О расширении приложений релятивистской динамики к электрическим цепям

Полный текст

Фундаментальная общность процессов в электрических и неэлектрических инерционных элементах легко прослеживается, если обратиться, например, к соответствующим формулам для энергий. Так, энергия электрического поля конденсатора С, энергия магнитного поля катушки индуктивности , кинетическая энергия движущегося тела массой имеют вид ; ; . (1) При этом емкость конденсатора (к пластинам которого приложено напряжение ) связана с инерционностью при попытке скачком изменить напряжение (второй закон коммутации). Индуктивность катушки индуктивности (через которую протекает ток ) связана с инерционностью при попытке скачком изменить ток через катушку (первый закон коммутации). Аналогично масса (движущегося со скоростью тела) связана с инерционностью при попытке скачком изменить скорость тела (первый закон Ньютона) [1]. Таким образом, в основе формул (1) лежит одна и та же математическая модель, которую можно представить в виде ;;, где - энергия; - числовой коэффициент; - величина, характеризующая инерционность, возникающая при попытке скачком изменить величинуD. Этой же модели подчиняется и энергия в известной формуле теории относительности Эйнштейна: , (2) где - скорость света в вакууме. Как известно из теории относительности, скорость света в вакууме - это предельная, максимально возможная скорость передачи взаимодействий в природе. Проводя аналогию между формулой (2) и формулами (1), можно предположить, например, что напряжение на конденсаторе и ток через катушку индуктивности также имеют свои предельные значения и . Тогда положения релятивистской динамики могут быть распространены и на электрические цепи. Общность математических моделей процессов, протекающих в инерционных элементах ,,, целесообразно представить в виде таблицы (табл. 1), где - масса покоящегося тела при ; - емкость конденсатора при ; - индуктивность катушки индуктивности при. Таблица 1 Общность математических моделей Инерционные элементы Второй закон коммутации [2]. - мера инертности напряжения на конденсаторе Первый закон коммутации [2]. - мера инертности тока через катушку индуктивности Первый закон Ньютона [1]. - мера инертности тела, движущего со скоростью Ток через емкость равен скорости изменения заряда : Напряжение на катушке индуктивности равно скорости изменения потокосцепления: Сила равна скорости изменения количества движения (второй закон Ньютона): Зависимость емкости конденсатора от напряжения: .(3) Зависимость индуктивности катушки от тока: .(4) Зависимость массы от скорости: .(5) Энергия конденсатора: (6) Энергия катушки индуктивности: (7) Энергия движущегося тела по формуле Эйнштейна (2): (8) При изменении энергии на емкость изменится на: (9) При изменении энергии на индуктивность изменится на: (10) При изменении энергии на масса изменится на : (11) Максимально возможная величина напряжения на конденсаторе возможна, если : (12) Максимально возможный ток через катушку индуктивности возможен, если : (13) Максимально возможная скорость тела возможна, если : (14) В представленной таблице формулы (3) и (4) записаны по аналогии с известной из курса релятивистской динамики [1] формулой связи между массой и энергией (5). Аналогично формулы (6), (7) и (9), (10) записаны по аналогии с известными формулами (8) и (11) соответственно. Если минимизация массы () и приближение к скорости (согласно (14))настоящее время пока затруднительно, то минимизация емкости () и индуктивности (), а значит, и приближенное выполнение соотношений (12) и (13) технически возможно уже сегодня с помощью конверторов отрицательного импеданса (NegativImpedanzConverter) и,в частности, конверторов отрицательной емкости и индуктивности. Указанные устройства представляют собой активные цепи имитации отрицательного импеданса, имеющие зависимость между входным импедансом и импедансом нагрузки вида [3, 4]: , где - положительный безразмерный коэффициент. Конверторы отрицательного импеданса (NIC) удобно рассматривать как идеальные активные четырехполюсники, причем последние классифицируют в соответствии со свойствами, которые имеет их матрица обобщенных параметров цепи [5]: . Активные четырехполюсники являются проходными четырехполюсниками, и рассматриваются только те, для которых A, B, C, D- вещественные постоянные величины. Для конверторов отрицательного импеданса AD< 0; B = C = 0 [5]. Для NICпо току A> 0; D< 0. Для NICпо напряжению A< 0; D> 0. Иногда понятия NIC(по току или по напряжению) сужают, ограничивая их случаем A = 1или D = 1. С позиции теории четырехполюсников конвертор отрицательного импеданса () (см. рисунок) полностью характеризуется коэффициентами уравнений, описывающих его поведение: Конвертор отрицательного импеданса в виде идеального четырехполюсника. Таблица 2 Матрица параметров и коэффициенты передачи конвертора Матрица параметров конвертора Коэффициент передачи по току (слева направо) Коэффициент передачи по напряжению (слева направо) -1 1 1 -1 Полная компенсация импеданса емкости или индуктивности с помощью недостижима из-за неизбежно возникающих проблем с устойчивостью работы схемы конвертора [3], поэтому при использовании схем имитации отрицательных импедансов можно говорить не о полной, а лишь о частичной (приближенной) компенсации величины емкости (индуктивности) с помощью , т. е. здесь более уместен термин «конвергенция»(лат.сonvergo - приближение, схождение) [6]. Конвергенция (приближение) отрицательного импеданса конвертора к компенсируемой емкости (индуктивности) зависит от требований к запасу устойчивости проектируемой схемы конвертора. Таким образом, на основе фундаментальной общности электрических и неэлектрических процессов рассмотрена принципиальная возможность расширения приложений релятивистской динамики к электрическим цепям (см. (3), (4), (6), (7), (9), (10)). Рассмотрена техническая возможность приближенного выполнения соотношений (12) и (13) по определению предельных значений тока через катушку индуктивности и напряжения на конденсаторе с помощью конверторов отрицательной индуктивности и емкости.

Об авторах

Валерий Сергеевич Ляпидов

Самарский государственный технический университет

Email: constantin.1988@mail.ru
(к.т.н., доц.), доцент кафедры «Автоматика и управление в технических системах» Россия, 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244

Список литературы

Дополнительные файлы