Transfer functions of heat exchanging process in air-cooling unit of oil

Full Text

Функционирование аппаратов воздушного охлаждения (АВО) масла газоперекачивающих агрегатов происходит по принципу передачи излишнего тепла окружающей среде. Масло отдает теплоту стенке оребренной трубы теплообменника, которая охлаждается потоком холодного воздуха. При математическом описании процессов теплообмена часто пользуются системой нелинейных уравнений Фурье [1] и рассматривают теплообменник как объект с распределенными параметрами [2]. Однако следует заметить, что поскольку систему управления АВО масла оснащают датчиком, измеряющим среднюю температуру масла на выходе теплообменника, то для синтеза системы совершенно не важно знать распределение температур по радиусу и длине трубки. Этот вывод позволяет перейти к рассмотрению процесса теплообмена в АВО масла как объекта с сосредоточенными параметрами и воспользоваться при выводе передаточных функций законами сохранения энергии и теплового баланса. Процессы тепломассопереноса, протекающие в теплообменном аппарате, описываются системой нелинейных уравнений [3] (1) где и – объемные расходы масла и воздуха; и – плотности масла и воздуха; и – удельные теплоемкости масла и воздуха; и – массы масла и трубки; – коэффициент теплоотдачи от масла к стенке трубки теплообменника; – коэффициент теплоотдачи от стенки трубки к воздуху; и – внутренняя и наружная площади теплообмена; и – средние значения температур масла и воздуха на выходе аппарата воздушного охлаждения; и – средние значения температур масла и воздуха на входе аппарата воздушного охлаждения; – средняя температура трубки теплообменника; – время. Первое и третье уравнения системы (1) отражают закон сохранения мощности тепловых потоков масла и воздуха соответственно. Второе уравнение представляет собой баланс тепла, подведенного к трубке, отданного воздуху и аккумулированному в материале теплообменника. Входным управляющим воздействием в АВО масла является объемный расход воздуха , регулируемой координатой – средняя температура масла на выходе теплообменника . К возмущающим воздействиям следует отнести изменения температур масла и воздуха на входе аппарата воздушного охлаждения, а также вариацию объемного расхода масла . Система уравнений (1) показывает, что процесс теплообмена в АВО масла представляет собой нелинейный объект управления. Нелинейность определяется прежде всего перемножением переменных и , и . Кроме того, известно, что коэффициенты теплоотдачи и являются нелинейными функциями скорости движения соответствующей среды, то есть функциями и . Тем не менее для обоснованного синтеза системы управления АВО масла и выбора параметров регуляторов найдем линеаризованное представление процесса теплообмена как объекта управления. Предположим, что объемный расход масла постоянен и в районе некоторой рабочей точки с параметрами , и процесс характеризуется постоянными коэффициентами теплоотдачи. Тогда, переходя в (1) к приращениям, разлагая основные нелинейности в степенной ряд Тейлора и ограничиваясь первыми членами разложения, получим линеаризованную систему уравнений, описывающих динамику процесса теплообмена в аппарате воздушного охлаждения: (2) Заменяя операцию дифференцирования символом , запишем (2) в операторной форме: (3) Системе (3) соответствует линеаризованная структурная схема процесса теплообмена как объекта управления (рис. 1). Полученные уравнения позволяют найти передаточные функции процесса теплообмена по отношению к управляющему и возмущающим воздействиям. Применим принцип суперпозиции и положим в (3) , : Рис. 1. Линеаризованная структурная схема процесса теплообмена как объекта управления (4) Система уравнений (4) позволяет найти передаточную функцию объекта по отношению к управляющему воздействию . Выразим из третьего уравнения (4) : и подставим эту промежуточную переменную во второе уравнение (4): . (5) Выразим из (5) : . Подставив это значение в первое уравнение системы (4), после несложных преобразований получим (6) Переходя в (6) к преобразованиям Лапласа и обозначая , , найдем передаточную функцию процесса теплообмена по отношению к управляющему воздействию: , (7) где ; ; . Вид передаточной функции (7) показывает, что процесс охлаждения масла в аппарате воздушного охлаждения представляет собой динамическое звено второго порядка. Анализ корней знаменателя (7) во всем возможном диапазоне изменения параметров показывает, что эту передаточную функцию можно представить в виде двойного апериодического звена , где ; . Полагая в (3) , , аналогичным образом найдем передаточную функцию по отношению к возмущающему воздействию : , (8) где , . Формула (8) противоречит физическому смыслу процессов, протекающих в АВО. Действительно, при выводе передаточных функций предполагалось, что в аппарате осуществляется только конвективный теплообмен, а передача тепла теплопроводностью отсутствует. Поэтому при вариации температуры масла на входе трубки теплообменника температура на выходе может измениться только через время: , где – средняя скорость движения масла по трубопроводу, – длина трубки теплообменника. Для исключения возникшего противоречия формулу (8) необходимо дополнить звеном запаздывания с постоянной времени . При этом следует учесть, что при движении масла по трубке теплообменника за время происходит его охлаждение. Предполагая, что изменение температуры происходит в соответствии с (8), найдем ее значение в момент времени при скачкообразном виде рассматриваемого возмущения. Для этого воспользуемся таблицами обратных преобразований Лапласа [4]. Величина приращения температуры масла на выходе относительно исходной (существующей до приложения возмущающего воздействия) в момент времени составит , (9) где – приращение температуры масла на входе в теплообменник, , . С учетом (9) на выходе АВО сформируется температура масла в момент времени . Дальнейшее изменение температуры будет происходить с учетом ненулевых начальных условий и (поскольку динамические свойства АВО описываются характеристическим полиномом второго порядка). При ступенчатом изменении температуры масла на входе начальное условие вычисляется по формуле . C учетом ненулевых начальных условий можно записать уравнение движения рассматриваемого объекта управления: При подаче возмущения вида (10) последнее выражение после несложных преобразований примет вид или . Допуская, что запаздывание дополняет динамическое звено, стоящее при , можно получить искомую передаточную функцию объекта по отношению к возмущению – изменению температуры масла на входе в теплообменник: . (11) Выражение (11) представляет собой приближенное решение, полученное в рамках сделанных предположений и допущений. Формула (11) требует уточнения, в частности, при другом виде , отличном от (10). Если принять в (3) , , то можно найти передаточную функцию объекта по отношению к другому возмущающему воздействию – изменению входной температуры охлаждающего воздуха : , (12) где . Передаточные функции (7), (11) и (12) могут использоваться при синтезе системы управления АВО масла, причем их адекватность реальному процессу подтверждается численным моделированием и результатами [5] экспериментов. Действительно, для АВО масла типа 06-10 с параметрами м3/с; м3/с; кг/м3; кг/м3; Рис. 2. График переходного процесса, построенный по передаточной функции (13) Дж/кгК; Дж/кгК; Дж/кгК; кг; кг; Вт/м2К; Вт/м2К; ºС; ºС; м2; м2 передаточная функция (7) примет вид . (13) График, построенный по формуле (13), показывает, что время переходного процесса составляет 178,2 с (рис. 2). Результаты эксперимента, проведенного на том же типе аппарата [5], свидетельствуют, что при отключении и последующем включении одного из вентиляторов АВО температура восстанавливается за 200 с. Погрешность расчетов по сравнению с экспериментальными данными составляет 10,9 %. Основная причина расхождений, по всей видимости, заключается в том, что эксперимент проводился при включении вентилятора на полную скорость, а передаточные функции получены в предположении малого отклонения величин от рабочей точки. Кроме того, результаты компьютерного моделирования не учитывают инерционность асинхронного электродвигателя привода вентилятора.

About the authors

Sergey V Alimov

OAO «Gazprom»

First Deputy Head of Department of Transportation, Underground Storage and Utilization 16, Nametkina st., Moscow, GSP-7, 117997

Lyudmila A Migacheva

Samara State Technical University

(Ph.D. (Techn.)), Associate Professor 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100

Andrey R Titov

DOAO «Centrenergogaz»

Deputy General Director 3 str, 23, Obruchtva st., Moscow, 117630

References

Supplementary files