Моделирование процессов заводнения с помощью эллиптических функций Вейерштрасса

Полный текст

Введение Вторичные интенсивные методы добычи нефти в настоящее время остаются наиболее перспективным средством развития нефтяной промышленности: их высокая эффективность связана в первую очередь с нагнетанием в нефтеносный пласт т. н. вытесняющих агентов, выталкивающих нефть из породы. Исторически первым вторичным методом, случайно открытым в середине 1860-х гг. [1], стало заводнение: рабочими штата Пенсильвания было установлено, что вода, нагнетаемая извне, способна восстановить упавшее пластовое давление. Новая технология была испытана также на территории нескольких других штатов в первой половине XX в. и в настоящее время обеспечивает 50 % добываемой США нефти [1]. Прогнозирование хода заводнения, создание программного комплекса для количественной и качественной оценки схем расстановки скважин – цель настоящего исследования. Соответствующая ей задача заключалась в разработке программного средства для мониторинга границы водонефтяного контакта (ВНК), расширяющейся с течением времени. Работа программы предполагала получение качественных и количественных оценок эффективности схем заводнения. Результатами вычислений должны были стать наглядные картины движения воды (вытесняющего агента) с течением времени, а также значения некоторых количественных параметров (времени обводнения добывающих скважин, коэффициента извлечения нефти (КИН) и т.д.). Для выполнения поставленной задачи требовалось построить модель нефтеносного пласта, а затем математически описать процессы фильтрации жидкостей в нем и распространения границы ВНК с течением временем. Математическая модель Построение модели нефтеносного пласта и выявление ее особенностей как области определения функции скорости – первый этап в представлении нефтяного месторождения, подверженного заводнению. Как известно [2], в нефтяной промышленности используются несколько вторичных методов добычи, разделяемых по разным признакам. В частности, выделяют рядные и площадные схемы заводнения, особенности которых определяют их применение на тех или иных участках разработки. Так, рядные модели обладают большей устойчивостью к отказам в работе скважин и оказывают более равномерное воздействие на месторождение, однако площадные, обладающие меньшей зоной охвата, учитывают больше деталей в строении пласта и позволяют распределить влияние заводнения по его (пласта) участкам наиболее рационально за счет своей «компактности». С развитием практики и теории нефтедобычи актуальными становятся вопросы повышения эффективности тех или иных методов: так, некоторыми авторами [3] предлагаются меры по повышению интенсивности разработки за счет видоизменения схем заводнения, что увеличивает их возможное число. Тем не менее можно выделить общее качество, объединяющее все виды этих моделей: независимо от их сложности и направленности при использовании всякой схемы расстановки скважин последние размещаются на месторождении в определенном порядке. Этот порядок обеспечивает периодичность во взаимном расположении скважин: при взгляде «сверху» пласт словно покрывается сеткой из ячеек – повторяющихся элементов у схем заводнения (рис. 1). а б Р и с. 1. Пример площадной (а) и рядной (б) схем заводнения: добывающие скважины обозначены кружками, нагнетательные – треугольниками. Жирные контуры выделяют повторяющиеся элементы во взаимном расположении скважин – эти же элементы можно представить ячейками воображаемой решетки, покрывающей месторождение Итак, после ознакомления с особенностями рассматриваемого метода нефтедобычи можно перейти к моделированию зоны разработки: в рамках настоящей задачи нефтесодержащий пласт представляется однородным, фиксированной толщины, имеющим вид плоскости в комплексных координатах, покрываемой сеткой из добывающих и нагнетательных скважин. Для описания последней (сетки) математический аппарат располагает специальным средством – это т. н. двоякопериодическая решетка [4, 5]. На рис. 2 показан фрагмент указанной структуры с выделенной ячейкой. Р и с. 2. Фрагмент двоякопериодической решетки L канонической формы (одна из осей направлена вдоль OX). Типичная ячейка, образованная векторами 1 и 2, имеет вид параллелограмма Как видно из изображения, решетка L формируется набором узлов, образуемых векторами 1 и 2. На рисунке представлен т. н. «канонический» случай, при котором 1 совпадает с горизонтальной осью, а 2 описывается следующим образом: . Здесь  представляет длину второго вектора 2, θ – угол между 2 и осью OX, а  соответствует площади ячейки, имеющей вид параллелограмма. Отдельно следует указать вид узлов , задающих решетку:  = m1 + n2 . Благодаря использованию L и бесконечности границ пласта область исследования может быть сужена до одной ячейки, процессы в которой дублируются в ее соседях. В то же время указанное свойство решетки накладывает определенное ограничение на поведение определяемых на ней функций, а именно – соблюдение двоякой периодичности. Подобное выражение для скорости фильтрации было описано в работе [4, 5], в которой использовалась двоякопериодическая решетка с одиночной добывающей скважиной в ячейке. Соответствующая ей формула представлена ниже: (1) Здесь – дзета-функция Вейерштрасса [4, 5]; и – числовые параметры;  – площадь ячейки; Q – мощность добывающей скважины; h – толщина пласта; ω – узел решетки L ( = m1 + n2/) [4, 5]. Важно отметить, что именно величины  и  обеспечивают двоякопериодичность функции . Таким образом, выражение (1) может быть использовано для описания течения жидкости в открытом нефтеносном пласте толщины h, разрабатываемом системой добывающих скважин одинаковой мощности Q: последние располагаются в узлах покрывающей месторождение двоякопериодической решетки L. Линейный характер формулы (1) позволяет легко обобщить ее на случай размещения нескольких скважин в одной ячейке. Кроме того, рассматриваемое выражение для скорости также позволяет учесть направленность работы скважин: добывающие отмечаются знаком «минус» перед соответствующим им слагаемым, нагнетательные – знаком «плюс». Формула (2) демонстрирует итоговый вид функции скорости, принятый в решаемой задаче после всех указанных модификаций выражения (1): (2) Здесь n1 и n2 – число добывающих (мощности Qu) и нагнетательных (мощности Qw) скважин соответственно, размещенных в точках zu и zw (u и w – индексы сумм). Методика решения В ходе рассуждений, описанных в предыдущем разделе, были сформированы компоненты общей модели, описывающей предмет исследования. С завершением подготовительного этапа решения можно приступать к следующей стадии – формулированию уравнений, способных представить движение границы ВНК. Весьма удобно представить фронт заводнения в виде совокупности точек, образованных кривыми течения нагнетаемой воды в определенный момент времени. Объединение линий тока жидкости, проникающей в пласт через ствол нагнетательной скважины, образует т. н. «водяное пятно», граница которого совпадает с границей водонефтяного контакта согласно «поршневой» модели вытеснения нефти [6]. Итоговая система уравнений, позволяющая определить кривые движения воды, а следовательно, и отследить распространение границы ВНК, представлена ниже: (3) Здесь m – пористость пласта, z0 – центр призабойной зоны радиуса rw нагнетательной скважины, сквозь которую в месторождение поступает вода. Выражение для υ(z) совпадает с формулой (2). Угол  используется для построения кривых движения воды: изменяя значение θ в диапазоне [0, 2), можно перемещаться вдоль края ствола нагнетательной скважины, от одной траектории течения к другой, а величина  определяет их (траекторий) суммарное число. Наращивая параметр  с шагом , можно построить несколько решений задач Коши, аналогичных (3): объединение вычисляемых траекторий течения образует т. н. «водяное пятно», граница которого совпадает с границей ВНК в выбранный момент времени. В качестве переменной интегрирования удобно ввести т. н. безразмерное время τ, связанное с реальным (t) следующим соотношением: . Для численного интегрирования системы (3) использовались методы Рунге – Кутты, измененные с учетом комплексной природы переменных, входящих в уравнения. Результаты На рис. 3 представлен ряд картин фронта заводнения, полученных при обработке нескольких схем из рис. 1: круги соответствуют добывающим скважинам, а треугольники – нагнетательным. Для удобства местоположение «притоков» (нагнетательных скважин) дополнительно отмечено перекрестием черных сплошных линий. На рисунке представлены картины течения закачиваемой в пласт воды, построенные для пятиточечной и однорядной линейной схем расстановки скважин. Первый ряд изображений демонстрирует движение линий тока, вдоль которых осуществлялось интегрирование; ниже расположены «снимки» «водяного пятна» для каждой схемы в момент прорыва воды в добывающие скважины. В довершение следует отметить качественное совпадение результатов как с итогами численных расчетов [7], так и с экспериментальными данными [8] других авторов, занятых решением схожих задач. а б τ = 2288 τ = 1827 в г Р и с. 3. Картины фронта заводнения, построенные для пятиточечной (а, в) и однорядной линейной (б, г) схем расстановки скважин. Значения τ отражают моменты прорыва воды в добывающие скважины. Траектории движения жидкости обозначены кривыми, направленными от нагнетательных (треугольники) скважин к добывающим (кружки) Заключение Оценочный потенциал программного комплекса, создаваемого в рамках решения задачи, включает как качественный, так и количественный аспект сравнения. При использовании разрабатываемого программного средства возможен сравнительный анализ различных схем заводнения, включая как визуальную, так и строго числовую оценку их эффективности. При этом в качестве числовых критериев в настоящий момент приняты время начала обводнения добывающих скважин, после которого нагнетание воды следует прекратить1, а также коэффициент извлечения нефти2: важно отметить отсутствие (на данный момент) программной реализации расчета КИН, что предполагается сделать в следующей версии программы. На рис. 4 представлен пример сравнения схем заводнения с использованием вышеуказанных количественных критериев. На рисунке изображена граница ВНК для четырехточечной (а) и скошенной пятиточечной (б) моделей в момент прорыва воды, а также вид водяного пятна для девятиточечной (в) и семиточечной (г) схем на стадии, когда вода достигла всех добывающих скважин. В отличие от предыдущего изображения на рис. 5 дополнительно нанесены границы ячейки решетки L (жирный пунктир). τ = 2079 τ = 1864 а б τ = 5000 τ = 2250 в г Р и с. 4. Сравнительный анализ нескольких схем заводнения: траектории движения воды обозначены кривыми, направленными от нагнетательных скважин (треугольники) к добывающим (кружки); жирный пунктир очерчивает границы ячейки решетки L Визуально оценивая КИН на снимках верхнего ряда, нетрудно убедиться в преимуществе варианта а, при котором нагнетаемая жидкость заполняет почти всю ячейку. Сравнение значений τ на картинах нижнего ряда говорит о большей скорости семиточечной схемы, обеспечивающей более быстрый результат, нежели девятиточечная.

Об авторах

Андрей Евгеньевич Касаткин

Самарский государственный университет

Email: darantion_yar@mail.ru
аспирант 443011, г. Самара, ул. Академика Павлова, 1

Список литературы

Дополнительные файлы