Operative mathematical modeling of electrotechnical and metallurgical industries of the samara region

Cover Page

Abstract


The paper deals with the problems of forecasting the macroeconomic processes using mathematical modeling, namely the Cobb-Douglas production function, for the effective management of the sectoral policy of enterprises in metallurgical and electrical industries of the Samara region. An operative mathematical modeling that does not require great computational resources was carried out. It also allows repeatedly predicting the results of managerial decisions in practice. The impact of the number of employees and their salaries on the output in these sectors is considered. During the study period, the authors built models both taking into account scientific and technological progress and without it. The verification of the models obtained was carried out using the coefficient of determination, as well as the Fisher test, Student t-test, and Darbin-Watson criterion. The conclusions were made about the quality of the constructed models.


Full Text

Самарская область – развитый промышленный регион Российской Федерации. Среди основных отраслей промышленности Самарской области – машиностроение, металлообработка, топливная, химическая и нефтехимическая, электроэнергетическая, цветная металлургия и др. В Самарской области функционируют около 400 крупных и свыше 4 тыс. малых предприятий.

Для эффективного управления отраслевой политикой, и прежде всего для рационального формирования областного бюджета и бюджетов предприятий, необходимо строить обоснованные прогнозы. Для этого используется математическое моделирование макроэкономических процессов в этих отраслях, причем особенно актуальным является оперативное моделирование, не требующее значительных вычислительных ресурсов и позволяющее многократно прогнозировать результаты управленческих решений по ходу их практического формирования.

Ввиду того, что металлургическая промышленность является базисом большинства промышленных отраслей, а электротехническая промышленность – одна из наиболее наукоемких отраслей экономики, в статье рассмотрены математические модели металлургического и электротехнического секторов промышленности Самарской области.

Предлагаемые математические модели в форме производственной функции Кобба – Дугласа [1, 2, 3] связывают стоимость выпущенных (отгруженных) товаров в электротехнической и металлургических отраслях промышленности Самарской области Y(t) с двумя основными производственными факторами: заработной платой K(t), отражающей квалификацию персонала, и среднегодовой численностью сотрудников предприятий отрасли L(t), включая малоквалифицированную рабочую силу:

Y(t)=AKtαLtβeγt-t1 (1)

Здесь   А – технологический коэффициент;

t – время (годы);

t1 – начало исследуемого периода (2006 г.);

α – коэффициент эластичности влияния среднемесячной заработной платы;

β – коэффициент эластичности влияния среднегодовой численности работников;

γ – темп прироста выпуска за счет научно-технического прогресса (НТП).

В табл. 1 представлены статистические данные по электротехнической и металлургической отраслям за период 2006–2018 гг. [4].

Сглаживание исходных данных производится методом скользящего среднего [5, 6].

Неизвестные параметры А, α, β, γ определяются методом наименьших квадратов [7, 8, 9]. Для использования математического аппарата линейного регрессионного анализа зависимость (1) прологарифмирована:

yi=a+αki+βli+γi (2)

и выбран период дискретизации времени 1 год: t=ti, i=1,13, t1=2006, t2=2007, yi=lnYti, ki=lnKti, li=lnLti, a=lnA.

 

Таблица 1 Входные и выходные параметры модели (1)

Порядковый номер

(i)

Период

(ti)

Электротехническая отрасль

Металлургическая отрасль

Стоимость отгруженных товаров, млн руб. (Y)

Средняя заработная плата, тыс. руб.

(K)

Среднегодовая численность работников, тыс. чел.

(L)

Стоимость отгруженных товаров, млн руб. (Y)

Средняя заработная плата, тыс. руб.

(K)

Среднегодовая численность работников, тыс. чел.

(L)

1                     

2006

25 798,9

10,350

21,2

37 104,7

10,828

22,7

2                     

2007

34 008,5

12,972

21,4

41 780,9

13,275

26,5

3                     

2008

39 480,1

15,098

20,5

50 555,2

15,537

27,4

4                     

2009

28 946,9

15,490

18,2

37 546,7

15,530

24,6

5                     

2010

40 726,2

18,238

21,4

57 971,1

16,891

20,0

6                     

2011

50 709,8

20,101

23,2

65 429,5

19,805

21,7

7                     

2012

53 769,8

21,667

23,8

66 142,5

21,815

23,0

8                     

2013

49 709,3

23,572

22,8

65 661,2

24,480

23,6

9                     

2014

51 096,5

25,305

20,8

69 317,0

27,320

23,0

10                  

2015

53 289,9

27,442

23,7

78 845,9

27,992

29,0

11                  

2016

45 396,0

29,951

24,3

98 271,18

32,875

29,3

12                  

2017

47 298,4

34,440

19,8

94 700,0

36,748

27,6

13                  

2018

40 772,1

32,076

19,1

107 168,7

41,890

28,4

 

На основе статистической информации построено несколько частных математических моделей:

– модель с несглаженными данными электротехнической отрасли (рис. 1) и металлургической отрасли (рис. 5) (γ=0);

– модель со сглаженными данными электротехнической отрасли (рис. 2) и металлургической отрасли (рис. 6) (γ=0);

– модель с несглаженными данными электротехнической отрасли (рис. 3) и металлургической отрасли (рис. 7) с учетом НТП (γ≠0);

– модель со сглаженными данными электротехнической отрасли (рис. 4) и металлургической отрасли (рис. 8) с учетом НТП (g≠0).

На рис. 1–8 статистические данные отображены точками, результаты моделирования – сплошной линией.

Верификация модели производится по следующим статистическим критериям [10, 11]:

  1. Оценка статистической значимости коэффициентов регрессионных уравнений производится на основе расчета t-статистики Стьюдента. Для каждого коэффициента аппроксимации (2) a, α, β, γ, вычисляется значение t-статистики:

tj=ξjDj, ξ1=a, ξ2=α, ξ3=β, ξ4=γ,

где Dj=WjjT-n-1i=1Tεi2 – величина дисперсии значений ξj;

n – количество коэффициентов множественной линейной регрессии;

T=13 – объем выборки,

εi=yi-ymi – невязка между фактическим значением yi и расчетным значением ymi, рассчитанным с помощью модели (2) в момент времени ti, i=1,13,

Wjj – диагональный элемент матрицы , где X – матрица исходных данных [7].

В число n коэффициентов линейной регрессии (2) для модели (2) входят α, β, γ, но не входит коэффициент a, поэтому в случае γ=0 n=2, а в случае γ≠0 n=3.

В модели (2) без учета НТП (γ=0) матрица исходных данных X образована слиянием 3 векторов-столбцов [7] . Все элементы первого вектора равны 1, i-тый элемент второго вектора равен ki, i-тый элемент третьего вектора равен li.

 

Рис. 1. Стоимость выпущенной продукции электротехнической отрасли (несглаженные данные)

 

Рис. 2. Стоимость выпущенной продукции электротехнической отрасли (сглаженные данные)

 

Рис. 3. Стоимость выпущенной продукции электротехнической отрасли с учетом НТП (несглаженные данные)

 

Рис. 4. Стоимость выпущенной продукции электротехнической отрасли с учетом НТП (сглаженные данные)

 

Рис. 5. Стоимость выпущенной продукции металлургической области (несглаженные данные)

 

Рис. 6. Стоимость выпущенной продукции металлургической отрасли (сглаженные данные)

 

Рис. 7. Стоимость выпущенной продукции металлургической отрасли с учетом НТП (несглаженные данные)

 

Рис. 8. Стоимость выпущенной продукции металлургической отрасли с учетом НТП (сглаженные данные)

 

X=1k1l11k2l2.........1kTlT

В модели (2) с учетом НТП (γ ≠0) матрица X образована слиянием 4 векторов-столбцов, первые 3 из которых формируются так же, как и в предыдущем случае, i-тый элемент четвертого вектора равен (i-1).

X=1k1l101k2l21............1kTlTT-1

Для моделей (2) без учета НТП число степеней свободы распределения Стьюдента К=Т–n–1=10, для моделей (2) с учетом НТП К=9.

Значимость коэффициентов линейной регрессии (2) оценивается абсолютной величиной критерия Стьюдента: если 0 < |t| < 1 – критерий незначим, если 1 ≤ |t| < 2 – более или менее значим, если 2 ≤ |t| < 3 – весьма значим, если |t| ≥ 3 – существенно значим.

В рассматриваемых моделях квантили распределения Стьюдента t0,05; К для 0,05-квантиля (5%-й уровень значимости) равны соответственно t0,05; 10 = 2,228, t0,05; 9 = 2,262 [5], следовательно, при 5%-м уровне значимости и двусторонней альтернативной гипотезе критическое значение t-статистики практически равняется 2 [10, 13].

  1. Коэффициент детерминации R2, который является квадратом коэффициента множественной корреляции, определяет долю дисперсии выходной переменной, объясненной с помощью линейной регрессии (2). Этот показатель измеряет меру зависимости вариации одной величины от многих других. Он может принимать значения в пределах от 0 до 1. Чем ближе его значение к 1, тем связаннее результативный признак с исследуемыми факторами [10, 14]:

R2=1-i=1Tεi2i=1Tyi-y2,

где y=1Ti=1Tyi – среднее значение y.

  1. Статистическая значимость коэффициента детерминации R2 проверяется нулевой гипотезой для F-статистики Фишера [5, 15] F=R21-R2T-n-1n по таблицам критических значений для различных уровней значимости α и степеней свободы v1 = n, v2 = T – n – 1.

Для 3-параметрической модели (1) без учета НТП (γ=0) n=2, T=13, следовательно, v1=2, v2=10. Тогда критическое значение F0,05; 2; 10=4,10 [5].

Для 4-параметрической модели (2) с учетом НТП (γ≠0) n=3, T=13, следовательно, v1=3, v2=9. Тогда критическое значение F0,05; 3; 9=3,86 [5].

Обе эти величины позволяют оценить достоверность моделей.

  1. Основным требованием к невязкам εi, i=1, …, T является их статистическая независимость друг от друга. Для анализа независимости отклонений использована статистика Дарбина – Уотсона, рассчитываемая по формуле [15, 16]

DW=i=1T-1εi-εi-12i=1Tεi2

Статистика Дарбина – Уотсона применяется здесь для проверки гипотезы об отсутствии автокорреляции остатков εi первого порядка.

Для статистики Дарбина – Уотсона существуют два критических значения, меньшие двух: нижнее dL и верхнее dU. Если значение статистики Дарбина – Уотсона принадлежит интервалу (0; dL), то имеет место положительная автокорреляция остатков, что означает направленное постоянное воздействие некоторых не учтенных в регрессии факторов. Если значение Дарбина – Уотсона находится в интервале (4-dL; 4), то существует отрицательная автокорреляция, которая означает, что за положительным отклонением следует отрицательное, и наоборот. Если статистика Дарбина – Уотсона близка к двум, то есть принадлежит интервалу (dU; 4-dU), то отклонения от регрессии считают случайными и автокорреляция остатков отсутствует [10].

Для 3-параметрической модели (1) без учета НТП (γ=0) при уровне значимости 5 %, T=13, n=2 границы dL=0,86 и dU= 1,56 [12].

Для 4-параметрической модели (2) с учетом НТП (γ≠0) при уровне значимости 5 %, T=13, n=3 границы dL= 0,72 и dU= 1,82 [12].

В табл. 2 и 3 сведены полученные значения параметров модели, а также оценки качества каждой из моделей.

 

Таблица 2 Характеристики и параметры моделей электротехнической отрасли

Показатели

Модель с несглаженными данными

Модель со сглаженными данными

Модель с несглаженными данными с учетом НТП

Модель со сглаженными данными с учетом НТП

Параметры модели

А

270,358

105,124

30,115

18,183

α

0,435

0,375

1,744

1,894

β

1,216

1,585

0,92

0,96

γ

-0,125

-0,135

Критерии качества модели

R2

0,768

0,883

0,883

0,931

F

16,513

37,747

22,658

40,331

DW

1,537

0,685

1,656

1,255

Дисперсии

Da

1,529

1,154

1,396

1,255

0,0097

0,004

0,198

0,374

0,165

0,129

0,102

0,148

0,002

0,003

Критерий Стьюдента

Ta

4,529

4,333

2,881

2,589

4,409

6,215

3,917

3,097

2,997

4,409

2,885

2,498

-2,982

-2,491

 

Таблица 3 Характеристики и параметры моделей металлургической отрасли

Показатели

Модель с несглаженными данными

Модель со сглаженными данными

Модель с несглаженными данными с учетом НТП

Модель со сглаженными данными с учетом НТП

Параметры модели

А

6958,288

7708,92

6,942×103

2,012×104

α

0,836

0,836

0,837

0,402

β

-0,113

-0,145

-0,113

-0,121

γ

-0,002

0,043

Критерии качества модели

R2

0,922

0,986

0,922

0,987

F

59,429

357,932

35,657

220,457

DW

2,411

1,645

2,411

1,66

Дисперсии

Da

0,691

0,185

3,71

4,106

0,007

0,001

0,684

0,803

0,083

0,022

0,096

0,026

0,007

0,008

Критерий Стьюдента

Ta

10,645

20,836

4,592

4,89

9,715

23,023

1,012

0,448

-0,393

-0,972

-0,365

-0,746

-0,001

0,485

 

Сглаживание данных приводит к снижению прогностических свойств, что демонстрирует изменение значений критерия Дарбина – Уотсона (DW); несмотря на это качество модели исходя из коэффициента детерминации (R2) и критерия Фишера (F) меняется незначительно, оставаясь на достаточно высоком уровне.

Из полученных расчетов и критериев оценки качества моделей следует, что модели, построенные с помощью производственной функции Кобба – Дугласа, достаточно хорошо описывают динамику выпуска товаров электротехнической и металлургической отраслей.

Результаты математического моделирования состояния электротехнической отрасли демонстрируют, что среднегодовая численность работников в этой отрасли оказывает несколько большее влияние на стоимость отгруженных товаров, чем среднемесячная заработная плата (α>β). Это отражает достаточно широкое использование неквалифицированной рабочей силы, что свидетельствует о недостаточно высокой наукоемкости и недостатке инновационных технологий в электротехнической отрасли Самарской области. Математическое моделирование состояния металлургической отрасли показывает, что увеличение численности работников не приводит к увеличению выпуска товара (β>α), причем самый низкий коэффициент эластичности наблюдается в модели со сглаженными данными без учета НТП (γ=0), на основании чего можно сделать вывод об экстенсивной тенденции в развитии отрасли.

About the authors

Alexander V. Burtsev

Samara State Technical University

Author for correspondence.
Email: journal@eco-vector.com

Russian Federation, 244, Molodogvardeyskaya str., Samara, 443100

Assistant

Alexander L. Yevelev

Samara State Technical University

Email: journal@eco-vector.com

Russian Federation, 244, Molodogvardeyskaya str., Samara, 443100

Senior Lecture

Valery P. Kachalin

Samara State Technical University

Email: journal@eco-vector.com

Russian Federation, 244, Molodogvardeyskaya str., Samara, 443100

Assistant

References

  1. Karlin S. Mathematical Methods and Theory in Games, Programming, and Economics. London, Pergamon Press, 1959. 840 p.
  2. Kuboniwa M., Tabata M., Tabata S., Hasebe Yu. Matematicheskaya ekonomika na personal'nom komp'yutere [Mathematical Economics on a Personal Computer]. – Moscow, Finansy i statistika, 1991. 303 p. (In Russian).
  3. Malugin V.A. Mathematical analysis for economists: a textbook and workshop for open source software. 3rd ed., Revised. and add. M.: Yurayt Publishing House, 2018. 557 p.
  4. Federal'naya sluzhba gosudarstvennoy statistiki [Federal State Statistics Service]. – http://www.gks.ru/ (accessed February 27, 2019) (In Russian).
  5. Ayvazyan S.A., Mkhitaryan V.S. Prikladnaya statistika i osnovy ekonometriki [Applied statistics and the basics of econometrics]. Moscow, Unity, 1998. 1022 p. (In Russian).
  6. Gujarati, Damodar N.; Porter, Dawn C. Basic Econometrics (Fifth ed.). New York: McGraw-Hill/Irwin, 2009. 922 p.
  7. Diligenskiy N.V., Tsapenko M.V., Gavrilova A.A. Matematicheskie modeli upravleniya proizvodstvenno-ekonomicheskimi sistemami [Mathematical management models of industrial and economic systems]. Samara, Samar. State Tech. Univ., 2005. 112 p. (In Russian).
  8. Chatterjee, Samprit; Simonoff, Jeffrey. Handbook of Regression Analysis. John Wiley & Sons, 2013. 295 p.
  9. Kovalev E.A. Probability Theory and Mathematical Statistics for Economists: a textbook and workshop for undergraduate, specialty, and master programs. Under the general. ed. G.A. Medvedev. 2nd ed., Rev. and add. M.: Yurayt Publishing House, 2019. 284 p.
  10. Zamkov O.O., Tolstopyatenko A.V., Cheremnykh Yu.N. Matematicheskie metody v ekonomike [Mathematical methods in economics]. Moscow, Moscow State University, DIS, 1997. 368 p. (In Russian).
  11. Dougherty, Christopher. Introduction to Econometrics (Fourth ed). Oxford University Press, New York – Oxford, 2011. 573 p.
  12. Durbin Watson Test & Test Statistic. URL: https://www.statisticshowto.datasciencecentral.com/durbin-watson-test-coefficient/ (accessed February 5, 2020).
  13. Karasev A.I., Kremer N.Sh., Savelyeva T.I. Matematicheskie metody i modeli v planirovanii [Mathematical methods and models in planning]. Moscow, Economics, 1987. 240 p. (In Russian).
  14. Kremer N.Sh., Putko B.A. Ekonometrika: Uchebnik dlya vuzov [Econometrics: Textbook for universities]. Ed. prof. N.Sh. Kremer. Moscow, UNITY-DANA, 2002. 311 p. (In Russian).
  15. Renshaw, Geoffrey, Ireland, Norman J. Maths for Economics. New York: Oxford University Press, 2005. 876 p.
  16. Lotov A.V. Vvedenie v ekonomiko-matematicheskoe modelirovanie [Introduction to the economic and mathematical modeling]. Moscow, Nauka, 1984. 392 p. (In Russian).
  17. Yeliseyeva I.I. Ekonometrika: uchebnik dlya magistrov [Econometrics: A Textbook for Masters]. Ed. I.I. Yeliseyeva. Moscow, Yurayt, 2014. 453 p. (In Russian).

Supplementary files

There are no supplementary files to display.

Statistics

Views

Abstract - 27

PDF (Russian) - 13

Cited-By


Article Metrics

Metrics Loading ...

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2020 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies