Complex shaped blades tips’ radial and axial displacements calculation errors in the systems for measuring of radial clearances in turbine

Full Text

Введение Известно, что радиальные зазоры (РЗ) между торцами лопаток рабочего колеса компрессора и турбины авиационных газотурбинных двигателей (ГТД) и внутренней поверхностью статорных оболочек являются важнейшими параметрами, от величины которых зависят экономичность и надежность силовых установок [1-3]. Необходимо отметить, что в стендовых испытаниях ГТД была подтверждена работоспособность одновитковых вихретоковых датчиков (ОВТД) с чувствительными элементами (ЧЭ) в виде отрезка проводника, размещенными непосредственно в газовоздушном тракте двигателя [4]. Включенные в состав системы измерения с ПЭВМ для обработки данных ОВТД обеспечивали получение текущей информации о РЗ в предположении об отсутствии многомерных (многокоординатных) смещений торцов лопаток (в системе отсчета OXYZ, где точка O (начало отсчета) размещена на внутренней поверхности статора, смещениям в направлении оси Y соответствуют РЗ, оси X - осевые смещения рабочего колеса, оси Z - изгибы лопаток в направлении вращения). Особенность ОВТД состоит в том, что при наличии многомерных смещений индуктивность ЧЭ реагирует не только на изменения искомых РЗ (координата y), но и на изменения координат x и z, которые при этом можно рассматривать как мешающие факторы (МФ). Чтобы избежать влияния таких МФ, в [5] предложены методы измерения всех без исключения составляющих многомерных смещений торцов лопаток, предусматривающие применение кластера (группы) ОВТД, число которых равно числу составляющих. В частности, при измерении РЗ (y) и наличии осевых смещений рабочего колеса (x) достаточно двух ОВТД в составе кластера. В измерительных цепях (ИЦ) систем измерения, реализующих кластерный метод, радиальные и осевые смещения (координаты y и x соответственно) преобразуются в изменения индуктивностей ОВТД1 и ОВТД2 и далее в соответствующие цифровые коды C1 и C2, причем в составе программного обеспечения (ПО) предусмотрена процедура вычисления искомых координат путем решения системы уравнений: (1) где C1(x, y) и C2(x, y) - градуировочные характеристики (ГХ), полученные экспериментально. Если функции C1(x, y) и C2(x, y) монотонны, то система (1) решается с помощью алгоритма на основе метода Ньютона [6, 7]. Однако применение кластера ОВТД для измерения радиальных и осевых смещений торцов лопаток сложной формы с повышенной кривизной поверхности пера, а также в расширенном диапазоне изменений осевых смещений рабочего колеса в турбине сопровождается немонотонным характером изменений кодов ГХ по координате x [8]. При этом алгоритм на основе метода Ньютона неприменим, но можно воспользоваться алгоритмом, предложенным в работах [9, 10]. В графической интерпретации предложенного алгоритма, где коды С1 и С2 могут быть представлены плоскостями, параллельными плоскости OXY системы отсчета COXY, а семейство ГХ (C1(x, y) и C2(x, y) - двумя поверхностями в той же самой системе отсчета, пересечение плоскостей С1 и С2 с поверхностями C1(x, y) и C2(x, y) происходит по кривым линиям, и их проекции на плоскость OXY также являются кривыми. При этом координаты x и y точки пересечения проекций кривых согласно рассматриваемому алгоритму являются решением системы уравнений (1). Последующие операции предусматривают поиск ячейки градуировочной таблицы (ГТ) и сетки прямоугольной формы, где находится точка пересечения (стороны ячейки равны шагу по каждой из координатных осей (xш, yш) ГТ). Далее в пределах найденной ячейки определяются координаты точки пересечения, причем внутри ячейки отрезки кривых заменяются отрезками прямых. Представляется очевидным, что координаты точки пересечения отрезков кривых (xк, yк) будут отличаться от координат точки пересечения прямых (xп, yп), а их разности можно считать погрешностями такого алгоритма. В работах [9, 10], а также в других известных публикациях отсутствуют какие-либо сведения о погрешностях вычисления координат x, y торцов лопаток. Поэтому целью настоящей статьи являются исследования и количественные оценки этих погрешностей. Графическое представление погрешностей вычисления координат x, y и выбор семейства функций преобразования (ФП), заданных аналитически Как отмечалось во введении, искомые погрешности определяются разностью координат точек пересечения отрезков кривых (xк, yк) и прямых (xп, yп): . (2) Из рис. 1 следует, что в пределах одной ячейки наибольшие значения Dx и Dy наблюдаются в окрестностях центра ячейки. Кроме того, вполне ожидаемым является их рост в каждой ячейке ГТ с увеличением шага (xш, yш), и наоборот - снижение с уменьшением шага. Количественные оценки таких погрешностей определяют содержание первой серии (1) вычислительных экспериментов. Содержание второй серии (2) определяют исследования распределения погрешностей внутри ячеек, в т. ч. поблизости границ, где они стремятся к нулевым значениям. Результаты планируемых вычислительных экспериментов должны подтвердить сделанные предположения. Однако на предварительном этапе, предшествующем проведению исследований в рамках серий 1 и 2, производится выбор семейства ФП в виде зависимостей кодов от координат x, y, заданных аналитически, т. е. формулами, которые используются для получения ГТ с различными значениями xш, yш. Важным условием выбора такого семейства (С1ан(x, y) и С2ан(x, y)) является подобие семейству ГХ (C1(x, y) и C2(x, y)), полученному экспериментально с использованием турбинной лопатки. В свою очередь, прототип выбран из множества семейств ГХ по нескольким критериям. Во-первых, каждая из функций семейства ГХ - как С1(x), так и С2(x) - при y = const должна быть немонотонна при наличии наиболее выраженных экстремальных значений. При этом в изменениях кодов по координате x должен наблюдаться рост С1 до максимума с последующим спадом, и наоборот - спад С2 с последующим ростом. Во-вторых, диапазоны изменений координат x, y должны быть одинаковыми, а хотя бы приближенное равенство желательно в чувствительности кодов к изменениям координат, и в первую очередь к изменениям координаты y (РЗ)[1]. И, наконец, в-третьих, координаты экстремальных значений кодов С1 и С2 по оси X должны соответствовать расстоянию между центрами ЧЭ1 и ЧЭ2 ОВТД в составе кластера (около 2 мм). Семейство ГХ прототипа представлено на рис. 2, а подобное ему базовое семейство ФП, предназначенное для получения ГТ, имеет вид (3) где A и B - коэффициенты. Рис. 2. Семейство ГХ, полученное экспериментально (прототип) Семейства С1(x, y) и С2(x, y), приведенные на рис. 3, получены для значений A0,0 = 1087,9; A0,1 = 15,08; A0,2 = -2,648; A1,0 = -395,6; A1,1 = 11,76; A1,2 = 2,1716; A2,0 = 92,358; A2,1 = 2,648; A2,2 = -0,513 и B0,0= -89,06; B0,1 = 4,5331; B0,2 = 1,6848; B1,0 = 417,54; B1,1 = -6,666; B1,2 = -0,942; B2,0 = -97,92; B2,1 = 1,7533; B2,2 = 0,1853. Рис. 3. Семейства ФП, полученные аналитически для определения погрешности алгоритма вычисления Результаты исследований погрешностей Вычислительные эксперименты серии 1 начинаются с построения ГТ с заданными xш, yш. Для этого используется семейство ФП, представленное выражениями (3). Выбирается одна из «ячеек» ГТ, и для ее центра с координатами xц, yц (промежуточными значениями между «узлами» ГТ) с помощью выражения (3) находятся коды С1ц и С2ц. Полученные ГТ и коды С1ц и С2ц как исходные данные вводятся в программу, реализующую алгоритм [9, 10], в которой выходными данными являются расчетные значения координат xцр и yцр. Можно утверждать, что заданным и расчетным значениям координат (xц, yц и xцр, yцр) в выражении (2) соответствуют координаты точки пересечения отрезков кривых и прямых (xк, yк и xп, yп). С учетом этого искомую погрешность можно записать в виде (4) Выражение (4) используется для вычисления погрешности в выбранной ячейке, а затем процедура повторяется для остальных ячеек в данной ГТ и других ГТ с иными значениями xш, yш. Они представляются в виде приведенных погрешностей и определяются по формулам где xmax-xmin, ymax-ymin - диапазоны изменений координат x и y. В процессе последующих вычислительных экспериментов исследовались погрешности δx в зависимости от координаты x (δx(x)) при постоянных значениях координаты y (y=const) для выбранных значений xш = 0,2 мм при yш = var (0,1; 0,2; 0,3; 0,5 мм), а также последовательно для xш, равных 0,3; 0,5 и 1 мм при изменениях yш в указанном выше диапазоне. а б Рис. 4. Семейства δx(x) при y = const и xш = yш = 0,2 мм (а), а также xш = 1 мм, yш = 0,3 мм (б) Из всего множества проведенных вычислительных экспериментов на рис. 4 представлены всего лишь два семейства δx(x). Первое из них (а) - для y, равного 0,6 и 1,4 мм при xш = yш = 0,2 мм; второе (б) - для y, равного 0,65 и 1,25 мм при xш = 1 мм, yш = 0,3 мм. Общим для обоих семейств δx(x) (как, впрочем, и для всех остальных, оставшихся «за кадром») является одинаковый характер изменения δx по координате x, проявляющийся в наличии перегиба и экстремального значения на каждой из функций (наличие экстремальных значений кодов характерно и для семейств ФП и ГХ, представленных на рис. 2 и 3). При этом большая часть из множества исследованных погрешностей δx имеет отрицательный знак, в т. ч. и те, что представлены на рис. 4. Следует отметить, что отличительная особенность семейств δx(x), представленных на рис. 4, - это одинаковые значения погрешности δx для двух значений функции δx(x) при y, равном 0,6 и 1,4 мм (точка пересечения обеих функций). Следует также отметить, что на рис. 4 обозначены границы изменения погрешностей для каждого из представленных семейств δx(x). Эти значения погрешностей размещены в табл. 1 наряду с теми значениями, которые были получены в вычислительных экспериментах при всех ранее перечисленных значениях xш, yш. Таблица 1 Граничные значения погрешностей δx, % yш, мм xш, мм 0,2 0,3 0,5 1 0,1 -0,0392 -0,0529 -0,1282 -0,4533 -0,0051 -0,008 -0,0043 0,05858 0,2 -0,1288 -0,1206 -0,1607 -0,4853 -0,0035 -0,0128 -0,0289 -0,022 0,3 -0,2538 -0,2428 -0,2611 -0,4807 -0,0011 -0,0139 -0,0434 -0,0952 0,5 -0,7165 -0,6894 -0,6836 -0,6602 0,01795 0,00269 -0,0412 -0,1642 Как и ожидалось, с увеличением шага xш и yш до 1 мм и 0,5 мм соответственно погрешности δx по модулю (без учета знака) остаются менее 1,0 % (рассматриваемые значения δx расположены по диагонали таблицы и тонированы). Далее в рамках первой серии исследовались погрешности δy в зависимости от координаты y (δy(y)) при постоянных значениях координаты x (x=const) для тех же значений шага xш, yш и в той же последовательности, в которой определялись погрешности δx. а б Рис. 5. Семейства δy(y) при x = const и xш = yш = 0,2 мм (а), а также xш = 1 мм, yш = 0,5 мм (б) На рис. 5 представлены семейства δy(y) при x, равном -4,9 и +4,9 мм, xш = yш = 0,2 мм (а), а также при x, равном -4,5 и +4,5 мм, xш = 1 мм, yш = 0,5 мм (б). На обоих графиках погрешность δy отрицательна и возрастает по модулю с увеличением y, причем такой характер изменений сохраняется во всех остальных вычислительных экспериментах, проводимых в оставшихся сочетаниях xш, yш (за исключением значений xш = 1,0 мм, yш = 0,1 мм знак погрешности δy остается отрицательным). Следует отметить также монотонный характер изменений погрешности δy(y), что соответствует характеру изменений кодов от y на графиках семейства ГХ прототипа и ФП на рис. 2 и 3. Количественные оценки погрешностей δy (по результатам вычислительных экспериментов, проведенных в полном объеме) представлены в табл. 2. Таблица 2 Граничные значения погрешностей δy, % yш, мм xш, мм 0,2 0,3 0,5 1 0,1 -0,1825 -0,1824 -0,1803 -0,1533 -0,0636 -0,0545 -0,021 0,11724 0,2 -0,6796 -0,6797 -0,6785 -0,6567 -0,2928 -0,2865 -0,2552 -0,1277 0,3 -1,2707 -1,2715 -1,273 -1,2655 -0,6955 -0,693 -0,6637 -0,5477 0,5 -3,5319 -3,5276 -3,5273 -3,5187 -2,101 -2,1091 -2,0813 -1,9926 Как видно из таблицы, погрешность δy при выбранном значении yш незначительно зависит от xш. Напротив, при выбранном xш погрешность δy существенно возрастает (примерно до 3,5 % по модулю). При этом указанный рост δy наблюдается при всех выбранных значениях xш (0,2; 0,3; 0,5; 1,0 мм). Полученные результаты вычислительных экспериментов серии 1 могут иметь важную практическую значимость при выборе шага в процессе экспериментального получения семейства ГХ и соответствующих ГТ при заданных погрешностях вычисления искомых координат. Пусть (к примеру) δy и δx не могут быть больше 1 %. Тогда по данным табл. 2 yш не может превышать 0,2 мм (при любом значении xш - от 0,2 мм до 1 мм включительно). При этом согласно табл. 1 δx также не превышает 1 % при тех же значениях xш, yш. Методика проведения вычислительных экспериментов серии 2 в целом аналогична серии 1, но отличается тем, что исследуется распределение погрешностей δx* и δy* только в границах одной ячейки, т. е. в пределах xш, yш ГТ. При этом исследуются δx*(x) при постоянстве координаты y, соответствующей центру выбранной ячейки (yц) и с заданным шагом xш*, равным, например, десятой части xш ГТ (xш* = 0,1×xш). Кроме того, исследуется δy*(y) при постоянстве координаты x, соответствующей центру выбранной ячейки (xц) и с заданным шагом yш*, выбранным, например, равным 0,1×yш ГТ. На рис. 6 представлены погрешности δx*(x) (а) и δy*(y) (б), полученные в результате вычислительных экспериментов в ячейке ГТ с координатами ее центра xц = -3,5 мм, yц = 0,75 мм и шагами xш = 1 мм, yш = 0,5 мм. а б Рис. 6. Распределение погрешности δx*(x) и δy*(y) в границах выбранной ячейки ГТ Как и ожидалось, погрешности δx* и δy* достигают максимума в центре ячейки и стремятся к нулю на ее гранях. Заключение Дано графическое представление погрешностей алгоритма вычисления координат x, y смещений торцов лопаток сложной формы, применяемых в турбинах. Для исследований таких погрешностей и их количественной оценки осуществлен выбор семейства ФП в виде зависимостей кодов от координат x, y, заданных аналитически, которые используются для получения ГТ с варьируемыми значениями шага (xш и yш). При этом важным условием выбора являлось подобие семейству ГХ, полученных экспериментально, которое, в свою очередь, выбрано из множества семейств ГХ по нескольким критериям подобия. Показано, что при изменении xш в пределах от 0,2 до 1 мм и yш от 0,1 до 0,5 мм погрешность вычисления по координате x возрастает, но остается менее 1 %. В тех же диапазонах изменений xш и yш погрешность вычисления y-координаты при выбранном yш незначительно зависит от xш и, напротив, при выбранном xш существенно возрастает примерно до 3,5 %, причем указанный рост наблюдается при всех выбранных значениях xш. Проведены дополнительные исследования распределения погрешностей вычисления координат x, y внутри «ячеек» ГТ. При выбранном шаге, составляющем малые доли xш и yш, показано, что погрешности возрастают до максимального значения в центре «ячейки» и уменьшаются до нуля на ее границе. Полученные количественные оценки погрешностей вычисления координат x, y имеют важную практическую значимость при экспериментальном получении семейства ГХ, когда указанная погрешность не должна превышать допустимых значений.

About the authors

Sergey Y Borovik

Institute for the Control of Complex Systems of Russian Academy of Sciences

(Dr. Sci. (Techn.)), Leading Researcher 61, Sadovaya str., Samara, 443020, Russian Federation

Marina M Kuteynikova

Institute for the Control of Complex Systems of Russian Academy of Sciences

Research fellow 61, Sadovaya str., Samara, 443020, Russian Federation

Yuriy N Sekisov

Institute for the Control of Complex Systems of Russian Academy of Sciences

(Dr. Sci. (Techn.)), Head of Laboratory 61, Sadovaya str., Samara, 443020, Russian Federation

Oleg P Skobelev

Institute for the Control of Complex Systems of Russian Academy of Sciences

(Dr. Sci. (Techn.)), Professor, Chief Scientist. 61, Sadovaya str., Samara, 443020, Russian Federation

References

Supplementary files