Альтернансный метод оптимизации в коэффициентной обратной задаче теплопроводности

Полный текст

Решение коэффициентных ОЗТ, позволяющих идентифицировать коэффициенты уравнения теплопроводности, по сегодняшний день остается одной из актуальных задач инженерной теплофизики. Особое практическое значение имеют ОЗТ в нелинейной постановке, когда теплофизические характеристики нагреваемых изделий зависят от температуры. Наиболее общий универсальный подход к решению нелинейных обратных задач [1-3] состоит в применении методов регуляризации решений [4, 5] на основе численного моделирования [6]. Решение ОЗТ в вариационной постановке с использованием условно-регулярных методов [7-9] в ряде случаев позволяет получить явную аналитическую форму решения или свести задачу к системе алгебраических уравнений. В настоящей статье для решения коэффициентной ОЗТ в экстремальной постановке [1, 10], предусматривающей минимизацию функционала, являющегося мерой соответствия рассчитанного и экспериментального температурного состояния, предлагается использовать известные специальные альтернансные свойства искомых оптимальных решений [11-13]. Температурное поле описывается в зависимости от пространственной переменной и времени одномерным нелинейным уравнением нестационарной теплопроводности с зависящими от температуры теплофизическими характеристиками (удельной теплоемкостью , плотностью материала и теплопроводностью при стандартном допущении ) (1) и соответствующими краевыми условиями. Коэффициент температуропроводности в (1) является функцией температуры. ОЗТ заключается в восстановлении зависимости на основе экспериментальных данных , полученных в результате измерения температуры в некоторой фиксированной точке . Сформулируем экстремальную постановку рассматриваемой нелинейной коэффициентной ОЗТ. По заданному температурному распределению требуется определить зависимость , минимизирующую невязку между и точным аналитическим или приближенным численным решением краевой задачи (1), соответствующим искомой функции . Для оценки этой невязки используем ошибку равномерного приближения результирующего температурного поля к требуемому [11-13] на заданном временном интервале . Будем считать, что искомая зависимость заведомо определена в заданном классе функций переменной с точностью до выбора некоторого вектора постоянных параметров, например в виде, диктуемом известными аналитическими решениями нелинейной задачи теплопроводности, и, следовательно, задана известной функцией переменной . В этом случае решение ОЗТ может быть сведено к задаче оптимального управления, в которой вектор параметров принимается за искомое управляющее воздействие. Задача оптимального управления теперь может быть сформулирована следующим образом. Для объекта (1) с соответствующими краевыми условиями необходимо найти вектор параметров зависимости , обеспечивающих на заданном интервале выполнение минимаксного соотношения . (2) Решение полученной задачи математического программирования (2) может быть осуществлено альтернансным методом, основанным на использовании специальных альтернансных свойств разности . В соответствии с данными свойствами [11-13] для разности на интервале достигаются знакочередующиеся максимальные по абсолютной величине значения в точках , число которых на единицу превышает число искомых параметров. На основании указанных свойств составляется замкнутая система соотношений для предельных разностей температур в этих точках относительно всех неизвестных, дополненная условиями существования экстремума функции в точках , не совпадающих с границами интервала: (3) При известной форме кривой невязки на интервале наблюдения система соотношений (3) трансформируется к системе уравнений, решение которой позволяет найти оптимальные значения параметров зависимости , минимизирующие функционал (2). Для подтверждения работоспособности предложенного метода рассматривалась нелинейная задача теплопроводности (1) в полуограниченной области изменения пространственной переменой и во времени , дополненная соответствующими краевыми условиями вида (4) Аналитическое решение нелинейной задачи (1), (4) для коэффициента температуропроводности вида (5) и вида (6) получены в [14] и приведены в [15]. При решении ОЗТ температура поверхности нагреваемого тела полагается известной, а определению подлежит переменный коэффициент , структура которого имеет вид (5). Экспериментальное температурное распределение было получено как решение прямой задачи (1), (4) при зависимости коэффициента температуропроводности в виде (6). Задача восстановления коэффициента сводится к задаче параметрической оптимизации вида (2) относительно двух искомых параметров , для определения значений которых составляется при система вида (3) из трех соотношений для предельных значений в точках относительно неизвестных , с дополнительными условиями существования экстремума функции в точках и . Применение предложенного метода для решения рассматриваемой ОЗТ при численных значениях позволило получить значения искомых параметров при структуре вида (5). Приведенные результаты (рис. 1, 2) показывают удовлетворительную точность идентификации нелинейного коэффициента температуропроводности при максимальной погрешности, достигаемой в начальный момент идентификации, не превышающей 4 %. Рис. 1. Восстановление коэффициента температуропроводности: 1 - истинное значение ; 2 - его аппроксимация t а б Рис. 2. Результаты решения ОЗТ: а - погрешность аппроксимации коэффициента температуропроводности; б - ошибка приближения температурного поля Решение коэффициентных ОЗТ, сформулированных в экстремальной условно-корректной постановке, при оценке невязки между результирующим температурным полем и требуемым на основе ошибки равномерного приближения может быть сведено к решению задачи математического программирования. Для ее решения может быть использован специальный альтернансный метод оптимизации, сводящийся к решению систем уравнений, основанных на альтернансных свойствах оптимальных решений для погрешности приближения температур относительно параметров идентифицируемого воздействия.

Об авторах

Анна Николаевна Дилигенская

Самарский государственный технический университет

(к.т.н., доц.), доцент кафедры «Автоматика и управление в технических системах» Россия, 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244

Список литературы

Дополнительные файлы