Синтез цифровых КИХ-фильтров для решения задач восстановления сигналов с использованием критерия моментов

Полный текст

В практике обработки и интерпретации экспериментальных данных часто возникает необходимость рассмотрения обратной задачи, заключающейся в восстановлении неизвестного входного воздействия по результатам регистрации откликов на выходе средств измерения. В большинстве случаев это задача компенсации искажающего действия аппаратной функции, обеспечивающая улучшение разрешающей способности различного рода измерительных приборов и систем. На сегодняшний день методология синтеза оптимальных алгоритмов восстановления сигналов разработана достаточно полно. Однако существующие методы либо требуют для своей реализации не всегда доступной априорной информации, либо сталкиваются с вычислительными проблемами, связанными с некорректностью обратных задач и необходимостью использования регуляризующих процедур [1, 2]. В статье предлагаются алгоритмы синтеза цифровых фильтров для решения задач восстановления сигналов, основанные на использовании метода моментов, свойства и достоинства которого известны [3, 4]. Наблюдается временной ряд , который можно представить в виде преобразованного КИХ-фильтром с весовой функцией временного ряда . Ставится задача синтеза обратного КИХ-фильтра с такой функцией , чтобы при подаче на его вход временного ряда его выходной сигнал был оценкой сигнала . В этом случае (1) (2) Подставив в (2) из (1), получим (3) Здесь – весовая функция КИХ-фильтра, преобразующего исходный временной ряд в его оценку. Из соотношения (3) следует, что для идеального решения задачи () функция должна представлять собой символ Кронекера (4) Так как вид функции целиком и полностью определяется видом весовой функции обратного фильтра , то эта функция должна выбираться такой, чтобы была как можно ближе к символу Кронекера. Это приближение предлагается осуществлять по критерию моментов. Пусть выбрана любая система линейно независимых функций , таких, чтобы функция была функцией с разделяющимися переменными i и j. Такими функциями, в частности, являются полиномы, экспоненты, синусы, косинусы и т. п. Будем называть К-м моментом символа Кронекера величины (5) а К-м моментом весовой функции (6) Функциюбудем выбирать такой, чтобы выполнялось условие (7) В этом случае (8) Условие (8) с учетом (6) и (5) сводится к такому: (9) получаем Подстановка полученного результата в (9) дает систему уравнений, из которых должна определиться весовая функция обратного фильтра: (10) Теперь решим систему уравнений (10) для различных видов базисных функций. Полиномиальные базисные функции. (11) В этом случае соотношение (10) принимает вид или, после преобразований, (12) Здесь (13) (14) – е – моменты исходного и обратного фильтров. Так как известна, известны и моменты . Из системы уравнений (12) могут быть определены моменты обратного фильтра: (15) Теперь задача сводится к синтезу обратного фильтра по критерию моментов (16) Исследования показали, что для получения наилучшего результата наиболее эффективным способом весовую функцию обратного фильтра следует выбирать как взвешенную сумму исходных базисных функций (17) В этом случае система уравнений (12) примет вид (18) Из этой системы уравнений определяется величина : где Экспоненциальные базисные функции. (19) Сразу обратим внимание на то, что для этих параметрических функций , (20) где (21) Из (20) и (21) получим следующую систему уравнений: (22) Опять пришли к синтезу фильтра по критерию моментов. Выбираем (23) Подставим из (23) в (21), будем иметь (24) Решение данной системы находится по алгоритму: (25) Гармонические базисные функции с периодом N. Данные базисные функции имеют вид (26) В этом случае система уравнений (10) примет вид После тригонометрических преобразований приведем эту систему к виду (27) Здесь (28) Величины и известны, т. к. определяются по известной весовой функции . Величины и находим из системы уравнений (27) (29) Из (29) и (28) приходим к следующей системе уравнений: (30) Выберем весовую функцию исследуемого фильтра в виде (31) Подставив h(i) в систему уравнений (31) и приняв во внимание ортогональность базисных функций, после ряда преобразований будем иметь: (32) И, наконец, подстановка значений Ck и βk в (31) дает такую весовую функцию обратного фильтра: . (33) Рассмотрим восстановление числовой последовательности из случайных значений, которая была обработана прямоугольным фильтром с весовой функцией h0=1/N0. Значения исходного и двух восстановленных рядов показаны на рисунке. Исходный и восстановленные ряды: 1 – исходный ряд; 2 – восстановленный ряд, N0 = 3, ширина обратного фильтра 6, количество моментов 4; 3 – восстановленный ряд, N0 = 5, ширина обратного фильтра 6, количество моментов 4 Относительная средняя квадратическая погрешность (ОСП) восстановления вычислялась по формуле . Полученные результаты при использовании полиномиальных базисных функций приведены в таблице. Результаты восстановления последовательности № п/п N0 Ширина обратного фильтра Кол-во моментов ОСП № п/п N0 ОСП 1 3 3 2 0,05 11 5 0,06 2 4 2 0,07 12 0,07 3 5 2 0,10 13 0,08 4 4 3 0,055 14 0,07 5 5 3 0,053 15 0,06 6 6 3 0,08 16 0,06 7 5 4 0,06 17 0,07 8 6 4 0,04 18 0,07 9 7 4 0,06 19 0,07 10 9 4 0,11 10 0,07

Об авторах

Виталий Иванович Батищев

Самарский государственный технический университет

Email: vib@list.ru
(д.т.н., проф.), заведующий кафедрой «Информационные технологии» 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244

Игорь Иванович Волков

Самарский государственный технический университет

Email: vib@list.ru
(к.т.н., доц.), доцент кафедры «Информационные технологии» 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244

Алексей Георгиевич Золин

Самарский государственный технический университет

Email: vib@list.ru
(к.т.н., доц.), доцент кафедры «Информационные технологии» 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244

Список литературы

Дополнительные файлы