответственно формулами ;; . При использовании выражений для средних времен, а также найденной плотности стационарного распределения ВЦМ интегралы в формуле (1) в результате преобразований принимают вид ; ; . Введем обозначения: ;; ; . Заметим, что - среднее время пребывания-го канала в состоянии на периоде регенерации, т. е. между двумя соседними моментами начала обслуживания заявок. С учетом полученных выражений и обозначений финальные вероятности состояний:оба канала свободны, один канал свободен, оба канала заняты - определяются соответственно формулами ; (2) ;, где .(3) Если система обслуживания однородная, т.е. каналы однотипны и описываются одинаковыми случайными величинами, то формулы для финальных вероятностей могут быть записаны в форме формул Эрланга: ;;, где . Заметим, что вероятность полного обслуживания заявки k-м каналом () для системы без временного резерва равна . Наличие временного резерва увеличивает эту вероятность до значения . (4) Средние стационарные времена пребывания системы в состояниях Среднее стационарное время пребывания системы в состоянии найдем с помощью соотношений [6] , (5) где - вероятности переходовиз состояния в подмножество состояний . В результате преобразований соотношения (5) с учетом вероятностей переходов системы из состояний и стационарного распределения ВЦМ приводятся к виду ;; (6) . В случае однородной системы обслуживания последние формулы принимают вид ; . Замечание. С помощью изложенной методики можно найти стационарныехарактеристики и других физических состояний системы. Так, например, финальная вероятность того, что первый канал обслуживает заявку, а второй- восстанавливается и заявка обслуживается за счет временного резерва,вычисляется по формуле . При этом среднее стационарное время пребывания системы в этом состоянии определяется выражением . Стационарные характеристики для системы В качестве частного случая рассмотрим систему обслуживания . Пусть времяобслуживания заявки -мканалом () имеет плотность; время безотказной работы канала- плотность ; время восстановления канала- плотность ; резерв времени -плотность . Тогда в формулах (2) и (6) для определения финальных вероятностей и средних стационарных времен пребывания в состояниях выражение (3) принимает вид . Заметим, что в частном случае, когда в системе отсутствует временной резерв (), формулы для вычисления финальных вероятностей совпадают с известными формулами работы [7]. Для ненадежной системы без временного резерва вероятность того, что принятая -м каналом заявка будет обслужена, равна , а для системы с временным резервом эта же вероятность принимает значение . Численный пример Рассмотрим систему обслуживания, в которую поступает простейший поток заявок с интенсивностью 1/мин. Все остальные случайные величины, описывающие систему, имеют распределение Эрланга, их параметры приводятся в табл. 1. Таблица 1 Характеристики каналов обслуживания Характеристики случайных величин Первый канал Второй канал Порядок распределения Эрланга Среднее значение величины, мин Порядок распределения Эрланга Среднее значение величины, мин Время обслуживания заявки 2 4 2 8 Время безотказной работы 3 9 3 15 Временной резерв 2 3,33 2 4 Время восстановления 2 2,5 2 6 Результаты вычислений стационарных характеристик системы в случае наличия временного резерва по формулам (2) и (6) и без резерва времени, а также результаты сравнения этих характеристик помещены в табл. 2. Таблица 2 Стационарные показатели системы Состояния системы Стационарные показатели Финальные вероятности Среднее время пребывания Без резерва Срезервом Относительная разница, % Без резерва С резервом Относительная разница, % Оба канала свободны 0,124 0,118 -4,8 2 2 0 Один канал свободен 0,376 0,370 -1,6 1,502 1,516 +0,9 Оба канала заняты 0,500 0,512 +2,4 2,662 2,770 +4,1 При наличии временного резерва финальная вероятность того, что поступившая в систему заявка будет принята к обслуживанию, равна При этом вычисленная по формуле (4) вероятность полного обслуживания заявки первым каналом равна , а для второго канала -. При отсутствии резерва времени эти вероятности соответственно равны ; и Таким образом, наличие временного резерва в данной системе приводит к уменьшению на финальной вероятности принятия заявки к обслуживанию, но при этом увеличивает на вероятность полного обслуживания принятой заявки для первого канала ина- для второго. Выводы С помощью аппарата теории полумарковских процессов с общим фазовым пространством состояний построена математическая модель функционирования ненадежной двухканальной системы обслуживания , в которой в случае отказа предоставляется возможность завершить обслуживание заявки за счет мгновенно пополняемого временного резерва. Найдено стационарное распределение вложенной цепи Маркова как решение системы интегральных уравнений в терминах процессов восстановлений, порожденных плотностями функций наработки на отказ, временами восстановления и временного резерва каналов. Установлены расчетные формулы для вычислениястационарных характеристик системы, с помощью которых можнооценить влияние временного резерва на финальные вероятности пребывания системы в различных физических состояниях и средние стационарные времена пребывания в этих состояниях.
×

About the authors

Aleksey I Peschansky

Sevastopol State University

Email: peschansky_sntu@mail.ru
(Dr. Sci. (Techn.)), Professor 33, Universitetskaya st., Sevastopol, 299053,Russian Federation

References

  1. Черкесов Г.Н. Надежность аппаратно-программных комплексов: Учеб. пособие. - СПб.: Питер, 2005. -479 с.
  2. Половко А.М., Гуров С.В. Основы теории надежности. - 2-е изд., перераб. и доп. - СПб.: БХВ-Петербург, 2006. - 704 с.
  3. Ushakov I.A. Probabilistic Reliability Models. - Wiley, 2012. - 244 p.
  4. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1987. - 336 с.
  5. Песчанский А.И. Полумарковская модель ненадежной восстанавливаемой резервированной одноканальной системы обслуживания с потерями // Вестник Самарского государственного технического университета. Сер. Технические науки. - 2017. - №1(53). - С. 31-41.
  6. Королюк В.С., Турбин А.Ф. Процессы марковского восстановления в задачах надежности систем. - К.: Наук. думка, 1982. - 236 с.
  7. Якушев Ю.Ф. Об одной задаче обслуживания потока вызовов ненадежными приборами // Проблемы передачи информации. - 1969. - Т. V, вып. 4. - С. 84-88.

Copyright (c) 2018 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies