Solution of boundary value problem for mathematical model of operation of trunk pipelines for petroleum transportation by the fourier method

Full Text

Введение Для решения широкого круга задач моделирования и оптимального управления процессами трубопроводного транспорта нефти и нефтепродуктов применяются различные методы, в том числе численные. Однако аналитические методы получения решений для линейных модификаций математических моделей имеют свои преимущества, в частности для нахождения аналитических представлений оптимальных управлений, получаемых методами, основанными на принципе максимума Понтрягина. В статье проведена линеаризация краевой задачи математического моделирования процесса трубопроводного транспорта жидких углеводородов, предложенной в работах [1-2], и получено ее аналитическое решение методом Фурье (разделения переменных). Краевая задача Взаимосвязь двух управляемых функций (давления P и скорости ω) объекта управления с распределенными параметрами (ОРП), характеризующих движение нефтепродукта плотностью ρ по трубопроводу постоянного диаметра D длиной L в любой точке x, , по направлению движения потока и в любой момент времени t, , может быть описана системой двух пространственно-одномерных нелинейных неоднородных уравнений вида [1, 2] (1) здесь – угол наклона оси трубопровода к произвольной горизонтальной поверхности; – ускорение свободного падения; – коэффициент гидравлического сопротивления, который определяется в зависимости от скорости по формулам Стокса, Блазиуса, Альтшуля; c – скорость распространения волн в жидкости, текущей в стальной трубе с толщиной стенки , определяется по формуле Жуковского [1-4]. Система уравнений (1), дополненная начальными условиями вида , , (2) и любыми двумя граничными условиями из набора (3) составляет краевую задачу математического моделирования процесса транспорта нефти по магистральному трубопроводу (МТП). В правые части уравнений системы (1) входят функция распределения источников давления по длине трубопровода и функция распределения источников жидкости по длине трубопровода , которые, как показано в [1, 2], можно рассматривать в качестве внутренних управляющих сосредоточенных воздействий , приложенных в точках расположения нефтеперекачивающих станций (НПС) ,, и , приложенных в точках отбора нефти ,, где K – число работающих НПС, а S – общее число точек отбора нефти по длине трубопровода [1, 2]: , , (4) где – функции Дирака. Линейная краевая задача Линеаризуем первое уравнение в (1) следующим образом [3]: , (5) способы выбора описаны в [3, 4]. Далее будем рассматривать задачу при наличии только внутренних источников давления, т. е. . Дифференцируя в (1) первое уравнение по , второе по и приравнивая правые части, получаем: , (6) где определяется как . (7) В качестве граничных условий выберем пару из (3), обусловливающую неизменное значение давлений в начальной и конечной точках системы с координатами и соответственно, при и , тогда с учетом второго уравнения системы (1) получим: . (8) Начальные условия запишем в виде ,, (9) характеризующем стационарное состояние гидродинамической системы в начальный момент времени. Решение краевой задачи будем искать в виде , (10) где – решение однородной задачи при заданных (в общем неоднородных) начальных условиях; – решение неоднородной задачи при однородных начальных условиях. Рассмотрим на первом этапе решение однородной краевой задачи при и краевых условиях (8)-(9). Будем искать решение задачи в виде . (11) Подставляя (11) в (6), после разделения переменных получим: , (12) . (13) Далее необходимо найти те значения параметра , при которых задача имеет нетривиальное (отличное от нуля) решение, удовлетворяющее краевым условиям. Перейдем к задаче на собственные функции. Для левой части (13) собственные функции являются решением задачи Штурма – Лиувилля вида (14) с граничными условиями, получаемыми подстановкой (10) в (9): . (15) Ввиду однородности уравнений (14) собственные функции определяются с точностью до постоянных множителей, и общее решение уравнения (14) будет иметь вид , (16) ; (17) с учетом граничных условий (15) получаем: , (18) , (19) , (20) где – произвольное действительное число, примем . Подставляя (20) в (13), запишем для правой части: . (21) Характеристическое уравнение для (21) будет иметь вид , (22) решение характеристического (22) уравнения запишем в виде (23) где (24) Решения уравнения (21) для действительных корней уравнения (22) примет вид (25) Решение уравнения (21) для комплексных корней в (22) может быть получено из второго уравнения в (25) по формулам Эйлера: (26) Подставляя (25) в (11) и суммируя по n частные решения задачи, запишем общее решение для в виде (27) Подставляя (27) в начальные условия (9), получим: (28) . (29) Физически решение (29) означает, что при отсутствии внутренних управлений (возмущений) и однородных ГУ второго рода в системе бесконечно долго сохраняется начальное стационарное состояние. Замечание 1. Особенностью полученного решения является учет членов ряда при . Необходимость учета в решении значения возникает в задачах моделирования протяженных трубопроводов. Оценим значение в зависимости от длины L, [м], для задачи моделирования магистрального трубопровода диаметром D = 1000 мм, транспортирующего нефть плотностью с кинематической вязкостью , и скоростью распространения звука в системе «нефть – труба» с≈998 м/c [2]. Для рациональных скоростей перекачки значение линеаризующего коэффициента в (5) примем , тогда с учетом (24) получим: при ; при ; при . Найдем теперь решение неоднородной задачи (6-7) при однородных граничных условиях (8) и однородных начальных условиях вида ,. (30) Согласно теореме о разложимости функций в ряд Фурье периодическая функция с периодом может быть представлена (для четных функций) в виде , (31) где коэффициенты разложения будут иметь вид (32) Представим функцию , описываемую уравнением (7), как периодическую четную функцию, для чего симметрично относительно начала координат отразим ее на отрицательную полуось на участке , а затем получим ее описание в виде (31), т. е. разложим в ряд Фурье по косинусам, тогда , (33) где коэффициенты разложения будут определяться согласно (32) и известным свойствам -функции в виде (34) Разделяя переменные и переходя к задаче о собственных функциях в (6, 7, 8, 30), получим аналогично (21) (35) с однородными начальными условиями . (36) Решение задачи будем искать в виде , (37) где – общее решение однородной задачи при в (35); – частное решение неоднородной задачи (35, 36), определяемое методом подбора. Далее положим в (7) . (38) Так, при < 0 выражение (7) эквивалентно росту с постоянной скоростью потери напора (давления) в точке трубопровода, что может быть вызвано закрывающейся с линейно зависимой от угла поворота степенью дросселирования потока задвижкой. Общее решение задачи для произвольных начальных условий получено нами выше в виде (25, 26), частное решение будем искать в виде (39) а б Распределение скорости потока по длине трубопровода в различные моменты времени: а – при ; б – при Подставляя (39) в (35), получаем: (40) подставляя (25, 26) и (39) в (37), а затем в (36), получаем значения неизвестных коэффициентов: (41) Подставляя (41) в (11) и суммируя все частные решения по n, после окончательной подстановки полученного результата и (29) в (10) получим: (42) На рисунке приведен пример расчета распределения скорости потока нефти в трубопроводе протяженностью L=450 км и диаметром D=1200 мм при наличии прироста и снижения с постоянной скоростью давления в точках . Для расчетов учитывались первые сто членов ряда в (42) при N*=4. Замечание 2. Для отыскания функции пространственно-временного распределения давления транспортируемой жидкости в трубопроводе необходимо подставить полученное решение (42) в первое уравнение системы (1) с учетом того, что , (43) где – высота оси трубопровода над плоскостью сравнения (уровень моря). Заключение Полученное в работе решение краевой задачи математического моделирования процесса трубопроводного транспорта нефти описывает в аналитическом виде зависимости от времени и координаты давления и скорости потока в трубопроводе, рассматриваемых в качестве управляемых величин объекта управления с распределенными параметрами (ОРП). Для применения описанной выше методики аналитического представления ОРП необходимо наличие гладкой, как минимум дважды дифференцируемой функции в правой части уравнения (35). При наличии разрывных функций в правой части (35), получаемых при решении задач оптимального управления на основе принципа максимума Понтрягина, для интегрирования уравнений необходимо применение аппарата обобщенных функций, в частности метода функций Грина.

About the authors

Alexander A Afinogentov

Samara State Technical University

(Ph.D. (Techn.)), Аssistant 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100

Yulia A Tychinina

Samara State Technical University

(Ph.D. (Techn.)), Associate Professor 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100

References

Supplementary files