# Method for calculating the resistance of an asynchronous squirrel cage motor according to passport data and estimation of its error

## Abstract

A simpler method is proposed for determining the resistances of an induction motor (total inductive resistance, active resistance of the stator and reduced active resistance of the rotor) according to reference data. Three algebraic equations are obtained from the equations of reactive power dissipation and electromagnetic power in the nominal mode and the equation of electromagnetic power in the critical mode: the first is relative to three resistances, the second is the equation of the dependence of the active resistance of the stator relative to the total inductive resistance, and the third is the active resistance of the rotor relative to the total inductive resistance. An iterative method is proposed for solving this system of equations, which gives a small error already at the second step of the calculations.

When assessing the error of the method, the specified values ​​of the electromagnetic power and the multiplicity of the maximum torque were used, which are expressed relative to the reference resistances of the control motors. An estimate is given of the total error from the imperfection of the method and the discrepancy between the reference values ​​of the multiplicity of the maximum torque and power on the motor shaft with their refined values ​​calculated from the resistances from the reference book.

Based on the calculated resistances in the nominal mode, the dependences of the active and inductive resistances of the motor are constructed using an accurate and approximate method.

## Full Text

### Введение

Применение автоматических систем управления реактивной мощностью систем электроснабжения на промышленных предприятиях [1, 2], функционирующих в условиях действия большого числа возмущений (пуск, самозапуск асинхронных и синхронных двигателей, короткие замыкания и т. д.), позволяет значительно сократить потери электроэнергии при ее транспортировке и обеспечить работу электроприемников с рациональным коэффициентом реактивной мощности.

Одним из сдерживающих факторов в построении таких систем управления является отсутствие эффективных и более простых методов расчета сопротивлений асинхронных двигателей, необходимых также и при выборе контакторов, магнитных пускателей, различного рода защит от перегрузок и коротких замыканий. Поэтому разработка таких методов относится к актуальным проблемам.

### Степень разработанности проблемы

Проблеме разработки методов расчета сопротивлений асинхронных двигателей уделяется достаточно большое внимание как в отечественной [3–9], так и в зарубежной литературе [10–14].

Значения этих сопротивлений известны лишь для отдельных двигателей – машин серии 4А [15]. Для остальных двигателей они неизвестны. Поэтому возникает необходимость в их определении, что можно сделать двумя основными методами – экспериментальным и аналитическим.

К экспериментальным относятся методы, разработанные на основе: нейронных сетей [10], генетических алгоритмов [11], алгоритмов фази-логики [12], алгебраических алгоритмов [13] и частотных характеристик [14]. Основной их недостаток – невозможность ими воспользоваться на этапе проведения аналитических исследований, когда отсутствует рассматриваемый двигатель.

Из числа аналитических методов наиболее востребованным является метод идентификации по каталожным данным двигателей. При таком подходе входными параметрами для исследований являются: номинальные значения мощности на валу ${P}_{2\text{н}},$ напряжение ${U}_{\text{н}},$ частота вращения ${n}_{\text{н}}$ или скольжение ${s}_{\text{н}},$ коэффициенты полезного действия ${\eta }_{\text{н}}$ и мощности $cos{\phi }_{\text{н}}$, значение кратности максимального момента ${m}_{\text{к}}={M}_{\text{к}}/{M}_{\text{н}}$.

В работах [3–5] три основных параметра – активное сопротивление статора ${R}_{1},$ полное индуктивное сопротивление ${x}_{\text{к}}$ и приведенное активное сопротивление ротора ${R}_{2}$ при номинальном скольжении ${s}_{\text{н}}$ – определяются из решения двух уравнений электромагнитной мощности при номинальном и критическом скольжениях. Причем во всех этих работах с целью снижения числа неизвестных с трех до двух отношение сопротивлений ${R}_{1}/{R}_{2}$ выбирается фиксированным с недостаточным обоснованием. Поэтому при удачном выборе этого отношения погрешность вычисления сопротивлений незначительная, а при неудачном – недопустимо большая.

В работах [7–8] к уравнениям электромагнитной мощности при номинальном и критическом скольжениях добавлено третье уравнение реактивной мощности из [9]. В результате получена система трех уравнений для определения трех искомых сопротивлений, что приводит к значительному уменьшению погрешности вычислений. Основной недостаток этого метода – его сравнительная сложность, заключающаяся в необходимости составления расчетной программы.

Кроме того, во всех вышеперечисленных работах эффективность применяемых методов расчетов оценивается сравнением результатов вычислений с данными контрольных двигателей, которые выбраны без достаточных обоснований. Причем при их неудачном выборе погрешность расчетов будет обусловлена погрешностью данных этих двигателей, а не погрешностью используемого метода.

### Постановка задачи

Проведенный краткий обзор литературных источников по разработке методов расчета сопротивлений асинхронных двигателей по справочным данным позволяет конкретизировать проблему исследований в следующей постановке: разработать более простой метод вычисления сопротивлений асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором по паспортным данным с оценкой его погрешности.

### Разработка метода расчета сопротивлений двигателя по справочным данным с оценкой его погрешности

Номинальная электромагнитная мощность

${P}_{\text{э}}\left({s}_{\text{н}}\right)=\frac{{U}_{\text{н}}^{2}\frac{{R}_{2}}{{s}_{\text{н}}}}{{\left({R}_{1}+\frac{{R}_{2}}{{s}_{\text{н}}}\right)}^{2}+{x}_{\text{к}}^{2}}.$ (1)

Реактивная мощность рассеяния в номинальном режиме, выраженная через активное сопротивление статора ${R}_{1},$ ротора ${R}_{2}$ и полного индуктивного сопротивления ${x}_{\text{к}}$, представлена выражением

${Q}_{2}\left({s}_{\text{н}}\right)=\frac{{s}_{\text{н}}{x}_{\text{к}}{P}_{\text{э}}\left({s}_{\text{н}}\right)}{{R}_{2}},$ (2)

а выраженная через кратность максимального момента – соотношением

${Q}_{2}\left({s}_{\text{н}}\right)=\frac{{P}_{2\text{н}}}{2{m}_{\text{к}}}.$ (3)

Максимальная электромагнитная мощность

${m}_{\text{к}}{P}_{\text{э}}\left({s}_{\text{н}}\right)=\frac{{U}_{\text{н}}^{2}}{2\left({R}_{1}+\sqrt{{R}_{1}^{2}+{x}_{\text{к}}^{2}}\right)}.$ (4)

Сопротивления ${R}_{1},$ ${R}_{2}$ и ${x}_{\text{к}}$ определяются из решения уравнений:

${R}_{1}^{2}+\frac{{R}_{2}^{2}}{{s}_{\text{н}}^{2}}+\frac{{a}_{1}}{{s}_{\text{н}}}{R}_{2}+\frac{2}{{s}_{\text{н}}}{R}_{1}{R}_{2}+{x}_{\text{к}}^{2}=0;$ (5)

${R}_{1}={a}_{2}-{a}_{3}{x}_{\text{к}}^{2};$ (6)

${R}_{2}={a}_{4}{x}_{\text{к}},$ (7)

где ${a}_{1}=\frac{{U}_{\text{н}}^{2}}{{P}_{\text{э}}\left({s}_{\text{н}}\right)};$ ${a}_{2}=\frac{{a}_{1}}{4{m}_{\text{к}}};$ ${a}_{3}=\frac{{m}_{\text{к}}}{{a}_{1}};$ ${a}_{4}=2{a}_{0}{s}_{\text{н}}{m}_{\text{к}};$ ${a}_{0}=\frac{{\eta }_{\text{н}}+0,016}{{\eta }_{\text{н}}\left(1-{s}_{\text{н}}\right)}.$

Уравнение (5) получено из (1), уравнение (6) – из (4), а уравнение (7) – из совместного рассмотрения выражений (1)$÷$(3).

Систему уравнений (5)$÷$(7) предлагается решать методом итерации. С этой целью на первом шаге вычислений используется выражение

${x}_{\text{к}.1}=\frac{{a}_{1}{a}_{4}}{{s}_{\text{н}}\left(1+{b}_{1}{a}_{4}^{2}\right)},$ (8)

где ${b}_{1}=1+\frac{1}{{s}_{\text{н}}^{2}}+\frac{2}{{s}_{\text{н}}},$

которое получено из (5) при ${R}_{1}={R}_{2}.$

Если первое приближение принято при ${R}_{1}=0,$ то из (5) следует

${x}_{\text{к}1}=\frac{{a}_{1}{a}_{4}{s}_{\text{н}}}{{a}_{4}^{2}+{s}_{\text{н}}^{2}}.$ (9)

Затем на i-том шаге, начиная со второго, определяется отношение сопротивлений по приближенной формуле

${\epsilon }_{i}=\frac{{R}_{1}^{\left(i\right)}}{{R}_{2}^{\left(i\right)}}=\frac{{a}_{2}-{a}_{3}{x}_{\text{к}\left(i-1\right)}^{2}}{{a}_{4}{x}_{\text{к}\left(i-1\right)}^{}}{,}^{}i=2,3,...,n$ (10)

и подставляются выражения

$\begin{array}{l}{R}_{1}^{\left(i\right)}={\epsilon }_{i}{R}_{2}^{\left(i\right)},\\ {R}_{2}^{\left(i\right)}={a}_{4}{x}_{\text{к}i}{,}^{}i=2,3,...,n\end{array}$ (11)

в уравнение (5), в котором следует считать ${R}_{1}={R}_{1}^{\left(i\right)}{,}_{}{R}_{2}={R}_{2}^{\left(i\right)}{,}_{}{x}_{\text{к}}={x}_{\text{к}}^{\left(i\right)}$; получается рекуррентная формула для вычисления индуктивного сопротивления

${x}_{\text{к}i}=\frac{{a}_{1}{a}_{4}}{{s}_{\text{н}}\left(1+{b}_{i}{a}_{4}^{2}\right)}{,}_{}i=2,3,...,n$, (12)

где ${b}_{i}={\epsilon }_{i}^{2}+\frac{2{\epsilon }_{i}}{{s}_{\text{н}}}+\frac{1}{{s}_{\text{н}}^{2}}{,}^{}i=2,3,...,n.$

Активные сопротивления на последнем шаге:

$\begin{array}{l}{R}_{1}={a}_{2}-{a}_{3}{x}_{\text{к}n}^{2};\\ {R}_{2}={a}_{4}{x}_{\text{к}n}.\end{array}$ (13)

### Оценка погрешности метода

Некоторые авторы [3–5] при определении погрешности метода расчета сопротивлений асинхронного двигателя по справочным данным пользуются исходными данными, в состав которых входят мощность на валу ${P}_{2\text{нс}}$ и кратность максимального момента ${m}_{\text{кс}}$ из справочника. Эти величины могут значительно отличаться от уточненных значений ${P}_{2\text{ну}}$ и ${m}_{\text{ку}1}{,}_{}{m}_{\text{ку}2},$ вычисленных по значениям сопротивлений двигателей из справочника.

Поэтому в состав погрешности будут входить две составляющие: одна обусловлена непосредственно предложенным методом, а вторая – погрешностью несовпадения ${P}_{2\text{нс}}$ и ${P}_{2\text{ну}}$, ${m}_{\text{кс}}$ и ${m}_{\text{ку}}.$

А если при вычислении погрешности метода использовать величины ${P}_{2\text{ну}},$ ${m}_{\text{ку}1}$ и ${m}_{\text{ку}2}$, то в состав полученной погрешности будет входить только погрешность предложенной методики.

Уточненное выражение электромагнитной мощности, полученное из (1), при сопротивлениях, равных справочным значениям, имеет вид

$\begin{array}{l}{P}_{\text{эу}}\left({s}_{\text{н}}\right)=\frac{{R}_{*2\text{с}}{P}_{2\text{нс}}}{{s}_{\text{н}}{\eta }_{\text{нс}}\mathrm{cos}{\phi }_{\text{нс}}{z}_{1}^{2}},\\ {z}_{1}^{2}={\left({R}_{*1\text{с}}+\frac{{R}_{*2\text{c}}}{{s}_{\text{н}}}\right)}^{2}+{x}_{*\text{кс}}^{2},\end{array}$ (14)

где индекс $\ast$ с обозначает относительное значение соответствующей величины из справочника.

Уточненное значение мощности на валу двигателя составляет

${P}_{2\text{ну}}=\frac{{P}_{\text{эу}}\left({s}_{\text{н}}\right)}{{a}_{0}}.$

Погрешность мощности

${\delta }_{\text{р2н}}=\left|\frac{{P}_{2\text{ну}}-{P}_{2\text{нс}}}{{P}_{2\text{нс}}}\right|100%.$

Значение кратности максимального момента получено в результате деления (4) на (1) при сопротивлениях, равным справочным значениям:

${m}_{\text{ку}}=\frac{{z}_{1}^{2}{s}_{\text{н}}}{2{R}_{*2\text{с}}\left({R}_{*1\text{с}}+\sqrt{{R}_{*1\text{с}}^{2}+{x}_{*\text{кс}}^{2}}\right)}.$ (15)

Погрешность

${\delta }_{\text{мк}}=\left|\frac{{m}_{\text{ку}}-{m}_{\text{кс}}}{{m}_{\text{кс}}}\right|100%.$ (16)

При определении погрешности методики расчета сопротивлений в качестве контрольного выбран двигатель из [16]: ${P}_{2\text{нс}}={250}_{}\text{кВт},$ ${U}_{\text{н}}={3000}_{}\text{В},$ ${R}_{1\text{с}}={0,7}_{}\text{Ом},$ ${R}_{*1\text{с}}=0,0243,$ ${R}_{2\text{с}}={0,795}_{}\text{Ом},$ ${R}_{*2\text{с}}=0,02757,$ ${x}_{\text{кс}}={5,8}_{}\text{Ом},$ ${x}_{*\text{кс}}=0,202,$ ${s}_{\text{н}}=0,0249,$ ${a}_{1}={34,4}_{}\text{Ом},$ ${a}_{2}={3,29}_{}\text{Ом},$ ${a}_{3}={0,076}_{}{\text{Ом}}^{-1};$ ${a}_{4}=0,1362,$ ${m}_{\text{ку}}=2,62,$ ${\delta }_{\text{мк}}={\delta }_{\text{р}2\text{н}}=0.$

Результаты расчетов по предложенной методике (10)$÷$(13) с начальным приближением (9) представлены в табл. 1 и на рис. 1 (кривая 1), а с приближением (8) – в табл. 2 и на рис. 1 (кривая 2).

Рис 1. Зависимость погрешности ${\delta }_{x\text{к}}$ от $i$: 1 – построена по (9)$÷$(12); 2 – построена по (8), (10)$÷$(12).

Таблица 1. Результаты расчетов с начальным приближением (9)

 Параметр i 1 2 3 4 5 ${\epsilon }_{i}$ 1,000 0,574 0,777 0,848 0,874 ${b}_{i}$ – 1659 1676 1682 1684 ${x}_{\text{к}i}{,}_{}\text{Ом}$ 6,090 5,920 5,860 5,840 5,836 ${\delta }_{x\text{к}}{,}_{}%$ 4,31 1,54 0,57 0,22 0,10 ${R}_{1}^{\left(i\right)}{,}_{}\text{Ом}$ 0,470 0,626 0,68 0,698 0,700 ${\delta }_{R1}{,}_{}%$ 32,90 10,60 2,90 0,29 0,00 ${R}_{2}^{\left(i\right)}{,}_{}\text{Ом}$ 0,829 0,806 0,798 0,795 0,795 ${\delta }_{R2}{,}_{}%$ 4,30 1,40 0,39 0,05 0,00

Таблица 2. Результаты расчетов с приближением (8)

 Параметр i 1 2 3 ${\epsilon }_{i}$ 1,000 0,930 0,900 ${b}_{i}$ 1694 1688 1686 ${x}_{\text{к}i}{,}_{}\text{Ом}$ 5,800 5,820 5,830 ${\delta }_{x\text{к}}{,}_{}%$ 0,46 0,17 0,00 ${R}_{1}^{\left(i\right)}{,}_{}\text{Ом}$ 0,733 0,716 0,707 ${\delta }_{R1}{,}_{}%$ 4,80 2,20 1,00 ${R}_{2}^{\left(i\right)}{,}_{}\text{Ом}$ 0,790 0,793 0,794 ${\delta }_{R2}{,}_{}%$ 0,63 0,29 0,12

Результаты вычислений показывают, что в первом случае (см. табл. 1) погрешность ${\delta }_{\text{хк}}={0,22}_{}^{}%$ достигается при четырехшаговом приближении, а во втором (см. табл. 2) ${\delta }_{\text{хк}}={0,17}_{}%$ при двухшаговом расчете.

Значения погрешностей сопротивлений ${x}_{\text{к}}{,}_{}{R}_{1}{,}_{}{R}_{2}$ после трехшаговых вычислений представлены в табл. 2. Их незначительное отличие от погрешностей, полученных из решения полной системы уравнений (5)$÷$(7) по разработанной в [7, 8] программе, объясняется принятыми округлениями в расчетах.

Суммарная погрешность, обусловленная погрешностями метода и второго контрольного двигателя 4А225М2У3 (${P}_{2\text{н}}={55}_{}\text{кВт},$ ${P}_{\text{эу}}\left({s}_{\text{н}}\right)={57,068}_{}\text{кВт},$ ${\delta }_{\text{р}2\text{н}}={0,18}_{}%,$ ${m}_{\text{кс}}=2,5,$ ${U}_{\text{н}}={380}_{}\text{В},$ ${s}_{\text{н}}=0,018,$ ${\eta }_{\text{н}}=0,91,$ $cos{\phi }_{\text{н}}=0,92,$ ${R}_{*1}=0,026,$ ${R}_{*2}=0,019,$ ${x}_{*\text{к}}=0,212$), составляет: ${\delta }_{\text{хк}}={2,9}_{}%,$ ${\delta }_{R1}={11,8}_{}%,$ ${\delta }_{R2}={0,96}_{}%.$ Погрешность только метода: (${m}_{\text{ку}}=2,4,$ ${P}_{\text{эу}}\left({s}_{\text{н}}\right)={57,068}_{}\text{кВт},$) ${\delta }_{\text{хк}}={0,47}_{}%,$ ${\delta }_{R1}={0,38}_{}%,$ ${\delta }_{R2}={0,42}_{}%.$

Значения погрешностей расчета сопротивлений двигателя 4А225М2У3 при ${\delta }_{\text{р2н}}={0,18}_{}%,$ ${\delta }_{\text{мк}}=0$ составляют: ${\delta }_{\text{хк}}={2,53}_{}%,$ ${\delta }_{R1}={11,42}_{}%,$ ${\delta }_{R2}={0,54}_{}%.$ Они растут с увеличением погрешностей ${\delta }_{\text{р}2\text{н}},$ ${\delta }_{\text{mк}}$ и могут достичь больших значений.

Дополнительные исследования показали, что в качестве контрольных следует выбирать двигатели с погрешностью по абсолютной величине $\left|{\delta }_{\text{р2н}}\right|+\left|{\delta }_{\text{мк}}\right|\le 1%.$

Индуктивное сопротивление ветви намагничивания

${x}_{\mu }=\frac{{U}_{\text{н}}^{2}}{{Q}_{\mu }}-{x}_{1},$ (17)

а реактивная мощность этой ветви

${Q}_{\mu }=\frac{{P}_{2\text{н}}}{\eta }tg{\phi }_{\text{н}}-{Q}_{2\text{н}}.$ (18)

Подставив (3) в (18), а затем в (17), получим

${x}_{\mu }=\frac{{U}_{\text{н}}^{2}}{{Р}_{2\text{н}}\left(\frac{tg{\phi }_{\text{н}}}{{\eta }_{\text{н}}}-\frac{1}{2{d}_{1}{m}_{\text{ку}}}\right)}-{x}_{1}.$

После умножения числителя и знаменателя на ${\eta }_{\text{н}}$ и $\mathrm{cos}{\phi }_{\text{н}}$ получено

${x}_{\mu }=\frac{{z}_{\text{н}}}{\left(\frac{tg{\phi }_{\text{н}}}{{\eta }_{\text{н}}}-\frac{1}{2{d}_{1}{m}_{\text{ку}}}\right){\eta }_{\text{н}}\mathrm{cos}{\phi }_{\text{н}}}-{x}_{1}.$ (19)

Сопротивление ${x}_{\mu },$ вычисленное согласно (19), для двигателя из [15] ${x}_{\mu }={92,7}_{}\text{Ом}$ при справочном значении ${x}_{\mu \text{с}}={95,6}_{}\text{Ом.}$ Погрешность ${\delta }_{\text{х}\mu }=-{3}_{}%.$

Зависимость сопротивлений асинхронного двигателя от скольжения можно определить, пользуясь его схемой замещения (рис. 2).

Рис. 2. Схема замещения АД с КЗ ротором

Как следует из схемы замещения, сопротивления ${R}_{2}\left(s\right),$ ${x}_{2}\left(s\right)$ являются функциями скольжения s. Объясняется это тем, что при скольжении выше критического $s>{s}_{\text{к}}$ начнет проявляется насыщение зубцового слоя и эффект вытеснения тока ротора, влекущие за собой уменьшение индуктивного сопротивления ${x}_{2}\left(s\right)$ и увеличение активного сопротивления ротора ${R}_{2}\left(s\right).$

Зависимость ${R}_{2}\left(s\right)$ можно аппроксимировать функцией [9]

${R}_{2}\left(s\right)={R}_{2}\left(0\right)+\left({R}_{2}\left(1\right)-{R}_{2}\left(0\right)\right)\sqrt{s}{,}_{}{{}_{}}_{}{s}_{\text{н}} (20)

где

${R}_{2}\left(0\right)=\frac{{R}_{2}\left({s}_{\text{н}}\right)-{R}_{2}\left(1\right)\sqrt{{s}_{\text{н}}}}{1-\sqrt{{s}_{\text{н}}}}.$

Индуктивное сопротивление изменяется незначительно в диапазоне скольжений $0,2\le s\le 1,$ основное его изменение приходится на участок $0\le s\le 0,2.$

С достаточной степенью точности эту зависимость можно представить в виде [9]

${x}_{\text{к}}\left(s\right)={x}_{\text{к}}\left(1\right)+\left({x}_{\text{к}}\left({s}_{\text{н}}\right)-{x}_{\text{к}}\left(1\right)\right){e}^{-\frac{s-{s}_{\text{н}}}{{T}_{1}}}{,}_{}{{}_{}}_{}{s}_{\text{н}}\le s\le 1,$ (21)

где ${x}_{\text{к}}\left(1\right)$ – сопротивление короткого замыкания; ${T}_{1}={0,15}_{}\text{c.}$

Индуктивное сопротивление статора

${x}_{1}=0,42{x}_{\text{к}}\left({s}_{\text{н}}\right),$ (22)

ротора

${x}_{2}\left(s\right)=0,58{x}_{\text{к}}\left({s}_{\text{н}}\right).$ (23)

Из схемы замещения можно определить полное комплексное сопротивление

$Z\left(s\right)=R\left(s\right)+jx\left(s\right)={R}_{1}+j{x}_{1}+\frac{\left({R}_{\mu }+j{x}_{\mu }\right)\left(\frac{{R}_{2}\left(s\right)}{s}+j{x}_{2}\left(s\right)\right)}{{R}_{\mu }+\frac{{R}_{2}\left(s\right)}{s}+j\left({x}_{\mu }+{x}_{2}\left(s\right)\right)}$,

из которого найти активное сопротивление двигателя

$R\left(s\right)={R}_{1}+\frac{{R}_{2}\left(s\right)\frac{{x}_{\mu }^{2}}{s}}{{\left({x}_{\mu }+{x}_{2}\left(s\right)\right)}^{2}+\frac{{R}_{2}^{2}\left(s\right)}{{s}^{2}}}$ (24)

и индуктивное сопротивление

$x\left(s\right)={x}_{1}\left(s\right)+\frac{{x}_{2}\left(s\right){x}_{\mu }^{2}+{x}_{\mu }\left({x}_{2}^{2}\left(s\right)+\frac{{R}_{2}^{2}\left(s\right)}{{s}^{2}}\right)}{{\left({x}_{\mu }+{x}_{2}\left(s\right)\right)}^{2}+\frac{{R}_{2}^{2}\left(s\right)}{{s}^{2}}}.$ (25)

Вычисленные значения сопротивлений $R\left(s\right),$ $x\left(s\right)$ согласно (20)$÷$(25) для $s=\left(0,018{;}_{}0,1{;}_{}0,2{;}_{}0,6{;}_{}1,0\right)$ при ${R}_{1}={0,0572}_{}\text{Ом,}$ ${R}_{2}={0,0418}_{}\text{Ом,}$ ${x}_{\text{к}}={0,4664}_{}\text{Ом,}$ ${s}_{\text{н}}=0,018,$ ${x}_{\mu }={10,05}_{}\text{Ом,}$ ${R}_{2}\left(1\right)={0,0616}_{}\text{Ом,}$ ${x}_{\text{к}}\left(1\right)={0,33}_{}\text{Ом}$ для двигателя марки 4А225М2У3 даны в табл. 3.

Таблица 3. Значения сопротивлений $R\left(s\right),$ $x\left(s\right)$

 $s$ 0,018 0,05 0,1 0,2 0,6 1,0 $R\left(s\right){,}_{}\text{Ом}$ 2,15 0,88 0,49 0,29 0,14 0,11 $x\left(s\right){,}_{}\text{Ом}$ 0,93 0,50 0,42 0,37 0,33 0,33 ${x}_{a}\left(s\right){,}_{}\text{Ом}$ 0,86 0,50 0,36 0,33 0,33 0,33 ${R}_{a}\left(s\right){,}_{}\text{Ом}$ 2,37 0,93 0,51 0,30 0,15 0,12

Приближенные (аппроксимированные) зависимости ${x}_{a}\left(s\right),$ ${R}_{a}\left(s\right)$ построены по выражениям:

${R}_{a}\left(s\right)={R}_{1}+\frac{{R}_{2}\left(s\right)}{s};$ (26)

${x}_{a}\left(s\right)={x}_{к}\left(1\right)+\left({x}_{\text{к}1}-{x}_{\text{к}}\left(1\right)\right){e}^{-\frac{s-{s}_{\text{н}}}{{T}_{1}}},$ (27)

где ${x}_{\text{к}1}={z}_{\text{н}}\mathrm{sinarccos}{\phi }_{\text{н}}.$

Постоянную времени ${T}_{1}$ определяют из условия выполнения равенства

${x}_{a}\left(0,05\right)=x\left(0,05\right).$

Тогда из (26)

$x\left(0,05\right)={x}_{к}\left(1\right)+\left({x}_{\text{к}1}-{x}_{\text{к}}\left(1\right)\right){e}^{-\frac{0,05-{s}_{\text{н}}}{{T}_{1}}},$

откуда получаем

${T}_{1}=\frac{{s}_{\text{н}}-0,05}{\mathrm{ln}\frac{x\left(0,05\right)-{x}_{\text{к}}\left(1\right)}{{x}_{\text{к}1}-{x}_{\text{к}}\left(1\right)}}.$ (28)

Для двигателя марки 4А225М2У3

${x}_{\text{к}1}=2,2\mathrm{arcsin}0,92={0,86}_{}\text{Ом.}$

Постоянная времени (28) при $x\left(0,05\right)={0,5}_{}\text{Ом}$ (из табл. 3) составляет ${T}_{1}={0,028}_{}\text{c.}$

Выражения (26), (27) принимают вид:

${R}_{a}\left(s\right)=0,0572+\frac{0,039+0,02\sqrt{s}}{s};$ (29)

${x}_{a}\left(s\right)=0,33+0,53{e}^{-\frac{s-0,018}{0,028}}.$ (30)

Значения сопротивлений, вычисленные по аппроксимированным выражениям (29), (30), представлены в табл. 3.

Из анализа данных этой таблицы следует, что значения сопротивлений ${R}_{a}\left(s\right),$ ${x}_{a}\left(s\right)$ имеют достаточно хорошее совпадение с сопротивлениями $x\left(s\right)$ при всех скольжениях в диапазоне $0,018\le s\le 1.$

Графики зависимости ${R}_{a}\left(s\right),$ ${x}_{a}\left(s\right)$ показаны на рис. 3.

Рис. 3. Зависимость сопротивления двигателя 4А225М2У3 от скольжения: 1 – ${x}_{a}\left(s\right)$ ; 2 – ${R}_{a}\left(s\right)$

Эти зависимости могут быть использованы, например, в расчетах активной, реактивной и полной мощности при пуске асинхронного двигателя.

### Выводы

Применение метода простых итераций к решению уравнений, полученных из уравнений реактивной мощности рассеяния и уравнений электромагнитной мощности двигателя в номинальном и критическом режимах, позволило значительно упростить решение данной системы уравнений. Погрешность вычислений не превышает следующих значений: активного сопротивления статора – 0,38 %, приведенного активного сопротивления ротора – 0,42 %, полного индуктивного сопротивления – 0,47 %.

В качестве контрольных следует выбирать двигатели, у которых сумма по абсолютной величине погрешности мощности на валу и кратности момента относительно их значений, вычисленных по сопротивлениям из справочника, не превышает одного процента.

По значениям рассчитанных сопротивлений двигателя в номинальном режиме и индуктивного сопротивления контура намагничивания построены зависимости активного и индуктивного сопротивлений двигателя от скольжения точным и приближенным методами.

×

### Viktor I. Kotenev

Samara State Technical University

Email: kotenev.viiv@gmail.com

Dr. Sci. (Techn.), Professor

Russian Federation, 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100

### Alexander D. Stulov

Samara State Technical University

Author for correspondence.

Russian Federation, 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100

## References

1. Kotenev V.I., Kochetkov V.V., Elkin D.A. The reactive power control of the power system load node at the voltage instability of the power supply, in 2017 International Siberian Conference on Control and Communications (SIBCON), 2017.
2. Kotenev A.V. et al. Electrical engineering unit for the reactive power control of the load bus at the voltage instability // Journal of Physics: Conference Series. 2018. № 1.012064.
3. Moshchinsky Yu.A., Bespalov V.Ya., Kiryatkin A.A. Determination of the parameters of the equivalent circuit of an asynchronous machine according to catalog data // Electricity. 1998. No. 4. Рр. 38–42.
4. Usoltsev A.A., Lukichev D.V. Determination of the parameters of the model of an asynchronous motor according to reference data // Izvestiya VUZov. Instrumentation. 2008. No. 10. Рр. 35–41.
5. Makeev M.S., Kuvshinov A.A. Algorithm for calculating the parameters of the equivalent circuit of an induction motor according to catalog data // Vector of Science of Togliatti State University. 2013. No. 1 (23). Рр. 108–112.
6. Suite P.P., Semkin B.V. Determination of the parameters of the equivalent circuit of low-power asynchronous motors // Polzunovsky Almanac. Altai state those. un-t them. I.I. Polzunova (Barnaul) 2004. No. 3. Рр. 96–99.
7. Kotenev A.V., Kotenev V.I., Kochetkov V.V. Determination of the resistances of a squirrel-cage motor according to catalog data // Bulletin of the Samara State Technical University. Series of Engineering Science. 2016. No. 1 (49). Рр. 103–106.
8. Kotenev A.V., Kotenev V.I., Kochetkov V.V. Determination of the parameters of the equivalent circuit of an asynchronous motor with a squirrel-cage rotor according to reference data // Izvestiya vuzov. Electromechanics. 2016. No. 6 (548). Рр. 13–17.
9. Syromyatnikov I.A. Operating modes of asynchronous and synchronous motors, L.I. Mamikonyants (ed.). 4th ed. Revised. and add. Moscow: Energoatomizdat, 1984. 240 р.
10. Jin Zhao, Bimal K. Neural-network-based waveform Processing and Delayless filtering in power electronics and AC drives // IEEE Transactions on Industrial Electronics. 2004. № 5. Рр. 981–991.
11. Megherbi A.C. et al. Parameter identification of induction motors using variable-weighted cost function of genetic algorithms // Journal of Electrical Engineering & Technology. 2010. № 4. Рр. 597–605.
12. Jin Z., Bose B.K. Evaluation of membership functions for fuzzy logic controlled induction motor drive // IEEE 2002 28th Annual Conference of the Industrial Electronics Society. IECON 02. 2002. Vol. 1. Рр. 229–234.
13. Bolovin E., Glazyrin A., Polichshuk V. Induction Motor Drive Parameters Identification Applying Difference Schemes // Applied Mechanics and Matterials. 2015. Рр. 65–68.
14. Rechberger K., Coefler H. Analytical approach to calculate the transient state of doubly fed synchronous machines employing the steady state circle diagram of the machine // 15th International Conference on Electrical Machines “ICEM 2002”. August 25–28. 2002. Brugge. Belgium. 2002.
15. Kravchik A.E. et al. Asynchronous motors of the 4A series: a reference book. M.: Energoatomizdat, 1982.
16. Kostenko M.P., Piotrovsky L.M. Electric cars. L.: Energy, 1973. 648 p.

## Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. Fig. 1

2. Fig. 2

3. Fig. 3