Калибровка средств измерения с использованием обратных математических моделей

Аннотация

Рассматриваются методы калибровки средств измерений, основанные на использовании обратных математических моделей функции преобразования и различных весовых функций для погрешностей.

Полный текст

Целью калибровки конкретного экземпляра средства измерения (измерительного прибора, измерительного канала информационно-измерительной системы) является построение индивидуальной эмпирической модели его функции преобразования. Обычно эта задача решается путем проведения активного регрессионного эксперимента, в результате которого строится прямая математическая модель функции преобразования , где – входная величина; – выходная величина; – функция заданного вида; – неизвестные параметры. В процессе калибровки задают ряд значений и получают ряд значений . Для получения оптимальных оценок параметров обычно используют метод наименьших квадратов, в котором минимизируется функция . Следовательно, в этом случае минимизируются (в среднеквадратическом смысле) абсолютные погрешности во всем диапазоне измерений. Однако такая ситуация далеко не всегда оказывается удовлетворительной по следующим причинам: 1) в ряде случаев необходимо во всем диапазоне измерения минимизировать не абсолютную, а относительную погрешность измерений; 2) в конкретных условиях проведения измерений иногда возникает необходимость обеспечить максимальную точность измерений в определенной области (или областях) рабочего диапазона измерений. Указанные задачи могут быть решены, если при калибровке средства измерений ввести весовую функцию , отражающую значимость абсолютной погрешности в различных областях диапазона измерений. Так как есть функция значения измеряемой величины, то целесообразно использовать обратную математическую модель функции преобразования , где – неизвестные параметры. В процессе калибровки задают ряд значений и получают ряд значений . Каждому значению соответствует значение весовой функции. Для вычисления оптимальных оценок неизвестных параметров используем взвешенный метод наименьших квадратов, в котором минимизируется функция . На практике чаще всего применяют обратную математическую модель в виде степенного полинома, линейную относительно коэффициентов регрессии: . В матричном виде оптимальные оценки коэффициентов регрессии равны [1] , ; ; ; . Приведенное выше решение задачи построения обратной математической модели является общим и позволяет находить оптимальное решение при любой конкретной весовой функции . В качестве примера рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся ситуации. Пример 1. Минимизация абсолютной (или приведенной) погрешности во всем диапазоне измерений. В этом случае весовая функция , а матрица весов имеет вид , т. е. имеет место обычный («невзвешенный») метод наименьших квадратов. Пример 2. Минимизация относительной погрешности во всем диапазоне измерений. В этом случае весовая функция , а матрица весов имеет вид . Этот случай имеет место при калибровке широкодиапазонных средств измерений, когда экспериментатора интересует относительная погрешность результатов измерений, например при калибровке широкодиапазонных средств измерения удельной электрической проводимости жидкости [2]. Пример 3. Минимизация абсолютной погрешности в двух поддиапазонах измерений с различными весами. Пусть весь диапазон измерений разделен на два поддиапазона: и , причем в первом поддиапазоне необходимо обеспечить абсолютную погрешность в раз меньшую, чем во втором. Допустим, что при калибровке из общего числа экспериментальных точек находятся в первом поддиапазоне, а – во втором. В этом случае весовая функция имеет вид (), если , и , если . Соответственно матрица весов равна . Этот пример имеет место, когда средство измерений должно быть откалибровано во всем рабочем диапазоне измерений, но в первом диапазоне должна быть обеспечена более высокая точность измерений. Ниже приведены результаты калибровки канала измерения электрической проводимости жидкости комплексной скважинной аппаратуры «КОМПАС» при использовании рассмотренных выше методов калибровки (примеры 1 и 2). Калибровка проводилась в диапазоне удельных электрических проводимостей от 0,4 до 50 См/м. Калибровочные растворы представляли собой растворы NaCl в дистиллированной воде. Было использовано 8 термостатированных растворов, проводимости которых в логарифмическом масштабе были примерно равноотстоящими друг от друга. В каждом растворе фиксировался выходной код АЦП. В качестве математической модели измерительного канала применена линейная обратная модель , где – измеряемая удельная электрическая проводимость (См/м); – выходной код АЦП. Оптимальные оценки коэффициентов и , вычисленные по экспериментальным данным для , равны См/м и См/м. Те же самые экспериментальные данные были обработаны для . При этом оптимальные оценки коэффициентов и равны См/м и См/м. При этом в первом случае () модули абсолютной и относительной погрешностей не превышают 3 мкСм/см и 4 % соответственно. Во втором случае () модули абсолютной и относительной погрешностей не превышают 3 мкСм/см и 0,5 % соответственно. Таким образом, использование взвешенного метода оценивания параметров обратной математической модели измерительного канала позволило при незначительном изменении абсолютной погрешности существенно (почти на порядок) уменьшить относительную погрешность измерений.