Numerical and analytical calculation of the rotor mechanical stresses of a synchronous electricfl machine with incorporated permanent magnets

Full Text

Введение

Электрические машины с возбуждением от постоянных магнитов (ПМ) находят широкое применение в таких приложениях, как генерация электрической энергии, электрические и гибридные автомобили, электрический запуск газотурбинных двигателей, системы слежения и ориентации объектов и т. д. Они отличаются высокими крутящим моментом, удельной мощностью, энергоэффективностью, производительностью, коэффициентом мощности [1, 2]. Перечисленные достоинства в разной степени присущи электрическим машинам с магнитоэлектрическим возбуждением с различным конструктивным исполнением индуктора. ПМ могут быть расположены на поверхности индуктора – SMPM (surface-mounted permanent magnet), вставлены в сердечник – IMPM (inset-mounted permanent magnet) и инкорпорированы в индуктор – IPM (interior permanent magnet). IPM машины имеют ряд преимуществ по сравнению с двумя другими типами. Фрагмент поперечного сечения индуктора IPM машины показан на рис. 1.

 

Рис. 1. Фрагмент IPM индуктора

 

Такое расположение ПМ в сердечнике индуктора предполагает наличие реактивного момента в отличие от SMPM конструкции и более высокое его значение относительно IMPM, обеспечивает защиту ПМ от размагничивающего действия реакции якоря посредством демпфирования магнитного поля в магнитомягких полюсных наконечниках. Последнее особенно важно при регулировании частоты вращения ослаблением поля (добавлением продольной составляющей тока обмотки статора) в двигательном режиме работы и для ослабления размагничивающего действия поля якоря при работе генератором. Отсутствует необходимость использования гильзы, фиксирующей ПМ на поверхности при высоких частотах вращения, что ведет к уменьшению немагнитного зазора, требуемого объема и массы дорогих высококоэрцитивных ПМ, исключает поверхностные потери в гильзе, улучшает условия охлаждения ПМ. С точки зрения технологии процесс изготовления индуктора здесь более прост по сравнению с другими типами роторов. ПМ вставляются непосредственно в прорези пластин сердечника ротора, что существенно удешевляет производство по сравнению с SMPM и IMPM конструкциями.

Участки магнитной системы индуктора, удерживающие ПМ в посадочных местах, называются мостиками насыщения – наружными (НМН) и внутренними (ВМН). Функциональное назначение МН – удерживание магнитов в процессе вращения ротора и обеспечение механической прочности вращающейся части машины. Ширина мостиков должна быть достаточной для обеспечения надежности конструкции при воздействии на нее центробежных и электромагнитных усилий. Однако чрезмерный их размер вызывает увеличение потоков рассеяния ПМ и полезный поток значительно сокращается, что ведет к ухудшению энергетических характеристик машины в целом [3]. Эта проблема достаточно полно исследована в работах [4–6], где предложены способы снижения негативного влияния мостиков на величину полезного потока в зазоре. Обзор возможных методов снижения механических напряжений в мостиках насыщения представлен в [7–9]. В [10] предложена разгрузка по напряжению мостов с помощью отверстий, выполненных на пути потока, в результате чего возможно уменьшение толщины мостика. В [11] высказана идея о замене ферромагнитных мостиков карбоновыми клиньями специальной конфигурации, удерживающими ПМ в посадочных местах при вращении ротора. Все эти способы предполагают изменение конструкции индуктора и не гарантируют стабильности характеристик машины в широком диапазоне частот вращения. Оценка полезного эффекта от их применения требует больших затрат времени, вычислительных ресурсов и использования специализированных программных продуктов численного моделирования.

В настоящем исследовании рассмотрены способы определения механических напряжений в IPM индукторе синхронной машины с V-образными ПМ, предназначенной для использования в качестве генератора собственных нужд газокомпрессорной станции с приводом от газотурбинного двигателя (ГТД). Предложены аналитические модели для оценки механических напряжений в конструкции индуктора, на основании которых выбирается вариант конфигурации постоянных магнитов и полюсных наконечников ротора и оптимизируется его конструкция. Далее с помощью конечно-элементного анализа получена картина распределения механических нагрузок в наружных и внутренних мостиках, уточняющая и подтверждающая приближенные аналитические расчеты.

Анализ причин механических проблем

На начальном этапе методом подобия была разработана геометрическая модель ротора генератора с V-образными встроенными магнитами. Такая компоновка ПМ в индукторе диктовалась желанием получить весомую реактивную составляющую электромагнитного момента за счет разности проводимостей магнитного потока по продольной и поперечной осям машины. Генератор предназначен для работы в широком диапазоне частот вращения, верхний предел которого достигает 6000 об/мин и более в зависимости от приводного ГТД [12]. Достаточно высокая окружная скорость предъявляет повышенные требования к конструктивному исполнению вращающейся части, в первую очередь к мостикам насыщения, чья прочность во многом зависит от физических свойств материалов, из которых выполнен индуктор. В табл. 1 приведены физические свойства материалов сердечника и ПМ ротора.

 

Таблица 1

 Физические свойства материалов 

Плотность электротехнической стали 2412, кг/м3	${\gamma }_{ст}=7600$
Плотность материала постоянного магнита N38UH, кг/м3	${\gamma }_{пм}=7600$
Модуль упругости стали, Па	$E=\mathrm{2,15}\cdot {10}^{11}$
Модуль сдвига стали, Па	$G=\mathrm{8,4}\cdot {10}^{10}$
Предел кратковременной прочности, МПа	${\sigma }_{в}=\left(\mathrm{330...470}\right)$
Относительное удлинение при разрыве, %	20…35

 

Из приведенных данных следует, что временное сопротивление на разрыв стали 2412, из которой выполнен сердечник ротора, находится в достаточно широком диапазоне. Напряжение текучести и допустимое напряжение не регламентированы. Как правило, допустимое напряжение в 1,8–2,5 раза ниже временного сопротивления на разрыв. Таким образом, ориентировочное значение допустимого напряжения находится в диапазоне 180–240 МПа. Эти цифры являются ориентиром в последующих оценках механической прочности ротора.

Аналитический метод расчета механических напряжений (модель 1)

На рис. 2 показаны составляющие сил, действующих на ПМ при вращении ротора, и геометрические параметры магнита.

 

Рис. 2. Диаграмма сил и размеры ПМ

 

В установившемся режиме работы на вращающиеся части машины – полюсный наконечник и магнит в радиальном направлении действует центробежная сила $F_{ц}$, пытающаяся переместить магнит из посадочного места. Со стороны полюсного наконечника на магнит действует сила упругости $F_{р}$, направленная встречно центробежной силе, поэтому конструктивные части ротора находятся в уравновешенном состоянии. Величина силы упругости зависит от механических свойств материала ротора и, в случае превышения критических значений внутренних напряжений, происходит его разрушение. Сила упругости обеспечивается связями мостиков насыщения и полюсного наконечника. Нагрузка, действующая на наружные мостики, определяется суммарной центробежной силой полюсного наконечника и магнита.

$F_{ц}=F_{цпм}+\frac{1}{2}{F}_{цпн}={\omega }^2\cdot \left({\rho }_{пм}\cdot b_m\cdot h_m\cdot l_m\cdot r_{пм}+\frac{1}{2}{\rho }_{пн}\cdot S_{пн}\cdot l_{пн}\cdot r_{пн}\right)$, (1)

где $\omega$ – угловая частота вращения; ${\rho }_{пм}$, ${\rho }_{пн}$ – плотность материала ПМ и сердечника ротора; $r_{пм}$, $r_{пн}$ – радиус вращения центров масс ПМ и полюсного наконечника (ПН); $S_{пн}$ – площадь поперечного сечения наконечника.

Центробежная сила, стремящаяся переместить ПМ по нормали к зазору, может быть разложена на две составляющие $F_1$ и $F_2$, действующие на верхнюю и боковую площадки посадочного места ПМ и оказывающие реакции на ПМ. При контакте без трения силы реакции равны и противоположны составляющим центробежной силы $F_{цпм}$

$F_1=F_{цпм}\cdot \sin \left(\beta +\frac{\pi }{2}-\gamma \right)$; $F_2=F_{цпм}\cdot \cos \left(\beta +\frac{\pi }{2}-\gamma \right)$. (2)

Для определения силы реакции, действующей на мостики, необходимо найти координаты центров масс двух ПМ и полюсного наконечника, основываясь на модели полюса, показанной на рис. 3.

 

Рис. 3. К определению центра масс

В модели полюсный наконечник разделен на три области. Поскольку ротор однороден в осевом направлении, задача сводится к плоскопараллельной постановке. Координаты радиус-вектора системы нескольких тел с непрерывным распределением плотности в этом случае

$x_c=\frac{{\displaystyle \sum _i\underset{D_i}{\oint }xd{S}_i}}{{\displaystyle \sum _i{S}_i}}$; $y_c=\frac{{\displaystyle \sum _i\underset{D_i}{\oint }yd{S}_i}}{{\displaystyle \sum _i{S}_i}}$.  (3)

Здесь $D_i$ – i-тая область модели; $S_i$ – площадь ее поперечного сечения.

Тела, принадлежащие одной системе (ПМ или ПН), имеют одинаковую плотность.

Ввиду симметрии модели $x_c=0$. Тогда радиус центра масс системы из двух магнитов ПМ1 и ПМ2 с учетом равенства их поперечных сечений

$\begin{array}{l}{r}_{пм}=y_{c\left(пм\right)}=\frac{{\displaystyle \underset{D_{пм1}}{\oint }yd{S}_{пм1}+\underset{D_{пм2}}{\oint }yd{S}_{пм2}}}{2S_{пм}}=R_{вн}\cdot \cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)-\\ \left[R_{вн}\cdot \sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)\cdot ctg\gamma +\frac{h_{пм}}{2\cdot {\cos }_{}\left(\frac{\alpha }{2}\right)}-\left[\frac{h_{пм}}{2\cdot ct{g}_{}\gamma }+\frac{d}{2}+\frac{b_{пм}}{2}\right]\right],\end{array}$ (4)

где d – ширина внутреннего мостика, $S_{пм}=b_{пм}\cdot h_{пм}$.

Радиус центра масс полюсного наконечника

$r_{пн}=y_{c\left(пн\right)}=\frac{{\displaystyle \underset{D_1}{\oint }yd{S}_1+\underset{D_2}{\oint }yd{S}_2+\underset{D_3}{\oint }yd{S}_3}}{S_{D_1}+S_{D_2}+S_{D_3}}$. (5)

Здесь

$\underset{D_1}{\oint }yd{S}_1=\frac{2}{3}\cdot \left(R_{н}^3-R_{вн}^3\right)\cdot \sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)$;

$\underset{D_2}{\oint }yd{S}_2=\frac{2}{3}{R}_{вн}^3\cdot \left[\sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)-{\cos }^3\left(\frac{\alpha }{2}\right)\cdot \text{tg}\left(\frac{\alpha }{\text{2}}\right)\right]$;

$\underset{D_3}{\oint }yd{S}_3=R_{вн}^3\cdot \left[{\sin }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)ct{g}_{}\gamma -\frac{1}{3}{\sin }^3\left(\frac{\alpha }{2}\right)ct{g}^2\gamma \right]$.

Площади поперечных сечений областей полюсного наконечника

$S_1=\frac{\alpha }{2}\left(R_{н}^2-R_{вн}^2\right)$; $S_2=\frac{R_{вн}^2\left(\alpha -\sin \alpha \right)}{2}$; $S_3=R_{вн}^2{\sin }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)ct{g}_{}\gamma$.

Выражения (1)–(5) позволяют определить усилие, действующее на систему «магнит – наконечник», и его составляющие.

Для нахождения механических напряжений введем допущение о замене системы «постоянные магниты – полюсный наконечник» эквивалентным кольцом [13], имеющим плотность материала

${\rho }_{экв}=\frac{({\rho }_{пм}\cdot R_{пм}\cdot 2S_{пм}+{\rho }_{пн}\cdot R_{пн}\cdot S_{пн})}{R_{экв}\cdot S_{экв}}\cdot \frac{1-\cos \left(2\gamma \right)}{2}$,

где $S_{пн}=S_1+S_2+S_3$ – площадь полюсного наконечника; $S_{экв}=S_1$ – площадь сектора эквивалентного кольца; $R_{экв}=\frac{R_{н}+R_{вн}}{2}$ – средний радиус эквивалентного кольца.

Окружное напряжение на эквивалентном кольце определяется выражением

${\sigma }_{ц}=R_{экв}^2{\omega }^2{\rho }_{экв}$. (6)

Формула (6) для оценки механических напряжений применима только в случае плавного изменения сечения мостиков. Так как в реальной конструкции ротора форма сечения мостиков резко изменяется, возникают локальные высокие напряжения в местах соединения наружных мостиков и мостиков между разноименными полюсами, а максимальные механические напряжения на стыках наружных мостиков насыщения и мостиков между ПМ, имеющими разноименные полюса, можно определить по уравнению

${\sigma }_{\max }={\alpha }_{\sigma }{\sigma }_{ц}$, (7)

где ${\alpha }_{\sigma }$ – коэффициент концентрации напряжений.

Для нахождения ${\alpha }_{\sigma }$ при инженерных расчетах обычно пользуются руководством [14], согласно которому коэффициент концентрации напряжений определяется по кривым, соответствующим типовым геометрическим структурам. Однако с учетом того, что конфигурация полюса электрических машин с встроенными магнитами может иметь множество геометрических типов, оценка максимальных механических напряжений по выражению (7) не является универсальной, хотя вполне может быть использована на стадии оценочных расчетов и эскизного проектирования электрической машины с V-образными ПМ в роторе.

Предложенная здесь модель и метод расчета механических напряжений предполагает знание геометрических размеров индуктора, которые могут быть получены на этапе электромагнитного расчета электрической машины. Поэтому данный метод больше подходит для определения механической прочности ротора при поверочных расчетах генератора.

Аналитический метод расчета механических напряжений (модель 2)

При оптимизационном проектировании, когда приходится оперировать большими объемами данных, необходима простая модель, которая не требует точного знания конфигурации индуктора и ПМ в нем, но позволяет сделать заключение о пригодности конкретного варианта по механическим ограничениям.

При анализе сделано допущение о равномерном распределении составляющей силы $F_1$ и силы реакции полюсного наконечника $F_{цпн}$ по ширине системы двух V-образных ПМ. В рамках оценочного расчета механических напряжений, действующих на наружные мостики, были использованы аналитические зависимости, справедливые для балки с жестким защемлением на опорах и распределенной нагрузкой вдоль нее (рис. 4). Предполагается, что данная стандартная конструкция с точки зрения распределения сил и моментов наиболее близка к системе «V-образный постоянный магнит – полюсный наконечник».

 

Рис. 4. Эпюры сил и моментов

 

Ширина полюсного наконечника от одного наружного мостика до другого

$l=2(R_{н}+R_{вн})\sin \frac{\alpha }{2}$                                         .

После приведения геометрических размеров и нагрузок реальной полюсной системы к модели балки

$c=2b_{пм}\sin \gamma +d$; $b=\frac{c}{2}$; $g=\frac{F}{c}$,

получим выражение для расчета момента на опорах

$M=M_A=M_B=-\frac{g\cdot c^2}{l^2}\cdot \left(b^3-\frac{c^2}{12}\cdot b\right)$.

Опорные реакции

$A=B=\frac{g\cdot c\cdot b}{l}$                                             .

Максимальное напряжение на изгиб в наиболее нагруженном сечении наружного мостика

${\sigma }_{\max }=\frac{M}{W_z}$                                                ,

где $W_z=\frac{\left(R_{н}-R_{вн}\right)\cdot L^2}{6}$ – осевой момент сопротивления сечения балки; L – длина сердечника ротора.

Максимальное касательное напряжение на срез в наиболее нагруженном месте

${\tau }_{\max }=\frac{3}{2}\cdot \frac{A}{\left(R_{н}-R_{вн}\right)\cdot L}$                                       .

Центробежная сила действует под углом к оси наружных мостиков насыщения, что свидетельствует о наличии растягивающих напряжений. Таким образом, мостики насыщения одновременно работают на растяжение, изгиб и срез, а суммарное напряжение может быть уточнено при решении механической задачи методом численного моделирования.

Ввиду простоты данный метод не предъявляет специальных требований к объему памяти и быстродействию вычислительной техники.

Конечно-элементный анализ

Для подтверждения адекватности аналитических методик определения механических напряжений в элементах ротора IPM машины разработана геометрическая модель индуктора (рис. 5), которая в дальнейшем использовалась при решении прочностной задачи численного моделирования. Модель представляет собой часть окружности ротора, при этом используется граничное условие симметричности (поз. 6). На внутреннюю грань ротора наложено граничное условие, препятствующее перемещению в радиальном направлении, при этом разрешается вращение. Источником механических напряжений является центробежная сила, которая задавалась условием Rotational Velocity с вращением относительно оси z. Сопряжение постоянных магнитов с сердечником ротора осуществлено с использованием контакта Bonded (поз. 3), что эквивалентно неразъемному соединению, и Frictionless – контакт без трения (поз. 5).

           

Рис. 5. Геометрическая модель прототипа ротора с встроенными магнитами

 

В процессе построения модели было уделено внимание концентрации напряжений на периферии наружных мостиков и в области резкого изменения сечения внутреннего мостика. Возможности вычислительного алгоритма весьма чувствительны к плотности сетки конечных элементов, поэтому в тех областях, где напряжения ожидались максимальными, плотность сетки была увеличена.

В табл. 2 приведены параметры генератора с IPM индуктором, предназначенного для использования на электростанции собственных нужд, и некоторые конструктивные размеры его ротора.

 

Таблица 2

 Параметры прототипа

Величина	Ед. изм	Значение
Номинальная мощность	кВт	300
Максимальная частота вращения	об/мин	6000
Внешний диаметр ротора	мм	300
Внутренний диаметр ротора	мм	240
Длина сердечника	мм	410
Высота магнита	мм	9
Ширина магнита	мм	26
Толщина наружного мостика	мм	1,8
Толщина внутреннего мостика	мм	2,2
Угол развертки магнитов	град	150

 

Результаты моделирования представлены на рис. 6.

 

Рис. 6. Механические напряжения во внутреннем и наружном мостиках при частоте вращения 6000 об/мин

 

При решении прочностной задачи также выявлена деформация элементов ротора, имеющая существенное влияние на электромагнитные характеристики и вибрацию генератора. Максимальная деформация составила $\Delta \epsilon =\mathrm{1,13}\cdot {10}^{-5}$ м. Картина деформации полюса с V-образными ПМ показана на рис. 7.

 

Рис. 7. Деформация ротора

 

Анализ результатов моделирования и их сравнение с аналитическим расчетом показали следующее:

– внутренний мостик нагружен больше, чем наружный. Средний уровень напряжений составил в нем $\sigma =\mathrm{128...163}$ МПа. Данная величина механических напряжений ниже границы текучести стали 2412 (180…240 МПа). Подобный показатель для наружного мостика $\sigma =\mathrm{94...135}$ МПа, что несколько меньше и также отвечает требованиям по прочности;

– механические напряжения в мостике, разделяющем магниты одноименного полюса, достигают величины 185 МПа, что входит в диапазон допустимых значений. В мостиках насыщения, разделяющих разноименные полюсы, максимальные напряжения достигают значения 133 МПа. Средние значения в рассмотренных конструктивных элементах ниже и составляют 120…128 МПа. Таким образом, величина максимальных напряжений при частоте вращения 6000 об/мин входит в диапазон допустимых значений и меньше величины временного сопротивления стали 2412 на разрыв;

– механические напряжения в наружных мостиках, рассчитанные по аналитической методике, близки к средним уровням их значений, найденных в результате конечно-элементного моделирования. Расхождение не превышает 10 %. Полученный результат указывает на то, что предложенный метод может быть использован для расчета механических напряжений в наружных мостиках при разных углах развертки V-образных ПМ.

Заключение

В данном исследовании предложена аналитическая методика оценки механических напряжений в роторе с V-образными встроенными магнитами. Результаты расчета механических напряжений были проверены посредством решения прочностной задачи методом конечных элементов в программном комплексе Ansys Structural. Установлено, что расхождения между аналитическими и численным методами при оценке прочности наружных мостиков насыщения не превышают 10 %, что указывает на возможность применения аналитических методик расчета механических напряжений ротора с встроенными ПМ для поверочных расчетов и оптимизационного проектирования с целью сокращения затрат времени и вычислительных ресурсов. Полученное расхождение можно объяснить неравномерным распределением плотности материала ПМ и полюсного наконечника на протяжении полюсного деления, чего не учитывают аналитические модели. Расчет средних механических напряжений внутренних мостиков и максимальных напряжений всех элементов ротора проводится МКЭ на стадии финишной доводки проекта.

About the authors

Yuri V. Zubkov

Samara State Technical University

Author for correspondence.
Email: zub577@mail.ru

(Dr. Sci. (Techn.)), Professor

Russian Federation, 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100

Denis A. Vladimirov

Samara State Technical University

Email: devladimirovdenis@yandex.ru

Engineer

Russian Federation, 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100

Irshat H. Biktashev

Samara State Technical University

Email: irshat.biktashev@bk.ru

Postgraduate Student

Russian Federation, 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100

References

Supplementary files