Accuracy approximation of unsteady heat conduction plate with boundary conditions of the third kind

Full Text

Известно [1], что точное решение задачи нестационарной теплопроводности, даже для тела простой геометрической формы, выражается в виде бесконечного функционального ряда. Причем, если точное решение получено, то в практических расчетах используются только несколько членов этого ряда. Получение точного решения для тела сложной геометрической формы практически невозможно. Поэтому разработка приближенных методов решений [2-5] имеет большое прикладное значение. Особенно эта проблема актуальна в решениях задач синтеза систем управления тепловыми процессами, так как модели их объектов управления содержат не только обыкновенные дифференциальные уравнения, но и уравнения в частных производных. Существующие методы интегральных преобразований, ортогональной проекции [4] и ряд других методов, хотя и позволяют получать сравнительно простые приближенные модели, но они существенно отличаются от тех моделей, которые используются в теории систем автоматического управления, и по этой причине их применение крайне ограничено. Из сравнения модели метода интегральных элементов [6] с точной моделью [7] по переходным характеристикам при скачкообразном изменении граничных условий следует, что они незначительно отличаются лишь на начальных участках, что практически не отражается на конечной температуре нагреваемого тела. Однако, это может негативно отразится на качестве процесса системы управления, и тем сильнее, чем выше ее быстродействие. Поэтому погрешность аппроксимации недостаточно оценивать только по временным характеристикам. Удобно ее оценивать еще и по частотным характеристикам объекта управления, исходя из заданного быстродействия системы управления. Данный подход рассматривается на примере уравнения нестационарной теплопроводности пластины , (1) , c краевыми условиями ; (2) , где - число; - относительное время; - относительная толщина пластины; - коэффициент теплоотдаМи; , - коэффициенты теплопроводности и температуропроводности; - толщина половины пластины; - температуры шара и окружающей среды. В [6] приведены системы обыкновенных дифференциальных и операторных уравнений, которые получены с помощью метода, изложенного в [5]. При однолинейной аппроксимации уравнения пластины система операторных уравнений представлена двумя уравнениями. Одно из них составлено для центра пластины , а второе - для поверхности , где ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; . Из этих уравнений можно выразить температуру поверхности пластины относительно температуры греющей среды: ; (3) , (4) где ; ; ; ; ; . Из точного решения уравнения (1) [7] следует, что . (5) Передаточная функция, соответствующая точному решению является трансцендентной функцией комплексного переменного . Частотная передаточная функция . (6) Подставив в (6) после несложных преобразований получим: ; (7) (8) где ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; - круговая частота. Переходные характеристики, точные (оригинал выражения (5)) и приближенные (оригинал выражения (3)), при , , приведены на рис.1. Рис. 1. Точные (сплошные линии) и приближенные (пунктирные линии) характеристики Разностные логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики представлены на рис. 2. Характеристики , построены по выражению (4), а , - по соотношениям (7), (8). Из анализа частотных характеристик следует, что в диапазоне частот погрешность составляет: фазовой частотной характеристики , амплитудной частотной характеристики - . Погрешность при частотах растет почти по линейной зависимости, достигая , что необходимо учитывать при синтезе регуляторов. Рис. 2. Погрешность частотных характеристик: фазовой - 1; логарифмической амплитудной - 2 Например, при управлении температурой стальной пластины, толщина которой составляет , а коэффициент температуропроводности , частота среза системы автоматического управления не должна превышать . Для повышения быстродействия системы управления может быть использована более сложная математическая модель [6], которая получена при разбиении пластины на большое число частей. Выводы. Дана количественная оценка погрешности аппроксимации уравнения нестационарной теплопроводности пластины с граничными условиями третьего рода обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями. Показано, что однолинейная аппроксимация допустима при относительных частотах среза систем автоматического управления, не превышающих значений .

About the authors

Viktor I Kotenev

Samara State Technical University

Email: akotenev@samgtu.ru
(Dr. Sci. (Techn.)), Professor 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia

Alexander V Kotenev

Samara State Technical University

Email: akotenev@samgtu.ru
(Ph.D. (Techn.)), Associate Professor 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia

Aleksey N Tatarnikov

Samara State Technical University

Email: akotenev@samgtu.ru
Postgraduate Student 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia

References

Supplementary files