Synthesis of time-optimal control system of the induction heating processes with interval of uncertainty characteristics of the object

Full Text

Постановка задачи. Типичной является ситуация, когда характеристики процесса индукционного нагрева, рассматриваемого в качестве объекта управления, определены не полностью. Это обусловлено неточным знанием его параметров и действием неконтролируемых внешних возмущений. Обычно речь идет об интервальной неопределенности неизвестных величин, информация о которых исчерпывается заданными границами диапазона изменения их возможных значений. В связи с этим возникает актуальная задача синтеза управляющих алгоритмов для подобных объектов управления. В данной статье рассматривается задача синтеза оптимальной по быстродействию системы автоматического управления (САУ) процессом индукционного нагрева металлических полуфабрикатов под обработку давлением с неполным измерением состояния в условиях интервальной неопределенности. Процесс индукционного нагрева металлических изделий цилиндрической формы с сосредоточенным управляющим воздействием по мощности внутреннего тепловыделения u(t) можно в линейном приближении описать бесконечной системой дифференциальных уравнений для временных мод разложения температурного поля в ряд по собственным функциям радиальной координаты [1]: (1) На управляющее воздействие u(t) накладывается следующее ограничение: (2) Здесь R – радиус цилиндра; – удельная теплоемкость и плотность материала; – моды разложения заданных равномерных начальных распределений температур в бесконечные ряды по системе собственных функций; – собственные числа; – бесконечно возрастающая последовательность корней уравнения Bi – безразмерный критерий Био, характеризующий уровень тепловых потерь с поверхности цилиндра в процессе нагрева; – функции Бесселя нулевого и первого порядка; d1n – известные коэффициенты; – температурное поле нагреваемого металлического изделия, изменяющееся во времени t и по радиальной координате x, которое описывается следующим выражением: (3) – температура окружающей среды; – моды функции пространственного распределения по радиусу цилиндра внутренних источников тепла, определяемые по формуле (4) где f – частота питающего индуктор тока; σ – электропроводность нагреваемого материала; μa – абсолютная магнитная проницаемость нагреваемого материала; – функции Кельвина и их первые производные; – коэффициент теплопроводности. Пусть далее начальная температура и величина Bi критерия Био определены с точностью до принадлежности заданным интервалам их возможных значений: ;. Тогда вектор неопределенных факторов определяется как , где Y – множество всех допустимых по указанным ограничениям комбинаций величин и Bi. Сформулируем задачу синтеза оптимальной по быстродействию САУ. Для ее постановки необходимо привести выражение для критерия быстродействия и задать требования к конечному состоянию объекта. Критерий оптимального быстродействия записывается в интегральной форме: (5) где t1 – длительность процесса нагрева. В случае, когда в САУ может быть получена в реальном масштабе времени достоверная информация о реализуемой в каждом конкретном случае величине путем наблюдения за поведением управляемой величины, требования к конечному температурному состоянию записываются в виде неравенства [1] (6) с учетом заданного в равномерной метрике допуска на отклонение конечного температурного состояния от заданного равномерного распределения температур по радиусу цилиндра Применительно к модальному представлению объекта требования (6) после замены температурного поля его разложением в ряд по собственным функциям принимают следующий вид: (7) Теперь задача оптимального быстродействия может быть сформулирована следующим образом. Необходимо найти такое программное оптимальное управление в условиях заданных ограничений (4), которое переводит объект, описываемый бесконечной системой уравнений (1), из заданного начального в требуемое конечное состояние (7) за минимально возможное время для каждой из допустимых величин . Если пренебречь инерционностью и погрешностями процедур наблюдения и идентификации, величина определяется по некоторой заранее фиксируемой детерминированной зависимости от результатов всегда неполного наблюдения за текущим состоянием объекта: (8) где и выбираются из условия минимальной сложности технической реализации САУ. В итоге возникает задача проектирования идентификатора (8) и синтеза регулятора , обеспечивающих решение детерминированной краевой задачи (1) – (3), (7), (8) за минимально возможное время при некоторых зафиксированных значенияхи Bi. Алгоритмы оптимального по быстродействию управления в условиях интервальной неопределенности параметров объекта. Пусть теперь требуется определить алгоритм оптимального по быстродействию управления с обратными связями, обеспечивающий решение задачи оптимизации (1) – (3), (7), (8) для каждого из допустимых значений . Для этого сначала рассмотрим детерминированную задачу синтеза оптимальной по быстродействию САУ (1) – (3), (7), (8) для любого заранее фиксируемого значения . Синтез оптимального регулятора по общему методу фазового пространства приводит к технически нереализуемому алгоритму релейного управления [2] (9) с обратными связями по всем координатам вектора и гиперповерхностью переключения , определение которой в бесконечном пространстве представляет собой практически невыполнимую задачу. Переход к вполне реализуемой структуре замкнутой системы с неполным измерением функции состояния объекта в некоторых N точках пространственной области ее распределения выполняется путем выбора другой функции переключения в форме линейной комбинации N сигналов обратной связи по измеряемым величинам с коэффициентами передачи [2]: (10) При выборе в качестве нетривиальных решений однородной системы линейных уравнений с N неизвестными (11) где – расчетные моменты времени переключения оптимальной программы релейной формы с N интервалами постоянства длительностью , определяемые вместе с и для заданной величины при расчете альтернансным методом [2], функция в (10) меняет знак при переходе через нуль вместе с в расчетные моменты времени , и только в эти моменты, в силу чебышевских свойств функции [2]. Полагаем, что для в (7) и определяется в соответствии с правилом [2] (12) где – минимально допустимая величина в (7) в классе релейных управлений с j интервалами постоянства. Таким образом, алгоритм управления в детерминированной задаче быстродействия имеет следующий вид: (13) Как уже было отмечено выше, для построения замкнутой системы оптимального по быстродействию управления с регулятором (10), (11), (13) в условиях интервальной неопределенности необходимо дополнить ее структуру идентификатором (8) реализуемых величин по результатам наблюдения текущего состояния в некоторых r точках , частично или полностью совпадающего с измеряемыми величинами в (25) – (27): (14) Интегрирование уравнений (1) в некоторый заданный момент времени позволяет найти в форме (3) зависимости величин от . Тогда при r неопределенных факторах система равенств (15) определяет реализуемые значения в окрестности некоторой номинальной точки как неявно заданные, однозначные, непрерывные и непрерывно дифференцируемые по всем аргументам функции (16) от наблюдаемых переменных при условии, что якобиан системы (15) (17) не равен нулю в точке [3]. Здесь (18) Воспользовавшись известными правилами дифференцирования неявно заданных функций [4], можно заранее вычислить производные в точке , : (19) Аналогичным образом могут быть вычислены и производные высшего порядка. Функция F в уравнении идентификатора (8) определяется по значениям с требуемой точностью, фиксируемой числом , путем ее разложения в ряд Тейлора по степеням [3]. Для случая , которым ограничиваются в типичных ситуациях, равенства (16) можно представить в линейном приближении в виде суммы сигналов линейных обратных связей по наблюдаемым переменным с вычисленными по (19) коэффициентами передачи : (20) Аналогично по известным зависимостям , которые определяются предварительным решением системы уравнений (11) для различных , находятся их линейные приближения: (21) С учетом (20), (21) получаем линейные приближения алгоритма автоматической коррекции коэффициентов обратных связей и определяемых подобным образом заданных конечных значений измеряемых величин : (22) (23) Таким образом, структурно-параметрический синтез замкнутой системы оптимального по быстродействию управления процессом индукционного нагрева при неполном измерении состояния в условиях интервальной неопределенности параметров объекта определяется алгоритмом управления (10), (11), (13) с автоматически определяемыми идентификатором (20) – (23) коэффициентами обратных связей и конечными значениями контролируемых температур при априори фиксируемых коэффициентах . При этом величины предварительно определяются при расчете программного управления альтернансным методом для случая y = yH. Оптимальное управление процессом индукционного нагрева. В качестве типичного примера рассмотрим задачу синтеза оптимальной по быстродействию системы управления процессом индукционного нагрева металлических изделий цилиндрической формы, математическая модель которого представлена уравнениями (1) – (4). Пусть в соответствии с требованиями (7) к конечному температурному состоянию требуется обеспечить равномерный нагрев тела до заданной температуры θ** = const с предельно достижимой в классе оптимальных по быстродействию двухинтервальных управляющих воздействий u(t) релейной формы (рис. 1) абсолютной точностью за минимально возможное время при равномерно распределенной начальной температуре в условиях интервальной неопределенности по величинам и Bi. Рис. 1. Оптимальное по быстродействию двухинтервальное управление по мощности внутренних источников тепла В условиях полной информации о значениях параметров объекта функция переключения (10) в данном случае формируется при r = N = 2 интервалах постоянства оптимального управления c сигналами обратной связи по температуре в точках и по радиусу цилиндра, в качестве которых удобно принять точки и где результирующие значения температур и в конце оптимального процесса независимо от начальной температуры будут равны минимально допустимым величинам , что вытекает из альтернансных соотношений для [1, 2]. В таком случае в (14) и . Положим для определенности ρ1 = 1, тогда функция переключения примет следующий вид: (24) В соответствии с (13) алгоритм оптимального управления с обратной связью определяется выражением (25) где коэффициент обратной связи определяется известным способом по результатам расчета программного управления альтернансным методом. Как было отмечено ранее, для построения замкнутой системы оптимального по быстродействию управления с алгоритмом управления (25) в условиях интервальной неопределенности требуется дополнить ее структуру идентификатором реализуемых величин , где в данном случае . Тогда выражение (16) для реализуемых значений примет вид (26) где и определяются по известным решениям уравнения объекта при [1, 2]: (27) (28) Якобиан (17) системы (15) принимает теперь следующий вид: (29) где и находятся путем дифференцирования выражений (27), (28) и имеют следующий вид: (30) (31) Здесь Определим теперь коэффициенты передачи в (20). Согласно (19), (29) – (31) получаем следующие выражения: (32) здесь (33) здесь (34) здесь (35) Все производные в (30) – (35) рассчитываются в номинальной точке по зависимостям (27), (28). Найти аналитические выражения для коэффициентов и в (22), (23) не представляется возможным ввиду их сложной и неявной зависимости от параметров Значения этих коэффициентов приближенно вычисляются для конкретных исходных данных процесса индукционного нагрева как приращение значения функции к приращению ее аргумента: (36) (37) при достаточно малых значениях . Линейные приближения алгоритма идентификации (20) по результатам неполного наблюдения примут вид (38) Линейные приближения алгоритма автоматической коррекции коэффициентов обратных связей и заданных распределений температурного поля в структуре функции переключения по результатам неполного наблюдения с учетом (22), (23) определяются по выражениям: (39) (40) Здесь находится по (27), (28) в окрестности номинальной точки . Для исходных номинальных данных ; получены следующие значения коэффициентов в (38) – (40): Алгоритм оптимального по быстродействию управления в рассматриваемых условиях интервальной неопределенности величин и Bi принимает теперь следующий вид вместо (25): . (41) Соответствующая структура замкнутой системы с обратными связями приведена на рис. 2. Рис. 2. Структура оптимальной по быстродействию системы управления процессом индукционного нагрева заготовки под обработку давлением с неполным измерением состояния в условиях интервальной неопределенности

About the authors

Ilya S Levin

Samara State Technical University

Email: levin_ilja@yahoo.com
Graduate student 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100

Edgar Ya Rapoport

Samara State Technical University

Email: rapoport@samgtu.ru
(Dr. Sci. (Techn.)), Professor 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100

References

Supplementary files