Induction heating installations design based on multi-criteria optimization

Full Text

Оптимизация играет ключевую роль при проектировании любой установки или системы, и электромагнитные устройства, к которым относятся индукционные нагревательные установки, не являются исключением. Задача оптимального проектирования заключается в нахождении области проектных параметров установки, которые обеспечивают соответствие предъявляемым технологическим требованиям, часто задаваемым в виде ряда критериев оптимальности, экстремальные значения которых не могут быть достигнуты одновременно. Во многих случаях сведение такой постановки к однокритериальной задаче различными методами свертки иерархической системы частных критериев оптимальности невозможно, что обусловливает необходимость формулировки задачи многокритериальной оптимизации, т. е. задачи поиска решения, удовлетворяющего одновременно нескольким конфликтующим целевым функциям [1]. В данной статье описаны основные подходы и приведены примеры решения задач многокритериального оптимального проектирования индукционных нагревательных установок, реализованных с помощью объединения численных моделей взаимосвязанных электромагнитных и тепловых полей и оптимизационных процедур. В работе рассматривается решение задачи двухкритериальной оптимизации на базе альтернансного метода процесса индукционного нагрева алюминиевых цилиндрических заготовок, моделируемого численной двумерной FLUX-моделью. В качестве примера трехкритериальной задачи рассмотрена оптимизация с помощью стандартных генетических алгоритмов процесса нагрева стальных заготовок, моделируемого двумерной численной моделью, разработанной в пакете ANSYS. Представленные результаты получены в рамках научных исследований, проводимых совместно Самарским государственным техническим университетом (г. Самара, Россия) и Университетом им. Лейбница (г. Ганновер, Германия). Многокритериальная постановка задачи оптимального проектирования Задачи оптимального проектирования индукционных нагревательных систем могут быть сформулированы как нелинейные задачи оптимизации, характеризующиеся вектором целевых функций , состоящим из элементов в пространстве целевых функций . Многокритериальная задача поиска вектора неизвестных значений параметров в пространстве оптимизируемых переменных может быть записана в следующем виде: (1) при выполнении ограничений в виде неравенств и ограничений в виде равенств: , (2) а также ограничений, накладываемых на оптимизируемые параметры: . (3) В задаче оптимального проектирования представляет собой вектор конструктивных параметров индуктора или ключевых режимных параметров процесса нагрева. Зависимость j-той целевой функции от вектора может быть достаточно сложной. В большинстве случаев конфликтующих целевых функций, имеющих различные физические размерности, относятся к наиболее важным технико-экономическим характеристикам технологического процесса (себестоимость конечного продукта, качество полуфабрикатов, энергетические и материальные затраты и др.), что вынуждает проектировщика искать наилучшие компромиссные решения. Решение сложной взаимосвязанной системы уравнений Максвелла и Фурье, описывающей поведение электромагнитных и тепловых полей в процессе индукционного нагрева, и вычисление значений целевых функций включают расчеты, связанные с конструктивными параметрами, являющимися компонентами вектора . Вследствие этого целевая функция , определяющая характеристики электромагнитных и тепловых полей или технико-экономические показатели процесса, зависит от как явно, так и неявно, что позволяет определить последовательность вычислений: (4) Согласно формулировке (4), оптимальный синтез электромагнитных и тепловых полей в процессе индукционного нагрева неразрывно связан с оптимизацией основных конструктивных параметров. Задача (1)-(3) является нетривиальной в случае, когда пара целевых функций представляет собой конфликтующие функции для всех . В общем случае функций будут находиться в конфликте, если и , для которых выполняется выражение , (5) при , где P - область определения вектора . Конфликт между целевыми функциями является основным обстоятельством, препятствующим достижению ими экстремальных значений одновременно [1]. Одним из наиболее важных критериев оптимизации при рассмотрении процессов индукционного нагрева является максимальная равномерность температурного распределения по объему заготовки. В качестве отвечающей технологическим требованиям оценки точности нагрева часто может рассматриваться максимальное абсолютное отклонение температуры в конце процесса нагрева от требуемого значения . Следовательно, целевая функция , соответствующая критерию максимальной точности нагрева, может быть записана в форме чебышевской нормы: , (6) где - вектор пространственных координат, изменяющихся в области Х. Во многих практических ситуациях основным показателем, характеризующим эффективность процесса нагрева, являются энергетические затраты. В этом случае целевая функция, минимизирующая общее энергопотребление в процессе нагрева, может быть представлена в следующей интегральной форме: , (7) где - мощность внутренних источников тепла. В других ситуациях ведущая роль может принадлежать материальным затратам, существенную долю которых при высокотемпературном индукционном нагреве обычно составляют потери металла в окалину. Методы многокритериальной оптимизации Поиск решения задачи (1)-(3) представляет значительные трудности, так как в общем случае целевые функции могут не иметь производных и являться невыпуклыми или негладкими. Кроме того, оценка целевых функций является затратной с точки зрения вычислительных ресурсов, поскольку каждый вызов функции требует решения нелинейной системы уравнений для электромагнитного и теплового полей. Это является главным источником возникающих при решении подобных задач проблем, приводящих к необходимости поиска компромисса между точностью получаемого решения, требуемым временем вычислений и возможностью сохранения истории расчетов. Наиболее общий подход при решении многокритериальной оптимизационной задачи основан на сведении ее к однокритериальной задаче различными методами свертки иерархической системы частных критериев оптимальности, удовлетворяющих выбранным ограничениям. Традиционно многокритериальная задача редуцируется к однокритериальной путем введения функции предпочтения, т. е. взвешенной суммы целевых функций: (8) при , которая должна быть минимизирована по при условиях (2)-(3). Иерархическое предпочтение локальных целевых функций при их свертке в единый критерий оптимальности может быть изменено путем изменения соответствующих весовых коэффициентов: для заданного множества весовых коэффициентов соответствующее решение, если оно имеется, принимается в качестве оптимального. Однако наиболее общее решение задачи может быть представлено фронтом Парето недоминируемых решений, т. е. совокупностью решений, для которых уменьшение одной из целевых функций невозможно без одновременного увеличения по крайней мере одной другой целевой функции. По существу, это означает, что имеется семейство оптимальных решений, которые необходимо сравнить исходя из опыта проектировщика и выбрать единственное решение согласно дополнительным критериям. На практике для получения фронта Парето могут использоваться различные алгоритмы многокритериальной параметрической оптимизации, большинство из которых основано на недерминистских методах оптимизации, использующих принципы естественной эволюции [1]. Во многих случаях нет необходимости в получении широкого семейства оптимальных решений. Поэтому многие многокритериальные задачи формулируются для нахождения конечного числа Парето-оптимальных решений, которые равномерно распределены вдоль фронта Парето. С инженерной точки зрения целесообразно выбрать единственное решение из полученного семейства. Оно должно принадлежать к совокупности недоминируемых решений и удовлетворять заданным требованиям проектировщика. Альтернансный метод параметрической оптимизации давно и успешно применяется при решении задач управления и проектирования индукционных систем. Методы оптимального управления и базирующиеся на них методики оптимизации основаны на физических свойствах контролируемых нестационарных процессов теплопроводности в процессе индукционного нагрева. Эти свойства позволяют составить систему уравнений, которая должна быть решена относительно неизвестных оптимизируемых параметров. Подобная оптимизационная стратегия была представлена в ряде публикаций [2-6] и применена для решения сформулированной ниже двухкритериальной задачи. Пример решения двухкритериальной задачи оптимизации альтернансным методом Рассмотрим типичный для кузнечного производства процесс периодического индукционного нагрева алюминиевых цилиндрических заготовок перед операциями пластической деформации (рис. 1) [6, 10]. Рис. 1. Геометрические параметры системы «индуктор - заготовка» Основной целью процесса индукционного нагрева является получение требуемого (обычно равномерного) температурного распределения; однако одним из недостатков индукционного нагрева является наличие поверхностных, концевых и краевых эффектов, обусловливающих неравномерный нагрев. Предъявляемые к процессу нагрева требования обеспечения максимально достижимой равномерности распределения температурного поля по объему заготовки в конце процесса нагрева при минимальном энергопотреблении, в принципе, находятся в противоречии друг с другом, поэтому задача оптимального по критериям (6) и (7) проектирования нагревателя должна быть сформулирована как задача многокритериальной оптимизации. В общем случае распределение температурного поля по объему нагреваемого тела описывается весьма сложной системой взаимосвязанных уравнений Максвелла и Фурье для электромагнитного и теплового полей [2, 5]. В настоящее время большинство коммерческих программ численного анализа электромагнитных и температурных полей основано на методе конечных элементов. Для решения сформулированной задачи была разработана двумерная численная модель периодического индукционного нагрева изделий цилиндрической формы в конечно-элементном программном пакете Cedrat FLUX [7, 8]. В рассматриваемой двухкритериальной задаче в качестве оптимизируемых параметров выбраны параметры, оказывающие наиболее существенное влияние на процесс: напряжение источника питания , связанное с мощностью внутренних источников тепла, и время нагрева . Возможные интервалы изменения оптимизируемых параметров могут быть заданы в виде ограничений: ; . (9) Противоречие, возникающее между целевыми функциями (6) и (7), является одной из главных предпосылок к решению задачи многокритериальной оптимизации, которая может быть сформулирована следующим образом. Для процесса индукционного нагрева, описываемого двумерной численной FLUX-моделью, необходимо определить такие значения оптимизируемых параметров и , стесненных ограничениями (9), которые обеспечили бы нагрев заготовки от начальной 20 °С до требуемой конечной температуры 450 °С при минимально возможных значениях целевых функций (6) и (7). Исходные данные для моделирования, а также геометрия системы «индуктор - заготовка» представлены в табл. 1 и на рис. 1 соответственно. Результаты решения задачи, полученные с использованием альтернансного метода оптимизации, приведены в табл. 2. Соответствующий фронт Парето представлен на рис. 2 на плоскости целевых функций (6) и (7). Как можно видеть из рисунка, фронт Парето имеет выпуклую форму, а уменьшение значения целевой функции приводит к возрастанию значения целевой функции , что согласуется с физическими закономерностями рассматриваемых процессов и означает необходимость дополнительных затрат энергии для увеличения точности нагрева. Рис. 2. Результаты решения двухкритериальной задачи на плоскости целевых функций Последующий анализ фронта Парето состоит в выборе единственного решения из полученного множества оптимальных по Парето решений. С технологической точки зрения, руководствуясь требованиями, предъявляемыми на последующих операциях пластического формоизменения, целесообразно выбрать решение, соответствующее максимальной точности нагрева, т. е. минимальному значению целевой функции (6). Данное решение представлено самой правой точкой фронта Парето со следующими значениями целевых функций: ; , что соответствует следующему решению задачи проектирования в пространстве оптимизируемых параметров: ; Решение сформулированной двухкритериальной задачи оптимизации было проведено также для различных значений геометрических и физических параметров системы. Во всех случаях результаты решения демонстрируют аналогичные качественные характеристики оптимальных процессов нагрева. Таблица 1 Исходные данные для моделирования Число витков индуктора 69 Длина заготовки, м 1.0 Частота питающего напряжения, Гц 50 Коэффициент теплопроводности, Электрическое сопротивление, Ом Объемная теплоемкость, Таблица 2 Результаты решения задачи 456 1663 80 230,448 434 1868 70 233,283 405 2183 60 237,809 379 2543 50 242,83 347 3126 40 249,91 Пример решения трехкритериальной задачи оптимизации Рассмотренная выше двухкритериальная задача оптимального проектирования была сформулирована для двух типовых критериев оптимизации: максимальной точности нагрева и минимального энергопотребления. Целый ряд технологических процессов предусматривает нагрев стальных заготовок до высоких температур 1100-1200 °C. Выравнивание температуры в центре заготовки в таких процессах протекает с низкой скоростью, что приводит к увеличению длительности нагрева до десятков минут. В этом случае металл начинает активно окисляться, что вызывает существенные его потери, ухудшение свойств конечного продукта и срока службы формовочного оборудования [3]. Все вышеперечисленные причины обусловливают необходимость минимизации образования окалины в процессе нагрева стальных изделий. Данное требование может быть сформулировано в виде следующей целевой функции: , (10) где T - температура поверхности [9]. Задача трехкритериальной оптимизации была решена с помощью интегрирования двумерной численной модели процесса, разработанной в пакете ANSYS, в оптимизационную процедуру, построенную на основе генетического алгоритма. В качестве объекта оптимизации рассматривается индукционная установка для нагрева стальных цилиндрических заготовок диаметром 100 мм до температуры 1200 °C при частоте питающего тока 1000 Гц [10]. Критерии максимальной точности нагрева и минимального энергопотребления сформулированы согласно выражениям (6) и (7). В качестве оптимизируемых параметров процесса выбраны сила тока индуктора и время нагрева. Фронт Парето, полученный в результате решения данной задачи, представляет собой трехмерную поверхность в пространстве трех целевых функций: точности нагрева, энергопотребления и окалинообразования, которые определяются выражениями (6), (7) и (10) соответственно. Проекция семейства решений на плоскость целевых функций (6) и (7) показана на рис. 3. В данном случае фронт Парето представляет собой левую вогнутую границу V-образной кривой, на которой для каждой точки уменьшение значения целевой функции (6) приводит к возрастанию значения целевой функции (7), что свидетельствует о ярко выраженном конфликте между рассматриваемыми критериями и нетривиальностью задачи выбора единственного решения. Рис. 3. Проекция фронта Парето на плоскость целевых функций (6) и (7) Проекция семейства решений задачи на плоскость целевых функций (6) и (10), показанная на рис. 4, представляет собой две группы точек с явно выраженным промежутком между ними. Максимальная точность нагрева, определяемая согласно критерию (6), соответствует нижним точкам правой группы, в то время как минимальному значению критерия (10) отвечают несколько решений левой группы, соответствующих различным значениям критерия (6). Этот эффект, как и эффект разделения решений на группы, позволяет сделать вывод о не столь явно выраженном конфликте целевых функций, как в предыдущем случае (рис. 3), и необходимости дальнейшего детального анализа для выбора единственного решения. Анализ проекции найденного фронта Парето на плоскость целевых функций (7) и (10), представленной на рис. 5, позволяет сделать вывод о существовании единственного решения, удовлетворяющего одновременно минимальным значениям обоих критериев, что свидетельствует об отсутствии конфликта между ними. Заключение Идея формулировки и решения задачи оптимального проектирования электротехнических установок как задачи многокритериальной оптимизации сама по себе не нова. Однако проблема интегрирования численных нелинейных многомерных моделей взаимосвязанных электромагнитных и тепловых полей в автоматизированные оптимизационные процедуры является весьма нетривиальной, а ее решение открывает перед проектировщиками большие возможности по выбору и оценке принимаемых решений. Рис. 4. Проекция фронта Парето на плоскость целевых функций (6) и (10) Рис. 5. Проекция фронта Парето на плоскость целевых функций (7) и (10) В работе рассмотрены многокритериальные задачи оптимального проектирования индукционных установок для нагрева заготовок перед операциями пластического формоизменения. В качестве целевых функций рассмотрены типовые критерии качества процесса нагрева: максимальная точность нагрева, минимальное энергопотребление и минимальное окалинообразование. С помощью альтернансного метода получено решение двухкритериальной задачи оптимизации процесса индукционного нагрева алюминиевых цилиндрических заготовок, моделируемого двумерной численной моделью, разработанной с помощью специализированного программного пакета FLUX (Cedrat). В качестве примера трехкритериальной задачи рассмотрена оптимизация с помощью стандартных генетических алгоритмов процесса нагрева стальных заготовок, моделируемого двумерной численной моделью, разработанной в мультифизичном пакете ANSYS. Полученные результаты свидетельствуют о работоспособности предложенных подходов, необходимости дополнительных исследований полученных решений и выявляют возможности расширения сферы применения рассмотренных оптимизационных процедур к практическим задачам.

About the authors

Yulia E Pleshivtseva

Samara State Technical University

(Dr. Sci. (Techn.)), Professor 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, Russian Federation

Edgar Ya Rapoport

Samara State Technical University

(Dr. Sci. (Techn.)), Professor 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, Russian Federation

Bernard Nacke

Institute of Electrotechnology, Leibniz Universität Hannover

(Ph.D. (Techn.)), Research Scientist 4, Wilhelm-Busch-st., Hannover, D-30167, Germany

Alexandr N Nikanorov

Institute of Electrotechnology, Leibniz Universität Hannover

Director Institute for Electrotechnology, Hannover 4, Wilhelm-Busch-st., Hannover, D-30167, Germany

Anton V Popov

Samara State Technical University

Postgraduate Student, Assistant 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, Russian Federation

References

Supplementary files