Operative mathematical modeling of electrotechnical and metallurgical industries of the samara region

Full Text

Самарская область – развитый промышленный регион Российской Федерации. Среди основных отраслей промышленности Самарской области – машиностроение, металлообработка, топливная, химическая и нефтехимическая, электроэнергетическая, цветная металлургия и др. В Самарской области функционируют около 400 крупных и свыше 4 тыс. малых предприятий.

Для эффективного управления отраслевой политикой, и прежде всего для рационального формирования областного бюджета и бюджетов предприятий, необходимо строить обоснованные прогнозы. Для этого используется математическое моделирование макроэкономических процессов в этих отраслях, причем особенно актуальным является оперативное моделирование, не требующее значительных вычислительных ресурсов и позволяющее многократно прогнозировать результаты управленческих решений по ходу их практического формирования.

Ввиду того, что металлургическая промышленность является базисом большинства промышленных отраслей, а электротехническая промышленность – одна из наиболее наукоемких отраслей экономики, в статье рассмотрены математические модели металлургического и электротехнического секторов промышленности Самарской области.

Предлагаемые математические модели в форме производственной функции Кобба – Дугласа [1, 2, 3] связывают стоимость выпущенных (отгруженных) товаров в электротехнической и металлургических отраслях промышленности Самарской области Y(t) с двумя основными производственными факторами: заработной платой K(t), отражающей квалификацию персонала, и среднегодовой численностью сотрудников предприятий отрасли L(t), включая малоквалифицированную рабочую силу:

$Y\left(t\right)=AK{\left(t\right)}^{\alpha }L{\left(t\right)}^{\beta }{e}^{\gamma \left(t-t_1\right)}$ (1)

Здесь   А – технологический коэффициент;

t – время (годы);

t₁ – начало исследуемого периода (2006 г.);

α – коэффициент эластичности влияния среднемесячной заработной платы;

β – коэффициент эластичности влияния среднегодовой численности работников;

$\gamma$ – темп прироста выпуска за счет научно-технического прогресса (НТП).

В табл. 1 представлены статистические данные по электротехнической и металлургической отраслям за период 2006–2018 гг. [4].

Сглаживание исходных данных производится методом скользящего среднего [5, 6].

Неизвестные параметры А, α, β, γ определяются методом наименьших квадратов [7, 8, 9]. Для использования математического аппарата линейного регрессионного анализа зависимость (1) прологарифмирована:

$y_i=a+\alpha k_i+\beta l_i+{\gamma }_i$ (2)

и выбран период дискретизации времени 1 год: $\mathrm{t}={\mathrm{t}}_{\mathrm{i}}, \mathrm{i}=\overline{1,13}, {\mathrm{t}}_1=2006, {\mathrm{t}}_2=2007\dots , {\mathrm{y}}_{\mathrm{i}}=\mathrm{lnY}\left({\mathrm{t}}_{\mathrm{i}}\right), {\mathrm{k}}_{\mathrm{i}}=\mathrm{lnK}\left({\mathrm{t}}_{\mathrm{i}}\right), {\mathrm{l}}_{\mathrm{i}}=\mathrm{lnL}\left({\mathrm{t}}_{\mathrm{i}}\right), \mathrm{a}=\mathrm{lnA}$.

 

Таблица 1 Входные и выходные параметры модели (1)

Порядковый номер (i)	Период (ti)	Электротехническая отрасль			Металлургическая отрасль
		Стоимость отгруженных товаров, млн руб. (Y)	Средняя заработная плата, тыс. руб. (K)	Среднегодовая численность работников, тыс. чел. (L)	Стоимость отгруженных товаров, млн руб. (Y)	Средняя заработная плата, тыс. руб. (K)	Среднегодовая численность работников, тыс. чел. (L)
1	2006	25 798,9	10,350	21,2	37 104,7	10,828	22,7
2	2007	34 008,5	12,972	21,4	41 780,9	13,275	26,5
3	2008	39 480,1	15,098	20,5	50 555,2	15,537	27,4
4	2009	28 946,9	15,490	18,2	37 546,7	15,530	24,6
5	2010	40 726,2	18,238	21,4	57 971,1	16,891	20,0
6	2011	50 709,8	20,101	23,2	65 429,5	19,805	21,7
7	2012	53 769,8	21,667	23,8	66 142,5	21,815	23,0
8	2013	49 709,3	23,572	22,8	65 661,2	24,480	23,6
9	2014	51 096,5	25,305	20,8	69 317,0	27,320	23,0
10	2015	53 289,9	27,442	23,7	78 845,9	27,992	29,0
11	2016	45 396,0	29,951	24,3	98 271,18	32,875	29,3
12	2017	47 298,4	34,440	19,8	94 700,0	36,748	27,6
13	2018	40 772,1	32,076	19,1	107 168,7	41,890	28,4

 

На основе статистической информации построено несколько частных математических моделей:

– модель с несглаженными данными электротехнической отрасли (рис. 1) и металлургической отрасли (рис. 5) ($\gamma$=0);

– модель со сглаженными данными электротехнической отрасли (рис. 2) и металлургической отрасли (рис. 6) ($\gamma$=0);

– модель с несглаженными данными электротехнической отрасли (рис. 3) и металлургической отрасли (рис. 7) с учетом НТП ($\gamma$≠0);

– модель со сглаженными данными электротехнической отрасли (рис. 4) и металлургической отрасли (рис. 8) с учетом НТП (g≠0).

На рис. 1–8 статистические данные отображены точками, результаты моделирования – сплошной линией.

Верификация модели производится по следующим статистическим критериям [10, 11]:

1. Оценка статистической значимости коэффициентов регрессионных уравнений производится на основе расчета t-статистики Стьюдента. Для каждого коэффициента аппроксимации (2) a, α, β, γ, вычисляется значение t-статистики:

$t_j=\frac{{\xi }_j}{\sqrt{D_j}}, {\xi }_1=a, {\xi }_2=\alpha , {\xi }_3=\beta , {\xi }_4=\gamma ,$

где $D_j=\frac{W_{jj}}{T-n-1}\sum _{i=1}^T{\epsilon }_i^2$ – величина дисперсии значений ξ_j;

n – количество коэффициентов множественной линейной регрессии;

T=13 – объем выборки,

${\epsilon }_i=y_i-y_{mi}$ – невязка между фактическим значением y_i и расчетным значением y_mi, рассчитанным с помощью модели (2) в момент времени t_i, $i=\overline{1,13}$,

$W_{jj}$ – диагональный элемент матрицы , где X – матрица исходных данных [7].

В число n коэффициентов линейной регрессии (2) для модели (2) входят α, β, γ, но не входит коэффициент a, поэтому в случае γ=0 n=2, а в случае γ≠0 n=3.

В модели (2) без учета НТП (γ=0) матрица исходных данных X образована слиянием 3 векторов-столбцов [7] . Все элементы первого вектора равны 1, i-тый элемент второго вектора равен k_i, i-тый элемент третьего вектора равен l_i.

 

Рис. 1. Стоимость выпущенной продукции электротехнической отрасли (несглаженные данные)

 

Рис. 2. Стоимость выпущенной продукции электротехнической отрасли (сглаженные данные)

 

Рис. 3. Стоимость выпущенной продукции электротехнической отрасли с учетом НТП (несглаженные данные)

 

Рис. 4. Стоимость выпущенной продукции электротехнической отрасли с учетом НТП (сглаженные данные)

 

Рис. 5. Стоимость выпущенной продукции металлургической области (несглаженные данные)

 

Рис. 6. Стоимость выпущенной продукции металлургической отрасли (сглаженные данные)

 

Рис. 7. Стоимость выпущенной продукции металлургической отрасли с учетом НТП (несглаженные данные)

 

Рис. 8. Стоимость выпущенной продукции металлургической отрасли с учетом НТП (сглаженные данные)

 

$X=\left[\begin{array}{ccc}1& k_1& l_1\\ 1& k_2& l_2\\ ...& ...& ...\\ 1& k_T& l_T\end{array}\right]$

В модели (2) с учетом НТП (γ ≠0) матрица X образована слиянием 4 векторов-столбцов, первые 3 из которых формируются так же, как и в предыдущем случае, i-тый элемент четвертого вектора равен (i-1).

$X=\left[\begin{array}{cccc}1& k_1& l_1& 0\\ 1& k_2& l_2& 1\\ ...& ...& ...& ...\\ 1& k_T& l_T& T-1\end{array}\right]$

Для моделей (2) без учета НТП число степеней свободы распределения Стьюдента К=Т–n–1=10, для моделей (2) с учетом НТП К=9.

Значимость коэффициентов линейной регрессии (2) оценивается абсолютной величиной критерия Стьюдента: если 0 < |t| < 1 – критерий незначим, если 1 ≤ |t| < 2 – более или менее значим, если 2 ≤ |t| < 3 – весьма значим, если |t| ≥ 3 – существенно значим.

В рассматриваемых моделях квантили распределения Стьюдента t_{0,05; К} для 0,05-квантиля (5%-й уровень значимости) равны соответственно t_{0,05; 10} = 2,228, t_{0,05; 9} = 2,262 [5], следовательно, при 5%-м уровне значимости и двусторонней альтернативной гипотезе критическое значение t-статистики практически равняется 2 [10, 13].

2. Коэффициент детерминации R², который является квадратом коэффициента множественной корреляции, определяет долю дисперсии выходной переменной, объясненной с помощью линейной регрессии (2). Этот показатель измеряет меру зависимости вариации одной величины от многих других. Он может принимать значения в пределах от 0 до 1. Чем ближе его значение к 1, тем связаннее результативный признак с исследуемыми факторами [10, 14]:

$R^2=1-\frac{\sum _{i=1}^T{\epsilon }_i^2}{\sum _{i=1}^T{\left(y_i-\overline{y}\right)}^2},$

где $\overline{y}=\frac{1}{T}\sum _{i=1}^T{y}_i$ – среднее значение y.

3. Статистическая значимость коэффициента детерминации R² проверяется нулевой гипотезой для F-статистики Фишера [5, 15] $F=\frac{R^2}{1-R^2}\frac{T-n-1}{n}$ по таблицам критических значений для различных уровней значимости $\alpha$ и степеней свободы v₁ = n, v₂ = T – n – 1.

Для 3-параметрической модели (1) без учета НТП (γ=0) n=2, T=13, следовательно, v₁=2, v₂=10. Тогда критическое значение F_{0,05; 2; 10}=4,10 [5].

Для 4-параметрической модели (2) с учетом НТП (γ≠0) n=3, T=13, следовательно, v₁=3, v₂=9. Тогда критическое значение F_{0,05; 3; 9}=3,86 [5].

Обе эти величины позволяют оценить достоверность моделей.

4. Основным требованием к невязкам ${\epsilon }_i$, i=1, …, T является их статистическая независимость друг от друга. Для анализа независимости отклонений использована статистика Дарбина – Уотсона, рассчитываемая по формуле [15, 16]

$DW=\frac{\sum _{i=1}^{T-1}{\left({\epsilon }_i-{\epsilon }_{i-1}\right)}^2}{\sum _{i=1}^T{\epsilon }_i^2}$

Статистика Дарбина – Уотсона применяется здесь для проверки гипотезы об отсутствии автокорреляции остатков ${\epsilon }_i$ первого порядка.

Для статистики Дарбина – Уотсона существуют два критических значения, меньшие двух: нижнее d_L и верхнее d_U. Если значение статистики Дарбина – Уотсона принадлежит интервалу (0; d_L), то имеет место положительная автокорреляция остатков, что означает направленное постоянное воздействие некоторых не учтенных в регрессии факторов. Если значение Дарбина – Уотсона находится в интервале (4-d_L; 4), то существует отрицательная автокорреляция, которая означает, что за положительным отклонением следует отрицательное, и наоборот. Если статистика Дарбина – Уотсона близка к двум, то есть принадлежит интервалу (d_U; 4-d_U), то отклонения от регрессии считают случайными и автокорреляция остатков отсутствует [10].

Для 3-параметрической модели (1) без учета НТП (γ=0) при уровне значимости 5 %, T=13, n=2 границы d_L=0,86 и d_U= 1,56 [12].

Для 4-параметрической модели (2) с учетом НТП (γ≠0) при уровне значимости 5 %, T=13, n=3 границы d_L= 0,72 и d_U= 1,82 [12].

В табл. 2 и 3 сведены полученные значения параметров модели, а также оценки качества каждой из моделей.

 

Таблица 2 Характеристики и параметры моделей электротехнической отрасли

Показатели			Модель с несглаженными данными	Модель со сглаженными данными	Модель с несглаженными данными с учетом НТП	Модель со сглаженными данными с учетом НТП
Параметры модели	А		270,358	105,124	30,115	18,183
	α		0,435	0,375	1,744	1,894
	β		1,216	1,585	0,92	0,96
	γ		–	–	-0,125	-0,135
Критерии качества модели	R2		0,768	0,883	0,883	0,931
	F		16,513	37,747	22,658	40,331
	DW		1,537	0,685	1,656	1,255
	Дисперсии	Da	1,529	1,154	1,396	1,255
		Dα	0,0097	0,004	0,198	0,374
		Dβ	0,165	0,129	0,102	0,148
		Dγ	–	–	0,002	0,003
	Критерий Стьюдента	Ta	4,529	4,333	2,881	2,589
		Tα	4,409	6,215	3,917	3,097
		Tβ	2,997	4,409	2,885	2,498
		Tγ	–	–	-2,982	-2,491

 

Таблица 3 Характеристики и параметры моделей металлургической отрасли

Показатели			Модель с несглаженными данными	Модель со сглаженными данными	Модель с несглаженными данными с учетом НТП	Модель со сглаженными данными с учетом НТП
Параметры модели	А		6958,288	7708,92	6,942×103	2,012×104
	α		0,836	0,836	0,837	0,402
	β		-0,113	-0,145	-0,113	-0,121
	γ		–	–	-0,002	0,043
Критерии качества модели	R2		0,922	0,986	0,922	0,987
	F		59,429	357,932	35,657	220,457
	DW		2,411	1,645	2,411	1,66
	Дисперсии	Da	0,691	0,185	3,71	4,106
		Dα	0,007	0,001	0,684	0,803
		Dβ	0,083	0,022	0,096	0,026
		Dγ	–	–	0,007	0,008
	Критерий Стьюдента	Ta	10,645	20,836	4,592	4,89
		Tα	9,715	23,023	1,012	0,448
		Tβ	-0,393	-0,972	-0,365	-0,746
		Tγ	–	–	-0,001	0,485

 

Сглаживание данных приводит к снижению прогностических свойств, что демонстрирует изменение значений критерия Дарбина – Уотсона (DW); несмотря на это качество модели исходя из коэффициента детерминации (R²) и критерия Фишера (F) меняется незначительно, оставаясь на достаточно высоком уровне.

Из полученных расчетов и критериев оценки качества моделей следует, что модели, построенные с помощью производственной функции Кобба – Дугласа, достаточно хорошо описывают динамику выпуска товаров электротехнической и металлургической отраслей.

Результаты математического моделирования состояния электротехнической отрасли демонстрируют, что среднегодовая численность работников в этой отрасли оказывает несколько большее влияние на стоимость отгруженных товаров, чем среднемесячная заработная плата ($\alpha >\beta$). Это отражает достаточно широкое использование неквалифицированной рабочей силы, что свидетельствует о недостаточно высокой наукоемкости и недостатке инновационных технологий в электротехнической отрасли Самарской области. Математическое моделирование состояния металлургической отрасли показывает, что увеличение численности работников не приводит к увеличению выпуска товара ($\beta >\alpha$), причем самый низкий коэффициент эластичности наблюдается в модели со сглаженными данными без учета НТП (γ=0), на основании чего можно сделать вывод об экстенсивной тенденции в развитии отрасли.

About the authors

Alexander V. Burtsev

Samara State Technical University

Author for correspondence.
Email: journal@eco-vector.com

Assistant

Russian Federation, 244, Molodogvardeyskaya str., Samara, 443100

Alexander L. Yevelev

Samara State Technical University

Email: journal@eco-vector.com

Senior Lecture

Russian Federation, 244, Molodogvardeyskaya str., Samara, 443100

Valery P. Kachalin

Samara State Technical University

Email: journal@eco-vector.com

Assistant

Russian Federation, 244, Molodogvardeyskaya str., Samara, 443100

References

Supplementary files