Determination of the radius of robust stability of the automatic pressure control system in the stabilization column of a catalytic reforming unit

Full Text

Введение

Октановое число продуктовой смеси (стабильного катализата) на выходе из стабилизационной колонны (СК) блока стабилизации катализата (БСК) определяет качество всей цепочки процесса каталитического риформинга (КР), протекающего в установке КР [1, с. 8; 2, с. 9; 3, с. 90]. Для эффективного управления БСК помимо разработки эффективных алгоритмов управления, обеспечивающих достижение экономического или иного эффекта, необходимо обеспечение устойчивого режима работы автоматических систем регулирования (АСР) технологических параметров (температуры, давления, расхода и пр.)[4, с. 55; 5, с. 11]. Одним из основных технологических параметров БСК является давление в СК [6, с. 91; 7, с. 67]. На регулирование давления в СК оказывают влияние неконтролируемые возмущения: давление поступающего сырья (нестабильного катализата), перепад температуры в СК [8, с. 7; 9, с. 71].

Данные возмущения необходимо учитывать при разработке АСР давления в СК [10, с.107]. Коэффициенты полинома знаменателя передаточной функции АСР давления в СК постоянны [11, с.127]. В настоящей работе предложен учет влияния возмущений путем изменения коэффициентов полинома знаменателя передаточной функции АСР давления в СК на основе методов робастной устойчивости [12, с. 76; 13, с. 5]. Предполагается, что данные коэффициенты изменяются под влиянием возмущений с течением времени [14, с. 757; 15, с. 172]. Важной является задача исследования робастной устойчивости АСР давления в СК [16, с. 18].

Цель исследования – определение максимального размаха изменения коэффициентов полинома знаменателя передаточной функции АСР давления в СК установки КР, при котором сохраняется робастная устойчивость.

Методы исследования – методы робастной устойчивости, теории автоматического управления.

Постановка задачи

Для исследования робастной устойчивости АСР давления в СК рассмотрим типовую схему, представленную на рис. 1 [17, с. 40].

 

Рис. 1. Структурная схема АСР давления в СК

 

На рис. 1 используются обозначения: r(t) – задающее воздействие; e(t) – ошибка управления; u(t) – управление; y(t) – выход; R – регулятор (ПИД-регулятор); OU – объект управления (процесс в СК). В качестве регулируемого параметра y(t) рассмотрено давление в СК. Задающим воздействием r(t) является ступенчатое изменение положения (хода) регулирующего органа (задвижки) на линии (трубопроводе) сброса газов из емкости орошения СК [18, с. 878].

Полином знаменателя передаточной функции АСР давления в СК, определенной на основе экспериментальной переходной кривой для установки КР Л-35-11/1000, имеет вид

$P\left(s\right)=1+\mathrm{1,73}s+\mathrm{1,27}{s}^2+\mathrm{0,61}{s}^3$. (1)

Для описания задачи в общем виде получим общий вид полинома (1):

$P\left(s\right)=a_0+a_{1}s+a_2{s}^2+a_3{s}^3, a_i>\mathrm{0,} i=\mathrm{0,1,2,3}$, (2)

где a_i – постоянные коэффициенты.

Предполагается, что при воздействии возмущений коэффициенты полинома (2) изменяются с течением времени. Для робастной устойчивости АСР давления в СК при воздействии возмущений необходимо определить максимальный размах изменения коэффициентов полинома (2), при котором сохраняется робастная устойчивость, т. е. радиус устойчивости [19, c. 56].

Для рассмотрения наиболее общего случая изменения коэффициентов полинома имеет место следующее.

При изменении коэффициентов полином (2) преобразуется в семейство полиномов (3) знаменателя передаточной функции АСР давления в СК

 $\wp (s,\Xi )=\left\{P(s,\xi )=P_0\left(s\right)+{\xi }_1{P}_1\left(s\right)+{\xi }_2{P}_2\left(s\right)\right., \left|{\xi }_i\right|\le \gamma , i=\mathrm{1,2}\}$ (3)

с параметрами, изменяющимися в квадрате

$\Xi =\left\{\xi \in R^2:{\left|\xi \right|}_2\le \gamma \right\}$, (4)

где ξϵR² – вектор неизвестных параметров, который принадлежит заданному множеству допустимых значений ξϵΞ (множеству неопределенности); P₀(s) – номинальный полином, равный (2); |ξ|₂ – евклидова норма вектора ξ

${\left|\xi \right|}_2=\sqrt{{\left|{\xi }_1\right|}^2+{\left|{\xi }_2\right|}^2}$ (5)

Одномерное семейство вида (6) носит название реберного полинома, количество полиномов для семейства (3) равно 4:

$\left\{P(s,\xi ): \left|{\xi }_i\right|=\gamma , i\ne k, \left|{\xi }_k\right|\le \gamma \right\}$ (6)

Вершинными полиномами называют полиномы вида (7), их количество для семейства (3) равно 4:

$\left\{P(s,\xi ): {\xi }_i=\pm \gamma , i=\mathrm{1,2}\right\}$ (7)

Геометрически вершинные (6) и реберные (7) полиномы соответствуют вершинам и ребрам квадрата (4), т. е. реберный полином «соединяет» два «соседних» вершинных полинома (соответствующих соседним вершинам квадрата) (рис. 2) [20, c. 267].

На рис. 2 изображены четыре вершины: A) ${\xi }_1={\xi }_2=\gamma$; B) ${\xi }_1=\gamma$, ${\xi }_2=-\gamma$; С) ${\xi }_1={\xi }_2=-\gamma$; D) ${\xi }_1=-\gamma$, ${\xi }_2=\gamma$ и четыре ребра: $\left|{\xi }_1\right|=\gamma$, $\left|{\xi }_2\right|\le \gamma$ (AB), (CD); $\left|{\xi }_2\right|=\gamma$, $\left|{\xi }_1\right|\le \gamma$ (AD), (BC).

Пусть имеет место (8) и (9) и полином P₀(s) устойчив:

$\mathrm{deg}{P}_i\le \mathrm{deg}{P}_0=\mathrm{3,} i=\mathrm{1,2,}$ (8)

$\gamma \left(\left|a_3^1\right|+\left|a_3^2\right|\right)<\left|a_3^0\right|, \gamma \left(\left|a_0^1\right|+\left|a_0^2\right|\right)<\left|a_0^0\right|,$ (9)

где a_kⁱ (k=0,3; i=1,2) – коэффициенты при s^k полиномов $P_i\left(s\right)$ семейства (3).

 

Рис. 2. Вершины и ребра множества неопределенности

 

Исходя из реберной теоремы для робастной устойчивости семейства (3) необходима и достаточна устойчивость всех реберных полиномов. При этом задача определения границ робастной устойчивости семейства (3) сводится к определению устойчивости четырех интервальных семейств полиномов (реберных полиномов). Пересечение всех областей устойчивости реберных полиномов дает область робастной устойчивости (4) семейства (3).

Задача заключается в определении области неопределенности (4) семейства полиномов знаменателя передаточной функции АСР давления в СК (3) при заданных полиномах P₀(s) (устойчивого), P₁(s), P₂(s), робастной устойчивости четырех реберных полиномов и подтверждении (неподтверждении) выполнения (8), (9), на основании которого делаем вывод о робастной устойчивости (неустойчивости) семейства (3).

Для этого получим реберные полиномы для семейства (3).

Пусть полиномы P₁(s), P₂(s) в (3) заданы выражениями

$P_1\left(s\right)=b_0+b_{1}s+b_2{s}^2+b_3{s}^3, b_i>\mathrm{0,} i=\mathrm{0,1,2,3}$, (10)

$P_2\left(s\right)=c_0+c_{1}s+c_2{s}^2+c_3{s}^3, c_i>\mathrm{0,} i=\mathrm{0,1,2,3}$, (11)

где $b_i>0$, $c_i>0$ – постоянные коэффициенты.

Исходя из (6) получим четыре реберных полинома. При ${\xi }_1=\pm \gamma$ получаем первый и второй реберные полиномы:

$P_1(s,{\xi }_2)=P_0\left(s\right)+\gamma P_1\left(s\right)+{\xi }_2{P}_2\left(s\right), \left|{\xi }_2\right|\le \gamma$, (12)

$P_2(s,{\xi }_2)=P_0\left(s\right)-\gamma P_1\left(s\right)+{\xi }_2{P}_2\left(s\right), \left|{\xi }_2\right|\le \gamma$. (13)

При ${\xi }_2=\pm \gamma$ получаем третий и четвертый реберные полиномы:

$P_3(s,{\xi }_1)=P_0\left(s\right)+{\xi }_1{P}_1\left(s\right)+\gamma P_2\left(s\right), \left|{\xi }_1\right|\le \gamma$, (14)

$P_4(s,{\xi }_1)=P_0\left(s\right)+{\xi }_1{P}_1\left(s\right)-\gamma P_2\left(s\right), \left|{\xi }_1\right|\le \gamma$ (15)

Опишем задачу определения робастной устойчивости каждого из четырех реберных полиномов.

Робастная устойчивость первого реберного полинома

В общем виде опишем задачу определения робастной устойчивости первого реберного полинома (12). С учетом (2), (10), (11) интервальное семейство полиномов (12) принимает вид

$P_1(s,{\xi }_2)=a_0+a_{1}s+a_2{s}^2+a_3{s}^3+\gamma \left(b_0+b_{1}s+b_2{s}^2+b_3{s}^3\right)+{\xi }_2\left(c_0+c_{1}s+c_2{s}^2+c_3{s}^3\right), \left|{\xi }_2\right|\le \gamma$ (16)

Семейство (16) перепишем в виде

$P_1(s,{\xi }_2)=a_0+\gamma b_0+{\xi }_2{c}_0+\left(a_1+\gamma b_1+{\xi }_2{c}_1\right)s+\left(a_2+\gamma b_2+{\xi }_2{c}_2\right)s^2+\left(a_3+\gamma b_3+{\xi }_2{c}_3\right)s^3, \left|{\xi }_2\right|\le \gamma$ (17)

Семейство (17) представим в виде

 $P_1(s,{\xi }_2)=d_0\left({\xi }_2\right)+d_1\left({\xi }_2\right)s+d_2\left({\xi }_2\right)s^2+d_3\left({\xi }_2\right)s^3, \left|{\xi }_2\right|\le \gamma$, (18)

где $d_i\left({\xi }_2\right)=a_i+\gamma b_i+{\xi }_2{c}_i$ – коэффициенты семейства (18), зависящие от ξ₂ и γ.

Для семейства (18) получим номинальный полином

$P_1^0\left(s\right)=d_0^0+d_1^{0}s+d_2^0{s}^2+d_3^0{s}^3$, (19)

где $d_i^0=a_i$ – постоянные коэффициенты.

Исходя из (18), (19) получим неравенство

$\left|d_i-d_i^0\right|=\left|\gamma b_i+{\xi }_2{c}_i\right|\le \gamma \left|b_i+c_i\right|, i=\mathrm{0,1,2,3}$. (20)

С учетом (20) запишем интервальное семейство (18) в форме

$\wp \left(s\right)=\left\{P\left(s\right)=d_0+d_{1}s+d_2{s}^2+d_3{s}^3:\right.\left.\left|d_i-d_i^0\right|\le \gamma {\alpha }_i, i=\mathrm{0,1,2,3}\right\}$, (21)

где ${\alpha }_i=\left|b_i+c_i\right|\ge 0$ – масштабы изменения коэффициентов $d_i$; γ – размах неопределенности.

Определим радиус устойчивости семейства (21).

Для этого необходимо ввести функции

$U_0\left(\omega \right)=d_0^0-d_2^0{\omega }^2$, $V_0\left(\omega \right)=d_1^0-d_3^0{\omega }^2$, $R\left(\omega \right)={\alpha }_0+{\alpha }_2{\omega }^2$, $T\left(\omega \right)={\alpha }_1+{\alpha }_3{\omega }^2$

и построить годограф Цыпкина – Поляка

$z\left(j\omega \right)=x\left(\omega \right)+jy\left(\omega \right)=\frac{U_0\left(\omega \right)}{R\left(\omega \right)}+j\frac{V_0\left(\omega \right)}{T\left(\omega \right)}$, $0\le \omega <\infty$.

Исходя из графического критерия для робастной устойчивости семейства (21) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

 $d_0^0>\gamma {\alpha }_0$, $d_3^0>\gamma {\alpha }_3$ (22)

и годограф $z\left(j\omega \right)$ при изменении частоты от 0 до ∞ проходил последовательно через 3 квадранта против часовой стрелки и не пересекал квадрата с вершинами $\left(\pm \gamma ,\pm \gamma \right)$.

Построив годограф $z\left(j\omega \right)$, определяем радиус устойчивости интервального семейства (12) по формуле

${\gamma }_{\max }=\min \left\{{\gamma }^{*},{\gamma }_0,{\gamma }_3\right\}$,

где ${\gamma }^{*}$ – размер наибольшего квадрата $\left\{\left|x\left(\omega \right)\right|\le {\gamma }^{*},\left|y\left(\omega \right)\right|\le {\gamma }^{*}\right\}$, вписанного в годограф $z\left(j\omega \right)$; ${\gamma }_0=d_0^0/{\alpha }_0$, ${\gamma }_3=d_3^0/{\alpha }_3$.

Последние равенства вытекают из условия (22).

Аналогично опишем задачу определения робастной устойчивости для остальных реберных полиномов (13)–(15).

Робастная устойчивость второго реберного полинома

В общем виде опишем задачу определения робастной устойчивости второго реберного полинома (13). С учетом (2), (10), (11) интервальное семейство (13) принимает вид

$P_2(s,{\xi }_2)=a_0+a_{1}s+a_2{s}^2+a_3{s}^3-\gamma \left(b_0+b_{1}s+b_2{s}^2+b_3{s}^3\right)+{\xi }_2\left(c_0+c_{1}s+c_2{s}^2+c_3{s}^3\right), \left|{\xi }_2\right|\le \gamma$ (23)

Семейство (23) перепишем в виде

 $P_2(s,{\xi }_2)=a_0-\gamma b_0+{\xi }_2{c}_0+\left(a_1-\gamma b_1+{\xi }_2{c}_1\right)s+\left(a_2-\gamma b_2+{\xi }_2{c}_2\right)s^2+\left(a_3-\gamma b_3+{\xi }_2{c}_3\right)s^3, \left|{\xi }_2\right|\le \gamma$ (24)

Семейство (24) представим в виде

$P_2(s,{\xi }_2)=d_0\left({\xi }_2\right)+d_1\left({\xi }_2\right)s+d_2\left({\xi }_2\right)s^2+d_3\left({\xi }_2\right)s^3, \left|{\xi }_2\right|\le \gamma$ (25)

где $d_i\left({\xi }_2\right)=a_i-\gamma b_i+{\xi }_2{c}_i$ – коэффициенты семейства (25), зависящие от ${\xi }_2$ и $\gamma$.

Для семейства (25) получим номинальный полином

$P_2^0\left(s\right)=d_0^0+d_1^{0}s+d_2^0{s}^2+d_3^0{s}^3$ (26)

где $d_i^0=a_i$ – постоянные коэффициенты.

Исходя из (25), (26) получим неравенство

$\left|d_i-d_i^0\right|=\left|\gamma b_i-{\xi }_2{c}_i\right|\le \gamma \left|b_i-c_i\right|, i=\mathrm{0,1,2,3}$ (27)

С учетом (27) запишем интервальное семейство (25) в форме

$\wp \left(s\right)=\left\{P\left(s\right)=d_0+d_{1}s+d_2{s}^2+d_3{s}^3:\right.\left.\left|d_i-d_i^0\right|\le \gamma {\alpha }_i, i=\mathrm{0,1,2,3}\right\}$ (28)

где ${\alpha }_i=\left|b_i-c_i\right|\ge 0$ – масштабы изменения коэффициентов d_i; γ – размах неопределенности.

Определение радиуса устойчивости семейства (28) выполняется также, как и для семейства (21).

Робастная устойчивость третьего реберного полинома

В общем виде опишем задачу определения робастной устойчивости третьего реберного полинома (14). С учетом (2), (10), (11) интервальное семейство (14) принимает вид

$P_3(s,{\xi }_1)=a_0+a_{1}s+a_2{s}^2+a_3{s}^3+{\xi }_1\left(b_0+b_{1}s+b_2{s}^2+b_3{s}^3\right)+\gamma \left(c_0+c_{1}s+c_2{s}^2+c_3{s}^3\right), \left|{\xi }_1\right|\le \gamma$ (29)

Семейство (29) перепишем в виде

$P_3(s,{\xi }_1)=a_0+{\xi }_1{b}_0+\gamma c_0+\left(a_1+{\xi }_1{b}_1+\gamma c_1\right)s+\left(a_2+{\xi }_1{b}_2+\gamma c_2\right)s^2+\left(a_3+{\xi }_1{b}_3+\gamma c_3\right)s^3, \left|{\xi }_1\right|\le \gamma$ (30)

Семейство (30) представим в виде

$P_3(s,{\xi }_1)=d_0\left({\xi }_1\right)+d_1\left({\xi }_1\right)s+d_2\left({\xi }_1\right)s^2+d_3\left({\xi }_1\right)s^3, \left|{\xi }_1\right|\le \gamma$ (31)

где d_i(ξ₁)=a_i+γc_i+ξ₁b_i – коэффициенты семейства (31), зависящие от ξ₁ и γ.

Для семейства (31) получим номинальный полином

$P_3^0\left(s\right)=d_0^0+d_1^{0}s+d_2^0{s}^2+d_3^0{s}^3$ (32)

где d_i⁰=a_i – постоянные коэффициенты.

Исходя из (31), (32) получим неравенство

$\left|d_i-d_i^0\right|=\left|{\xi }_1{b}_i+\gamma c_i\right|\le \gamma \left|b_i+c_i\right|, i=\mathrm{0,1,2,3}$ (33)

С учетом (33) запишем интервальное семейство (31) в форме

$\wp \left(s\right)=\left\{P\left(s\right)=d_0+d_{1}s+d_2{s}^2+d_3{s}^3:\right.\left.\left|d_i-d_i^0\right|\le \gamma {\alpha }_i, i=\mathrm{0,1,2,3}\right\}$ (34)

где ${\alpha }_i=\left|b_i+c_i\right|\ge 0$ – масштабы изменения коэффициентов d_i; γ – размах неопределенности.

Определение радиуса устойчивости семейства (34) выполняется так же, как и для семейства (21).

Робастная устойчивость четвертого реберного полинома

В общем виде опишем задачу определения робастной устойчивости четвертого реберного полинома (15). С учетом (2), (10), (11) интервальное семейство (15) принимает вид

 $P_4(s,{\xi }_1)=a_0+a_{1}s+a_2{s}^2+a_3{s}^3+{\xi }_1\left(b_0+b_{1}s+b_2{s}^2+b_3{s}^3\right)-\gamma \left(c_0+c_{1}s+c_2{s}^2+c_3{s}^3\right), \left|{\xi }_1\right|\le \gamma$ (35)

Семейство (35) перепишем в виде

$P_4(s,{\xi }_1)=a_0+{\xi }_1{b}_0-\gamma c_0+\left(a_1+{\xi }_1{b}_1-\gamma c_1\right)s+\left(a_2+{\xi }_1{b}_2-\gamma c_2\right)s^2+\left(a_3+{\xi }_1{b}_3-\gamma c_3\right)s^3, \left|{\xi }_1\right|\le \gamma$ (36)

Семейство (36) можно представить в виде

$P_4(s,{\xi }_1)=d_0\left({\xi }_1\right)+d_1\left({\xi }_1\right)s+d_2\left({\xi }_1\right)s^2+d_3\left({\xi }_1\right)s^3, \left|{\xi }_1\right|\le \gamma$ (37)

где d_i(ξ₁)=a_i-γc_i+ξ₁b_i – коэффициенты семейства (37), зависящие от ξ₁ и γ.

Для семейства (37) получим номинальный полином

$P_4^0\left(s\right)=d_0^0+d_1^{0}s+d_2^0{s}^2+d_3^0{s}^3$ (38)

где d_i⁰=a_i – постоянные коэффициенты.

Исходя из (37), (38) получим неравенство

$\left|d_i-d_i^0\right|=\left|{\xi }_1{b}_i-\gamma c_i\right|\le \gamma \left|b_i-c_i\right|$, $i=\mathrm{0,1,2,3}$. (39)

С учетом (39) запишем интервальное семейство (37) в форме

$\wp \left(s\right)=\left\{P\left(s\right)=d_0+d_{1}s+d_2{s}^2+d_3{s}^3:\right.\left.\left|d_i-d_i^0\right|\le \gamma {\alpha }_i, i=\mathrm{0,1,2,3}\right\}$ (40)

где ${\alpha }_i=\left|b_i-c_i\right|\ge 0$ – масштабы изменения коэффициентов d_i; γ>0 – размах неопределенности.

Определение радиуса устойчивости семейства (40) выполняется так же, как и для семейства (21).

Определение робастной устойчивости первого (12) и третьего (14) реберных полиномов совпадает: для обоих полиномов масштабы изменения коэффициентов равны ${\alpha }_i=\left|b_i+c_i\right|$. Также совпадает определение робастной устойчивости второго (13) и четвертого (15) реберных полиномов: для обоих полиномов масштабы изменения коэффициентов равны ${\alpha }_i=\left|b_i-c_i\right|$.

Определим робастную устойчивость реберных полиномов знаменателя передаточной функции АСР давления в СК.

Робастная устойчивость реберных полиномов знаменателя передаточной функции автоматической системы регулирования давления в стабилизационной колонне

С учетом номинального полинома знаменателя передаточной функции АСР давления в СК (1) зададим полиномы (2), (10), (11):

$P_0\left(s\right)=1+\mathrm{1,73}s+\mathrm{1,27}{s}^2+\mathrm{0,61}{s}^3$,

$P_1\left(s\right)=\mathrm{0,12}+\mathrm{0,19}s+\mathrm{0,15}{s}^2+\mathrm{0,08}{s}^3$,

$P_2\left(s\right)=\mathrm{0,08}+\mathrm{0,15}s+\mathrm{0,11}{s}^2+\mathrm{0,04}{s}^3$.

Не существует конкретных правил по выбору коэффициентов полиномов P₁(s), P₂(s). В данной работе они задаются в виде малых положительных чисел, примерно равных 10 % от значений коэффициентов полинома P₀(s).

Необходимо определить область неопределенности семейства (3) в виде квадрата $\Xi =\left\{\xi \in R^2: {\left|\xi \right|}_2\le \gamma \right\}$.

Определяем коэффициенты полиномов (2), (10), (11): a₀=1, a₁=1,73, a₂=1,27, a₃=0,61; b₀=0,12, b₁=0,19, b₂=0,15, b₃=0,08; c₀=0,08, c₁=0,15, c₂=0,11, c₃=0,04.

Исследуем робастную устойчивость первого (12) и третьего (14) реберных полиномов, которым соответствуют интервальные семейства (21) и (34) соответственно.

Получим коэффициенты номинальных полиномов (19), (32) для интервальных семейств (21), (34): d₀⁰=a₀=1, d₁⁰=a₁=1,73, d₂⁰=a₂=1,27, d₃⁰=a₃=0,61.

Определяем размах изменения коэффициентов семейств (21), (34):

$\begin{array}{l}{\alpha }_0=\left|b_0+c_0\right|=\mathrm{0,2}; {\alpha }_1=\left|b_1+c_1\right|=\mathrm{0,34};\\ {\alpha }_2=\left|b_2+c_2\right|=\mathrm{0,26}; {\alpha }_3=\left|b_3+c_3\right|=\mathrm{0,12.}\end{array}$

Необходимо определить, возможна ли робастная устойчивость семейств полиномов (21), (34) с номинальными полиномами (19), (32).

Проверим, существует ли γ>0, обеспечивающее выполнение неравенства (22):

 $1>\gamma \cdot \mathrm{0,2}; \mathrm{0,61}>\gamma \cdot \mathrm{0,12}\Rightarrow \gamma <\frac{1}{\mathrm{0,2}}=5; \gamma <\frac{\mathrm{0,61}}{\mathrm{0,12}}=\mathrm{5,08}$.

Таким образом, существует 0<γ<5.

Введем величины

$\begin{array}{l}{U}_0\left(\omega \right)=d_0^0-d_2^0{\omega }^2=1-\mathrm{1,27}{\omega }^2,\\ V_0\left(\omega \right)=d_1^0-d_3^0{\omega }^2=\mathrm{1,73}-\mathrm{0,61}{\omega }^2,\end{array}$

 $\begin{array}{l}R\left(\omega \right)={\alpha }_0+{\alpha }_2{\omega }^2=\mathrm{0,2}+\mathrm{0,26}{\omega }^2,\\ T\left(\omega \right)={\alpha }_1+{\alpha }_3{\omega }^2=\mathrm{0,34}+\mathrm{0,12}{\omega }^2\end{array}$

и построим годограф Цыпкина – Поляка:

$z\left(j\omega \right)=x\left(\omega \right)+jy\left(\omega \right)=\frac{U_0\left(\omega \right)}{R\left(\omega \right)}+j\frac{V_0\left(\omega \right)}{T\left(\omega \right)}=\frac{1-\mathrm{1,27}{\omega }^2}{\mathrm{0,2}+\mathrm{0,26}{\omega }^2}+j\frac{\mathrm{1,73}-\mathrm{0,61}{\omega }^2}{\mathrm{0,34}+\mathrm{0,12}{\omega }^2}$

Найдем точки пересечения с осями:

$\omega =0: z\left(0\right)=5+j\mathrm{5,09}$,

$\mathrm{Re}\left(z\left(j\omega \right)\right)=0\Rightarrow \omega =\sqrt{\frac{1}{\mathrm{1,27}}}\approx \mathrm{0,89}: z\left(\mathrm{0,89}\right)\approx j\mathrm{2,87}$,

$\mathrm{Im}\left(z\left(j\omega \right)\right)=0\Rightarrow \omega =\sqrt{\frac{\mathrm{1,73}}{\mathrm{0,61}}}\approx \mathrm{1,68}:z\left(\mathrm{1,68}\right)\approx -\mathrm{2,77}$,

$\omega \to \infty : z\left(\infty \right)=-\mathrm{4,88}-j\mathrm{5,08}$.

Результаты моделирования представлены на рис. 3.

 

Рис. 3. Годограф Цыпкина – Поляка для первого и третьего реберных полиномов

 

Из рис. 3 видно, что существует квадрат со сторонами, равными γϵ(0;5), вписанный в годограф z(jω); значит, семейства полиномов (21), (34) обладают робастной устойчивостью.

Определяем радиус устойчивости интервальных семейств (21), (34):

${\gamma }_{\max }=\min \left\{{\gamma }^{*};{\gamma }_0;{\gamma }_3\right\}=\min \left\{\mathrm{1,5}; 5; \mathrm{5,08}\right\}\approx \mathrm{1,5}$,

где γ^*≈1,5; γ₀=d₀⁰/α₀=5, γ₃=d₃⁰/α₃=5,08.

Квадрат со сторонами, равными радиусу устойчивости 1,5, показан на рис. 3.

Исследуем робастную устойчивость второго (13) и четвертого (15) реберных полиномов, которым соответствуют интервальные семейства (28) и (40) соответственно.

Получим коэффициенты номинальных полиномов (26), (38) для интервальных семейств (28), (40):

d₀⁰=a₀=1, d₁⁰=a₁=1,73, d₂⁰=a₂=1,27, d₃⁰=a₃=0,61.

Определяем размах изменения коэффициентов семейств (28), (40):

$\begin{array}{l}{\alpha }_0=\left|b_0-c_0\right|=\mathrm{0,04}; {\alpha }_1=\left|b_1-c_1\right|=\mathrm{0,04};\\ {\alpha }_2=\left|b_2-c_2\right|=\mathrm{0,04}; {\alpha }_3=\left|b_3-c_3\right|=\mathrm{0,04.}\end{array}$

Необходимо определить, возможна ли робастная устойчивость семейств полиномов (28), (40) с номинальными полиномами (26), (38).

Проверим, существует ли $\gamma >0$, обеспечивающее выполнение неравенства (22):

$1>\gamma \cdot \mathrm{0,04}; \mathrm{0,61}>\gamma \cdot \mathrm{0,04}\Rightarrow \gamma <\frac{1}{\mathrm{0,04}}=25; \gamma <\frac{\mathrm{0,61}}{\mathrm{0,04}}=\mathrm{15,25}$.

Таким образом, существует $0<\gamma <\mathrm{15,25}$.

Введем величины

$\begin{array}{l}{U}_0\left(\omega \right)=d_0^0-d_2^0{\omega }^2=1-\mathrm{1,27}{\omega }^2,\\ V_0\left(\omega \right)=d_1^0-d_3^0{\omega }^2=\mathrm{1,73}-\mathrm{0,61}{\omega }^2,\end{array}$

$\begin{array}{l}R\left(\omega \right)={\alpha }_0+{\alpha }_2{\omega }^2=\mathrm{0,04}+\mathrm{0,04}{\omega }^2,\\ T\left(\omega \right)={\alpha }_1+{\alpha }_3{\omega }^2=\mathrm{0,04}+\mathrm{0,04}{\omega }^2\end{array}$

и построим годограф Цыпкина – Поляка

$z\left(j\omega \right)=x\left(\omega \right)+jy\left(\omega \right)=\frac{U_0\left(\omega \right)}{R\left(\omega \right)}+j\frac{V_0\left(\omega \right)}{T\left(\omega \right)}=\frac{1-\mathrm{1,27}{\omega }^2}{\mathrm{0,04}+\mathrm{0,04}{\omega }^2}+j\frac{\mathrm{1,73}-\mathrm{0,61}{\omega }^2}{\mathrm{0,04}+\mathrm{0,04}{\omega }^2}.$

Найдем точки пересечения с осями:

$\omega =0: z\left(0\right)=25+j\mathrm{43,25}$,

$\mathrm{Re}\left(z\left(j\omega \right)\right)=0\Rightarrow \omega =\sqrt{\frac{1}{\mathrm{1,27}}}\approx \mathrm{0,89}: z\left(\mathrm{0,89}\right)\approx j\mathrm{17,39}$,

$\mathrm{Im}\left(z\left(j\omega \right)\right)=0\Rightarrow \omega =\sqrt{\frac{\mathrm{1,73}}{\mathrm{0,61}}}\approx \mathrm{1,68}:z\left(\mathrm{1,68}\right)\approx -\mathrm{16,9}$,

$\omega \to \infty : z\left(\infty \right)=-\mathrm{31,75}-j\mathrm{15,25}$.

Результаты моделирования представлены на рис. 4.

 

Рис. 4. Годограф Цыпкина – Поляка для второго и четвертого реберных полиномов

 

Из рис. 4 видно, что существует квадрат со сторонами, равными γϵ(0;15,25), вписанный в годограф z(jω); значит, семейства полиномов (28), (40) обладают робастной устойчивостью.

Определяем радиус устойчивости интервальных семейств (28), (40):

${\gamma }_{\max }=\min \left\{{\gamma }^{*};{\gamma }_0;{\gamma }_3\right\}=\min \left\{\mathrm{8,5}; 25; \mathrm{15,25}\right\}\approx \mathrm{8,5}$,

где γ^*≈8,5; γ₀=d₀⁰/α₀=25, γ₃=d₃⁰/α₃=15,25.

Квадрат со сторонами, равными радиусу устойчивости 8,5, показан на рис. 4.

Пересечение областей устойчивости четырех реберных полиномов дает радиус устойчивости семейства (3) γ=1,5.

Поскольку выполняются условия (8), (9), полином P₀(s) устойчив и четыре реберных полинома обладают робастной устойчивостью, делаем вывод о робастной устойчивости семейства полиномов (3) с параметрами неопределенности, изменяющимися в квадрате $\Xi =\left\{\xi \in R^2:{\left|\xi \right|}_2\le \mathrm{1,5}\right\}$.

Заключение

Таким образом, на основе определения робастной устойчивости четырех реберных полиномов рассмотренное семейство полиномов знаменателя передаточной функции АСР давления в СК обладает робастной устойчивостью с радиусом устойчивости, равным 1,5. Данный результат может быть использован при разработке АСР давления в СК и выборе настроек регуляторов.

About the authors

Azamat M. Dzhambekov

Astrakhan College of Computer Science

Author for correspondence.
Email: azamat-121@mail.ru

Ph.D., Teacher

Russian Federation, 2, Smolyanoy lane, Astrakhan, 414056

Boris S. Dmitrievsky

Tambov State Technical University

Email: azamat-121@mail.ru

Dr. Sci. (Techn.), Professor

Russian Federation, 106/5, room 2, Russia, Sovetskaya st., Tambov, 392000

Anastasia A. Terekhova

Tambov State Technical University

Email: azamat-121@mail.ru

Postgraduate Student

Russian Federation, 106/5, room 2, Russia, Sovetskaya st., Tambov, 392000

References

Supplementary files