Calculating of asymmetry and excess coefficients for chromatographic peaks by using chebyshev – hermite functions and gram – charlier series

Cover Page

Abstract


The paper deals with the development of an algorithm for computation of excess and asymmetry coefficients for chromatographic peak, given by Gram-Charlier series. Investigation of possibility using direct transformation of coefficients of signal decoding in Chebyshev-Hermite basis to terms of the Gram-Charlier series weights are described. By applying coding in Chebyshev-Hermite basis algorithm to Gram-Charlier series system of linear equations that depend of excess and asymmetry coessicients are formed. Solution of this system of equations is sought coefficients. Errors of formed algorithm are described in dependence to errors of estimation shift and RMS width. The computer algebra system Wolfram Mathematica 11.3 was used for calculations and graphical presentation of the simulation results.


Full Text

Введение

Одним из подходов к созданию алгоритмов обработки сигналов аналитических приборов является кодирование сигнала в базисе функций Чебышева – Эрмита с последующим декодированием по другим, предварительно рассчитанным базисам; причем в зависимости от выбора базиса возможно получить сам сигнал [1–3], его производную различных порядков [3, 4], вейвлет-преобразование [5, 6] и т. п. Функции Чебышева – Эрмита находят широкое распространение в различных областях науки и техники [7–14], а также обладают сглаживающим свойством [14].

Составляющие сигналы аналитических приборов отдельные пики (далее хроматографические пики) с высокой степенью точности описываются теми же функциями, что и законы распределения, близкие по форме кривой к гауссиану либо к его асимметричным аналогам [15]. В этой связи для анализа формы хроматографических пиков применяются модели, заимствованные из статистики, в частности связанные с моментами случайной величины [15, 16]. Одной из таких моделей являются ряды Грама – Шарлье и производные от них ряды Эджворта – Крамера, для которых известны результаты исследований, указывающие на связь весов при членах ряда с параметрами процесса хроматографического разделения [17, 18].

В настоящий момент при обработке сигналов аналитических приборов не имеется единого подхода к разделению совмещенных хроматографических пиков, что дополнительно усложняется наличием асимметрии [19], в связи с чем актуальным является вопрос разработки новых вычислительных алгоритмов, направленных на решение данной задачи. В рамках данной работы рассматривается возможность вычисления параметров формы отдельных асимметричных хроматографических пиков, закодированных в базисе функций Чебышева – Эрмита, с применением рядов Грама – Шарлье. Результаты работы направлены на дальнейшее применение при разделении совмещенных асимметричных хроматографических пиков.

 

  1. Ряды Грама – Шарлье и их связь с функциями Чебышева – Эрмита

Из [15] известно, что любой асимметричный хроматографический пик можно представить в виде разложения в следующий ряд, названный рядом Грама – Шарлье типа А:

Fx=Afxμ0σ+v=3Vavv!vfxμ0σxμ0σv, (1)

где А – амплитуда пика;

 σ– среднеквадратическая ширина пика;

V – число используемых элементов ряда, в общем случае равно ∞;

 fxμ0σ=exμ02σ22– выражение для симметричного аналитического пика;

av – функции моментов v порядка, в частности [15]:

где μ3,μ4 – моменты третьего и четвертого порядка соответственно.

Величины γ3 и γ4 названы соответственно коэффициентами асимметрии (скошенности, skew) и эксцесса (островершинности, excess) и имеют соответствующий названию геометрический смысл, что делает их значимыми с точки зрения обработки сигналов аналитических приборов, в частности при решении некорректно поставленной задачи разделения совмещенных хроматографических пиков [15].

Известно выражение для полиномов Эрмита [20]:

 Hevx=1vex22dvex22dxv,

что при замене xμ0σ=x дает

Hevxμ0σ=1vexμ022σ2dvexμ022σ2dxμ0σv.(2)

Выражая из (2) vfxμ0σxμ0σv, получим:

vfxμ0σxμ0σv=1vfxμ0σHevxμ0σ. (3)

Выполняя замену (3) в (1), получаем следующее представление ряда (1):

Fx=Afxμ0σ1+v=3Vav1vv!Hevxμ0σ.(4)

Поскольку для обработки сигналов аналитических приборов интерес представляют коэффициенты при членах ряда 3-го и 4-го порядка, вычислим (4) при V=4 с заменой согласно указанным выше соотношениям, γ1=a3 и γ2=a4:

 Fx=Afxμ0σ1+γ16He3xμ0σ+γ224He4xμ0σ.(5)

При разложении произвольного сигнала s(x) в базисе функций Чебышева – Эрмита [20] его можно представить в следующем виде [13, 3]:

sx=n=3Ncnφnx,

причем можно представить в виде

sx=n=3NcnαnHnxex22,(6)

поскольку

φnx=1αnHnxex22,   αn=2nn!π, (7)

где Hnx – полином Эрмита отличного от  типа, заданный выражением [20]:

Hnx=1nex2dnex2dxn.

Ограничившись по аналогии с (5) порядком N=4 суммы (6), получим:

sx=ex22c0α0H0x+c1α1H1x+c2α2H2x+c3α3H3x+c4α4H4x,

или, с учетом H0x=1:

sx=ex22c0α0+c1α1H1x+c2α2H2x+c3α3H3x+c4α4H4x. (8)

Можно видеть, что выражения (5) и (8) не только задают один и тот же сигнал sx=Fx, но и близки по структуре: множитель за скобками – гауссиан, в скобках – сумма полиномов Эрмита различных порядков с некоторыми весами. Если структурное сходство указывает на возможность перехода через некоторую функцию χ(x,μ0,σ) от i-го члена ряда Грама – Шарлье для некоторого сигнала к i-му члену разложения того же сигнала по функциям Чебышева – Эрмита, то коэффициенты при членах ряда Грама – Шарлье могут быть выражены через cn, что позволяет при кодировании сигналов в базисе функций Чебышева – Эрмита одновременно вычислять параметры γ1 и γ2. Из-за того, что данные коэффициенты представляют интерес при обработке сигналов аналитических приборов, ниже проверим возможность формирования такой функции χ(x,μ0,σ).

 

  1. Исследование возможности формирования функции для перехода от коэффициентам разложения в базисе функций Чебышева – Эрмита к коэффициентам разложения в ряд Грама – Шарлье

Одним из отличий между (5) и (8) является использование полиномов Эрмита различных типов. Между двумя типами полиномов известна зависимость:

Henx=12nHnx2.(9)

Подставляя (9) в (5), получим:

Fx=Afxμ0σ1+γ1122H3xμ02σ+γ296H4xμ02σ. (10)

С учетом того, что H0xμ02σ=1, получим следующий вид (10):

 Fx=Afxμ0σH0xμ02σ+γ1122H3xμ02σ+γ296H4xμ02σ.(11)

Поскольку у полиномов в скобках в качестве аргумента используется xμ02σ, выразим fxμ0σ через fxμ02σ:

fxμ0σ=f2xμ02σ.(12)

Также нельзя не заметить схожесть fxμ02σ и φnx, поскольку fxμ02σ можно выразить через φnxμ02σ:

fxμ02σ=αnφnxμ02σHnxμ02σ. (13)

Подставляя (13) в (12), получим:

fxμ0σ=αn2φn2xμ02σHn2xμ02σ. (14)

Подставляем (14) в (11) и вносим φnxμ02σHnxμ02σ в скобки:

Fx=Aαn2φnxμ02σHnxμ02σφnxμ02σH0xμ02σHnxμ02σ++γ1122φnxμ02σH3xμ02σHnxμ02σ+γ296φnxμ02σH4xμ02σHnxμ02σ.(15)

Поскольку в (15) соотношение φnxμ02σHnxμ02σ справедливо при любых n, для находящихся в скобках дробей берем n, соответствующее степени полинома-множителя:

 Fx=Aαn2φnxμ02σHnxμ02σφ0xμ02σ+γ1122φ3xμ02σ+γ296φ4xμ02σ.(16)

Выполняем обратную подстановку согласно (13)

Fx=Afxμ02σφ0xμ02σ+γ1122φ3xμ02σ+γ296φ4xμ02σ

и переносим fxμ02σ в левую часть выражения, раскрывая скобки:

Fxfxμ02σ=Aφ0xμ02σ+Aγ1122φ3xμ02σ+Aγ296φ4xμ02σ.(17)

Выражение (17) совпадает по форме с (6), коэффициенты при каждой базисной функции можно интерпретировать как cn соответствующей степени при разложении сигнала Fxfxμ02σ в базисе функций Чебышева – Эрмита, и дальнейшие преобразования не позволяют представить разложение самого сигнала Fx.

Иначе заменить Henx на Hnx можно с помощью разности:

He3xμ0σ=H3xμ0σ4xμ0σ3,     He4xμ0σ=H4xμ0σ43xμ0σ4+6xμ0σ2,

что при подстановке в (5) с учетом (13) (при xμ02σxμ0σ) дает:

Fx=Aαnφnxμ0σHnxμ0σ1+γ124H3xμ0σ+γ296H4xμ0σ++γ16xμ0σ3γ28xμ0σ4+γ24xμ0σ2. (18)

Раскрывая скобки в (18) и подставляя для каждой дроби φnxμ02σHnxμ02σ значение n, соответствующее степени полинома-множителя, где он присутствует, получим выражение

Fx=Aαnφ0xμ0σ+Aαnγ124φ3xμ0σ+Aαnγ296φ4xμ0σ++Aαnφnxμ0σHnxμ0σγ16xμ0σ3γ28xμ0σ4+γ24xμ0σ2,

 

в котором выполняем обратную подстановку согласно (13) и переносим последнее слагаемое из правой части выражения в левую:

 FxAfxμ02σγ16xμ0σ3γ28xμ0σ4+γ24xμ0σ2==Aαnφ0xμ0σ+Aαnγ124φ3xμ0σ+Aαnγ296φ4xμ0σ.(19)

Выражение (19) совпадает по форме с (6), коэффициенты при каждой базисной функции можно интерпретировать как cn соответствующей степени при разложении в базисе функций Чебышева – Эрмита сигнала FxAfxμ02σγ16xμ0σ3γ28xμ0σ4+γ24xμ0σ2, и дальнейшие преобразования не позволяют представить разложение самого сигнала Fx. Таким образом, можно заключить, что сигнал, заданный в виде ряда Грама – Шарлье, не может быть представлен как разложение того же сигнала в базисе функций Чебышева – Эрмита. Рассмотрим далее иной подход для вычисления коэффициентов γ1 и γ2 при кодировании сигнала в данном базисе.

 

  1. Разложение заданного рядом Грама – Шарлье сигнала по функциям Чебышева – Эрмита

Для вычисления коэффициентов асимметрии и эксцесса на основе разложения сигнала в базисе функций Чебышева – Эрмита можно подставить ряд Грама –Шарлье в качестве кодируемого сигнала в выражение для расчета cn:

cn=Fxφnxdx. (20)

При этом следует учесть два обстоятельства:

1) между сигналом и n-й базисной функцией может существовать сдвиг x0 [6];

2) при кодировании сами базисные функции могут быть подвергнуты масштабированию на величину γ [3].

С учетом описанных переменных (20) примет вид

cn=1γFxφnxx0γdx. (21)

Подставим (5) и (8) в (21):

cn=Aαnγfxμ0σ1+γ16He3xμ0σ+γ224He4xμ0σHnxx0γe12xx0γ2dx,

а также :fxμ0σ=exμ022σ2

 cn=Aαnγexμ022σ212xx0γ2Hnxx0γ××1+γ16He3xμ0σ+γ224He4xμ0σdx. (22)

Выделив в степени экспоненты полный квадрат xγ2μ0γ2+σ22xμ022σ2x22γ2=γ2+σ22γ2σ2xγ2μ0γ2+σ22+γ2μ02σ2γ2+σ22

и введя переменные

r=γ2+σ2,   t=xγ2μ0+x0σ2r2  x=t+γ2μ0+x0σ2r2, (23)

получим

xμ022σ2xx022γ2=r22γ2σ2t2x0μ022r2. (24)

Подставив (24) в (22), получим:

cn=Aex0μ022r2αnγet2r2γσ2Hnxx0γ××1+γ16He3xμ0σ+γ224He4xμ0σdx. (25)

Поскольку была выполнена замена (23), следует перейти от x к t во всех частях выражения, для чего выполним замены:

p=x0μ0r2,   xx0γ=1γtγ2p,   xμ0σ=1σt+σ2p,

с учетом которых получим следующий вид (25):

cn=Aex0μ022r2αnγet2r2γσ2Hn1γtγ2p××1+γ16He31σt+σ2p+γ224He41σt+σ2pdx. (26)

Рассмотрим выражение для полинома Эрмита Hn1γtγ2p, который в явном виде может быть задан следующим образом:

Hn1γtγ2p=n!k=0n/2λkn2γn2ktγ2pn2k, (27)

где λkn=1kk!(n2k)!.

Очевидно, что tγ2pn2k – бином Ньютона степени n-2k, который можно представить в виде

tγ2pn2k=i=0n2kCn2ki1itn2kiγ2pi,  (28)

где 1i характеризует тот факт, что основание бинома представлено разностью;

Cn2ki=n2k!i!n2ki!.

Подставив (28) в (27), получим:

Hn1γtγ2p=n!k=0n/2λkn2γn2ki=0n2kCn2ki1itn2kiγ2pi. (29)

В свою очередь, полином He31σt+σ2p в явном виде может быть представлен следующим образом:

Hem1σt+σ2p=m!j=0m/2λjmt+σ2pm2j2jσm2j. (30)

Очевидно, что t+σ2pm2j – бином Ньютона степени m-2j, который можно представить в виде

t+rm2j=l=0m2jCm2jltm2jlσ2pl.  (31)

Подставив (31) в (30), получим:

 Hem1σt+σ2p=m!j=0m/2λjm12jσm2jl=0m2jCm2jltm2jlσ2pl.(32)

Согласно (29) и (32) можно представить произведение Hm,n*t=Hn1γtγ2pHem1σt+σ2p, внеся под знак суммы выражение для Hem1σt+σ2p за счет дистрибутивности суммы:

Hm,n*t=n!m!k=0n/2λkn2γn2ki=0n2kCn2ki1itn2ki××γ2pij=0m/2λjm12jσm2jl=0m2jCm2jltm2jlσ2pl,

где, в свою очередь, под знак внутренней суммы вносим все множители, окончательно приводя подобные члены:

Hm,n*t=n!m!k=0n/2i=0n2kj=0m/2l=0m2jλknλjmCn2ki1iCm2jl××γ2i+knσ2l+jmtm+n2j+klipl+i2n2kj. (33)

Представление (33) выгодно потому, что известен интеграл [21]:

tnet2qdt=n1!!2nqnπq0,nmod2=1,,nmod2=0,

который применим к (26) с учетом (33).

При известном q=r2γσ2 данное выражение примет вид:

tnet2r2γσ2dt=2πγσrn+1n1!!0,       nmod2=1.,   nmod2=0, (34)

Введем следующее обозначение:

In=tnet2x02γ2rdt,    или    In=2πγσrn+1n1!!0,       nmod2=1,,   nmod2=0,

а также соответствующее ему

Hm,n*I=defHm,n*t, (35)

при замене In=tn.

Стоит отметить, что при μ0=0 и x0=0 множитель pl+i может принимать вид неопределенного выражения 00. Так как в этом случае tγ2p=t и t+σ2p=t, раскрывать степень суммы в полиномах Эрмита через бином Ньютона не требуется, то есть произведение полиномов примет вид

 Hm,n*t=HntγHemtσ=n!m!k=0n/2j=0m/2λjmλkn2n2kjtm+n2j+kσm2jγn2k.(36)

Следовательно, при для вычисления Hm,n*t следует использовать выражение (36), в противном случае – (33).

После интегрирования (26) можно записать следующим образом:

cn=Aex0μ022r2αnγH0,n*I+γ16H3,n*I+γ224H4,n*I.(37)

Путем простых преобразований представим (37) следующим образом:

cnαnγex0μ022r2A1+H3,n*I6γ1+H4,n*I24γ2=H0,n*I.(38)

Выражение (38) представляет собой линейное уравнение относительно неизвестных коэффициентов (обратно пропорционален амплитуде), (асимметрия) и (эксцесс). Для нахождения коэффициентов составим систему из трех уравнений (число уравнений совпадает с числом неизвестных) при различных n. Для простоты примем наименьшие порядки n=0, 1, 2:

c0α0γex0μ022r2A1+H3,0*I6γ1+H4,0*I24γ2=H0,0*I.c1α1γex0μ022r2A1+H3,1*I6γ1+H4,1*I24γ2=H0,1*I.c2α2γex0μ022r2A1+H3,2*I6γ1+H4,2*I24γ2=H0,2*I. (39)

Для нахождения Aγ1  и γ2 воспользуемся методом Крамера. Составим из системы (39) матрицы вида:

a=c0α0γex0μ022r2H3,0*I6H4,0*I24c1α1γex0μ022r2H3,1*I6H4,1*I24c2α2γex0μ022r2H3,2*I6H4,2*I24,   b=H0,0*IH0,1*IH0,2*I.

Подставив вектор b в качестве первого столбца a, получим матрицу dA-1, в качестве второго – матрицу 1, в качестве третьего – матрицу 2. Тогда, согласно методу Крамера, искомые параметры могут быть найдены по следующим выражениям:

A=adA1,   γ1=dγ1a,   γ2=dγ2a,(40)

где |·| – определитель матрицы.

Очевидно, что полученный алгоритм подразумевает наличие сведений о параметрах γ, σ и μ0, и если γ задаются при кодировании сигнала в базисе функций Чебышева – Эрмита, то σ и μ0 необходимо предварительно определить, поскольку два этих параметра не могут быть выражены в (38) в виде линейной зависимости.

 

  1. Вычисление коэффициентов асимметрии и эксцесса для тестового сигнала по сформированному алгоритму

Вычислим коэффициенты асимметрии и эксцесса для сигнала, заданного выражением (5), в котором в качестве примера зададим следующие значения параметров: A=1,75, σ=1,15, μ0=0,85, γ1=0,65, γ2=0,35. Вид полученного сигнала представлен на рис. 1.

Рис. 1. Тестовый сигнал

Применив полученные в предыдущем разделе выражения (4), получим следующие оценки искомых коэффициентов: A~=1,75009,  γ~1=0,650418, γ~2=0,350392. Относительная погрешность данных оценок составляет, соответственно, δA=0,005%,  δγ1=0,643%, δγ2=0,094%.

На практике параметры σ и μ0 оцениваются приближенно, из-за чего найденные значения обладают некоторыми погрешностями δσ и δμ0 соответственно. Как следствие, важно иметь представление о зависимости δA,  δγ1, δγ2 от δσ и δμ0. Рассмотрим данные зависимости по отдельности для δμ0 и δσ в диапазонах δμ0=-2...2% и δσ=-2...2% (рис. 2).

Рис. 2. Зависимости погрешностей вычисления коэффициентов

Максимальные значения погрешностей δA,  δγ1, δγ2 по модулю в зависимости от δσ достигаются при δσ=2% и составляют δA=1,54%,  δγ1=2,41%, δγ2=49%; в зависимости от δμ0 достигаются при δμ0=2% для δA=0,35% и  δγ2=14,5%, и при δμ0=2% для δγ1=6,2%.

 

Рис. 3. Зависимости погрешностей формы оценки сигнала:

а – при δμ0=2%, б – при δσ=2%, в – при δσ=δμ0=0

 

Рассмотрим, как δσ и δμ0 влияют на отклонение формы полученного по оценкам A~,  γ~1, γ~2 сигнала F~x от формы исходного сигнала Fx. Для этого использовать в качестве меры отклонения относительную погрешность не следует, поскольку сигнал Fx в окрестностях границ имеет близкие к нулю значения, вследствие чего относительная погрешность будет принимать большие значения даже при малых разностях исходного сигнала и его оценки. Воспользуемся следующим выражением приведенной погрешности в качестве меры точности:

δFx=F~(x)F(x)max[F(x)]100%,

где       max[Fx] – максимальное значение сигнала.

На рис. 3 отражены графики данной погрешности для максимальных δσ и δμ0 и при δσ=δμ0=0.

Несмотря на большие погрешности δA,  δγ1, δγ2 при тех же δσ и δμ0 форма оценки сигнала меняется слабо, на графике сигнал практически совпадает со своей оценкой. Визуально заметное несовпадение графиков сигнала и его оценки начинается приблизительно при δσ=δμ0=5% (рис. 4).

Рис. 4. Оценка сигнала при: δσ=δμ0=5%
1 – F~x, 2 – Fx

Выводы

Благодаря использованию полученных выражений для расчета коэффициентов асимметрии и эксцесса в базисе функций Чебышева – Эрмита удается построить быстрые вычислительные алгоритмы обработки выходных сигналов аналитических приборов, в частности при решении задачи разделения совмещенных хроматографических пиков. Для этого можно построить систему из 3K линейных уравнений, подобных (37), где K – количество совмещенных хроматографических пиков, после чего любым известным методом, например, использованным здесь методом Крамера, получить оценки искомых коэффициентов для каждого из пиков. Помимо прочего, анализ погрешностей работы алгоритма показывает, что δσ и δμ0 существенно влияют на погрешность определения коэффициентов асимметрии и эксцесса, но на форму восстановленного по оценкам коэффициентов сигнала влияние значительно слабее. Тем не менее для практического применения рассмотренного алгоритма требуется предварительная оценка μ0 и σ, причем с погрешностью не более нескольких процентов.

About the authors

Rauhat T. Sayfullin

Samara State Technical University

Author for correspondence.
Email: info@eco-vector.com

Russian Federation, 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

Dr. Sci. Techn., Professor

Andrey V. Bochkarev

Samara State Technical University

Email: info@eco-vector.com

Russian Federation, 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

Postgraduate Student

References

  1. Saifullin R.T., Bochkarev A.V. Selection of the required number of basis functions in the coding-decoding algorithms of signals of analytical instruments // Information and measuring and control sys-tems: mezhvuz. Sat scientific articles. Issue 1 (17). – 2019, p. 35–42.
  2. Sayfullin R.T., Bochkarev A.V. Hierarchical coding for signal processing of analytical instruments // Problems of control and modeling in complex systems. Proceedings of the XXI International Confer-ence. Samara Samara Scientific Center of the Russian Academy of Sciences, IPU SS RAS. Volume 1. – 2019, p. 467–470.
  3. Saifullin R.T., Bochkarev A.V. The use of Chebyshev-Hermite functions in signal processing of analyt-ical instruments // Bulletin of the Samara State Technical University. Series: technical sciences, No. 1 (61). – 2019, p. 68–81.
  4. Sayfullin R.T., Bochkarev A.V. Calculation of derivatives of the analytical signal in the basis of Cheby-shev – Hermite functions // Materials of the XI All-Russian scientific conference with international participation "Mathematical modeling and boundary value problems" (May 27–30, 2019, Samara, Russia). Volume 2. – 2019, p. 137–139.
  5. Sayfullin R.T., Bochkarev A.V. Calculation of the continuous wavelet transform of signals in the basis of Chebyshev – Hermit functions // Bulletin of the Samara State Technical University. Series: Engi-neering, No. 2 (62). – 2019, p. 99–113.
  6. Sayfullin R.T., Bochkarev A.V. Algorithm for calculating the wavelet-transform of the signals using the Chebyshev – Hermit functions // Bulletin of the Samara State Technical University. Series: Engineer-ing, No. 4 (64). – 2019, p. 113–124.
  7. Xue Luo. Spectral viscosity method with generalized Hermite functions for nonlinear conservation laws // Applied Numerical Mathematics, Volume 123, 2018. P. 256–274.
  8. Martens J.B. The Hermite transform – applications // IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 1990. Vol. 38. No. 9. P. 1607–1618.
  9. Paveleva E.A., Krylov A.S. Search and analysis of key points of the iris by the Hermite transformation method // Informatics and its applications. 2010. № 1. v. 4. Pp. 79–82.
  10. Estudillo-Romero A., Escalante-Ramirez B. The Hermite transform: An alternative image representa-tion model for iris recognition // LNCS, 2008. No. 5197. P. 86–93.
  11. Mamaev N.V. The non-local average algorithm based on the expansion of Ermit functions in computed tomography problems // Mamaev N.V., Lukin A.S., Yurin D.V., Glazkova M.A., Sinitsin V.E. – GRAPHICON'2013. Conference proceedings, 2013, p. 254–258.
  12. Gorlov V.A., Parshin D.S. Expansion of a function with exponential growth in a Fourier series in or-thogonal Chebyshev – Hermite polynomials // Actual directions of scientific research of the XXI cen-tury: theory and practice. 2015. Vol. 3. No. 8–3 (19–3). Pp. 245–248.
  13. Neural network analysis and comparison of time-frequency vectors based on the short-term spectral representation and adaptive Hermite transform. Yu.M. Bayakovsky, A.O. Zhirkov, D.N. Korchagin, A.S. Krylov, A.S. Lukin. Preprints IPM them. M.V. Keldysh, 2001, 087.
  14. Balakin D.A., Shtykov V.V. Construction of an orthogonal filter bank based on Hermite transformations for signal processing // Journal of Radio Electronics, 2014, № 9, p. 1–15.
  15. Felinger A. Data Analysis and Signal Processing in Chromatography (Volume 21) (Data Handling in Science and Technology, Volume 21) 1st Edition. Amsterdam, Elsevier, 1998. 334 p.
  16. McQuarrie D.A. On the Stochastic Theory of Chromatography // J. Chem. Phys. 1963, vol. 38. Pp. 437–445.
  17. Dondi F., Remelli M. Characterization of Extracolumn and Concentration-Dependent Distortion of Chromatographic Peaks by Edgeworth – Cramer Series // J. Chromatogr. 1984, vol. 315. Pp. 67–73.
  18. Dondi F., Pulidori F. Applicability Limits of the Edgeworth – Cramer Series in Chromatographic Peak Shape Analysis // J. Chromatogr. 1984, vol. 284. Pp. 293–301.
  19. Dubrovkin J. Mathematical Methods for Separation of Overlapping Asymmetrical Peaks in Spectros-copy and Chromatography. Case study: One-Dimensional Signals // International J. of Emerging Technologies in Computational and Applied Sciences. 2015, vol. 11(1). Pp. 1–8.
  20. Suetin P.K. Classical orthogonal polynomials. M.: Fizmatlit, 2005. – 480 р.
  21. Gradshteyn I.S., Ryzhik I.M. Tables of integrals, sums, series and products. – M.: Fizmatgiz, 1963. – 1100 р.

Supplementary files

There are no supplementary files to display.

Statistics

Views

Abstract - 18

PDF (Russian) - 7

Cited-By


Article Metrics

Metrics Loading ...

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2020 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies