Mathematical description of the static operational mode of the ceramic brick cooling zone in a tunnel kiln with distributed supply of cooling agent

Введение

Керамический кирпич благодаря своим свойствам является одним из самых распространенных конструкционных строительных материалов. Его показатели качества в значительной степени закладываются на последнем из основных этапов технологического процесса, а именно при обжиге, который чаще всего осуществляется в туннельной печи. При этом туннельная печь делится на три зоны: предварительного нагрева, собственно обжига и охлаждения [1-3].

В зоне охлаждения крайне важно придерживаться установленного технологическим регламентом температурного режима, так как его нарушение может вызвать образование трещин, а вследствие появления остаточного напряжения в теле кирпича происходит уменьшение прочности конечного продукта [4-7]. Тепловой режим обычно задается в виде температурной кривой, показывающей желаемый характер изменения температуры кирпича по продольной координате печи [1]. Очевидно, что основной задачей управления рассматриваемым процессом является получение кривой охлаждения, которая будет находиться в пределах допустимого диапазона отклонений температур. Вид этой характеристики зависит от множества технологических факторов. Создание математической модели, связывающей управляющие и возмущающие воздействия процесса охлаждения кирпича с температурами, определяющими кривую охлаждения, является важным вопросом [8-10]. Ее решение позволит не только адекватно подобрать оборудование для обеспечения требуемых режимов работы, но и при решении обратной задачи по заданной температурной кривой сформировать вектор управляющих воздействий в каналах системы автоматизации туннельной печи. Однако в настоящее время исследования по данной тематике практически отсутствуют. Поэтому математическое описание процесса охлаждения керамического кирпича в туннельной печи как объекта управления является актуальной задачей, чему и посвящена настоящая статья.

Постановка задачи

Проведем анализ технологического процесса охлаждения керамического кирпича в туннельной печи как объекта управления. Туннельная печь представляет собой длинный канал 1, по которому движутся вагонетки 2 с кирпичом 3 (рис. 1). Изделия на вагонетке проходят от одного до другого конца канала, последовательно подвергаясь предварительному подогреву, обжигу и охлаждению в соответствующих зонах. В зону охлаждения кирпич попадает после зоны обжига, при этом охлаждающий агент (воздух) движется ему навстречу со стороны выхода изделий из печи, то есть рассматриваемая зона работает по принципу противотока. В дальнейшем будем считать, что в общем случае охлаждающий воздух подается в n точках, распределенных по длине зоны охлаждения, что делит ее на n участков. При этом в конце каждого участка присутствует также отбор воздуха, нагретого в процессе охлаждения кирпича. Такая распределенная подача и отбор охлаждающего агента открывают дополнительные возможности с точки зрения повышения гибкости и показателей качества управления процессом.

На основании анализа технологии выделим объект управления, под которым будем понимать процесс охлаждения керамического кирпича в туннельной печи с распределенными по длине подачей и отбором охлаждающего агента.

Температурная кривая на этапе охлаждения определяется температурами $\partial T_{кi}(x_i,t)$ кирпича и характеризуется градиентами $\frac{\partial T_{кi}(x_i,t)}{\partial x_i}$ в произвольном сечении i-го участка зоны охлаждения (i ∈ 0, 1… n). Однако техническая возможность отслеживания данных параметров в печи отсутствует, поэтому контроль осуществляется косвенным методом, а именно по температурам $\partial T_{вi}(x_i,t)$ воздуха, а также градиентам $\frac{\partial T_{вi}(x_i,t)}{\partial x_i}$. Тогда можем считать, что рассматриваемый этап в необходимой для контроля соблюдения технологических требований степени характеризуется вектором выходных координат

$Y(x_1,x_2\mathrm{,...,}{x}_{n-1},x_n,t)={\left[Y_1(x_1,t)Y_2(x_2,t)\mathrm{...}{Y}_{n-1}(x_{n-1},t)Y_n(x_n,t)\right]}^T,$

где

$Y_i(x_i,t)={\left[T_{кi}(x_i,t)T_{вi}(x_i,t)\frac{\partial T_{кi}(x_i,t)}{\partial x_i}\frac{\partial T_{вi}(x_i,t)}{\partial x_i}\right]}^T$;

$T$ - знак транспонирования.

Рис. 1. Расчетная схема зоны охлаждения с распределенными подачей и отборами воздуха как объекта управления

Считаем, что зона охлаждения оборудована n исполнительными устройствами, позволяющими регулировать расходы Q_вхi(t) подаваемого охлаждающего воздуха, и n исполнительными устройствами, определяющими расходы Q_выхi(t) отбираемого воздуха. Эти параметры формируют вектор управляющих воздействий

$U(t)={\left[Q_{вх1}(t)Q_{вх2}(t)\mathrm{...}{Q}_{вх(n-1)}(t)Q_{вхn}(t)Q_{вых1}(t)Q_{вых2}(t)\mathrm{...}{Q}_{вых(n-1)}(t)Q_{выхn}(t)\right]}^T$.

Стоит отметить, что в качестве исполнительных устройств могут использоваться дутьевые вентиляторы или регулируемые клапаны.

Очевидно, что условия реального производства подразумевают наличие внешних факторов, которые нежелательным образом воздействуют на объект управления и приводят к отклонению выходных координат от требуемых значений. Известно, что при осуществлении обжига керамических стеновых материалов наблюдается вариация температуры T_к.вх(t) кирпича на входе в зону охлаждения, температуры T_в.вх0i(t) воздуха, подаваемого в зону охлаждения, и температуры T_ос(t) окружающей среды, что существенно влияет на протекание технологического процесса, чем нельзя пренебречь. Поэтому перечисленные факторы составляют вектор возмущающих воздействий

$H(t)={\left[T_{к.вх}(t)T_{в.вх0i}(t)T_{ос}(t)\right]}^T$.

В данной работе ограничимся рассмотрением только лишь установившегося режима работы установки (то есть при t → ∞), чего достаточно для построения участка температурной кривой, соответствующего этапу охлаждения. Найдем операторы, связывающие выходные координаты с управляющими и возмущающими воздействиями.

Решение поставленной задачи

При разработке математического описания статического режима работы объекта управления необходимо учесть ряд допущений, которые позволят упростить анализ без существенного снижения точности моделирования. Рассмотрим следующие предположения:

1) считаем, что конструкция рассматриваемой печи обеспечивает сосредоточенную в пространстве подачу охлаждающего воздуха в начале каждого участка зоны охлаждения (то есть в точках $x_i=0$ ) и сосредоточенный отбор в конце каждого участка (при $x_i=L_i$ );

2) допускаем, что температуры кирпича и охлаждающего воздуха имеют одинаковые значения во всех точках поперечного сечения при фиксированном значении координаты $x_i$, т. е. достаточно наблюдать изменение параметров только вдоль осей $x_i$;

3) считаем, что плотности ${\rho }_{к}$ и ${\rho }_{в}$ и удельные теплоемкости $c_{к}$ и $c_{в}$ кирпича и воздуха, находящихся в зоне охлаждения, не изменяются и остаются постоянными в течение всего времени протекания процесса;

4) принимаем, что скорость ${\upsilon }_{к}$ движения вагонеток с кирпичом постоянна по всей длине туннельной печи;

5) пренебрегаем способностью вагонеток аккумулировать тепло.

Для упрощения понимания протекающих процессов и дальнейшей формализации описания статического режима работы рассматриваемой зоны туннельной печи исходя из анализа технологии производства керамического кирпича, конструкции и принципа работы установки изобразим расчетную схему процесса охлаждения (см. рис. 1). Из представленной схемы видно, что для удобства моделирования зона охлаждения разбита на n участков, поведение которых очевидно может быть описано собственной совокупностью математических зависимостей. При этом сформированные в n-м элементе переменные воздействуют на соседние участки, тем самым обусловливая единство математической модели зоны охлаждения в целом.

На основании расчетной схемы и с учетом принятых допущений статический режим процесса охлаждения керамического кирпича в туннельной печи с распределенной подачей и отбором охлаждающего агента опишем системой дифференциальных уравнений для каждого из обозначенных участков:

$\left.\begin{array}{l}{\upsilon }_{к}\cdot \frac{d{T}_{кi}\left(x_i\right)}{d{x}_i}-\frac{{\alpha }_i\cdot F_i}{V_{кi}\cdot {\rho }_{к}\cdot c_{к}}\cdot \left(T_{кi}\left(x_i\right)-T_{вi}\left(x_i\right)\right)=0;\\ -{\upsilon }_{вi}\cdot \frac{d{T}_{вi}\left(x_i\right)}{d{x}_i}+\frac{{\alpha }_i\cdot F_i}{V_{вi}\cdot {\rho }_{в}\cdot c_{в}}\cdot \left(T_{кi}\left(x_i\right)-T_{вi}\left(x_i\right)\right)-\frac{k_{вi}\cdot F_{вi}}{V_{вi}\cdot {\rho }_{в}\cdot c_{в}}\cdot \left(T_{вi}\left(x_i\right)-T_{ос}\right)=\mathrm{0,}\end{array}\right\}$ (1)

где $V_{кi}$ - объем кирпича, находящегося на i-м участке зоны охлаждения,

$V_{кi}=V_{к}\cdot \frac{L_i}{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{L}_i}}$;

V_к - общий объем кирпича, находящегося в зоне охлаждения; L_i - длина i-го участка; V_вi - объем воздуха, находящегося на i-м участке зоны охлаждения,

$V_{вi}=F_{п}\cdot L_i-V_{кi}$;

${\upsilon }_{вi}$ - скорость охлаждающего воздуха на i-м участке,

${\upsilon }_{вi}=\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{Q}_i}}{F_{св}}$;

$Q_i$ _i - расход воздуха через i-й участок,

$Q_i=Q_{\text{вх}i}+Q_{i-1}-Q_{\text{вых}\left(i-1\right)}$;

$F_{\text{св}}$ - площадь поперечного сечения пространства печного туннеля, свободного от кирпича; α_i - коэффициент теплоотдачи кирпича охлаждающему воздуху на i-м участке,

${\alpha }_i\approx k_{\epsilon i}\cdot (5.3+3.6\cdot k_{Ti}\cdot {\upsilon }_{вi})$;

$k_{\epsilon i}$ - коэффициент, учитывающий сложную конфигурацию воздушного канала, образованного печным каналом и садкой кирпича; $k_{Ti}$ - поправочный коэффициент, учитывающий температуру воздуха на i-м участке; $F_i$ - эффективная площадь поверхности теплообмена между кирпичом и потоком охлаждающего воздуха на i-м участке; $k_{вi}$ - коэффициент теплопередачи между воздухом и окружающей средой через ограждающие конструкции туннельной печи,

$k_{вi}=\frac{1}{\frac{1}{{\alpha }_{вi}}+{\displaystyle \sum _{j=1}^r\frac{{\delta }_j}{{\lambda }_j}}+\frac{1}{{\alpha }_{н}}}$;

δ_j и λ_j - толщина и коэффициент теплопроводности материала j-го слоя ограждающей конструкции зоны охлаждения $\left(j\in \mathrm{0,1,...,}r\right)$; α_вi - коэффициент теплоотдачи от охлаждающего воздуха к внутреннему слою ограждающей конструкции на i-м участке [1],

${\alpha }_{вi}\approx 5.3+3.6\cdot k_{Ti}\cdot {\upsilon }_{вi}$;

α_н - коэффициент теплоотдачи от внешнего слоя ограждающей конструкции к окружающей среде; F_вi - площадь теплообмена между воздухом и окружающей средой через стены туннельной печи на i-м участке,

$F_{вi}=F_{в}\cdot \frac{L_i}{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{L}_i}}$;

F_в - полная площадь теплообмена между воздухом и окружающей средой через стены туннельной печи.

Для нахождения частного решения дополним уравнения (1) системой граничных условий:

$\left.\begin{array}{l}{\left.T_{к1}(x_1)\right|}_{x_1=L_1}={\left.T_{к2}(x_2)\right|}_{x_2=0};\\ {\left.T_{к2}(x_2)\right|}_{x_2=L_2}={\left.T_{к3}(x_3)\right|}_{x_3=0};\\ \mathrm{...}\\ {\left.T_{к(n-1)}(x_{n-1})\right|}_{x_{n-1}=L_{n-1}}={\left.T_{кn}(x_n)\right|}_{x_n=0};\\ {\left.T_{кn}(x_n)\right|}_{x_n=L_n}=T_{к.вх};\\ {\left.T_{в1}(x_1)\right|}_{x_1=0}=T_{в.вх1};\\ {\left.T_{в2}(x_2)\right|}_{x_2=0}=T_{в.вх2};\\ \mathrm{...}\\ {\left.T_{в(n-1)}(x_{n-1})\right|}_{x_{n-1}=0}=T_{в.вх(n-1)};\\ {\left.T_{вn}(x_n)\right|}_{x_n=0}=T_{в.вхn}.\end{array}\right\}$ (2)

При этом температуры охлаждающего агента на входе в i-й участок

$\left.\begin{array}{l}{T}_{в.вх1}=T_{в.вх01};\\ T_{в.вх2}={\gamma }_{в12}\cdot {\left.T_{в1}(x_1)\right|}_{x_1=L_1}+{\gamma }_{в22}\cdot T_{в.вх02};\\ \mathrm{...}\\ T_{в.вх(n-1)}={\gamma }_{в1(n-1)}\cdot {\left.T_{в(n-2)}(x_{n-2})\right|}_{x_{n-2}=L_{n-2}}+{\gamma }_{в2(n-1)}\cdot T_{в.вх0(n-1)};\\ T_{в.вхn}={\gamma }_{в1n}\cdot {\left.T_{в(n-1)}(x_{n-1})\right|}_{x_{n-1}=L_{n-1}}+{\gamma }_{в2n}\cdot T_{в.вх0n},\end{array}\right\}$ (3)

где T_в.вх0i - температуры потоков воздуха, подаваемых исполнительными устройствами в зону охлаждения.

При этом коэффициенты, учитывающие влияние расходов подаваемого и отбираемого из зоны охлаждения воздуха, на основании уравнений энергетического баланса для каждого участка запишем в виде

$\left.\begin{array}{l}{\gamma }_{в12}=\frac{Q_1}{Q_2},\mathrm{...,}{\gamma }_{в1(n-1)}=\frac{Q_{n-2}}{Q_{n-1}}\text{, }{\gamma }_{в1n}=\frac{Q_{n-1}}{Q_n};\\ {\gamma }_{в22}=\frac{Q_{вх2}}{Q_2},\mathrm{...,}{\gamma }_{в2(n-1)}=\frac{Q_{вх(n-1)}}{Q_{n-1}}\text{, }{\gamma }_{в2n}=\frac{Q_{вхn}}{Q_n}.\end{array}\right\}$ (4)

Решая систему уравнений (1) относительно T_кi(x_i) и T_вi(x_i) с учетом граничных условий, получим семейство функциональных зависимостей, отражающих пространственное распределение по координатам x_i температур кирпича и охлаждающего воздуха на каждом участке зоны охлаждения туннельной печи:

$\left.\begin{array}{l}{T}_{к1}\left(x_1\right)={\Psi }_{к11}\left(x_1\right)\cdot T_{в.вх1}+{\Psi }_{к21}\left(x_1\right)\cdot {\left.T_{к2}\left(x_2\right)\right|}_{x_2=0}+{\Psi }_{к31}\left(x_1\right)\cdot T_{ос};\\ T_{к2}\left(x_2\right)={\Psi }_{к12}\left(x_2\right)\cdot T_{в.вх2}+{\Psi }_{к22}\left(x_2\right){\left.\cdot T_{к3}\left(x_3\right)\right|}_{x_3=0}+{\Psi }_{к32}\left(x_2\right)\cdot T_{ос};\\ \mathrm{...}\\ T_{к(n-1)}\left(x_{n-1}\right)={\Psi }_{к1(n-1)}\left(x_{n-1}\right)\cdot T_{в.вх(n-1)}+{\Psi }_{к2(n-1)}\left(x_{n-1}\right)\cdot {\left.T_{кn}\left(x_n\right)\right|}_{x_n=0}+{\Psi }_{к3(n-1)}\left(x_{n-1}\right)\cdot T_{ос};\\ T_{кn}\left(x_n\right)={\Psi }_{к1n}\left(x_n\right)\cdot T_{в.вхn}+{\Psi }_{к2n}\left(x_n\right)\cdot T_{к.вх}+{\Psi }_{к3n}\left(x_n\right)\cdot T_{ос};\\ T_{в1}\left(x_1\right)={\Psi }_{в11}\left(x_1\right)\cdot T_{в.вх1}+{\Psi }_{в21}\left(x_1\right)\cdot {\left.T_{к2}\left(x_2\right)\right|}_{x_2=0}+{\Psi }_{в31}\left(x_1\right)\cdot T_{ос};\\ T_{в2}\left(x_2\right)={\Psi }_{в12}\left(x_2\right)\cdot T_{в.вх2}+{\Psi }_{в22}\left(x_2\right)\cdot {\left.T_{к3}\left(x_3\right)\right|}_{x_3=0}+{\Psi }_{в32}\left(x_2\right)\cdot T_{ос};\end{array}\right\}$ (5)

$\left.\begin{array}{r}\begin{array}{l}\mathrm{...}\\ T_{в(n-1)}\left(x_{n-1}\right)={\Psi }_{в1(n-1)}\left(x_{n-1}\right)\cdot T_{в.вх(n-1)}+{\Psi }_{в2(n-1)}\left(x_{n-1}\right)\cdot {\left.T_{кn}\left(x_n\right)\right|}_{x_n=0}+{\Psi }_{в3(n-1)}\left(x_{n-1}\right)\cdot T_{ос};\\ T_{вn}\left(x_n\right)={\Psi }_{в1n}\left(x_n\right)\cdot T_{в.вхn}+{\Psi }_{в2n}\left(x_n\right)\cdot T_{к.вх}+{\Psi }_{в3n}\left(x_n\right)\cdot T_{ос},\end{array}\\ \end{array}\right\}$

где коэффициенты, связывающие выходные координаты с управляющими воздействиями и основными возмущениями:

${\Psi }_{к1i}\left(x_i\right)=\frac{T_{кi}\left(x_i\right)}{T_{в.вхi}}=$

$=\frac{{В}_{1i}\cdot \left(e^{{\sigma }_{к1i}\cdot L_i+{\sigma }_{к2i}\cdot x_i}-e^{{\sigma }_{к2i}\cdot L_i+{\sigma }_{к1i}\cdot x_i}\right)}{\left({\sigma }_{к1i}-D_{1i}\right)\cdot e^{{\sigma }_{к2i}\cdot L_i}-\left({\sigma }_{к2i}-D_{1i}\right)\cdot e^{{\sigma }_{к1i}\cdot L_i}};$ (6)

${\Psi }_{к2i}\left(x_i\right)=\frac{T_{кi}\left(x_i\right)}{T_{к.вхi}}=\frac{e^{{\sigma }_{к1i}\cdot x_i}\cdot \left(D_{1i}-{\sigma }_{к2i}\right)-e^{{\sigma }_{к2i}\cdot x_i}\cdot \left(D_{1i}-{\sigma }_{к1i}\right)}{\left({\sigma }_{к1i}-D_{1i}\right)\cdot e^{{\sigma }_{к2i}\cdot L_i}-\left({\sigma }_{к2i}-D_{1i}\right)\cdot e^{{\sigma }_{к1i}\cdot L_i}};$ (7)

${\Psi }_{к3i}\left(x_i\right)=\frac{T_{к3i}\left(x_i\right)}{T_{ос}}={\Psi }_{к31i}\cdot \left(1-{\Psi }_{к32i}\right)$ (8)

${\Psi }_{к31i}=\frac{E_{к3i}}{E_{2i}}$; (9)

${\Psi }_{к32i}\left(x_i\right)=\frac{e^{{\sigma }_{к2i}\cdot x_i}\cdot \left({\sigma }_{к1i}-D_{1i}+D_{1i}\cdot e^{{\sigma }_{к1i}\cdot L_i}\right)-e^{{\sigma }_{к1i}\cdot x_i}\cdot \left({\sigma }_{к2i}-D_{1i}+D_{1i}\cdot e^{{\sigma }_{к2i}\cdot L_i}\right)}{\left({\sigma }_{к1i}-D_{1i}\right)\cdot e^{{\sigma }_{к2i}\cdot L_i}-\left({\sigma }_{к2i}-D_{1i}\right)\cdot e^{{\sigma }_{к1i}\cdot L_i}}$; (10)

${\Psi }_{в1i}\left(x_i\right)=\frac{T_{вi}\left(x_i\right)}{T_{в.вхi}}=$

$=\frac{e^{{\sigma }_{в1i}\cdot L_i+{\sigma }_{в2i}\cdot x_i}\cdot \left(D_{2i}+{\sigma }_{в1i}\right)-e^{{\sigma }_{в2i}\cdot L_i+{\sigma }_{в1i}\cdot x_i}\cdot \left(D_{2i}+{\sigma }_{в2i}\right)}{e^{{\sigma }_{в1i}\cdot L_i}\cdot \left(D_{2i}+{\sigma }_{в1i}\right)-e^{{\sigma }_{в2i}\cdot L_i}\cdot \left(D_{2i}+{\sigma }_{в2i}\right)};$ (11)

${\Psi }_{в2i}\left(x_i\right)=\frac{T_{вi}\left(x_i\right)}{T_{к.вхi}}=\frac{B_{2i}\cdot \left(e^{{\sigma }_{в1i}\cdot x_i}-e^{{\sigma }_{в2i}\cdot x_i}\right)}{e^{{\sigma }_{в1i}\cdot L_i}\cdot \left(D_{2i}+{\sigma }_{в1i}\right)-e^{{\sigma }_{в2i}\cdot L_i}\cdot \left(D_{2i}+{\sigma }_{в2i}\right)};$ (12)

${\Psi }_{в3i}\left(x_i\right)=\frac{T_{вi}\left(x_i\right)}{T_{ос}}={\Psi }_{в31i}\cdot \left(1-{\Psi }_{в32i}\left(x_i\right)\right)$, (13)

${\Psi }_{в31i}=\frac{E_{в3i}}{E_{2i}}$; (14)

${\Psi }_{в32i}\left(x_i\right)=\frac{e^{{\sigma }_{в2i}\cdot x_i}\cdot \left(C_{2i}\cdot \frac{E_{2i}}{E_{в3i}}-D_{2i}+\left(D_{2i}+{\sigma }_{в1i}\right)\cdot e^{{\sigma }_{в1i}\cdot L_i}\right)}{e^{{\sigma }_{в1i}\cdot L_i}\cdot \left(D_{2i}+{\sigma }_{в1i}\right)-e^{{\sigma }_{в2i}\cdot L_i}\cdot \left(D_{2i}+{\sigma }_{в2i}\right)}-$

$-\frac{e^{{\sigma }_{в1i}\cdot x_i}\cdot \left(C_{2i}\cdot \frac{E_{в3i}}{E_{2i}}-D_{2i}+\left(D_{2i}+{\sigma }_{в2i}\right)\cdot e^{{\sigma }_{в2i}\cdot L_i}\right)}{e^{{\sigma }_{в1i}\cdot L_i}\cdot \left(D_{2i}+{\sigma }_{в1i}\right)-e^{{\sigma }_{в2i}\cdot L_i}\cdot \left(D_{2i}+{\sigma }_{в2i}\right)}.$ (15)

В свою очередь, постоянные в выражениях (6) - (15) представляют собой сложные функции характерных параметров:

$\left.\begin{array}{c}{B}_{1i}=\frac{1}{{\upsilon }_{к}}\cdot \frac{{\alpha }_i\cdot F_i}{V_{кi}\cdot {\rho }_{к}\cdot c_{к}};B_{2i}=\frac{1}{{\upsilon }_{вi}}\cdot \frac{{\alpha }_i\cdot F_i}{V_{вi}\cdot {\rho }_{в}\cdot c_{в}};C_{2i}=\frac{k_{вi}\cdot F_{вi}}{V_{вi}\cdot {\rho }_{в}\cdot c_{в}};\\ D_{1i}=A_{1i}+B_{1i};D_{2i}=A_{2i}+B_{2i}+C_{2i};\\ E_{к1i}=D_{1i}-D_{2i};E_{к3i}=C_{2i}\cdot B_{1i};\\ E_{2i}=D_{1i}\cdot D_{2i}-B_{1i}\cdot B_{2i};\\ {\sigma }_{\mathrm{1,2}кi}=\frac{E_{к1i}\pm \sqrt{E_{к1i}{}^2+4\cdot E_{2i}}}{2},\\ E_{в1i}=D_{2i}-D_{1i};E_{в3i}=C_{2i}\cdot D_{1i};\\ {\sigma }_{\mathrm{1,2}вi}=\frac{-E_{в1i}\pm \sqrt{E_{в1i}{}^2+4\cdot E_{2i}}}{2}.\end{array}\right\}$

В связи с тем, что моделируемая часть тепловой установки работает по принципу противотока, имеет место взаимовлияние участков зоны охлаждения, а значит, граничные условия зависят от состояния параметров на соседних участках, которые заранее неизвестны. Тогда, рассматривая систему (3) на границах участков и принимая во внимание выражения (2) - (4), численные значения граничных условий можем определить из решения следующей системы уравнений:

$\left.\begin{array}{l}{\left.T_{к1}\left(x_1\right)\right|}_{x_1=0}={\left.{\Psi }_{к11}\left(x_1\right)\right|}_{x_1=0}\cdot T_{в.вх01}+{\left.{\Psi }_{к21}\left(x_1\right)\right|}_{x_1=0}\cdot {\left.T_{к2}\left(x_2\right)\right|}_{x_2=0}+{\left.{\Psi }_{к31}\left(x_1\right)\right|}_{x_1=0}\cdot T_{ос};\\ {\left.T_{к2}\left(x_2\right)\right|}_{x_2=0}={\left.{\Psi }_{к12}\left(x_2\right)\right|}_{x_2=0}\cdot {\gamma }_{в12}\cdot {\left.T_{в1}\left(x_1\right)\right|}_{x_1=L_1}+{\Psi }_{к12}\left(x_2\right)\cdot {\gamma }_{в22}\cdot T_{в.вх02}+\\ +{\left.{\Psi }_{к22}\left(x_2\right)\right|}_{x_2=0}{\left.\cdot T_{к3}\left(x_3\right)\right|}_{x_3=0}+{\left.{\Psi }_{к32}\left(x_2\right)\right|}_{x_2=0}\cdot T_{ос};\\ \mathrm{...}\\ {\left.T_{к(n-1)}\left(x_{n-1}\right)\right|}_{x_{n-1}=0}={\left.{\Psi }_{к1(n-1)}\left(x_{n-1}\right)\right|}_{x_{n-1}=0}\cdot {\gamma }_{в1(n-1)}\cdot {\left.T_{в(n-2)}\left(x_{n-2}\right)\right|}_{x_{n-2}=L_{n-2}}+\\ +{\left.{\Psi }_{к1(n-1)}\left(x_{n-1}\right)\right|}_{x_{n-1}=0}\cdot {\gamma }_{в2(n-1)}\cdot T_{в.вх0(n-1)}+{\left.{\Psi }_{к2(n-1)}\left(x_{n-1}\right)\right|}_{x_{n-1}=0}\cdot {\left.T_{кn}\left(x_n\right)\right|}_{x_n=0}+{\left.{\Psi }_{к3(n-1)}\left(x_{n-1}\right)\right|}_{x_{n-1}=0}\cdot T_{ос};\end{array}\right\}$

$\left.\begin{array}{l}{\left.T_{кn}\left(x_n\right)\right|}_{x_n=0}={\left.{\Psi }_{к1n}\left(x_n\right)\right|}_{x_n=0}\cdot {\gamma }_{в1n}\cdot {\left.T_{в(n-1)}\left(x_{n-1}\right)\right|}_{x_{n-1}=L_{n-1}}+{\left.{\Psi }_{к1n}\left(x_n\right)\right|}_{x_n=0}\cdot {\gamma }_{в2n}\cdot T_{в.вх0n}+\\ +{\left.{\Psi }_{к2n}\left(x_n\right)\right|}_{x_n=0}\cdot T_{к.вх}+{\left.{\Psi }_{к3n}\left(x_n\right)\right|}_{x_n=0}\cdot T_{ос};\\ {\left.T_{в1}\left(x_1\right)\right|}_{x_1=L_1}={\left.{\Psi }_{в11}\left(x_1\right)\right|}_{x_1=L_1}\cdot T_{в.вх01}+{\left.{\Psi }_{в21}\left(x_1\right)\right|}_{x_1=L_1}\cdot {\left.T_{к2}\left(x_2\right)\right|}_{x_2=0}+{\left.{\Psi }_{в31}\left(x_1\right)\right|}_{x_1=L_1}\cdot T_{ос};\\ {\left.T_{в2}\left(x_2\right)\right|}_{x_2=L_2}=\Psi {\left.{}_{в12}\left(x_2\right)\right|}_{x_2=L_2}\cdot {\gamma }_{в12}\cdot {\left.T_{в1}\left(x_1\right)\right|}_{x_1=L_1}+{\left.{\Psi }_{в12}\left(x_2\right)\right|}_{x_2=L_2}\cdot {\gamma }_{в22}\cdot T_{в.вх02}+\\ +{\left.{\Psi }_{в22}\left(x_2\right)\right|}_{x_2=L_2}\cdot {\left.T_{к3}\left(x_3\right)\right|}_{x_3=0}+{\left.{\Psi }_{в32}\left(x_2\right)\right|}_{x_2=L_2}\cdot T_{ос};\\ \mathrm{...}\end{array}\right\}$

$\left.\begin{array}{l}{\left.T_{в(n-1)}\left(x_{n-1}\right)\right|}_{x_{n-1}=L_{n-1}}={\left.{\Psi }_{в1(n-1)}\left(x_{n-1}\right)\right|}_{x_{n-1}=L_{n-1}}\cdot {\gamma }_{в1(n-1)}{\left.\cdot T_{в(n-2)}\left(x_{n-2}\right)\right|}_{x_{n-2}=L_{n-2}}+\\ +{\left.{\Psi }_{в1(n-1)}\left(x_{n-1}\right)\right|}_{x_{n-1}=L_{n-1}}\cdot {\gamma }_{в2(n-1)}\cdot T_{в.вх0(n-1)}+{\left.{\Psi }_{в2(n-1)}\left(x_{n-1}\right)\right|}_{x_{n-1}=L_{n-1}}\cdot {\left.T_{кn}\left(x_n\right)\right|}_{x_n=0}+{\left.{\Psi }_{в3(n-1)}\left(x_{n-1}\right)\right|}_{x_{n-1}=L_{n-1}}\cdot T_{ос};\\ {\left.T_{вn}\left(x_n\right)\right|}_{x_n=L_n}={\left.{\Psi }_{в1n}\left(x_n\right)\right|}_{x_n=L_n}\cdot {\gamma }_{в1n}\cdot {\left.T_{в(n-1)}\left(x_{n-1}\right)\right|}_{x_n=L_n}+\\ +{\left.{\Psi }_{в1n}\left(x_n\right)\right|}_{x_n=L_n}\cdot {\gamma }_{в2n}\cdot T_{в.вх0n}+{\left.{\Psi }_{в2n}\left(x_n\right)\right|}_{x_n=L_n}\cdot T_{к.вх}+{\left.{\Psi }_{в3n}\left(x_n\right)\right|}_{x_n=L_n}\cdot T_{ос};\end{array}\right\}$

Представленное математическое описание позволяет получить участок температурной кривой туннельной печи, соответствующей этапу охлаждения. Вычисленные с помощью представленных выражений составляющие кривой охлаждения объединим, используя следующую зависимость:

$T_{к}(x)=T_{к1}(x_1)+T_{к2}(x_2+L_1)+\mathrm{...}+T_{к(n-1)}(x_{n-1}+{\displaystyle \sum _{i=1}^{n-2}{L}_i})+T_{кn}(x_n+{\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}{L}_i})$.

Аналогично получим зависимость изменения температуры воздуха по длине всей зоны охлаждения:

$T_{в}(x)=T_{в1}(x_1)+T_{в2}(x_2+L_1)+\mathrm{...}+T_{в(n-1)}(x_{n-1}+{\displaystyle \sum _{i=1}^{n-2}{L}_i})+T_{вn}(x_n+{\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}{L}_i})$.

В качестве примера рассмотрим вариант зоны охлаждения, разделенной на 4 участка. При этом процесс характеризуется параметрами, представленными в табл. 1.

Таблица 1. Параметры процесса охлаждения керамического кирпича

В результате расчета с использованием представленных выше математических зависимостей получен участок температурной кривой кирпича, соответствующий зоне охлаждения (рис. 2). Следует отметить, что маркерами обозначены значения температуры в характерных точках (на входах и выходах рассматриваемых четырех участков) зоны охлаждения действующей туннельной печи [11], которая работает в аналогичных расчетным технологических условиях. Оценим точность математической модели статического режима работы зоны охлаждения керамического кирпича. Произведя сравнение в указанных точках расчетных значений T_к и значений T_кн температур кирпича, полученных на реальной установке, можем увидеть (см. табл. 2), что максимальная погрешность δ наблюдается при $x=0$ и составляет 1.63 %. Поэтому можно сделать вывод об адекватности разработанной математической модели.

Таблица 2. Оценка точности математической модели статического режима работы зоны охлаждения керамического кирпича

Рис. 2. Температурная кривая кирпича в зоне охлаждения туннельной печи

Таким образом, полученные выражения позволяют с достаточной для инженерной практики точностью рассчитать кривые распределения температур кирпича и охлаждающего воздуха по длине зоны охлаждения. Предложенный подход может быть использован при проектировании туннельных печей для выбора наиболее энергоэффективной конфигурации системы распределения теплоносителей, а также подбора необходимого технологического оборудования. Кроме того, использование предложенного математического описания при автоматизации рассматриваемого процесса существенно расширяет возможности управления, что позволит добиться требуемых показателей качества работы тепловых установок, тем самым снизив количество брака и энергетические затраты на керамическом производстве.

Выводы

1. Выполнен анализ технологического процесса охлаждения обожженного керамического кирпича, который представляет собой объект управления с распределенными по длине зоны охлаждения туннельной печи параметрами. Обозначено, что основной интегральной характеристикой, наилучшим образом отражающей соответствие параметров процесса технологическим требованиям, является температурная кривая.

2. Разработано математическое описание статического режима работы зоны охлаждения кирпича с распределенными подачей и отбором охлаждающего агента в виде системы неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка и их граничных условий.

3. Найдено решение системы уравнений, позволяющее моделировать процессы для конфигураций схемы распределения теплоносителей с разным количеством точек подачи и отбора охлаждающего агента.

4. Представлен подход к определению граничных условий для каждого участка зоны охлаждения.

5. Полученные результаты предоставляют возможность создания эффективных систем управления процессом охлаждения керамического кирпича в соответствующей зоне туннельной печи, позволяющих повысить качество продукции и сократить энергетические затраты производства.