Two-channel optimal energy-efficient control of distributed parameter systems

Full Text

Введение

Целый ряд актуальных для приложений и представляющих самостоятельный интерес задач оптимального управления (ЗОУ) системами с распределенными параметрами (СРП) формулируется в условиях одновременного воздействия на объект по различным каналам управления с целью снижения показателей энергопотребления в процессах технологической теплофизики. Сказанное относится, в частности, к распространенным в технических системах ситуациям с использованием векторных управляющих воздействий. Во многих случаях постановка подобных задач, в частности задач двухканального управления, диктуется самими используемыми способами конструктивного исполнения промышленного объекта и методами организации технологического процесса [1–3]. Известные методы [2, 4] отыскания алгоритмов оптимального управления бесконечномерными объектами разработаны применительно к моделям управляемых процессов с одним управляющим воздействием. В связи с этим возникает актуальная задача применения разработанной технологии [5] получения алгоритмически точного решения задачи минимизации энергопотребления в процессе управления СРП параболического типа c двумя каналами управления.

Постановка задачи оптимального управления

В данной работе в качестве объекта управления рассматривается процесс нагрева металлической пластины с двумя сосредоточенными управляющими воздействиями $u_1\left(t\right)$ и $u_2\left(t\right)$ по мощности внутреннего тепловыделения с заданными функциями $W_1\left(x\right)$ и $W_2\left(x\right)$ его пространственного распределения.

В этом случае управляемая величина $Q\left(x,t\right)$ описывается в зависимости от пространственной координаты $x\in \left[0,1\right]$ и времени $t\in \left[0,T\right]$ линейным одномерным неоднородным уравнением теплопроводности в относительных единицах следующего вида [4]:

$\frac{\partial Q\left(x,t\right)}{\partial t}=\frac{{\partial }^{2}Q\left(x,t\right)}{\partial x^2}+W_1\left(x\right)u_1\left(t\right)+W_2\left(x\right)u_2\left(t\right)$ (1)

с начальными

$Q\left(x,0\right)=Q_0=\mathrm{const}$, $Q_0\ge 0$ (2)

и типовыми граничными условиями

$\begin{array}{c}-\frac{\partial Q\left(0,t\right)}{\partial x}=B{i}_1\left(Q_{\mathrm{env}}\left(t\right)-Q\left(0,t\right)\right),t>0;\\ \frac{\partial Q\left(1,t\right)}{\partial x}=B{i}_2\left(Q_{\mathrm{env}}\left(t\right)-Q\left(1,t\right)\right),t>0,\end{array}$ (3)

соответствующими конвективному характеру теплообмена с окружающей средой по закону Ньютона на границах пластины $x = 0$ и $x = 1$ с заданными значениями $B{i}_1$ и $B{i}_2$ критерия Био [4].

Начальное температурное распределение $Q_0$ в (2) принимается равномерным по всему объему пластины.

Температура окружающей среды $Q_{\mathrm{env}}\left(t\right)$ в (3) принимается равной $Q_0$.

В (1) управляющие воздействия $u_1\left(t\right)$, $u_2\left(t\right)$ не стесняются дополнительными ограничениями.

В конце процесса управления, продолжительность которого $T$ задана, требуется обеспечить необходимую точность $\epsilon >0$ равномерного приближения конечного пространственного распределения управляемой величины $Q\left(x,T\right)$ по толщине пластины к требуемому состоянию $Q^{*}\left(x\right)=Q^{*}=\mathrm{const}>Q_0$, которая оценивается в равномерной метрике в виде следующего неравенства [2, 6]:

\( \mathop {\max }\limits_{x \in [0, 1]} \left| {Q(x,T) - {Q^ * }} \right| \le {\varepsilon _0} \). (4)

В качестве критерия оптимальности выступает расход энергии на процесс нагрева, который оценивается в виде следующего интегрального функционала:

$I=\underset{0}{\overset{T}{\int }}\left(u_1^2\left(t\right)+u_2^2\left(t\right)\right)dt\to \underset{u_1\left(t\right),u_2\left(t\right)}{min}$. (5)

В рассматриваемой задаче оптимального управления требуется определить управляющие воздействия $u_1^{*}\left(t\right)$, $u_2^{*}\left(t\right)$, которые переводят объект управления (1)–(3) в требуемое конечное состояние (4) при минимальном значении критерия оптимальности (5).

Модальное описание объекта управления

Применение к начально-краевой задаче (1)–(3) конечного интегрального преобразования (КИП) по пространственной переменной приводит к эквивалентному (1)–(3) описанию ОРП бесконечной системой линейных дифференциальных уравнений первого порядка для временных мод ${\overline{Q}}_n\left({\mu }_n,t\right)$ разложения $Q\left(x,t\right)$ в сходящийся в среднем ряд по ортонормированной с весом $r\left(x\right)=1$ системе собственных функций ${\phi }_n\left({\mu }_n,x\right)$, определяемых вместе с собственными числами ${\mu }_n^2$ известными способами [7, 8]:

$Q\left(x,t\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\overline{Q}}_n\left({\mu }_n,t\right){\phi }_n\left({\mu }_n,x\right)$; (6)

$\begin{array}{c}\frac{d{\overline{Q}}_n\left({\mu }_n,t\right)}{dt}=-{\mu }_n^2{\overline{Q}}_n\left({\mu }_n,t\right)+{\overline{W}}_{1n}{u}_1\left(t\right)+{\overline{W}}_{2n}{u}_2\left(t\right),\\ {\overline{Q}}_n\left({\mu }_n,0\right)={\overline{Q}}^{\left(0\right)}\left({\mu }_n\right),n=1,2,...,\end{array}$ (7)

где ${\overline{W}}_{1n}$, ${\overline{W}}_{2n}$ – моды конечного интегрального преобразования функций $W_1\left(x\right)$ и $W_2\left(x\right)$, определяемые соотношениями:

${\overline{W}}_{1n}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{W}_1(\xi ,x){\phi }_n({\mu }_n,x)dx$; ${\overline{W}}_{2n}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{W}_2(\xi ,x){\phi }_n({\mu }_n,x)dx$. (8)

Собственные функции ${\phi }_n\left({\mu }_n,x\right)$ и собственные числа в (6)–(8) определяются следующими соотношениями [7, 8]:

${\phi }_n({\mu }_n,x)=\frac{1}{E_n}·\left[\cos \left({\mu }_{n}x\right)+\frac{B{i}_1}{{\mu }_n}\sin \left({\mu }_{n}x\right)\right];\mathrm{tg}{\mu }_n=\frac{B{i}_1+B{i}_2}{{\mu }_n-\frac{B{i}_1·B{i}_2}{{\mu }_n}};$

$E_n^2=\frac{1}{2{\mu }_n}\left[\left(1+\frac{B{i_1}^2}{{{\mu }_n}^2}\right){\mu }_n+\left(1-\frac{B{i_1}^2}{{{\mu }_n}^2}\right)\sin {\mu }_n\cos {\mu }_n+2\frac{B{i}_1}{{\mu }_n}{\sin }^2{\mu }_n\right],n=1,2,\dots$       

Интегрирование каждого из уравнений системы (7) независимо от других с последующей подстановкой результатов в (6) позволяет получить решение краевой задачи (1)–(3) в форме явной аналитической зависимости от внутренних управляющих воздействий $U\left(t\right)=\left(u_1\left(t\right),u_2\left(t\right)\right)$.

Параметризованная форма оптимального программного управления

На сформулированную бесконечномерную задачу оптимизации распространяется принцип максимума Понтрягина [2, 9]. Базовые условия достижения максимума функции Понтрягина на оптимальном управлении $U^{*}\left(t\right)=\left(u_1^{*}\left(t\right),u_2^{*}\left(t\right)\right)$ вместе с информацией о закономерностях оптимизируемых процессов в конкретной предметной области в целом ряде прикладных задач вполне определяют характер программных управляющих воздействий на участках их непрерывного изменения в форме явных зависимостей от управляемых и сопряженных переменных.

Функция Понтрягина $H\left(\overline{Q},U\left(t\right),\psi \left(t\right)\right)$ для рассматриваемой задачи оптимизации принимает согласно (7) следующий вид [9]:

$H\left(\overline{Q},U\left(t\right),\psi \left(t\right)\right)=-\left(u_1^2\left(t\right)+u_2^2\left(t\right)\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{\psi }_n\left(t\right)\left[-{\mu }_n^2{\overline{Q}}_n+{\overline{W}}_{1n}{u}_1\left(t\right)+{\overline{W}}_{2n}{u}_2\left(t\right)\right]$ . (9)

Здесь $\overline{Q}=\left({\overline{Q}}_n\left({\mu }_n,t\right)\right)$, $U\left(t\right)=\left(u_1\left(t\right),u_2\left(t\right)\right)$ и вектор сопряженных переменных $\psi \left(t\right)=\left({\psi }_n\left(t\right)\right)$, $n=1,2,...$ описывается системой дифференциальных уравнений:

$\frac{d{\psi }_j}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial Q_j}={\mu }_j^2{\psi }_j$, $j = 1,2,...,$(10)

откуда следует, что $\psi \left(t\right)$ непосредственно определяется, согласно (10), в экспоненциальной форме с точностью до априори неизвестных значений ${\psi }_n\left(T\right)$, $n=1,2,...$:

${\psi }_n\left(t\right)={\psi }_n\left(T\right)·e^{-{\mu }_n^2(T-t)}$. (11)

Согласно основному утверждению принципа максимума, функция Понтрягина (11) достигает на соответствующих оптимальному процессу величинах ${\overline{Q}}^{*}\left(t\right)$, $U^{*}\left(t\right)$, ${\psi }^{*}\left(t\right)$ своего максимума по этим переменным именно при оптимальном управлении $U^{*}\left(t\right)$ в любой момент времени [9]:

$H\left({\overline{Q}}^{\ast },U^{\ast }(t),{\psi }^{\ast }\left(t\right)\right)=\underset{U(t)}{max}H\left({\overline{Q}}^{\ast },U\left(t\right),{\psi }^{\ast }\left(t\right)\right)$, $t\in \left[0,T\right]$. (12)

В [10] предложен метод последовательной параметризации управляющих воздействий в ЗОУ СРП на конечномерных подмножествах величин $\psi \left(t\right)$, формируемых в виде N-мерных векторов ${\psi }^{\left(N\right)}=\left({\tilde{\psi }}_n\right)$, $n=\overline{1,N}$ финишных значений ${\tilde{\psi }}_n={\psi }_n\left(T\right)$ N первых сопряженных функций (11) при равных нулю остальных величинах ${\psi }_n\left(T\right)$ для всех $n > N$. При двухканальном управлении векторы  определяем для каждого из управляющих воздействий в отдельности, полагая в соответствии с методом в [10]

${\psi }^{\left(N_1\right)}=\left({\psi }_{1n}\left(T\right)\right)=\left({\tilde{\psi }}_{1n}\right)$, $n=\overline{1,N_1}$, $N_1\ge 1$; ${\psi }_{1n}\left(T\right)=0$, $n>N_1$,

${\psi }^{\left(N_2\right)}=\left({\psi }_{2n}\left(T\right)\right)=\left({\tilde{\psi }}_{2n}\right)$, $n=\overline{1,N_2}$, $N_2\ge 1$; ${\psi }_{2n}\left(T\right)=0$, $n>N_2$,

соответственно для управлений $u_1^{*}\left(t\right)$ и $u_2^{*}\left(t\right)$. Параметризуемое подобным образом оптимальное управление согласно базовому условию (12) описывается следующей, теперь уже конечной суммой экспонент:

$u_k^{*}\left(t\right)=\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{N_k}{\tilde{\psi }}_{kn}{\overline{W}}_{kn}{e}^{-{\mu }_n^2(T-t)}$, $k = 1,2$. (13)

Решение исходной задачи позволяет оценить максимальный эффект, достигаемый по критерию (5) в условиях свободы выбора управляющих воздействий $u_1\left(t\right)$, $u_2\left(t\right)$, если при этом $u_1^{*}\left(t\right)\ge 0$, $u_2^{*}\left(t\right)\ge 0$ для всех $t\in \left[0,T\right]$.

Редукция к задаче полубесконечной оптимизации и ее решение альтернансным методом

Интегрирование системы уравнений (7) с управляющими воздействиями (13) приводит к линейной зависимости модальных переменных от ${\psi }^{\left(N_1\right)}=\left({\tilde{\psi }}_{1n}\right)$, $n=\overline{1,N_1}$; ${\psi }^{\left(N_2\right)}=\left({\tilde{\psi }}_{2n}\right)$, $n=\overline{1,N_2}$:

$\begin{array}{l}{\overline{Q}}_n\left({\psi }_1^{\left(N_1\right)},{\psi }_2^{\left(N_2\right)},t\right)=\frac{{\overline{W}}_{1n}}{2}\sum _{i=1}^{N_1}\frac{{\tilde{\psi }}_{1i}{\overline{W}}_{1i}}{{\mu }_n^2+{\mu }_i^2}{e}^{-{\mu }_i^{2}T}\left(e^{{\mu }_i^{2}t}-e^{-{\mu }_n^{2}t}\right)+\\ +\frac{{\overline{W}}_{2n}}{2}\sum _{i=1}^{N_2}\frac{{\tilde{\psi }}_{2i}{\overline{W}}_{2i}}{{\mu }_n^2+{\mu }_i^2}{e}^{-{\mu }_i^{2}T}\left(e^{{\mu }_i^{2}t}-e^{-{\mu }_n^{2}t}\right).\end{array}$ (14)

Последующая подстановка этого результата в (6) для $t = T$ определяет в явной форме линейную по ${\psi }_1^{\left(N_1\right)}$, ${\psi }_2^{\left(N_2\right)}$-параметризованную зависимость $Q\left(x,T\right)$

$Q\left(x,{\psi }_1^{\left(N_1\right)},{\psi }_2^{\left(N_2\right)}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{E_n}\left(\cos \left({\mu }_{n}x\right)+\frac{B{i}_1}{{\mu }_n}\sin \left({\mu }_{n}x\right)\right)·{\overline{Q}}_n\left({\psi }_1^{\left(N_1\right)},{\psi }_2^{\left(N_2\right)},T\right)$ (15)

и приводит к представлению требования к конечному состоянию управляемой величины (4) и критерия оптимальности (5) в форме явных зависимостей соответственно $Q\left(x,{\psi }_1^{\left(N_1\right)},{\psi }_2^{\left(N_2\right)}\right)$ и $I\left({\psi }_1^{\left(N_1\right)},{\psi }_2^{\left(N_2\right)}\right)$ от своих аргументов:

$\mathrm{\Phi }\left({\psi }_1^{\left(N_1\right)},{\psi }_2^{\left(N_2\right)}\right)=\underset{x\in [x_0,x_1]}{max}\left|Q\left(x,{\psi }_1^{\left(N_1\right)},{\psi }_2^{\left(N_2\right)}\right)-Q^{\ast }\left(x\right)\right|\le \epsilon$, (16)

$I\left({\psi }_1^{\left(N_1\right)},{\psi }_2^{\left(N_2\right)}\right)\to \underset{{\psi }_1^{\left(N_1\right)},{\psi }_2^{\left(N_2\right)}}{min}$. (17)

В результате осуществляется точная редукция исходной задачи оптимального управления (1)–(7) к задаче полубесконечной оптимизации (ЗПО) (16), (17) на экстремум функции (17) конечного числа переменных ${\psi }_1^{\left(N_1\right)}=\left({\tilde{\psi }}_{1n}\right)$, $n=\overline{1,N_1}$; ${\psi }_2^{\left(N_2\right)}=\left({\tilde{\psi }}_{2n}\right)$, $n=\overline{1,N_2}$ в (13) с бесконечным числом диктуемых требованием (4) ограничений для всех $x\in \left[x_0,x_1\right]$, эквивалентных одному ограничению на функцию максимума в (16).

Задача (16), (17) разрешима не при всех величинах $\epsilon$, а только для $\epsilon \ge {\epsilon }_{\min }^{\left(N_1,N_2\right)}$ в (16):

${\epsilon }_{min}^{\left(N_1,N_2\right)}=\underset{{\psi }_1^{\left(N_1\right)},{\psi }_2^{\left(N_2\right)}}{min}\left\{\underset{x\in [x_0,x_1]}{max}\left|Q\left(x,{\psi }_1^{\left(N_1\right)},{\psi }_2^{\left(N_2\right)}\right)-Q^{\ast }\left(x\right)\right|\right\}$, (18)

где ${\epsilon }_{\min }^{\left(N_1,N_2\right)}$ – минимально достижимая ошибка равномерного приближения $Q\left(x,{\psi }_1^{\left(N_1\right)},{\psi }_2^{\left(N_2\right)}\right)$ к $Q^{*}\left(x\right)$ в рассматриваемом классе управлений (13), и значения ${\epsilon }_{\min }^{\left(N_1,N_2\right)}$ монотонно убывают с ростом размерности $N_1$ и $N_2$ [6]:

${\epsilon }_{\min }^{\left(1,1\right)}>{\epsilon }_{\min }^{\left(2,2\right)}>\dots >{\epsilon }_{\min }^{\left(\xi -1,\xi -1\right)}>\max \left({\epsilon }_{\min }^{\left(\xi -1,\xi \right)},{\epsilon }_{\min }^{\left(\xi ,\xi -1\right)}\right)\ge \min \left({\epsilon }_{\min }^{\left(\xi -1,\xi \right)},{\epsilon }_{\min }^{\left(\xi ,\xi -1\right)}\right)>$

$>{\epsilon }_{\min }^{\left(\xi ,\xi \right)}>\dots >{\epsilon }_{\min }^{\left(\rho ,\rho \right)}={\epsilon }_{\inf }\ge 0.$

Согласно установленному в [10] принципу минимальной сложности параметризуемых в соответствии с (13) структур оптимальных программных управлений, размерность $N_1$ и $N_2$ векторов ${\psi }_1^{\left(N_1\right)}$, ${\psi }_2^{\left(N_2\right)}$, характеризующих управления $u_1^{*}\left(t\right)$, $u_2^{*}\left(t\right)$ в (13), определяется местом заданного достижимого значения $\epsilon$ в (4) в этой цепочке неравенств в соответствии с одним из правил:

$N_1=N_2=w$, если ; ${\mathrm{\epsilon }}_{\min }^{(w,w)}\le \mathrm{\epsilon }<\min \left({\mathrm{\epsilon }}_{\min }^{\left(w-1,w\right)},{\mathrm{\epsilon }}_{\min }^{\left(w,w-1\right)}\right)$ (19)

$N_1=w$, $N_2=w-1$, если ${\mathrm{\epsilon }}_{\min }^{\left(w,w-1\right)}\le \mathrm{\epsilon }<{\mathrm{\epsilon }}_{\min }^{\left(w-1,w\right)}$ или ${\mathrm{\epsilon }}_{\min }^{\left(w-1,w\right)}<{\mathrm{\epsilon }}_{\min }^{\left(w,w-1\right)}\le \mathrm{\epsilon }<{\mathrm{\epsilon }}_{\min }^{\left(w-1,w-1\right)}$;

$N_1=w-1$, $N_2=w$, если ${\mathrm{\epsilon }}_{\min }^{\left(w-1,w\right)}\le \mathrm{\epsilon }<{\mathrm{\epsilon }}_{\min }^{\left(w,w-1\right)}$ или ${\mathrm{\epsilon }}_{\min }^{\left(w,w-1\right)}<{\mathrm{\epsilon }}_{\min }^{\left(w-1,w\right)}\le \mathrm{\epsilon }<{\mathrm{\epsilon }}_{\min }^{\left(w-1,w-1\right)}$.

Решение ЗПО (16), (17) может быть получено по схеме альтернансного метода [2, 6, 11, 12], являющегося развитием теории нелинейных чебышевских приближений [13] применительно к задачам полубесконечной оптимизации и базирующегося на специальных альтернансных свойствах ${\psi }_1^{\left(N_1\right)}$, ${\psi }_2^{\left(N_2\right)}$, согласно которым в условиях малостеснительных допущений в некоторых точках $x_j^0\in [0,1]$, $j=\overline{1,R}$ достигаются предельно допустимые значения $\Phi \left({\psi }_1^{\left(N_1\right)},{\psi }_2^{\left(N_2\right)}\right)$, равные $\epsilon$:

$\left|Q\left(x_j^0,{\psi }_1^{\left(2\right)},{\psi }_2^{\left(2\right)}\right)-Q^{*}\left(x_j^0\right)\right|=\epsilon$, $j=\overline{1,R}$. (20)

Основное свойство заключается в том, что число $R$ этих точек оказывается равным числу всех неизвестных задач (16), (17), включая все компоненты векторов ${\psi }_1^{\left(N_1\right)}=\left({\tilde{\psi }}_{1n}\right)$, $n=\overline{1,N_1}$; ${\psi }_2^{\left(N_2\right)}=\left({\tilde{\psi }}_{2n}\right)$, $n=\overline{1,N_2}$ при заданной величине $\epsilon$ в случае $\epsilon >{\epsilon }_{\min }^{\left(N_1,N_2\right)}$ в (19) и наряду с ними априори неизвестную величину минимакса ${\epsilon }_{\min }^{\left(N_1,N_2\right)}$, определяемую согласно (18), если $\epsilon ={\epsilon }_{\min }^{\left(N_1,N_2\right)}$ [11]. Применительно к типичному варианту (19) с одинаковым числом переключений $N_1=N_2=N=2$ двухканального управления при $\epsilon ={\epsilon }_{\min }^{\left(2,2\right)}$ получаем, что число $R$ точек альтернанса определяется в виде

$R=\left\{\begin{array}{l}{N}_1+N_2,\epsilon >{\epsilon }_{\min }^{\left(N_1,N_2\right)};\\ N_1+N_2+1,\epsilon ={\epsilon }_{\min }^{\left(N_1,N_2\right)},\end{array}\right.$ если $\epsilon >{\epsilon }_{\min }^{\left(N_1,N_2\right)}$, если $\epsilon ={\epsilon }_{\min }^{\left(N_1,N_2\right)}$. (21)

Типичные технологические требования в рассматриваемой задаче сводятся к достижению удовлетворительной по величине $\epsilon$ в (4) точности нагрева с помощью управляющих воздействий самой простой из возможных в этих условиях (и, следовательно, легче всего реализуемой) структуры с выбором векторов ${\psi }_1^{\left(N_1\right)}$, ${\psi }_2^{\left(N_2\right)}$ минимальной размерности.

Так, в большинстве случаев в прикладных задачах оптимального быстродействия ограничиваются вариантом двухинтервальных управляющих воздействий релейной формы (режим «включить-выключить») с выбором $N_1=N_2=N=2$ в (21). В рассматриваемом случае каждое из программных управляющих воздействий $u_1^{*}\left(t\right)$, $u_2^{*}\left(t\right)$ определяется двумя искомыми параметрами ${\psi }_1^{\left(N_1\right)}=\left({\tilde{\psi }}_{11},{\tilde{\psi }}_{12}\right)$, ${\psi }_2^{\left(N_2\right)}=\left({\tilde{\psi }}_{21},{\tilde{\psi }}_{22}\right)$ и, полагая $\epsilon ={\epsilon }_{\min }^{\left(2,2\right)}$ в (20), получим в (21):

$R=N_1+N_2+1=5$. (22)

Таким образом, соотношения (20) с учетом (21) оказываются замкнутыми относительно всех параметров процесса управления: ${\psi }_{}^{\left(N\right)}=\left({\tilde{\psi }}_{11},{\tilde{\psi }}_{12},{\tilde{\psi }}_{21},{\tilde{\psi }}_{22}\right)$, ${\epsilon }_{\min }^{(2,2)}$.

Основное затруднение теперь состоит в том, что равенствам (20) формально соответствует множество вариантов по форме кривой пространственного распределения. Для однозначного определения вида этой кривой нужно установить знаки разностей $Q\left(x_j^0,{\psi }_{}^{\left(N\right)}\right)-Q^{*}\left(x_j^0\right)$ в каждом из уравнений и найти координаты точек $x_j^0$. Эта задача может быть решена только при известной конфигурации кривой температурного распределения $Q\left(x_j^0,{\psi }_{}^{\left(N\right)}\right)-Q^{*}\left(x_j^0\right)$ на отрезке $x\in [x_0,x_1]$ при двухканальном оптимальном управлении по мощности источников тепла, устанавливаемой на основании физических закономерностей процессов нестационарной теплопроводности в зависимости от величины [2, 11].

В качестве примера рассматривается процесс индукционного нагрева пластины из титановых сплавов при [4]:

$W_1\left(\xi ,x\right)=\frac{\mathrm{ch}\left(\sqrt{2}\xi x\right)-\cos \left(\sqrt{2}\xi x\right)}{\mathrm{sh}\left(\sqrt{2}\xi \right)-\sin \left(\sqrt{2}\xi \right)}\sqrt{2}\xi$; $W_2\left(\xi ,x\right)=W_1\left(\xi ,1-x\right),$

где $\xi$ – характерный параметр, вычисляемый по формулам:

$\xi =\frac{x_1\sqrt{2}}{\delta }$, $\delta =\sqrt{\frac{2}{\mu \omega \sigma }}$.

Здесь $x_1$ – толщина пластины; $\delta$ – глубина проникновения тока в металл;
$\omega$ – частота питающего тока; $\sigma$ – электропроводность нагреваемого материала; $\mu$ – абсолютная магнитная проницаемость.

Физические закономерности процесса индукционного нагрева приводят в данном случае подобно [4, 14] к показанной на рис. 1 форме кривой пространственного распределения на отрезке $x\in \left[0,1\right]$, соответствующей системе в следующем однозначно устанавливаемом виде:

 $\begin{array}{cc}\begin{array}{l}Q\left(0,{\psi }_{}^{\left(N\right)}\right)-Q^{\ast }=-{\epsilon }_{min}^{\left(2,2\right)};\\ Q\left(x_2^0,{\psi }_{}^{\left(N\right)}\right)-Q^{\ast }={\epsilon }_{min}^{\left(2,2\right)};\\ Q\left(x_3^0,{\psi }_{}^{\left(N\right)}\right)-Q^{\ast }=-{\epsilon }_{min}^{\left(2,2\right)};\end{array}& \begin{array}{l}Q\left(x_4^0,{\psi }_{}^{\left(N\right)}\right)-Q^{\ast }={\epsilon }_{min}^{\left(2,2\right)};\\ Q\left(1,{\psi }_{}^{\left(N\right)}\right)-Q^{\ast }=-{\epsilon }_{min}^{\left(2,2\right)};\\ \frac{\partial Q\left(x_j^0,{\psi }_{}^{\left(N\right)}\right)}{\partial x}=0,j=2,3,4.\end{array}\end{array}$ (23)

Решение этой линейной по ${\psi }_{}^{\left(N\right)}$ системы восьми уравнений относительно восьми неизвестных (финишных значений сопряженных переменных программных управлений ${\tilde{\psi }}_{11}$, ${\tilde{\psi }}_{12}$, ${\tilde{\psi }}_{21}$, ${\tilde{\psi }}_{22}$; величины ${\epsilon }_{\min }^{\left(2,2\right)}$ и координат $x_j^0$, $j = 2,3,4$ точек достижения предельно допустимых отклонений $Q\left(x_j^0,{\psi }_{}^{\left(N\right)}\right)$ от $Q^{*}\left(x_j^0\right)$) известными численными методами [15] и при учете достаточно большого числа членов сходящегося ряда в (15) исчерпывает решение исходной задачи оптимального управления с требуемой точностью.

Некоторые расчетные результаты, полученные для значений $\xi =4$, $B{i}_1=B{i}_2=0.5$, $Q^{*}=0.5$, представлены на рис. 1 и рис. 2.

Рис. 1. Температурное распределение в конце оптимального процесса для случая $T=0.95$ (${\epsilon }_{\min }^{(2,2)}=0.0064$; $x_2^0=0.13$; $x_3^0=0.49$; $x_4^0=0.86$)

Рис. 2. Программные оптимальные управления, построенные по (17) с найденными значениями сопряженных переменных: ${\tilde{\psi }}_{11}=1.51$, ${\tilde{\psi }}_{12}=0.19$, ${\tilde{\psi }}_{21}=0.72$, ${\tilde{\psi }}_{22}=0.77$

 Заключение

Разработанная в (5) конструктивная технология решения краевых задач оптимального по расходу энергии управления СРП параболического типа в условиях оценки в равномерной метрике ограничений на конечные состояния объекта распространена на двухканальный характер программного управления. Получаемые результаты могут быть использованы для решения достаточно широкого круга актуальных проблем разработки энергосберегающих алгоритмов управления, в том числе применительно к представляющим самостоятельный интерес задачам оптимизации по энергопотреблению объектов технологической теплофизики.

About the authors

Natalya A. Ilina

Author for correspondence.
Email: ilina.natalyaa@yandex.ru

Ph.D. (Techn.), engineer

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Рис. 1. Температурное распределение в конце оптимального процесса для случая

Download (102KB)

Indexing metadata

3. Рис. 2. Программные оптимальные управления, построенные по (17) с найденными значениями сопряженных пере- менных:

Download (87KB)

Indexing metadata

Statistics

Dimensions

Article Metrics

PlumX