Research algorithm restoring signals in the basis of exponential functions

Cover Page

Abstract

The paper proposes a method for constructing digital filters for solving inverse problems of recovering signals, time series, and images using an approximation approach. The considered inverse problems belong to the class of incorrectly posed ones and require the use of certain regularizing procedures to synthesize optimal reconstruction algorithms and solve computational problems associated with this.

In this regard, a method is proposed for constructing an approximation model of the weight function of the inverse (reconstruction) filter, based on the criterion of the minimum quadratic error of the mismatch of the distorted signal model obtained after the direct (distorting) filter processes the reconstructed (unknown) signal and the existing distorted signal. The weight function of the direct filter is assumed to be known.

The statement of the problem of reconstructing signals, time series, and images in the case of a one-dimensional point scattering function is formulated. An algorithm is presented that allows one to reduce the amount of computation when finding the values ​​of the weight function of the inverse filter.

The algorithms were tested on model examples when processing real images obtained by remote sensing of the Earth, as well as on specially formed contrast images. To quantify the quality of reconstruction, a relative mean-square measure of the difference between the reference and reconstructed signals (images) was used. The results of testing show that using this approach allows to reduce the error of recovery, which gives an advantage in solving problems of approximation and data recovery.

Full Text

Введение

В технических приложениях, связанных с проведением экспериментальных исследований при решении задач обработки и интерпретации экспериментальных данных, часто возникает необходимость рассмотрения обратной задачи, заключающейся в восстановлении неизвестного входного воздействия по результатам регистрации откликов на выходе средств измерения.

В большинстве случаев это задача компенсации искажающего действия аппаратной функции, обеспечивающая улучшение разрешающей способности различного рода измерительных приборов и систем [1, 2]. В случае, когда для обработки доступна только часть искаженного сигнала, без начальных условий, задача становится недоопределенной и, соответственно, некорректно поставленной [3, 4].

Решение таких задач требует методов регуляризации, базирующихся на привлечении априорной информации о решении, которая может быть как качественной (неотрицательность и гладкость решения), так и количественной [5, 6, 7]. Общим фундаментальным свойством методов регуляризации является их ориентация на принципиально смещенные решения. Это же свойство является фундаментальным для аппроксимационных методов, имеющих явные перспективы в решении различного рода обратных задач [8, 9], в том числе и задач восстановления сигналов [10, 11, 12]. На основе обобщенных принципов получения информации об исследуемых объектах экспериментальным путем по результатам измерений аппроксимационный подход к восстановлению сигналов позволяет использовать аналитические модели функциональных характеристик этих объектов, выбранных на основе априорной информации с учетом целей получения того или иного результата.

Постановка задачи

В общем случае искаженный сигнал хсм(m) может быть представлен как свертка значений исходного сигнала хисх(m) с известной весовой функцией прямого (искажающего) фильтра h0:

x см (m)= i=0 N 0 1 h 0 (i) x исх (mi) , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqipCI8FfYlNqFD0xXdHaVhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbb a9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9 Ff0dmeaabiqaciaacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaacaWG4bWaaSbaaS qaaiaadgebcaWG8qaabeaakiaacIcacaWGTbGaaiykaiabg2da9maa qahabaGaamiAamaaBaaaleaacaaIWaaabeaakiaacIcacaWGPbGaai ykaiaadIhadaWgaaWcbaGaamioeiaadgebcaWGfraabeaakiaacIca caWGTbGaeyOeI0IaamyAaiaacMcaaSqaaiaadMgacqGH9aqpcaaIWa aabaGaamOtamaaBaaameaacaaIWaaabeaaliabgkHiTiaaigdaa0Ga eyyeIuoakiaacYcaaaa@5122@ (1)

здесь N0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzagaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39C3@ величина весовой функции фильтра, представляет собой количество значений h0.

Задача реконструкции полученного с помощью (1) сигнала сводится к нахождению функции xвст(m), в некотором роде близкой к xисх(m), по имеющимся значениям xсм(m). Данная задача представляет собой обратную задачу. Отсутствие начальных значений xсм(m) переводит данную задачу в класс некорректно поставленных.

В данной статье рассматривается подход, основанный на построении весовой функции обратного (восстанавливающего) фильтра и применении этого фильтра к имеющемуся искаженному сигналу. Предлагаемое решение опирается на построение аппроксимационной модели восстановленного сигнала, который в точности нам неизвестен. Как известно, применение аппроксимационных подходов для конкретных практических задач связано с выбором вида базисных функций и определением критерия адекватности модели. В данной работе используется базис экспоненциальных функций:

y=exp(ax). MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFGI8VfYJH8XrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbb a9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9 Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaacaWG5bGaeyypa0 JaciyzaiaacIhacaGGWbGaaiikaiabgkHiTiaadggacqGHflY1caWG 4bGaaiykaiaac6caaaa@4174@

Применение других видов базисных функций в задачах восстановления сигналов (полиномиальных, тригонометрических) рассмотрено, например, в [13]. Построение аппроксимационных моделей на базисе стохастических функций при решении задач восстановления сигналов и изображений описано в [12].

В представляемом подходе в качестве критерия адекватности модели используется минимум квадратической погрешности рассогласования исходного искаженного сигнала и некоторого сигнала, полученного при использовании прямого (искажающего) фильтра к аппроксимационной модели восстановленного (неизвестного) сигнала. Весовая функция прямого фильтра предполагается известной.

Также на практике используются и другие критерии адекватности; так, например, синтез обратных фильтров на основе критерия моментов представлен в [13], а синтез нелинейных адаптивных фильтров для решения обратных задач восстановления сигналов MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzagaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39C3@ в [14].

Решением задачи восстановления сигнала будем считать нахождение функции h(i), представляющей собой весовую функцию обратного фильтра, позволяющего получить с помощью операции свертки оценку восстановленного сигнала хвст(m):

x вст (m)= i=0 N1 h(i) x см (mi) . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFGI8VfYJH8XrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbb a9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9 Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaacaWG4bWaaSbaaS qaaiaadkdbcaWGbrGaamOqeaqabaGccaGGOaGaamyBaiaacMcacqGH 9aqpdaaeWbqaaiaadIgacaGGOaGaamyAaiaacMcacaWG4bWaaSbaaS qaaiaadgebcaWG8qaabeaakiaacIcacaWGTbGaeyOeI0IaamyAaiaa cMcaaSqaaiaadMgacqGH9aqpcaaIWaaabaGaamOtaiabgkHiTiaaig daa0GaeyyeIuoakiaac6caaaa@4E87@ (2)

Представим оценку восстановленного сигнала в виде следующей модели:

x вст м = v=0 p C v exp(am(v+1)) , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFGI8VfYJH8XrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbb a9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9 Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaacaWG4bWaa0baaS qaaiaadkdbcaWGbrGaamOqeaqaaiaadYdbaaGccqGH9aqpdaaeWbqa aiaadoeadaWgaaWcbaGaamODaaqabaGcciGGLbGaaiiEaiaacchaca GGOaGaeyOeI0IaamyyaiabgwSixlaad2gacaGGOaGaamODaiabgUca RiaaigdacaGGPaGaaiykaaWcbaGaamODaiabg2da9iaaicdaaeaaca WGWbaaniabggHiLdGccaGGSaaaaa@5098@ (3)

где p MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzagaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39C3@ порядок модели;

Cv MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzagaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39C3@ параметры модели;

а MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzagaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39C3@ коэффициент, связанный с шагом дискретизации.

Подставив xмвст(m) в (2), получим выходной сигнал прямого фильтра в виде

x см м = v=0 p C v μ(v)exp(am(v+1)), MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFGI8VfYJH8XrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbb a9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9 Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaacaWG4bWaa0baaS qaaiaadgebcaWG8qaabaGaamipeaaakiabg2da9maaqahabaGaam4q amaaBaaaleaacaWG2baabeaakiabeY7aTjaacIcacaWG2bGaaiykai GacwgacaGG4bGaaiiCaiaacIcacqGHsislcaWGHbGaamyBaiaacIca caWG2bGaey4kaSIaaGymaiaacMcacaGGPaGaaiilaaWcbaGaamODai abg2da9iaaicdaaeaacaWGWbaaniabggHiLdaaaa@518D@ (4)

где

μ(v)= k=0 N 0 1 h 0 (k)exp(ak(v+1)). MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFGI8VfYJH8XrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbb a9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9 Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaacqaH8oqBcaGGOa GaamODaiaacMcacqGH9aqpdaaeWbqaaiaadIgadaWgaaWcbaGaaGim aaqabaGccaGGOaGaam4AaiaacMcaciGGLbGaaiiEaiaacchacaGGOa GaamyyaiaadUgacaGGOaGaamODaiabgUcaRiaaigdacaGGPaGaaiyk aiaac6caaSqaaiaadUgacqGH9aqpcaaIWaaabaGaamOtamaaBaaame aacaaIWaaabeaaliabgkHiTiaaigdaa0GaeyyeIuoaaaa@51B2@

Связь погрешности восстановления сигнала с квадратичной погрешностью

Значения Cv будем определять по выборке {yi}, i=0, …, N-1 на основе обеспечения минимума квадратической погрешности:

E= i=mN+1 m ( x см м (i) x см (i)) 2 = i=0 N1 ( x см м (mi) x см (mi)) 2 . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFGI8VfYJH8XrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbb a9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9 Ff0dmeaabiqaciaacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaacaWGfbGaeyypa0 ZaaabCaeaacaGGOaGaamiEamaaDaaaleaacaWGbrGaamipeaqaaiaa dYdbaaGccaGGOaGaamyAaiaacMcacqGHsislcaWG4bWaaSbaaSqaai aadgebcaWG8qaabeaakiaacIcacaWGPbGaaiykaiaacMcadaahaaWc beqaaiaaikdaaaGccqGH9aqpdaaeWbqaaiaacIcacaWG4bWaa0baaS qaaiaadgebcaWG8qaabaGaamipeaaakiaacIcacaWGTbGaeyOeI0Ia amyAaiaacMcacqGHsislcaWG4bWaaSbaaSqaaiaadgebcaWG8qaabe aakiaacIcacaWGTbGaeyOeI0IaamyAaiaacMcacaGGPaWaaWbaaSqa beaacaaIYaaaaaqaaiaadMgacqGH9aqpcaaIWaaabaGaamOtaiabgk HiTiaaigdaa0GaeyyeIuoaaSqaaiaadMgacqGH9aqpcaWGTbGaeyOe I0IaamOtaiabgUcaRiaaigdaaeaacaWGTbaaniabggHiLdGccaGGUa aaaa@69B1@ (5)

Значение погрешности Е зависит от величин С0, …, Ср.

Для обеспечения минимума этого значения должно быть выполнено условие

dE d C k =0,k= 0,p . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFGI8VfYJH8XrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbb a9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9 Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaadaWcaaqaaiaads gacaWGfbaabaGaamizaiaadoeadaWgaaWcbaGaam4AaaqabaaaaOGa eyypa0JaaGimaiaacYcacaWGRbGaeyypa0Zaa8HaaeaacaaIWaGaai ilaiaadchaaiaawEniaiaac6caaaa@4334@

С учетом (3) это условие примет вид

i=0 N1 ( x см м (mi) x см (mi)) d x см м (mi) d C k =0,k= 0,p . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFGI8VfYJH8XrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbb a9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9 Ff0dmeaabiqaciaacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaadaaeWbqaaiaacI cacaWG4bWaa0baaSqaaiaadgebcaWG8qaabaGaamipeaaakiaacIca caWGTbGaeyOeI0IaamyAaiaacMcacqGHsislcaWG4bWaaSbaaSqaai aadgebcaWG8qaabeaaaeaacaWGPbGaeyypa0JaaGimaaqaaiaad6ea cqGHsislcaaIXaaaniabggHiLdGccaGGOaGaamyBaiabgkHiTiaadM gacaGGPaGaaiykamaalaaabaGaamizaiaadIhadaqhaaWcbaGaamyq eiaadYdbaeaacaWG8qaaaOGaaiikaiaad2gacqGHsislcaWGPbGaai ykaaqaaiaadsgacaWGdbWaaSbaaSqaaiaadUgaaeqaaaaakiabg2da 9iaaicdacaGGSaGaaGPaVlaaykW7caWGRbGaeyypa0Zaa8Haaeaaca aIWaGaaiilaiaadchaaiaawEniaiaac6caaaa@656C@ (6)

MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGacaGaaiaabeqaamaabaabaaGcaa@35F0@ Подставив сюда xмсм(m-i) из (4), получим следующее выражение:

v=0 p C v μ(v) i=0 N1 exp(a(v+k+2)(mi))= = i=0 N1 x см (mi)exp(a(k+i)(mi)) ,k= 0,p. MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFGI8VfYJH8XrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbb a9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9 Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaafaqabeGabaaaba WaaabCaeaacaWGdbWaaSbaaSqaaiaadAhaaeqaaOGaeqiVd0Maaiik aiaadAhacaGGPaWaaabCaeaaciGGLbGaaiiEaiaacchacaGGOaGaey OeI0IaamyyaiaacIcacaWG2bGaey4kaSIaam4AaiabgUcaRiaaikda caGGPaGaaiikaiaad2gacqGHsislcaWGPbGaaiykaiaacMcacqGH9a qpaSqaaiaadMgacqGH9aqpcaaIWaaabaGaamOtaiabgkHiTiaaigda a0GaeyyeIuoaaSqaaiaadAhacqGH9aqpcaaIWaaabaGaamiCaaqdcq GHris5aaGcbaGaeyypa0ZaaabCaeaacaWG4bWaaSbaaSqaaiaadgeb caWG8qaabeaakiaacIcacaWGTbGaeyOeI0IaamyAaiaacMcaciGGLb GaaiiEaiaacchacaGGOaGaeyOeI0IaamyyaiaacIcacaWGRbGaey4k aSIaamyAaiaacMcacaGGOaGaamyBaiabgkHiTiaadMgacaGGPaGaai ykaaWcbaGaamyAaiabg2da9iaaicdaaeaacaWGobGaeyOeI0IaaGym aaqdcqGHris5aOGaaiilaiaaykW7caaMc8UaaGPaVlaadUgacqGH9a qpdaWhcaqaaiaaicdacaGGSaGaamiCaiaac6caaiaawEniaaaaaaa@8393@ (7)

Левую и правую части системы (7) умножим на exp(am(k+1)) и приведем ее к виду

v=0 p C v μ(v)exp(am(v+1))B(k+v)= = i=0 N1 x см exp(ai(k+1)),k= 0,p, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFGI8VfYJH8XrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbb a9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9 Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaafaqabeGabaaaba WaaabCaeaacaWGdbWaaSbaaSqaaiaadAhaaeqaaOGaeqiVd0Maaiik aiaadAhacaGGPaGaciyzaiaacIhacaGGWbGaaiikaiabgkHiTiaadg gacaWGTbGaaiikaiaadAhacqGHRaWkcaaIXaGaaiykaiaacMcacaWG cbGaaiikaiaadUgacqGHRaWkcaWG2bGaaiykaiabg2da9aWcbaGaam ODaiabg2da9iaaicdaaeaacaWGWbaaniabggHiLdaakeaacqGH9aqp daaeWbqaaiaadIhadaWgaaWcbaGaamyqeiaadYdbaeqaaOGaciyzai aacIhacaGGWbGaaiikaiaadggacaWGPbGaaiikaiaadUgacqGHRaWk caaIXaGaaiykaiaacMcacaGGSaGaaGPaVlaaykW7caaMc8UaaGPaVl aaykW7caaMc8UaaGPaVlaaykW7caWGRbGaeyypa0Zaa8HaaeaacaaI WaGaaiilaiaadchacaGGSaaacaGLxdcaaSqaaiaadMgacqGH9aqpca aIWaaabaGaamOtaiabgkHiTiaaigdaa0GaeyyeIuoaaaaaaa@7B3A@ (8)

где

B(n)= 1exp(aN(n+2)) 1exp(a(n+2)) ,n= 0,2p . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFGI8VfYJH8XrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbb a9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9 Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaacaWGcbGaaiikai aad6gacaGGPaGaeyypa0ZaaSaaaeaacaaIXaGaeyOeI0Iaciyzaiaa cIhacaGGWbGaaiikaiaadggacaWGobGaaiikaiaad6gacqGHRaWkca aIYaGaaiykaiaacMcaaeaacaaIXaGaeyOeI0IaciyzaiaacIhacaGG WbGaaiikaiaadggacaGGOaGaamOBaiabgUcaRiaaikdacaGGPaGaai ykaaaacaGGSaGaaGPaVlaaykW7caaMc8UaaGPaVlaaykW7caWGUbGa eyypa0Zaa8HaaeaacaaIWaGaaiilaiaaikdacaWGWbaacaGLxdcaca GGUaaaaa@5FA5@ (9)

Введем следующее обозначение:

A v (m)= C v exp(am(v+2)). MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFGI8VfYJH8XrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbb a9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9 Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaacaWGbbWaaSbaaS qaaiaadAhaaeqaaOGaaiikaiaad2gacaGGPaGaeyypa0Jaam4qamaa BaaaleaacaWG2baabeaakiGacwgacaGG4bGaaiiCaiaacIcacqGHsi slcaWGHbGaamyBaiaacIcacaWG2bGaey4kaSIaaGOmaiaacMcacaGG PaGaaiOlaaaa@484E@ (10)

С учетом этого модель (3) будет выглядеть так:

x вст м (m)= v=0 p A v (m), MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFGI8VfYJH8XrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbb a9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9 Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaacaWG4bWaa0baaS qaaiaadkdbcaWGbrGaamOqeaqaaiaadYdbaaGccaGGOaGaamyBaiaa cMcacqGH9aqpdaaeWbqaaiaadgeadaWgaaWcbaGaamODaaqabaGcca GGOaGaamyBaiaacMcacaGGSaaaleaacaWG2bGaeyypa0JaaGimaaqa aiaadchaa0GaeyyeIuoaaaa@47EE@ (11)

а система уравнений (8) примет вид

v=0 p μ(v) A v (m)B(k+v)= = i=0 N1 x см (mi)exp(ai(k+1)),k= 0,p . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFGI8VfYJH8XrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbb a9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9 Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaafaqabeGabaaaba WaaabCaeaacqaH8oqBcaGGOaGaamODaiaacMcacaWGbbWaaSbaaSqa aiaadAhaaeqaaOGaaiikaiaad2gacaGGPaGaamOqaiaacIcacaWGRb Gaey4kaSIaamODaiaacMcacqGH9aqpaSqaaiaadAhacqGH9aqpcaaI WaaabaGaamiCaaqdcqGHris5aaGcbaGaeyypa0ZaaabCaeaacaWG4b WaaSbaaSqaaiaadgebcaWG8qaabeaakiaacIcacaWGTbGaeyOeI0Ia amyAaiaacMcaciGGLbGaaiiEaiaacchacaGGOaGaamyyaiaadMgaca GGOaGaam4AaiabgUcaRiaaigdacaGGPaGaaiykaiaacYcacaaMe8Ua aGPaVlaaykW7caaMc8Uaam4Aaiabg2da9maaFiaabaGaaGimaiaacY cacaWGWbaacaGLxdcacaGGUaaaleaacaWGPbGaeyypa0JaaGimaaqa aiaad6eacqGHsislcaaIXaaaniabggHiLdaaaaaa@7098@ (12)

 

Синтез обратного фильтра по минимуму квадратичной погрешности

Обозначим элементы матрицы, обратной матрице коэффициентов B(k+v) системы (12), как β(n1,n2). Тогда решение системы уравнений будет таким:

A v (m)= 1 μ(v) i=0 N1 x см (mi) k=0 p β(v,k)exp(ai(k+1)),v= 0,p . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFGI8VfYJH8XrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbb a9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9 Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaacaWGbbWaaSbaaS qaaiaadAhaaeqaaOGaaiikaiaad2gacaGGPaGaeyypa0ZaaSaaaeaa caaIXaaabaGaeqiVd0MaaiikaiaadAhacaGGPaaaamaaqahabaGaam iEamaaBaaaleaacaWGbrGaamipeaqabaGccaGGOaGaamyBaiabgkHi TiaadMgacaGGPaWaaabCaeaacqaHYoGycaGGOaGaamODaiaacYcaca WGRbGaaiykaiGacwgacaGG4bGaaiiCaiaacIcacaWGHbGaamyAaiaa cIcacaWGRbGaey4kaSIaaGymaiaacMcacaGGPaGaaiilaiaaysW7ca aMc8UaaGPaVlaadAhacqGH9aqpdaWhcaqaaiaaicdacaGGSaGaamiC aaGaay51GaGaaiOlaaWcbaGaam4Aaiabg2da9iaaicdaaeaacaWGWb aaniabggHiLdaaleaacaWGPbGaeyypa0JaaGimaaqaaiaad6eacqGH sislcaaIXaaaniabggHiLdaaaa@6F63@ (13)

Подставив Av(m) из (13) в (10), получим формулу восстановления исходного сигнала:

x вст м (m)= i=0 N1 h(i) x см (mi), MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFGI8VfYJH8XrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbb a9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9 Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaacaWG4bWaa0baaS qaaiaadkdbcaWGbrGaamOqeaqaaiaadYdbaaGccaGGOaGaamyBaiaa cMcacqGH9aqpdaaeWbqaaiaadIgacaGGOaGaamyAaiaacMcacaWG4b WaaSbaaSqaaiaadgebcaWG8qaabeaakiaacIcacaWGTbGaeyOeI0Ia amyAaiaacMcacaGGSaaaleaacaWGPbGaeyypa0JaaGimaaqaaiaad6 eacqGHsislcaaIXaaaniabggHiLdaaaa@4F41@ (14)

где

h(i)= v=0 p 1 μ(v) k=0 p β(v,k)exp(ai(k+1)). MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFGI8VfYJH8XrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbb a9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9 Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaacaWGObGaaiikai aadMgacaGGPaGaeyypa0ZaaabCaeaadaWcaaqaaiaaigdaaeaacqaH 8oqBcaGGOaGaamODaiaacMcaaaWaaabCaeaacqaHYoGycaGGOaGaam ODaiaacYcacaWGRbGaaiykaiGacwgacaGG4bGaaiiCaiaacIcacaWG HbGaamyAaiaacIcacaWGRbGaey4kaSIaaGymaiaacMcacaGGPaGaai OlaaWcbaGaam4Aaiabg2da9iaaicdaaeaacaWGWbaaniabggHiLdaa leaacaWG2bGaeyypa0JaaGimaaqaaiaadchaa0GaeyyeIuoaaaa@5A8D@ (15)

Здесь h(i) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzagaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39C3@ весовая функция обратного (восстанавливающего) фильтра.

Представленный способ построения весовой функции обратного фильтра требует определить элементы обратной матрицы коэффициентов β(n1,n2). Для выполнения этой процедуры был разработан более простой, с точки зрения реализации и объемов вычислений, алгоритм. Найдем коэффициенты K(n1,n2), которые вычислим по следующей формуле:

Ψ(k,v)=B(k+v) q=0 v1 K(v,q)Ψ(k,q) K(k,v)= Ψ(k,v) Ψ(v,v) v= 0,k k= 0,p MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFGI8VfYJH8XrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbb a9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9 Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaadaGabaqaauaabe qaeeaaaaqaaiabfI6azjaacIcacaWGRbGaaiilaiaadAhacaGGPaGa eyypa0JaamOqaiaacIcacaWGRbGaey4kaSIaamODaiaacMcacqGHsi sldaaeWbqaaiaadUeacaGGOaGaamODaiaacYcacaWGXbGaaiykaiab fI6azjaacIcacaWGRbGaaiilaiaadghacaGGPaaaleaacaWGXbGaey ypa0JaaGimaaqaaiaadAhacqGHsislcaaIXaaaniabggHiLdaakeaa caWGlbGaaiikaiaadUgacaGGSaGaamODaiaacMcacqGH9aqpdaWcaa qaaiabfI6azjaacIcacaWGRbGaaiilaiaadAhacaGGPaaabaGaeuiQ dKLaaiikaiaadAhacaGGSaGaamODaiaacMcaaaaabaGaamODaiabg2 da9maaFiaabaGaaGimaiaacYcacaWGRbaacaGLxdcaaeaacaWGRbGa eyypa0Zaa8HaaeaacaaIWaGaaiilaiaadchaaiaawEniaaaaaiaawU haaaaa@71ED@ (16)

Используя полученные коэффициенты, получим выражение для нахождения весовой функции обратного фильтра:

g(m,m)=1 g(m,q)= k=q+1 m g(m,k)K(k,q) q= m1,0 h(i)= k=0 p exp(ai(k+1)) q=k p g(q,k) Ψ(q,q) v=0 q g(q,v) μ(v) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFGI8VfYJH8XrFfeuY=Hhbbf9v8qqaqFr0xc9pk0xbb a9q8WqFfea0=yr0RYxir=Jbba9q8aq0=yq=He9q8qqQ8frFve9Fve9 Ff0dmeaabaqaciaacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaadaGabaqaauaabe qaeeaaaaqaaiaadEgacaGGOaGaamyBaiaacYcacaWGTbGaaiykaiab g2da9iaaigdaaeaacaWGNbGaaiikaiaad2gacaGGSaGaamyCaiaacM cacqGH9aqpcqGHsisldaaeWbqaaiaadEgacaGGOaGaamyBaiaacYca caWGRbGaaiykaiaadUeacaGGOaGaam4AaiaacYcacaWGXbGaaiykaa WcbaGaam4Aaiabg2da9iaadghacqGHRaWkcaaIXaaabaGaamyBaaqd cqGHris5aaGcbaGaamyCaiabg2da9maaFiaabaGaamyBaiabgkHiTi aaigdacaGGSaGaaGimaaGaay51GaaabaGaamiAaiaacIcacaWGPbGa aiykaiabg2da9maaqahabaGaciyzaiaacIhacaGGWbGaaiikaiaadg gacaWGPbGaaiikaiaadUgacqGHRaWkcaaIXaGaaiykaiaacMcadaae WbqaamaalaaabaGaam4zaiaacIcacaWGXbGaaiilaiaadUgacaGGPa aabaGaeuiQdKLaaiikaiaadghacaGGSaGaamyCaiaacMcaaaWaaabC aeaadaWcaaqaaiaadEgacaGGOaGaamyCaiaacYcacaWG2bGaaiykaa qaaiabeY7aTjaacIcacaWG2bGaaiykaaaaaSqaaiaadAhacqGH9aqp caaIWaaabaGaamyCaaqdcqGHris5aaWcbaGaamyCaiabg2da9iaadU gaaeaacaWGWbaaniabggHiLdaaleaacaWGRbGaeyypa0JaaGimaaqa aiaadchaa0GaeyyeIuoaaaaakiaawUhaaaaa@90B3@ (17)

 

Апробация результатов

Одним классом задач восстановления сигналов являются задачи восстановления смазанных и расфокусированных изображений [15, 16, 17]. Так, в системах дистанционного зондирования Земли, используемых в том числе в космических исследованиях, изображение формируется с помощью устройств с зарядовой связью, работающих в режиме временной задержки и накопления оптического сигнала. Эксплуатация таких приборов требует, чтобы скорость космического аппарата была точно согласована с периодом опроса светочувствительной матрицы. На практике такое равенство может нарушаться из-за погрешностей вычисления скорости спутника [18]. В результате изображение подстилающей поверхности оказывается смазанным вдоль траектории движения летательного аппарата. Конструктивные особенности светочувствительных элементов позволяют получить параметры функции рассеяния точки, являющейся в нашем случае весовой функцией прямого фильтра. Способы определения параметров смаза представлены в [19, 20]. Полученные в результате несоответствия скоростей искажения имеют одну пространственную составляющую, что позволяет прейти от двумерной задачи к одномерной и существенно снизить объем вычисляемых данных. Решение двумерной задачи восстановления смазанного изображения представлено, например, в [21].

Апробация алгоритма проводилась на двух типах изображений: на изображениях, полученных в процессе дистанционного зондирования Земли, и на специально созданных контрастных изображениях для проверки поведения алгоритмов в условиях резкого перепада яркостей. В случае с первым типом изображений из-за конструктивных особенностей регистрирующего аппаратуры полученные данные имеют 1024 градации серого, что в 4 раза выше значений, принятых в распространенных форматах хранения графических файлов на персональных компьютерах. Для согласованности результатов измерений контрастные изображения были сформированы в том же формате. Пример тестового эталонного изображения, полученного в результате дистанционного зондирования Земли, показан на рис. 1, пример контрастного изображения приведен на рис. 2.

 

Рис. 1. Эталонное изображение участка Земли

 

Рис. 2. Контрастное изображение

 

Каждая строка тестового изображения была обработана по формуле (1) фильтрами с весовыми функциями:

h 0 (i)= 1 N 0 ,i= 0, N 0 1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiAamaaBa aaleaacaaIWaaabeaakiaacIcacaWGPbGaaiykaiabg2da9maalaaa baGaaGymaaqaaiaad6eadaWgaaWcbaGaaGimaaqabaaaaOGaaiilai aaykW7caaMc8UaaGPaVlaadMgacqGH9aqpdaWhcaqaaiaaicdacaGG SaGaamOtamaaBaaaleaacaaIWaaabeaakiabgkHiTiaaigdaaiaawE niaaaa@4B7A@ ; (18)

h 0 (i)= ki+b N 0 (b+0,5k( N 0 +1))k ,i= 0, N 0 1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiAamaaBa aaleaacaaIWaaabeaakiaacIcacaWGPbGaaiykaiabg2da9maalaaa baGaam4AaiaadMgacqGHRaWkcaWGIbaabaGaamOtamaaBaaaleaaca aIWaaabeaakiaacIcacaWGIbGaey4kaSIaaGimaiaacYcacaaI1aGa am4AaiaacIcacaWGobWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaOGaey4kaSIaaG ymaiaacMcacaGGPaGaeyOeI0Iaam4AaaaacaGGSaGaaGPaVlaaykW7 caaMc8UaamyAaiabg2da9maaFiaabaGaaGimaiaacYcacaWGobWaaS baaSqaaiaaicdaaeqaaOGaeyOeI0IaaGymaaGaay51Gaaaaa@5B37@ ; (19)

h 0 (i)= ki+b N 0 (b0,5k( N 0 +1))+k ,i= 0, N 0 1 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiAamaaBa aaleaacaaIWaaabeaakiaacIcacaWGPbGaaiykaiabg2da9maalaaa baGaeyOeI0Iaam4AaiaadMgacqGHRaWkcaWGIbaabaGaamOtamaaBa aaleaacaaIWaaabeaakiaacIcacaWGIbGaeyOeI0IaaGimaiaacYca caaI1aGaam4AaiaacIcacaWGobWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaOGaey 4kaSIaaGymaiaacMcacaGGPaGaey4kaSIaam4AaaaacaGGSaGaaGPa VlaaykW7caaMc8UaamyAaiabg2da9maaFiaabaGaaGimaiaacYcaca WGobWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaOGaeyOeI0IaaGymaaGaay51Gaaa aa@5C24@ . (20)

Схематичное изображение весовых функций из формул (18), (19), (20) приведено на рис. 3.

 

Рис. 3. Схематичное изображение весовых функций из формул (18), (19), (20)

 

Таким образом, было выполнено размытие изображения вдоль горизонтальной оси на различное количество пикселей N0 = 3, 4, 5, …, 10. Для весовых функций (19) и (20) брались следующие значения: k=0.2, b = 1.0.

В ходе проведения экспериментов были предприняты попытки восстановления по алгоритмам (16), (17) и (14). Для количественной оценки качества восстановления использовалась относительная среднеквадратическая погрешность (ОСП), вычисляемая по формуле

ОСП= j=0 M1 ( x вст м (j) x исх (j)) 2 j=0 M1 x ucх (j) 2 , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiFGc9crFfpeea0xh9v8qiW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOheiaadg cbcaWGFqGaeyypa0ZaaOaaaeaadaWcaaqaamaaqahabaGaaiikaiaa dIhadaqhaaWcbaGaamOmeiaadgebcaWGcraabaGaamipeaaakiaacI cacaWGQbGaaiykaiabgkHiTiaadIhadaWgaaWcbaGaamioeiaadgeb caWGfraabeaakiaacIcacaWGQbGaaiykaiaacMcadaahaaWcbeqaai aaikdaaaaabaGaamOAaiabg2da9iaaicdaaeaacaWGnbGaeyOeI0Ia aGymaaqdcqGHris5aaGcbaWaaabCaeaacaWG4bWaaSbaaSqaaiaadw hacaWGJbGaamyreaqabaGccaGGOaGaamOAaiaacMcadaahaaWcbeqa aiaaikdaaaaabaGaamOAaiabg2da9iaaicdaaeaacaWGnbGaeyOeI0 IaaGymaaqdcqGHris5aaaaaSqabaGccaGGSaaaaa@6050@ (21)

где хисх(j) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzagaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39C3@ значение пикселя строки эталонного изображения;

хмисх(j) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzagaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39C3@ значение пикселя строки восстановленного изображения;

M MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzagaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39C3@ количество пикселей в строке.

Поскольку в процессе апробации одновременно есть доступ и к эталонному, и к восстановленному изображению, данный способ позволяет оценить качество исследуемых алгоритмов. Полученная величина показывает степень отклонения результата от исходного изображения. Другие способы оценки качества восстановления изображений приведены, например, в [22].

Значения ОСП смазанных изображений земной поверхности без восстановления приведены в табл. 1.

 

Таблица 1 ОСП невосстановленных изображений

 N0

ОСП

3

4

5

6

7

8

9

10

h0 (18)

0,0328

0,0512

0,0694

0,0855

0,0983

0,1082

0,1155

0,121

h0 (19)

0,0334

0,0448

0,0584

0,0710

0,0813

0,0895

0,096

0,101

h0 (20)

0,0336

0,0587

0,0812

0,1007

0,1161

0,1276

0,1361

0,1421

 

Анализ представленного в работе алгоритма показывает, что результат восстановления зависит от значений весовых функций прямого и обратного фильтров N , N0 и порядка модели P. Некоторые значения погрешности восстановления изображений земной поверхности с разными видами весовых функций прямого фильтра приведены в табл. 2, 3, 4. Минимальные значения погрешности выделены жирным шрифтом.

 

Таблица 2 Значение ОСП восстановления в случае весовой функции (18)

N0=5

 N

P

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

16

0.038

0.058

0.057

0.056

0.055

0.051

0.046

0.035

0.031

0.030

17

0.038

0.058

0.057

0.057

0.368

0.068

0.046

0.032

0.031

0.030

18

0.038

0.057

0.057

0.057

0.066

0.057

0.046

0.036

0.031

0.030

19

0.038

0.057

0.057

0.053

0.051

0.057

0.045

0.035

0.102

0.032

20

0.038

0.057

0.057

0.056

0.055

0.057

0.049

0.070

0.116

0.029

N0=6

 N

P

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

16

0.064

0.063

0.060

0.057

0.054

0.060

0.049

0.040

0.041

0.039

17

0.063

0.063

0.068

0.178

0.058

0.060

0.050

0.040

0.040

0.039

18

0.063

0.063

0.061

0.053

0.055

0.060

0.050

0.040

0.041

0.103

19

0.063

0.063

0.062

0.051

0.055

0.060

0.052

0.115

0.051

0.038

20

0.063

0.063

0.06

0.052

0.055

0.058

0.070

0.129

0.045

0.038

N0=7

 N

P

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

10

0.052

0.048

0.047

0.045

0.061

0.046

0.046

0.050

0.079

0.068

11

0.051

0.048

0.047

0.052

0.053

0.047

0.046

0.053

0.065

0.273

12

0.052

0.057

0.056

0.065

0.053

0.046

0.043

0.047

0.043

0.067

 

 

Таблица 3 Значение ОСП восстановления в случае весовой функции (19)

N0=5

 N

P

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

22

0.111

0.448

0.225

0.173

0.148

0.141

0.183

0.243

0.318

23

1.506

0.336

0.255

0.166

0.165

0.116

0.180

0.241

0.313

24

0.134

0.217

0.066

0.187

0.154

0.163

0.174

0.247

0.315

25

0.225

0.304

0.076

0.184

0.166

0.183

0.168

0.240

0.321

26

1.124

0.220

0.394

0.166

0.154

0.183

0.179

0.211

0.313

N0=6

 N

P

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

15

0.497

1.274

0.260

0.291

0.252

0.313

0.276

0.327

0.406

16

2.200

0.077

0.288

0.289

0.249

0.207

0.249

0.320

0.407

17

3.913

0.384

0.313

0.268

0.302

0.188

0.245

0.349

0.406

18

0.307

0.408

0.428

0.251

0.268

0.248

0.251

0.349

0.404

19

0.750

0.472

0.339

0.444

0.233

0.247

0.244

0.349

0.408

N0=7

 N

P

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

14

0.864

0.679

0.352

0.357

0.347

0.199

0.340

0.423

0.495

15

0.867

1.343

0.355

0.390

0.349

0.407

0.366

0.418

0.495

16

1.617

0.094

0.384

0.387

0.346

0.296

0.341

0.412

0.496

17

4.035

0.484

0.410

0.366

0.404

0.275

0.337

0.441

0.495

18

0.765

0.501

0.522

0.348

0.367

0.341

0.343

0.441

0.493

 

Таблица 4 Значение ОСП восстановления в случае весовой функции (20)

N0=5

 N

P

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

27

0.252

0.244

0.183

0.118

0.066

0.120

0.083

0.132

0.223

28

0.885

0.130

0.161

0.122

0.080

0.171

0.101

0.139

0.258

29

0.132

0.359

0.165

0.132

0.030

0.043

0.084

0.132

0.214

30

0.128

0.436

0.185

0.093

0.078

0.043

0.076

0.071

0.268

31

0.083

0.263

0.134

0.093

0.050

0.088

0.082

0.143

0.261

N0=6

 N

P

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

32

0.080

0.241

0.392

0.141

0.144

0.138

0.182

0.260

0.209

33

0.068

0.251

0.204

0.139

0.099

0.113

0.137

0.261

0.178

34

0.067

0.267

0.173

0.145

0.151

0.117

0.155

0.244

0.304

35

0.510

0.419

0.219

0.157

0.155

0.111

0.123

0.237

0.309

36

0.498

0.318

0.298

0.170

0.140

0.111

0.130

0.232

0.274

N0=7

 N

P

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

14

0.160

0.198

0.276

0.354

0.430

0.397

0.578

0.633

0.722

0.765

15

0.261

0.225

0.271

0.355

0.463

0.079

0.588

0.724

0.704

0.763

16

0.165

0.200

0.264

0.356

0.432

0.074

0.484

0.653

0.708

0.765

17

0.154

0.197

0.294

0.354

0.147

0.518

0.451

0.628

0.705

0.765

18

0.198

0.202

0.294

0.352

0.399

0.491

0.527

0.628

0.712

0.810

 

 

Графики зависимости ОСП от N при различных N0 и Р в случае минимальной погрешности показаны на рис. 4, а график зависимости от Р MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaqefeKCPfgBaG qbaKqzagaeaaaaaaaaa8qacaWFtacaaa@39C3@ на рис. 5. Эти графики приведены для случая весовой функции прямого фильтра (18).

 

Рис. 4. Зависимость ОСП от N при заданных N0 и Р: 1 N0 =3, P=14; 2 N0 =4, P=19; 3 N0 =5, P=20; 4 N0 =6, P=20; 5 N0 =7, P=12; 6 N0 =8, P=4; 7 N0 =9, P=2

 

Рис. 5. Зависимость ОСП от P при заданных N0 и N: 1 - N0 =3, N=7; 2 - N0 =4, N=9; 3 - N0 =5, N=12; 4 - N0 =6, N=13; 5 - N0 =7, N=13; 6 - N0 =8, N=8; 7 - N0 =9, N=4.

 

На рис. 6 представлен график зависимости ОСП от N при различных N0 и Р в случае минимальной погрешности для случая весовой функции прямого фильтра (18).

 

Рис. 6. Зависимость ОСП от N: 1 N0=3, P=27; 2 N0=4, P=33; 3 N0=5, P=40; 4 N0=6, P=38;

 

Результаты восстановления контрастного изображения (см. рис. 2) для случая весовой функции прямого фильтра (18) представлены в табл. 5. Однако для получения представления работы алгоритма на контрастном изображении рассмотрим вид полученного восстановленного сигнала (рис. 7). Из рисунка видно, что большой вклад в погрешность вносят выбросы на границах перепада яркостей, но далее алгоритм формирует сигнал с низким значением ОСП. Погрешность восстановления в этом случае можно несколько уменьшить; учитывая, что максимальные и минимальные значения пикселя изображения не должны выходить из интервала [0; 1023], явно заменим выходящие за диапазон величины на 0 и 1023.

 

Рис. 7. Фрагмент восстановленной строки контрастного изображения

 

Таблица 5 Значение ОСП восстановления контрастного изображения

N0=5

 N

P

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

24

0.095

0.118

0.146

0.072

0.099

0.112

0.128

0.181

0.162

25

0.092

0.118

0.072

0.070

0.094

0.158

0.115

0.170

0.156

26

0.092

0.118

0.129

0.068

0.535

0.107

0.132

0.107

0.162

27

0.095

0.118

0.129

0.066

0.541

0.107

0.136

0.134

0.157

28

0.088

0.118

0.130

0.069

0.457

0.110

0.134

0.156

0.155

N0=6

 N

P

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

31

0.150

0.150

0.160

0.140

0.189

0.083

0.108

0.092

0.108

32

0.133

0.133

0.162

0.139

0.226

0.082

0.110

0.110

0.097

33

0.136

0.136

0.163

0.139

0.225

0.082

0.106

0.155

0.097

34

0.136

0.136

0.168

0.139

0.196

0.083

0.129

0.091

0.111

35

0.137

0.137

0.164

0.139

0.120

0.082

0.117

0.111

0.098

N0=7

 N

P

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

14

0.156

0.139

0.137

0.107

0.102

0.106

0.099

0.115

0.127

0.167

15

0.156

0.139

0.137

0.164

0.121

0.109

0.097

0.108

0.126

0.115

16

0.156

0.139

0.156

0.105

0.114

0.098

0.095

0.114

0.156

0.103

17

0.164

0.137

0.136

0.138

0.114

0.101

0.097

0.139

0.092

0.103

18

0.183

0.137

0.136

0.136

0.115

0.101

0.097

0.114

0.092

0.106

 

 

Выводы

На основе анализа известных подходов к синтезу оптимальных алгоритмов реконструкции сигналов, основанных на использовании регуляризующих процедур при решении некорректных обратных задач и связанных с этим вычислительных проблем, предложен метод построения цифровых фильтров для решения обратных задач восстановления сигналов, временных рядов и изображений с использованием аппроксимационного подхода.

Сформулирована постановка задачи восстановления сигналов, временных рядов и изображений в случае одномерной функции рассеяния точки. Представлен алгоритм, позволяющий снизить объем вычислений при нахождении значений весовой функции обратного фильтра.

Проведена апробация алгоритмов на модельных примерах при обработке реальных изображений, полученных при дистанционном зондировании Земли, а также на специально сформированных контрастных изображениях. Для количественной оценки качества восстановления использовалась относительная среднеквадратическая мера различия эталонного и восстановленного сигналов (изображений). Приведенные результаты апробации показывают, что использование данного подхода позволяет уменьшить погрешность восстановления, что дает преимущество при решении задач аппроксимации и восстановления данных.

Приведенные результаты апробации (см. табл. 2, 3, 4, 5) показывают, что использование данного подхода позволяет уменьшить погрешность восстановления и аппроксимации. Наибольшее преимущество при решении задач аппроксимации и восстановления данных представленный подход демонстрирует в случае весовой функции прямого фильтра типа (18). В настоящее время ведутся исследования, направленные на снижение погрешности восстановления сигналов, имеющих точки разрыва.

×

About the authors

Vitaly I. Batishchev

Samara State Technical University

Email: zolin.a.g@gmail.com

Dr. Sci. (Techn.), Professor

Russian Federation, 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100

Aleksey G. Zolin

Samara State Technical University

Author for correspondence.
Email: zolin.a.g@gmail.com

Ph.D. (Techn.), Associate Professor

Russian Federation, 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100

References

  1. Klebanov Ya.M., Karsakov А.V., KHonina S.N., Davydov А.N., Polyakov K.А. Kompensatsiya aberratsij volnovogo fronta v teleskopakh kosmicheskikh apparatov s regulirovkoj tempe-raturnogo polya teleskopa // Komp'yuternaya optika. 2017. T. 41. № 1. Р. 30–36.
  2. Tokovinin A., Heathcote S. DONUT: measuring optical aberrations from a single extrafocal image // Publications of the Astronomical Society of the Pacific. 2006. Vol. 118 (846). Pp. 1165–1175.
  3. Tikhonov А.N., Аrsenin V.Ya. Metody resheniya nekorrektnykh zadach. M.: Nauka, 1979.
  4. Engl H.W., Hanke M., Neubauer A. Regularization of Inverse Problems. Dordrecht, Kluwer Acad. Publ., 1996. 322 p.
  5. Sizikov V.S. Matematicheskie metody obrabotki rezul'tatov izmerenij. SPb.: Politekhnika, 2001. 240 р.
  6. Tihonov A.N., Goncharskij A.V., Stepanov V.V., Yagola A.G. Regulyarizuyushchie algoritmy i apriornaya informaciya. M.: Nauka, 1983. 200 р.
  7. Aparcin A.S., Solodusha S.V., Tairov E.A. Matematicheskie modeli nelinejnoj dinamiki na baze ryadov Vol'terra i ih prilozheniya // Izv. RAEN. Ser. MMMIU. 1997. T. 1. № 2. Р. 115–125.
  8. Ganeev P.M. Matematicheskie modeli v zadachah obrabotki signalov. M.: Goryachaya liniya – Telekom, 2002. 83 р.
  9. Batishchev V.I. Approksimacionnyj podhod k obrabotke i interpretacii rezul'tatov rentgenodifraktometricheskih eksperimentov // Problemy upravleniya i modelirovaniya v slozhnyh sistemah: Tr. VII Mezhdunar. konf. Samara: Samar. nauch. centr RAN. 2005. Р. 197–202.
  10. Batishhev V.I., Volkov I.I., Zolin А.G. Sintez fil'trov dlya vosstanovleniya smazannykh izobrazhenij s ispol'zovaniem metodov regulyarizatsii // Problemy upravleniya i mode-lirovaniya v slozhnykh sistemakh (PUMSS–2013): Trudy XV Mezhdunarodnoj konferentsii, IPUSS RАN. Samara, 2013. Р. 615–618.
  11. Batishhev V.I., Zolin А.G., Kosarev D.N., Romaneev А.E. Аpproksimatsionnyj podkhod k re-sheniyu obratnykh zadach analiza i interpretatsii ehksperimental'nykh dannykh // Vestnik SamGTU, ser. Tekhnicheskie nauki. 2006. № 40. Р. 57–65.
  12. Batishhev V.I., Volkov I.I., Zolin А.G. Ispol'zovanie stokhasticheskogo bazisa v zadachakh vosstanovleniya signalov i izobrazhenij // Аvtometriya. 2017. № 4. Р. 127–134.
  13. Batishhev V.I., Volkov I.I., Zolin А.G. Sintez tsifrovykh KIKH-fil'trov dlya resheniya zadach vosstanovleniya signalov s ispol'zovaniem kriteriya momentov // Vestnik SamGTU, ser. Tekhnicheskie nauki. 2012.№ 36. Р. 98–105.
  14. Batishhev V.I., Volkov I.I., Zolin А.G. Sintez fil’trov dlya vosstanovleniya smazannykh izobrazheniy s ispol’zovaniyem metodov regulyarizatsii // Problemy upravleniya i modelirovaniya v slozhnykh sistemakh (PUMSS–2013): Trudy XV Mezhdunarodnoy konferentsii, IPUSS RAN. Samara, 2013. Р. 615–618.
  15. Batishchev V.I., Volkov I.I., Zolin A.G. Sintez nelinejnyh adaptivnyh kih-fil'trov dlya resheniya obratnyh zadach vosstanovleniya signalov // Vestnik SamGTU, ser. Tekhnicheskie nauki. 2014. №43. Р. 17–22.
  16. Vasilenko G.I., Taratorin A.M. Vosstanovlenie izobrazhenij. M.: Radio i svyaz', 1986. 304 р.
  17. Sizikov B.C., Rimskikh M.V., Mirdzhamolov R.K. Rekonstruktsiya smazannykh i zashumlen-nykh izobrazhenij bez ispol'zovaniya granichnykh uslovij // Opticheskij zhurnal. 2009. T. 76. № 5. Р. 38–46.
  18. Gonsales R., Vuds R. Tsifrovaya obrabotka izobrazhenij: 3-e izd., isp. i dop. – M.: Tekhnosfera, 2012. 1104 р.
  19. Kuznetsov P.K., Semavin V.I., Solodukha А.А. Аlgoritm kompensatsii skorosti smaza izob-razheniya podstilayushhej poverkhnosti, poluchaemogo pri nablyudenii Zemli iz kosmosa // Vestnik Sam. GTU, 2005. № 37. Р. 150–157.
  20. Egoshkin N.А., Eremeev V.V. Korrektsiya smaza izobrazhenij v sistemakh kosmicheskogo nablyudeniya zemli // TSifrovaya obrabotka signalov. 2010. № 4. р. 28–32.
  21. Kuznetsov P.K., Martem'yanov B.V., Myatov G.N., Yudakov А.А. Metodika vychisleniya otse-nok parametrov smaza izobrazhenij, poluchaemykh tselevoj apparaturoj KАN tipa "Resurs" // 7-ya mezhdunarodnaya nauchno-tekhnicheskaya konferentsiya K.EH. TSiolkovskij – 160 let so dnya rozhdeniya. Kosmonavtika. Radioehlektronika. Geoinformatika. Ryazan', 2017. Р. 344–350.
  22. Volkov I.I., Zolin А.G. Reshenie dvumernoj obratnoj zadachi vosstanovleniya smazannogo izobrazheniya // Vestnik SamGTU, ser. Tekhnicheskie nauki. 2013. № 39. Р. 223–226.
  23. Avcibas I., Sankur B., Sayood K. Statistical evaluating of image quality measures // Journal of Electronic Imaging. April 2002. Vol. 11. № 2. Рp. 206–223.

Supplementary files

There are no supplementary files to display.

Statistics

Views

Abstract: 108

PDF (Russian): 83

Dimensions

Article Metrics

Metrics Loading ...

PlumX

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2020 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies