Двухканальное программное управление с минимальным энергопотреблением в системах с распределенными параметрами

Обложка


Цитировать

Полный текст

Аннотация

Предлагается постановка и метод решения задачи оптимального по расходу энергии двухканального программного управления объектом с распределенными параметрами в условиях заданной точности равномерного приближения результирующего пространственного распределения управляемой величины к требуемому состоянию. В качестве управляющих воздействий рассматриваются два сосредоточенных внутренних управления по мощности источников тепла, возбуждаемых в электромагнитном поле индуктора. Предлагаемый подход к решению данной задачи использует специальную процедуру предварительной параметризации управляющих воздействий на конечномерных подмножествах финишных значений сопряженных переменных в краевой задаче принципа максимума Понтрягина и последующую редукцию к задаче полубесконечной оптимизации, решение которой относительно искомого вектора параметров находится с помощью альтернансного метода на основании дополнительной информации о фундаментальных закономерностях предметной области. Приводится пример энергосберегающего управления процессом периодического индукционного нагрева металлической заготовки.

Полный текст

Введение

Целый ряд актуальных для приложений и представляющих самостоятельный интерес задач оптимального управления (ЗОУ) системами с распределенными параметрами (СРП) формулируется в условиях одновременного воздействия на объект по различным каналам управления с целью снижения показателей энергопотребления в процессах технологической теплофизики. Сказанное относится, в частности, к распространенным в технических системах ситуациям с использованием векторных управляющих воздействий. Во многих случаях постановка подобных задач, в частности задач двухканального управления, диктуется самими используемыми способами конструктивного исполнения промышленного объекта и методами организации технологического процесса [1–3]. Известные методы [2, 4] отыскания алгоритмов оптимального управления бесконечномерными объектами разработаны применительно к моделям управляемых процессов с одним управляющим воздействием. В связи с этим возникает актуальная задача применения разработанной технологии [5] получения алгоритмически точного решения задачи минимизации энергопотребления в процессе управления СРП параболического типа c двумя каналами управления.

Постановка задачи оптимального управления

В данной работе в качестве объекта управления рассматривается процесс нагрева металлической пластины с двумя сосредоточенными управляющими воздействиями u1t и u2t по мощности внутреннего тепловыделения с заданными функциями W1x и W2x его пространственного распределения.

В этом случае управляемая величина Qx,t описывается в зависимости от пространственной координаты x0,1 и времени t0,T линейным одномерным неоднородным уравнением теплопроводности в относительных единицах следующего вида [4]:

Qx,tt=2Qx,tx2+W1xu1t+W2xu2t (1)

с начальными

Qx,0=Q0=const, Q00 (2)

и типовыми граничными условиями

-Q0,tx=Bi1Qenvt-Q0,t,t>0;Q1,tx=Bi2Qenvt-Q1,t,t>0, (3)

соответствующими конвективному характеру теплообмена с окружающей средой по закону Ньютона на границах пластины x = 0 и x = 1 с заданными значениями Bi1 и Bi2 критерия Био [4].

Начальное температурное распределение Q0 в (2) принимается равномерным по всему объему пластины.

Температура окружающей среды Qenvt в (3) принимается равной Q0.

В (1) управляющие воздействия u1(t), u2(t) не стесняются дополнительными ограничениями.

В конце процесса управления, продолжительность которого T задана, требуется обеспечить необходимую точность ε>0 равномерного приближения конечного пространственного распределения управляемой величины Qx,T по толщине пластины к требуемому состоянию Q*(x)=Q*=const>Q0, которая оценивается в равномерной метрике в виде следующего неравенства [2, 6]:

\( \mathop {\max }\limits_{x \in [0, 1]} \left| {Q(x,T) - {Q^ * }} \right| \le {\varepsilon _0} \). (4)

В качестве критерия оптимальности выступает расход энергии на процесс нагрева, который оценивается в виде следующего интегрального функционала:

\( I = \int\limits_0^T {\left( {u_1^2\left( t \right) + u_2^2\left( t \right)} \right)dt \to } \mathop {\min }\limits_{{u_1}\left( t \right),\,\,{u_2}\left( t \right)} \). (5)

В рассматриваемой задаче оптимального управления требуется определить управляющие воздействия u1*t, u2*t, которые переводят объект управления (1)–(3) в требуемое конечное состояние (4) при минимальном значении критерия оптимальности (5).

Модальное описание объекта управления

Применение к начально-краевой задаче (1)–(3) конечного интегрального преобразования (КИП) по пространственной переменной приводит к эквивалентному (1)–(3) описанию ОРП бесконечной системой линейных дифференциальных уравнений первого порядка для временных мод Q¯nμn,t разложения Qx,t в сходящийся в среднем ряд по ортонормированной с весом rx=1 системе собственных функций φnμn,x, определяемых вместе с собственными числами μn2 известными способами [7, 8]:

Qx,t=n=1Q¯nμn,tφnμn,x; (6)

dQ¯nμn,tdt=-μn2Q¯nμn,t+W¯1nu1t+W¯2nu2t,Q¯nμn,0=Q¯(0)μn,n=1,2,..., (7)

где W¯1n, W¯2n – моды конечного интегрального преобразования функций W1x и W2x, определяемые соотношениями:

W¯1n=01W1(ξ,x)φn(μn,x)dx; W¯2n=01W2(ξ,x)φn(μn,x)dx. (8)

Собственные функции φnμn,x и собственные числа в (6)–(8) определяются следующими соотношениями [7, 8]:

φn(μn,x)=1En·cosμnx+Bi1μnsinμnx;tgμn=Bi1+Bi2μn-Bi1·Bi2μn;

En2=12μn1+Bi12μn2μn+1-Bi12μn2sinμncosμn+2Bi1μnsin2μn,n=1,2,       

Интегрирование каждого из уравнений системы (7) независимо от других с последующей подстановкой результатов в (6) позволяет получить решение краевой задачи (1)–(3) в форме явной аналитической зависимости от внутренних управляющих воздействий Ut=u1t,u2t.

Параметризованная форма оптимального программного управления

На сформулированную бесконечномерную задачу оптимизации распространяется принцип максимума Понтрягина [2, 9]. Базовые условия достижения максимума функции Понтрягина на оптимальном управлении U*(t)=u1*(t),u2*(t) вместе с информацией о закономерностях оптимизируемых процессов в конкретной предметной области в целом ряде прикладных задач вполне определяют характер программных управляющих воздействий на участках их непрерывного изменения в форме явных зависимостей от управляемых и сопряженных переменных.

Функция Понтрягина HQ¯,Ut,ψt для рассматриваемой задачи оптимизации принимает согласно (7) следующий вид [9]:

HQ¯,Ut,ψt=-u12t+u22t+n=1ψnt-μn2Q¯n+W¯1nu1t+W¯2nu2t . (9)

Здесь Q¯=Q¯nμn,t, U(t)=u1t,u2t и вектор сопряженных переменных ψt=ψnt, n=1,2,... описывается системой дифференциальных уравнений:

dψjdt=-HQj=μj2ψj, j = 1,2,...,(10)

откуда следует, что ψt непосредственно определяется, согласно (10), в экспоненциальной форме с точностью до априори неизвестных значений ψnT, n=1,2,...:

ψn(t)=ψn(T)·e-μn2(T-t). (11)

Согласно основному утверждению принципа максимума, функция Понтрягина (11) достигает на соответствующих оптимальному процессу величинах Q¯*t, U*t, ψ*t своего максимума по этим переменным именно при оптимальном управлении U*t в любой момент времени [9]:

\( H\left( {{{\bar Q}^ * },{U^ * }(t),{\psi ^ * }\left( t \right)} \right) = \mathop {\max }\limits_{U(t)} H\left( {{{\bar Q}^ * },U\left( t \right),{\psi ^ * }\left( t \right)} \right) \), t0,T. (12)

В [10] предложен метод последовательной параметризации управляющих воздействий в ЗОУ СРП на конечномерных подмножествах величин ψt, формируемых в виде N-мерных векторов ψN=ψ~n, n=1,N¯ финишных значений ψ~n=ψnT N первых сопряженных функций (11) при равных нулю остальных величинах ψnT для всех n > N. При двухканальном управлении векторы  определяем для каждого из управляющих воздействий в отдельности, полагая в соответствии с методом в [10]

ψ(N1)=ψ1nT=ψ~1n, n=1,N1¯, N11; ψ1n(T)=0, n>N1,

ψ(N2)=ψ2nT=ψ~2n, n=1,N2¯, N21; ψ2nT=0, n>N2,

соответственно для управлений u1*t и u2*t. Параметризуемое подобным образом оптимальное управление согласно базовому условию (12) описывается следующей, теперь уже конечной суммой экспонент:

uk*(t)=12n=1Nkψ~knW¯kne-μn2(T-t), k = 1,2. (13)

Решение исходной задачи позволяет оценить максимальный эффект, достигаемый по критерию (5) в условиях свободы выбора управляющих воздействий u1t, u2t, если при этом u1*t0, u2*t0 для всех t0,T.

Редукция к задаче полубесконечной оптимизации и ее решение альтернансным методом

Интегрирование системы уравнений (7) с управляющими воздействиями (13) приводит к линейной зависимости модальных переменных от ψN1=ψ~1n, n=1,N1¯; ψN2=ψ~2n, n=1,N2¯:

Q¯nψ1N1,ψ2N2,t=W¯1n2i=1N1ψ~1iW¯1iμn2+μi2e-μi2Teμi2t-e-μn2t++W¯2n2i=1N2ψ~2iW¯2iμn2+μi2e-μi2Teμi2t-e-μn2t. (14)

Последующая подстановка этого результата в (6) для t = T определяет в явной форме линейную по ψ1N1, ψ2N2-параметризованную зависимость Qx,T

Qx,ψ1N1,ψ2N2=n=11Encosμnx+Bi1μnsinμnx·Q¯nψ1N1,ψ2N2,T (15)

и приводит к представлению требования к конечному состоянию управляемой величины (4) и критерия оптимальности (5) в форме явных зависимостей соответственно Qx,ψ1N1,ψ2N2 и Iψ1N1,ψ2N2 от своих аргументов:

\( \Phi \left( {\psi _1^{\left( {{N_1}} \right)},\psi _2^{\left( {{N_2}} \right)}} \right) = \mathop {\max }\limits_{x \in [{x_0},{x_1}]} \left| {Q\left( {x,\psi _1^{\left( {{N_1}} \right)},\psi _2^{\left( {{N_2}} \right)}} \right) - {Q^*}\left( x \right)} \right| \le \varepsilon \ \), (16)

\( I\left( {\psi _1^{\left( {{N_1}} \right)},\psi _2^{\left( {{N_2}} \right)}} \right) \to \mathop {\min }\limits_{\psi _1^{\left( {{N_1}} \right)},\psi _2^{\left( {{N_2}} \right)}} \ \). (17)

В результате осуществляется точная редукция исходной задачи оптимального управления (1)–(7) к задаче полубесконечной оптимизации (ЗПО) (16), (17) на экстремум функции (17) конечного числа переменных ψ1N1=ψ~1n, n=1,N1¯; ψ2N2=ψ~2n, n=1,N2¯ в (13) с бесконечным числом диктуемых требованием (4) ограничений для всех xx0,x1, эквивалентных одному ограничению на функцию максимума в (16).

Задача (16), (17) разрешима не при всех величинах ε, а только для εεminN1,N2 в (16):

\( \varepsilon _{\min }^{\left( {{N_1},{N_2}} \right)} = \mathop {\min }\limits_{\psi _1^{\left( {{N_1}} \right)},\psi _2^{\left( {{N_2}} \right)}} \left\{ {\mathop {\max }\limits_{x \in [{x_0},{x_1}]} \left| {Q\left( {x,\psi _1^{\left( {{N_1}} \right)},\psi _2^{\left( {{N_2}} \right)}} \right) - {Q^ * }\left( x \right)} \right|} \right\}\ \), (18)

где εminN1,N2 – минимально достижимая ошибка равномерного приближения Qx,ψ1N1,ψ2N2 к Q*x в рассматриваемом классе управлений (13), и значения εminN1,N2 монотонно убывают с ростом размерности N1 и N2 [6]:

εmin1,1>εmin2,2>>εminξ-1,ξ-1>maxεminξ-1,ξ,εminξ,ξ-1minεminξ-1,ξ,εminξ,ξ-1>

>εminξ,ξ>>εminρ,ρ=εinf0.

Согласно установленному в [10] принципу минимальной сложности параметризуемых в соответствии с (13) структур оптимальных программных управлений, размерность N1 и N2 векторов ψ1N1, ψ2N2, характеризующих управления u1*t, u2*t в (13), определяется местом заданного достижимого значения ε в (4) в этой цепочке неравенств в соответствии с одним из правил:

N1=N2=w, если ; εmin(w,w)ε<minεminw-1,w,εminw,w-1 (19)

N1=w, N2=w-1, если εminw,w-1ε<εminw-1,w или εminw-1,w<εminw,w-1ε<εminw-1,w-1;

N1=w-1, N2=w, если εminw-1,wε<εminw,w-1 или εminw,w-1<εminw-1,wε<εminw-1,w-1.

Решение ЗПО (16), (17) может быть получено по схеме альтернансного метода [2, 6, 11, 12], являющегося развитием теории нелинейных чебышевских приближений [13] применительно к задачам полубесконечной оптимизации и базирующегося на специальных альтернансных свойствах ψ1N1, ψ2N2, согласно которым в условиях малостеснительных допущений в некоторых точках xj0[0,1], j=1,R¯ достигаются предельно допустимые значения Φψ1(N1),ψ2(N2), равные ε:

Qxj0,ψ12,ψ22-Q*xj0=ε, j=1,R¯. (20)

Основное свойство заключается в том, что число R этих точек оказывается равным числу всех неизвестных задач (16), (17), включая все компоненты векторов ψ1N1=ψ~1n, n=1,N1¯; ψ2N2=ψ~2n, n=1,N2¯ при заданной величине ε в случае ε>εminN1,N2 в (19) и наряду с ними априори неизвестную величину минимакса εminN1,N2, определяемую согласно (18), если ε=εminN1,N2 [11]. Применительно к типичному варианту (19) с одинаковым числом переключений N1=N2=N=2 двухканального управления при ε=εmin2,2 получаем, что число R точек альтернанса определяется в виде

R=N1+N2,ε>εminN1,N2;N1+N2+1,ε=εminN1,N2, если ε>εminN1,N2, если ε=εminN1,N2. (21)

Типичные технологические требования в рассматриваемой задаче сводятся к достижению удовлетворительной по величине ε в (4) точности нагрева с помощью управляющих воздействий самой простой из возможных в этих условиях (и, следовательно, легче всего реализуемой) структуры с выбором векторов ψ1N1, ψ2N2 минимальной размерности.

Так, в большинстве случаев в прикладных задачах оптимального быстродействия ограничиваются вариантом двухинтервальных управляющих воздействий релейной формы (режим «включить-выключить») с выбором N1=N2=N=2 в (21). В рассматриваемом случае каждое из программных управляющих воздействий u1*t, u2*t определяется двумя искомыми параметрами ψ1(N1)=ψ~11,ψ~12, ψ2(N2)=ψ~21,ψ~22 и, полагая ε=εmin2,2 в (20), получим в (21):

R=N1+N2+1=5. (22)

Таким образом, соотношения (20) с учетом (21) оказываются замкнутыми относительно всех параметров процесса управления: ψ(N)=ψ~11,ψ~12,ψ~21,ψ~22, εmin(2,2).

Основное затруднение теперь состоит в том, что равенствам (20) формально соответствует множество вариантов по форме кривой пространственного распределения. Для однозначного определения вида этой кривой нужно установить знаки разностей Qxj0,ψ(N)-Q*xj0 в каждом из уравнений и найти координаты точек xj0. Эта задача может быть решена только при известной конфигурации кривой температурного распределения Qxj0,ψ(N)-Q*xj0 на отрезке x[x0,x1] при двухканальном оптимальном управлении по мощности источников тепла, устанавливаемой на основании физических закономерностей процессов нестационарной теплопроводности в зависимости от величины [2, 11].

В качестве примера рассматривается процесс индукционного нагрева пластины из титановых сплавов при [4]:

W1ξ,x=ch2ξx-cos2ξxsh2ξ-sin2ξ2ξW2ξ,x=W1ξ,1-x,

где ξ – характерный параметр, вычисляемый по формулам:

ξ=x12δ, δ=2μωσ.

Здесь x1 – толщина пластины; δ – глубина проникновения тока в металл;
ω – частота питающего тока; σ – электропроводность нагреваемого материала; μ – абсолютная магнитная проницаемость.

Физические закономерности процесса индукционного нагрева приводят в данном случае подобно [4, 14] к показанной на рис. 1 форме кривой пространственного распределения на отрезке x0,1, соответствующей системе в следующем однозначно устанавливаемом виде:

 \( \begin{array}{*{20}{c}}
\begin{array}{l}
Q\left( {0,\psi _{}^{\left( N \right)}} \right) - {Q^ * } = - \varepsilon _{\min }^{\left( {2,2} \right)};\\
Q\left( {x_2^0,\psi _{}^{\left( N \right)}} \right) - {Q^ * } = \varepsilon _{\min }^{\left( {2,2} \right)};\\
Q\left( {x_3^0,\psi _{}^{\left( N \right)}} \right) - {Q^ * } = - \varepsilon _{\min }^{\left( {2,2} \right)};
\end{array}&\begin{array}{l}
Q\left( {x_4^0,\psi _{}^{\left( N \right)}} \right) - {Q^ * } = \varepsilon _{\min }^{\left( {2,2} \right)};\\
Q\left( {1,\psi _{}^{\left( N \right)}} \right) - {Q^ * } = - \varepsilon _{\min }^{\left( {2,2} \right)};\\
\frac{{\partial Q\left( {x_j^0,\psi _{}^{\left( N \right)}} \right)}}{{\partial x}} = 0,\,\,j = 2,3,4.
\end{array}
\end{array}\ \)
(23)

Решение этой линейной по ψ(N) системы восьми уравнений относительно восьми неизвестных (финишных значений сопряженных переменных программных управлений ψ~11, ψ~12, ψ~21, ψ~22; величины εmin2,2 и координат xj0, j = 2,3,4 точек достижения предельно допустимых отклонений Qxj0,ψN от Q*xj0) известными численными методами [15] и при учете достаточно большого числа членов сходящегося ряда в (15) исчерпывает решение исходной задачи оптимального управления с требуемой точностью.

Некоторые расчетные результаты, полученные для значений ξ=4, Bi1=Bi2=0.5, Q*=0.5, представлены на рис. 1 и рис. 2.

 

Рис. 1. Температурное распределение в конце оптимального процесса для случая T=0.95 (εmin(2,2)=0.0064; x20=0.13; x30=0.49; x40=0.86)

 

Рис. 2. Программные оптимальные управления, построенные по (17) с найденными значениями сопряженных переменных: ψ~11=1.51ψ~12=0.19ψ~21=0.72ψ~22=0.77

 

 Заключение

Разработанная в (5) конструктивная технология решения краевых задач оптимального по расходу энергии управления СРП параболического типа в условиях оценки в равномерной метрике ограничений на конечные состояния объекта распространена на двухканальный характер программного управления. Получаемые результаты могут быть использованы для решения достаточно широкого круга актуальных проблем разработки энергосберегающих алгоритмов управления, в том числе применительно к представляющим самостоятельный интерес задачам оптимизации по энергопотреблению объектов технологической теплофизики.

×

Об авторах

Наталья Андреевна Ильина

Самарский государственный технический университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: ilina.natalyaa@yandex.ru

кандидат технических наук, инженер кафедры «Автоматика и управление в технических системах»

Россия, 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244

Список литературы

  1. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975. 588 с.
  2. Рапопорт Э.Я. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами. М.: Высшая школа, 2009.
  3. Рей У. Методы управления технологическими процессами. М.: Мир, 1983. 368 с.
  4. Рапопорт Э.Я., Плешивцева Ю.Э. Оптимальное управление температурными режимами индукционного нагрева. М.: Наука, 2012.
  5. Плешивцева Ю.Э., Рапопорт Э.Я. Программное управление с минимальным энергопотреблением в системах с распределенными параметрами // Известия РАН. Теория и системы управления, 2020. № 4. С. 42–57.
  6. Рапопорт Э.Я., Плешивцева Ю.Э. Методы полубесконечной оптимизации в прикладных задачах управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 2021. 286 с.
  7. Рапопорт Э. Я. Структурное моделирование объектов и систем с распределенными параметрами. М.: Высшая школа, 2003. 299 с.
  8. Мартыненко Н.А., Пустыльников Л.М. Конечные интегральные преобразования и их применение к исследованию систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1986, 303 с.
  9. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969.
  10. Плешивцева Ю.Э., Рапопорт Э.Я. Метод последовательной параметризации управляющих воздействий в краевых задачах оптимального управления системами с распределенными параметрами // Известия РАН. Теория и системы управления, 2009. № 3. С. 22–33.
  11. Рапопорт Э.Я. Альтернансный метод в прикладных задачах оптимизации. – М.: Наука, 2000.
  12. Плешивцева Ю.Э. Последовательная параметризация управляющих воздействий и полубеско-нечная оптимизация алгоритмов управления технологическими объектами с распределенными параметрами: дис. д-ра техн. наук. Самара, 2009. 416 с.
  13. Коллатц Л., Крабс В. Теория приближений. Чебышевские приближения и их приложения. М.: Наука, 1978. 272 с.
  14. Ilina N. Parametric Optimization of Nonstationary Heat Conductivity Processes with Two Control Actions // XXI International Conference Complex Systems: Control and Modeling Problems (CSCMP), Samara, Russia, 2019. Pp. 271–276.
  15. Численные методы: учеб. и практикум для академ. бакалавриата / под ред. У.Г. Пирумова. М.: Юрайт, 2017. 421 с.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
2. Рис. 1. Температурное распределение в конце оптимального процесса для случая

Скачать (102KB)
3. Рис. 2. Программные оптимальные управления, построенные по (17) с найденными значениями сопряженных пере- менных:

Скачать (87KB)

© Ильина Н.А., 2023

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.