State identifier of digital model of the induction heating process

Full Text

В работе предлагается метод решения задачи проектирования идентификатора состояния нелинейной модели объекта с распределенными параметрами, в качестве которого рассматривается процесс индукционного нагрева. Методика решения подобной задачи для линейных моделей представлена в [1]. Далее рассматривается распространение данного метода на сложные, нелинейные цифровые модели объекта. Процесс индукционного нагрева металлических заготовок цилиндрической формы с сосредоточенным управляющим воздействием по мощности внутреннего тепловыделения u(t) можно описать следующим двумерным неоднородным уравнением теплопроводности [2]: (1) с краевыми условиями (2) На управляющее воздействие u(t) накладывается следующее ограничение: (3) Здесь x и y - соответственно радиальная и продольная пространственные координаты; R, L - радиус и длина цилиндра; - коэффициент теплоотдачи, определяющий уровень тепловых потерь с боковой и торцевых поверхностей цилиндра в окружающую среду с температурой ; F(x,y) - функция, характеризующая распределение электромагнитных источников тепла по объему заготовки; - начальное распределение температур; - температурное поле нагреваемого металлического изделия; - удельная теплоемкость, плотность и коэффициент теплопроводности материала. Определяя начальную температуру и коэффициент теплоотдачи с точностью до принадлежности заданным интервалам их возможных значений ,, зададим вектор неопределенных факторов как , где Z - множество всех допустимых по указанным ограничениям комбинаций величин и . Пусть качество процесса управления оценивается по критерию оптимального быстродействия в интегральной форме: (4) В случае, когда в системе управления может быть получена в реальном масштабе времени достоверная информация о реализуемой в каждом конкретном случае величине путем наблюдения за поведением управляемой величины, требования к конечному температурному состоянию записываются в виде неравенства (5) с учетом заданного в равномерной метрике допуска на отклонение конечного температурного состояния от требуемого равномерного распределения температур . Сформулируем задачу оптимального быстродействия. Необходимо найти такое оптимальное управление в условиях заданных ограничений (3), которое переводит объект, описываемый бесконечной системой уравнений (1), (2), из заданного начального в требуемое конечное состояние (5) за минимально возможное время для каждой из допустимых величин . Если пренебречь инерционностью и погрешностями процедур наблюдения и идентификации, величина определяется по некоторой заранее фиксируемой детерминированной зависимости от результатов всегда неполного наблюдения за текущим состоянием объекта: (6) где и выбираются из условия минимальной сложности технической реализации системы управления. Таким образом, возникает задача проектирования идентификатора (6) и синтеза регулятора , обеспечивающих решение детерминированной краевой задачи (1)-(6) за минимально возможное время при некоторых зафиксированных значенияхи . Задачу синтеза такой системы рассмотрим на примере построения оптимальной по быстродействию системы управления процессом индукционного нагрева металлических изделий цилиндрической формы, математическая модель которого представлена уравнениями (1)-(3). Рассмотрим случай, когда мощность нагрева равномерно распределена по всей длине заготовки при одинаковых тепловых потерях на торцах y = 0 и y = L цилиндра и можно ограничиться контролем температурного поля в среднем сечении цилиндра y = с нулевым температурным градиентом , в пределах которого радиальное распределение температур описывается одномерным уравнением теплопроводности. Пусть в соответствии с требованиями (5) к конечному температурному состоянию требуется обеспечить равномерный нагрев тела до заданной температуры θ** = const с предельно достижимой в классе оптимальных по быстродействию двухинтервальных управляющих воздействий релейной формы абсолютной точностью за минимально возможное время при равномерно распределенной начальной температуре в условиях интервальной неопределенности по величинам и . Решение детерминированной задачи синтеза замкнутой оптимальной по быстродействию системы управления для любых заранее фиксируемых значений вектора приводит к следующему виду оптимального регулятора [3]: , (7) где - функция переключения оптимального управления u*, формируемая по измеряемым температурам на поверхности и в центре выбранного сечения нагреваемого изделия: . (8) Здесь - значения температур в конце оптимального процесса; коэффициенты являются нетривиальными решениями однородной системы линейных уравнений: , (9) где - момент переключения оптимальной программы с первого интервала управления на второй длительностями и , которые могут быть найдены вместе со значением минимакса альтернансным методом [4]. Коэффициент ρ1 в (8) можно принять равным единице, тогда ρ2 вычисляется по следующему выражению: . (10) Полученная замкнутая система управления с регулятором (7) должна быть дополнена идентификатором (6) реализуемых величин . Алгоритм идентификации, методика получения которого описана в [1], принимает в линейном приближении следующий вид: (11) Здесь - наблюдаемые значения температур на поверхности и в центре заготовки в некоторый фиксированный момент времени , - значения температур на поверхности и в центре заготовки в зафиксированный момент времени при номинальных значениях неопределенных параметров , а коэффициенты при наличии аналитических зависимостей температур вычисляются по правилам дифференцирования неявных функций [1]: (12) В этом случае алгоритмы определения в реальном времени коэффициента в (10) и конечных значений температурных состояний устанавливаются по следующим зависимостям [1], где (13) (14) (15) Для исследуемых нелинейных моделей все указанные в (12), (15) производные могут быть найдены с требуемой точностью их заменой конечными разностями, вычисленными непосредственно на цифровой модели объекта: (16) Описанная математическая модель объекта управления (1)-(3) может быть реализована в виде численной двумерной электротепловой модели. В данном исследовании была использована модель процесса сквозного периодического индукционного нагрева алюминиевых цилиндрических слитков, разработанная в специализированном пакете FLUX [5]. Исходные данные модели представлены в таблице. Исходные данные для процесса индукционного нагрева Параметр Значение 2R, толщина заготовки, мм 500 L, длина заготовки, мм 1000 , теплопроводность, Вт/(м ∙ єС) 115(1+0,0008) B(H), кривая намагничивания, Тл 4p ∙ 10-7H rCp(), объемная теплоемкость, Дж/( м3 ∙ єС) 2,34Ч106(1+5,7Ч10-4) r(), сопротивление, Ом 0,3Ч10-7(1+0,007) б, коэффициент конвективного теплообмена 20 , начальная температура, єС 20 , конечная температура, єС 460 , напряжение на индукторе, В 470 v, частота, Гц 50 Для данной модели были найдены следующие значения оптимальных параметров: . Поиск оптимальных параметров осуществлялся путем подбора длительностей интервалов с контролем формы температурного распределения по радиусу заготовки (см. рисунок) в центральном сечении L/2, согласно альтернансному методу. Температурное распределение по радиусу центрального сечения цилиндра Для исходных номинальных данных, представленных в таблице, а также , получены следующие значения коэффициентов в (10), (16): ,,,,,, , , , , , ,,, ,,.

About the authors

Ilya S Levin

Samara State Technical University

Email: levin_ilja@yahoo.com
Postgraduate Student, Assistant 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

References

Supplementary files