Синтез оптимальной по быстродействию системы двухканального управления процессом индукционного нагрева неограниченной пластины

Полный текст

Введение

Проблема синтеза замкнутых систем оптимального управления с обратными связями является значительно более сложной, нежели решение задач оптимального программного управления. Классические методы [1–3] построения алгоритмов и систем управления динамическими объектами разработаны применительно к моделям управляемых процессов с одним управляющим воздействием. В связи с этим возникает актуальная задача синтеза управляющих алгоритмов в условиях многоканального управления. Большинство известных результатов относится к синтезу объектов с сосредоточенными параметрами, в то время как задача синтеза применительно к объектам с распределенными параметрами оказывается качественно более сложной главным образом из-за бесконечного порядка объекта управления.

Постановка задачи оптимального управления

В данной работе в качестве объекта управления рассматривается процесс индукционного нагрева металлической заготовки с двумя сосредоточенными управляющими воздействиями $u_1\left(t\right)$ и $u_2\left(t\right)$ по мощности внутреннего тепловыделения на обеих поверхностях нагреваемой неограниченной пластины.

Подобная постановка задачи была предложена и рассмотрена в работе [4], где объект описывается в зависимости от пространственной координаты $x\in \left[\mathrm{0,}R\right]$ и времени $t\in \left[\mathrm{0,}{t}_{\text{кон}}\right]$ решением линейного одномерного неоднородного уравнения теплопроводности следующего вида:

$\frac{\partial Q\left(x,t\right)}{dt}=a\frac{{\partial }^{2}Q\left(x,t\right)}{d{x}^2}+W_1\left(x\right)u_1\left(t\right)+W_2\left(x\right)u_2\left(t\right)\text{,}$ (1)

$Q\left(x\mathrm{,0}\right)=Q_0=\text{const, }{Q}_0\ge 0$ (2)

с типовыми граничными условиями для модели объекта (1)–(2) вида

$\begin{array}{c}-\lambda \frac{\partial Q\left(\mathrm{0,}t\right)}{\partial x}=Q_{ср}\left(t\right)-{\alpha }_{1}Q\left(\mathrm{0,}t\right),t>\text{0;}\\ \lambda \frac{\partial Q(R,t)}{\partial x}=Q_{ср}\left(t\right)-{\alpha }_{2}Q(R,t),t>\text{0,}\end{array}$ (3)

где $a$ – коэффициент температуропроводности нагреваемого материала;

$\lambda$ – коэффициент теплопроводности;

${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$ – заданные теплофизические постоянные;

$Q_{ср}\left(t\right)$ – температура окружающей среды, принимается равной $Q_0$.

Функции пространственного распределения внутренних электромагнитных источников тепла $W_1\left(x\right),W_2\left(x\right)$ определяются соотношениями:

$W_1(\xi ,x)=\frac{\text{ch}\left(\sqrt{2}\xi \frac{x}{R}\right)-\cos \left(\sqrt{2}\xi \frac{x}{R}\right)}{\text{sh}\left(\sqrt{2}\xi \right)-\text{sin}\left(\sqrt{2}\xi \right)}\sqrt{2}\xi ;W_2(\xi ,x)=W_1(\xi ,R-x),$ (4)

где ξ – характерный параметр, вычисляемый по формулам:

$\xi =\frac{R\sqrt{2}}{\delta },\delta =\sqrt{\frac{2}{\mu \omega \sigma }}$.

Здесь δ – глубина проникновения тока в металл;

ω – частота питающего тока;

σ – электропроводность нагреваемого материала;

μ - абсолютная магнитная проницаемость [5].

Начальное температурное распределение $Q_0$ согласно (2) принимается равномерным по всему объему пластины.

На предельные значения сосредоточенных управляющих воздействий $u_1\left(t\right),u_2\left(t\right)$ накладываются следующие ограничения:

$\begin{array}{c}0\le u_1\left(t\right)\le u_{1\max };\\ 0\le u_2\left(t\right)\le u_{2\max }.\end{array}$ (5)

Для дальнейшей постановки задачи управления необходимо определить критерий оптимальности и указать требования к конечному температурному состоянию объекта.

В качестве критерия оптимальности выступает общее время процесса нагрева в виде следующего интегрального функционала качества:

$I=\underset{0}{\overset{t_{кон}}{\int }}dt=t_{кон}\to \underset{u_1\left(t\right),u_2\left(t\right)}{\min },$ (6)

где $t_{кон}$ – длительность процесса нагрева.

Требование к конечному температурному состоянию в момент $t_{кон}$ окончания процесса управления, как правило, связано с соблюдением допуска на отклонение ${\epsilon }_0$ конечной температуры $Q(x,t_{кон})$ от требуемого температурного распределения $Q^{*}\left(x\right)$ по толщине пластины $Q^{*}\left(x\right)=Q^{*}=\text{const}>Q_0$ и может быть записано в виде следующего неравенства [10, 11]:

$\underset{x\in \left[\mathrm{0,}R\right]}{\max }\left|Q(x,t_{кон})-Q*\right|\le {\epsilon }_0$ (7)

для всех $x\in [0_0,R_1]$.

В рассматриваемой задаче оптимального по быстродействию управления требуется определить такие управляющие воздействия $u_1^{*}\left(t\right),u_2^{*}\left(t\right)$, которые подчиняются заданным ограничениям (5) и переводят объект управления (1)–(4) в требуемое конечное состояние (7) за минимально возможное время согласно критерию оптимальности (6).

Алгоритмы оптимального по быстродействию программного управления с двумя сосредоточенными управляющими воздействиями

Применительно к базовому критерию быстродействия оптимальные программные управления $u_1^{*}\left(t\right)$ и $u_2^{*}\left(t\right)$ объектом (1)–(4) следует искать в классе релейных функций, попеременно принимающих на промежутке $t\in \left[\mathrm{0,}{t}_{кон}\right]$ только свои предельно допустимые значения в (5) [6–10]. Тем самым $u_1^{*}\left(t\right),u_2^{*}\left(t\right)$ определяются априори с точностью до числа $N_{01},N_{02}$ и длительностей ${\Delta }_{1i}^{\left(N_{01}\right)},i=\overline{\mathrm{1,}{N}_{01}},{\Delta }_{2i}^{\left(N_{02}\right)},i=\overline{\mathrm{1,}{N}_{02}}$ интервалов постоянства $u_1^{*}\left(t\right),u_2^{*}\left(t\right)$ соответственно.

В работе [4] было найдено пространственное распределение температурного состояния $Q(x,\overline{\Delta })$ в конце процесса управления, задаваемое в виде явной зависимости от ${\Delta }_{1i}^{\left(N_{01}\right)},{\Delta }_{2i}^{\left(N_{02}\right)},i=\mathrm{1,2}$ соответствующими решениями уравнений объекта с фиксированным начальным состоянием $Q_0$ для воздействий $u_1^{*}\left(t\right),u_2^{*}\left(t\right)$ в типичном двухинтервальном режиме нагрева при $N_{01}=N_{02}=N_0=2$ (рис. 1):

Рис. 1. Оптимальное по быстродействию двухканальное двухинтервальное управление по мощности внутренних источников тепла

$\begin{array}{c}Q(x,\overline{\Delta })=Q_0+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\lambda R^2}{a{E}_n{\eta }_n^2}\left(\cos \left({\eta }_n\frac{x}{R}\right)+\frac{B{i}_1}{{\eta }_n}\sin \left({\eta }_n\frac{x}{R}\right)\right)\times \\ \times \left[{\overline{W}}_{1n}{u}_{1\max }\left(e^{-{\eta }_n^2\frac{a}{R^2}{\Delta }_{12}^{\left(2\right)}}-e^{-{\eta }_n^2\frac{a}{R^2}({\Delta }_{11}^{\left(2\right)}+{\Delta }_{12}^{\left(2\right)})}\right)\right.+\left.{\overline{W}}_{2n}{u}_{2\max }\left(e^{-{\eta }_n^2\frac{a}{R^2}{\Delta }_{22}^{\left(2\right)}}-e^{-{\eta }_n^2\frac{a}{R^2}({\Delta }_{21}^{\left(2\right)}+{\Delta }_{22}^{\left(2\right)})}\right)\right],\end{array}$ (8)

где $\overline{\Delta }=({\Delta }_{11}^{\left(2\right)},{\Delta }_{12}^{\left(2\right)},{\Delta }_{21}^{\left(2\right)},{\Delta }_{22}^{\left(2\right)})$; ${\mu }_n^2=\frac{a}{R^2}{\eta }_n^2$ – собственные числа;

${\eta }_n,n=\mathrm{1,2,}\dots$ – бесконечно возрастающая последовательность корней уравнения:

$\text{tg}{\eta }_n=\frac{B{i}_1+B{i}_2}{{\eta }_n-\frac{B{i}_1\cdot B{i}_2}{{\eta }_n}},$$B{i}_1=\frac{{\alpha }_{1}R}{\lambda },$$B{i}_2=\frac{{\alpha }_{2}R}{\lambda };$
$B{i}_1,B{i}_2$ – безразмерный критерий Био, характеризующий уровень тепловых потерь с поверхностей пластины в окружающую среду с температурой $Q_{ср}=Q_0$ согласно (2);

R – толщина пластины; нормирующие множители $E_n$ вычисляются по формуле:

$E_n^2=\frac{{\lambda }^2}{a}R\left[\left(1-{\left(\frac{B{i}_1}{{\eta }_n}\right)}^2\right)\frac{{\eta }_n+\sin {\eta }_n\cos {\eta }_n}{2{\eta }_n}+{\left(\frac{B{i}_1}{{\eta }_n}\right)}^2+\frac{B{i}_1}{2{\eta }_n^2}(1-\cos 2{\eta }_n)\right].$

Моды функций (4) ${\overline{W}}_{1n},{\overline{W}}_{2n}$ определяются следующим образом:

${\overline{W}}_{1n}=\underset{0}{\overset{R}{\int }}{W}_1(\xi ,x)\cos \left({\mu }_n\frac{x}{R}\right)dx;{\overline{W}}_{2n}=\underset{0}{\overset{R}{\int }}{W}_2(\xi ,x)\cos \left({\mu }_n\frac{x}{R}\right)dx.$

В условиях $N_0=2$ требуемая величина ${\epsilon }_0$ в (7) должна удовлетворять требованию [11] ${\epsilon }_0:{\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)}\le {\epsilon }_0<{\epsilon }_{\min }^{\left(1\right)}$, где ${\epsilon }_{\min }^{\left(i\right)},i=\mathrm{1,2}$ – предельно достижимая точность нагрева в классе i-интервальных управляющих воздействий релейной формы.

В таком случае рассматриваемая задача быстродействия сводится при требованиях (7) к задаче полубесконечной оптимизации следующего вида [10, 11]:

$\begin{array}{l}I\left(\overline{\Delta }\right)={\Delta }_{11}^{\left(2\right)}+{\Delta }_{12}^{\left(2\right)}={\Delta }_{21}^{\left(2\right)}+{\Delta }_{22}^{\left(2\right)}\to \underset{{\Delta }_{si}^{\left(N_0\right)}\in \Omega }{\min };\\ \Omega =\left\{{\Delta }_{si}^{\left(2\right)}:0<{\Delta }_{si}^{\left(2\right)}<\infty ;s=\mathrm{1,2};i=\mathrm{1,2}\right\},\end{array}$ (9)

$\Phi \left(\overline{\Delta }\right)=\underset{x\in \left[\mathrm{0,}R\right]}{\max }\left|Q\left(x,\overline{\Delta }\right)-Q*\right|\le {\epsilon }_0,{\epsilon }_0>0.$ (10)

Далее будет рассматриваться типовая задача с предельно достижимой в классе двухинтервальных ($N_0=2$) управляющих воздействий релейной формы (рис. 1) абсолютной точностью ${\epsilon }_0={\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)}$ [10, 11].

Решение задачи полубесконечной оптимизации (9)–(10) сводится по схеме альтернансного метода [10, 11] к решению системы уравнений, определенной в [4] в соответствии с формой кривой конечного температурного распределения (рис. 3):

Рис. 3. Кривая конечного температурного распределения при ${\epsilon }_0={\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)}$

$\begin{array}{l}Q\left(\mathrm{0,}{\Delta }_{11}^{\left(2\right)},{\Delta }_{12}^{\left(2\right)},{\Delta }_{21}^{\left(2\right)},{\Delta }_{22}^{\left(2\right)}\right)-Q^{\ast }=-{\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)};\\ Q\left(x_2^0,{\Delta }_{11}^{\left(2\right)},{\Delta }_{12}^{\left(2\right)},{\Delta }_{21}^{\left(2\right)},{\Delta }_{22}^{\left(2\right)}\right)-Q^{\ast }={\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)};\\ Q\left(x_3^0,{\Delta }_{11}^{\left(2\right)},{\Delta }_{12}^{\left(2\right)},{\Delta }_{21}^{\left(2\right)},{\Delta }_{22}^{\left(2\right)}\right)-Q^{\ast }=-{\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)};\\ Q\left(x_4^0,{\Delta }_{11}^{\left(2\right)},{\Delta }_{12}^{\left(2\right)},{\Delta }_{21}^{\left(2\right)},{\Delta }_{22}^{\left(2\right)}\right)-Q^{\ast }={\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)};\\ \frac{\partial Q\left(x_j^0,{\Delta }_{11}^{\left(2\right)},{\Delta }_{12}^{\left(2\right)},{\Delta }_{21}^{\left(2\right)},{\Delta }_{22}^{\left(2\right)}\right)}{\partial x}=\mathrm{0,}j=\mathrm{2,3,4,}\end{array}$ (11)

относительно неизвестных значений $\overline{\Delta }$ длительностей интервалов постоянства программного управления $u_1^{*}\left(t\right),u_2^{*}\left(t\right)$, величины ${\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)}$ и координат $x_j^0,j=\mathrm{2,3,4}$ точек достижения предельно допустимых отклонений $Q(x,\overline{\Delta })$ от $Q^{*}$.

Синтез системы двухканального управления

Синтез оптимального регулятора по общему методу фазового пространства [10, 12] приводит к вполне реализуемой структуре замкнутой системы с неполным измерением температурного состояния объекта $Q({\tilde{x}}_j,t)=Q_j\left(t\right),j=\overline{\mathrm{1,}k}$ в некоторых k отдельных точках ${\tilde{x}}_j\in \left[\mathrm{0,}R\right]$ пространственной области его распределения и может быть выполнен путем выбора функции переключения $h_s\left(\overline{Q}\right),s=\mathrm{1,2}$ каждого из управляющих воздействий $u_1^{*}\left(t\right),u_2^{*}\left(t\right)$ в форме линейной комбинации k сигналов обратных связей по измеряемым величинам $Q_j,j=\overline{\mathrm{1,}k}$ с коэффициентами передачи ${\rho }_{sj}$, зависящими от начального состояния объекта [10]:

$h_s\left(\overline{Q}\right)=\sum _{j=1}^k{\rho }_{sj}\left[Q_j({\tilde{x}}_j,t_{кон})-Q_j\left(t\right)\right],s=\mathrm{1,2};j=\overline{\mathrm{1,}k}$. (12)

Если теперь принять число k точек контроля управляемой величины в (12) равным числу $N_{01}=N_{02}=N_0\ge 2$ интервалов оптимального управления для заданного ${\epsilon }_0$ в (10), т. е. положить

$h_s\left(\overline{Q}\right)=\sum _{j=1}^{N_0}{\rho }_{sj}\left[Q_j({\tilde{x}}_j,t_{кон})-Q_j\left(t\right)\right],s=\mathrm{1,2};j=\overline{\mathrm{1,}{N}_0},$ (13)

то условия равенства нулю $h_s\left(\overline{Q}\right)$ в расчетные моменты времени $t_{ms},m=\mathrm{1,2,...,}{N}_0-\mathrm{1,}s=\mathrm{1,2}$, переключения оптимальной программы соответственно $u_1^{*}\left(t\right),u_2^{*}\left(t\right)$ при $s=1$ и $s=2$ выполняются для каждого $Q_0$ в (2) в том случае (см. рис. 1), когда коэффициенты передачи ${\rho }_{sj},s=\mathrm{1,2};j=\overline{\mathrm{1,}{N}_0}$, опосредованно зависящие от $Q_0$ через значения $Q_j\left(t_{ms}\right)$, являются нетривиальными решениями однородной системы $N_0-1$ линейных уравнений с $N_0$ неизвестными:

$\sum _{j=1}^{N_0}{\rho }_{sj}\left[Q_j({\tilde{x}}_j,t_{кон})-Q_j\left(t_{ms}\right)\right]=\mathrm{0,}s=\mathrm{1,2};m=\mathrm{1,2,...,}{N}_0-1$. (14)

Полагая здесь для определенности ${\rho }_{s1}=1$ при s=1,2 [10], получим из (14) систему из $N_0-1$ линейных уравнений относительно $N_0-1$ неизвестных коэффициентов обратных связей ${\rho }_{sj},j=\overline{\mathrm{2,}{N}_0}$ для $s=1$ и $s=2$.

Значения ${\Delta }_{11}^{\left(2\right)},{\Delta }_{12}^{\left(2\right)},{\Delta }_{21}^{\left(2\right)},{\Delta }_{22}^{\left(2\right)}$ длительностей интервалов постоянства $u_1^{*}\left(t\right),u_2^{*}\left(t\right)$, а значит, и моменты переключения $t_{ms}$ вместе с оптимальной длительностью процесса управления, и величины $Q_j({\tilde{x}}_j,t_{кон})$ могут быть найдены при расчете программного оптимального управления по ходу решения задачи альтернансным методом, описанным в [11]. При известных $t_{ms}$ значения $Q_j\left(t_{ms}\right)$ находятся по решениям уравнений объекта, отвечающим программному управлению $u_1^{*}\left(t\right),u_2^{*}\left(t\right)$. По полученным данным искомые коэффициенты ${\rho }_{sj}$ находятся указанным выше способом из уравнений (14) с заданными элементами ее матрицы $Q_j({\tilde{x}}_j,t_{кон})-Q_j\left(t_{ms}\right),j=\overline{\mathrm{1,}{N}_0}$.

В случае двухинтервального характера нагрева при $N_0=2$ функции переключения (13) должны быть сформированы по сигналам обратной связи по температурам $Q({\tilde{x}}_1,t)=Q_1,Q({\tilde{x}}_2,t)=Q_2$ в двух точках ${\tilde{x}}_1$ и ${\tilde{x}}_2\in \left[\mathrm{0,}R\right]$ по толщине пластины:

$\begin{array}{l}{h}_1(Q_1,Q_2)={\rho }_{11}\left(Q^{*}-Q({\tilde{x}}_1,t)\right)+{\rho }_{12}\left(Q^{*}-Q({\tilde{x}}_2,t)\right),\\ h_2(Q_1,Q_2)={\rho }_{21}\left(Q^{*}-Q({\tilde{x}}_1,t)\right)+{\rho }_{22}\left(Q^{*}-Q({\tilde{x}}_2,t)\right),\end{array}$ (15)

в качестве которых удобно принять точки ${\tilde{x}}_1,{\tilde{x}}_2$ на множестве точек {$x_j^0$} в системе уравнений (11), например ${\tilde{x}}_1=\mathrm{0,}{\tilde{x}}_2=x_3^0$ (рис. 3), где результирующие значения температур $Q\left(\mathrm{0,}{t}_{кон}\right)=Q(\mathrm{0,}{\Delta }_{s1}^{\left(2\right)},{\Delta }_{s2}^{\left(2\right)})$ и $Q(x_3^0,t_{кон})=Q(x_3^0,{\Delta }_{s1}^{\left(2\right)},{\Delta }_{s2}^{\left(2\right)})$, $s=\mathrm{1,2}$ в конце оптимального процесса должны быть равны минимально допустимым величинам $Q^{*}-{\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)}$ согласно [4], что вытекает из альтернансных соотношений [11], независимо от начальной температуры $Q_0$ применительно к рассматриваемому случаю ${\epsilon }_0={\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)}$.

Тогда при ${\rho }_{s1}=1$ для $s=1$ и $s=2$ системы уравнений (14) сводятся к одному уравнению относительно ${\rho }_{s2}$, и функции переключения примут следующий вид:

$\begin{array}{l}{h}_1(Q_1,Q_2)=Q^{*}-{\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)}-Q\left(\mathrm{0,}t\right)+{\rho }_{12}\left(Q^{*}-{\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)}-Q(x_3^0,t)\right),\\ h_2(Q_1,Q_2)=Q^{*}-{\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)}-Q\left(\mathrm{0,}t\right)+{\rho }_{22}\left(Q^{*}-{\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)}-Q(x_3^0,t)\right).\end{array}$ (16)

В соответствии с полученными результатами алгоритм оптимального двухканального управления для каждого из управляющих воздействий определяется соотношениями

$\begin{array}{l}{u}_1^{*}\left(Q\right)=\frac{u_{1\max }}{2}\left[\text{1+sign}\left(Q^{*}-{\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)}-Q\left(\mathrm{0,}t\right)+{\rho }_{12}\left(Q^{*}-{\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)}-Q(x_3^0,t)\right)\right)\right],\\ u_2^{*}\left(Q\right)=\frac{u_{2\max }}{2}\left[\text{1+sign}\left(Q^{*}-{\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)}-Q\left(\mathrm{0,}t\right)+{\rho }_{22}\left(Q^{*}-{\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)}-Q(x_3^0,t)\right)\right)\right]\end{array}$ (17)

и реализуется в замкнутой системе управления, построенной по схеме (рис. 2), где коэффициенты передачи ос ро12 и ро22 вычисляются указанным выше способом.

Рис. 2. Структурная схема замкнутой системы оптимального по быстродействию управления процессом индукционного нагрева при ${\epsilon }_0={\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)}$

Для исходных номинальных данных, отвечающих процессу индукционного нагрева пластины из титанового сплава толщиной 0.2 м перед последующей операцией горячего прессования ($\xi =4$, $\lambda =14$ Вт/(м∙ºС), $Q_0=20$ºС, $Q^{*}=960$ºС, $a=\mathrm{4,34}\cdot {10}^{-6}{\text{ м}}^{\text{3}}\text{/с,}$ $u_{1\max }=300{\text{ кВт/м}}^3,$ $u_{2\max }=393{\text{ кВт/м}}^3,$ $B{i}_1=\mathrm{0,57,}B{i}_2=\mathrm{0,43}),$ найдены путем решения системы уравнений (11) значения параметров оптимального процесса и коэффициентов обратной связи в (16):

${\Delta }_{11}^{\left(2\right)}=1607$ с, ${\Delta }_{12}^{\left(2\right)}=130$ с, ${\Delta }_{21}^{\left(2\right)}=1475$ с, ${\Delta }_{22}^{\left(2\right)}=262$ с, $x_2^0=\mathrm{0,04}$ м, $x_3^0=\mathrm{0,01}$ м, $x_4^0=\mathrm{0,17}$ м, ${\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)}=19°C$, ${\rho }_{12}=\mathrm{1,26,}{\rho }_{22}=-\mathrm{0,07}$

и отвечающие этим результатам пространственные температурные распределения $Q(x,\overline{\Delta })-Q^{*}$ (рис. 3).

Моделирование замкнутой системы проводилось в среде программирования MATLAB/Simulink [14, 15]. При моделировании теплового объекта (1)–(3), (5) с граничными условиями третьего рода использовались методы конечномерного приближения [13], позволяющие представить объект в виде параллельного соединения достаточно большого числа типовых апериодических звеньев (рис. 4) с коэффициентами усиления $F_n^{*}\left(x\right)$ и постоянными времени $T_n^{*}$, которые предварительно вычисляются по следующим выражениям:

$\begin{array}{c}k=\frac{\lambda R^2}{a};T_n^{*}=\frac{R^2}{a{{\eta }_n}^2};\\ F_{1n}^{*}\left(x\right)=\frac{1}{E_n{\eta }_n^2}{\overline{W}}_{1n}\left[\cos \left({\eta }_n\frac{x}{R}\right)+\frac{B{i}_1}{{\eta }_n}\sin \left({\eta }_n\frac{x}{R}\right)\right];\\ F_{2n}^{*}\left(x\right)=\frac{1}{E_n{\eta }_n^2}{\overline{W}}_{2n}\left[\cos \left({\eta }_n\frac{x}{R}\right)+\frac{B{i}_1}{{\eta }_n}\sin \left({\eta }_n\frac{x}{R}\right)\right].\end{array}$

Рис. 4. Структура объекта управления в виде параллельного соединения n-числа апериодических звеньев

На рис. 5 приведены некоторые результаты компьютерного моделирования процесса управления индукционным нагревом в замкнутой системе оптимального быстродействия, построенной по схеме рис. 2, с алгоритмами управления вида (17) для вышеуказанных значений параметров объекта.

Рис. 5. Оптимальный по быстродействию процесс управления нагревом пластины в замкнутой системе: а – температурное поле (1 – $Q_1\left(t\right)$, 2 – $Q_2\left(t\right)$); б – оптимальное управление

Уравнения линий переключения для обоих управляющих воздействий на плоскости температур $Q_1=Q\left(\mathrm{0,}t\right),Q_2=Q(x_3^0,t)$ вычисляются по значениям $Q\left(\mathrm{0,}{\Delta }_{s1}^{\left(2\right)}\right),Q\left(x_3^0,{\Delta }_{s1}^{\left(2\right)}\right)$ в момент ${\Delta }_{s1}^{\left(2\right)}$ переключения $u_1^{*}\left(Q\right),u_2^{*}\left(Q\right)$ и записываются в зависимости от начальной температуры $Q_0$ в параметрической форме:

$\begin{array}{c}{Q}_1\left(Q_0,{\Delta }_{s1}^{\left(2\right)}\left(Q_0\right)\right)=Q_0+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\lambda R^2}{a{E}_n{\eta }_n^2}\times \\ \times \left[{\overline{W}}_{1n}{u}_{1\max }\left(1-e^{-{\eta }_n^2\frac{a}{R^2}{\Delta }_{s1}^{\left(2\right)}\left(Q_0\right)}\right)\right.+\left.{\overline{W}}_{2n}{u}_{2\max }\left(1-e^{-{\eta }_n^2\frac{a}{R^2}{\Delta }_{s1}^{\left(2\right)}\left(Q_0\right)}\right)\right];\\ Q_2\left(Q_0,{\Delta }_{s1}^{\left(2\right)}\left(Q_0\right)\right)=Q_0+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\lambda R^2}{a{E}_n{\eta }_n^2}\left(\cos \left({\eta }_n\frac{x_3^0}{R}\right)+\frac{B{i}_1}{{\eta }_n}\sin \left({\eta }_n\frac{x_3^0}{R}\right)\right)\times \\ \times \left[{\overline{W}}_{1n}{u}_{1\max }\left(1-e^{-{\eta }_n^2\frac{a}{R^2}{\Delta }_{s1}^{\left(2\right)}\left(Q_0\right)}\right)\right.+\left.{\overline{W}}_{2n}{u}_{2\max }\left(1-e^{-{\eta }_n^2\frac{a}{R^2}{\Delta }_{s1}^{\left(2\right)}\left(Q_0\right)}\right)\right],\end{array}$ (18)

где $s=\overline{\mathrm{1,2}}$.

Выбор функции переключения в форме (16) с постоянными коэффициентами обратной связи ${\rho }_{11},{\rho }_{12},{\rho }_{21},{\rho }_{22}$, соответствующими только одному принятому на начальном этапе постановки задачи значению $Q_0$, позволяет провести синтез квазиоптимальной системы управления [10] с заменой линий переключения (18) прямыми на плоскости температур $Q_1,Q_2$:

$\begin{array}{l}\left(Q^{*}-{\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)}\right)(1+{\rho }_{12})-Q_1-{\rho }_{12}{Q}_2=\mathrm{0,}\\ \left(Q^{*}-{\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)}\right)(1+{\rho }_{22})-Q_1-{\rho }_{22}{Q}_2=0.\end{array}$ (19)

На рис. 6 изображены линии переключения (18), а также прямые (19) и фазовые траектории системы для принятого значения $Q_0$. Переключения управляющего воздействия в системе управления происходят при этом в точках А, Б пересечения линий (18) с прямыми (19) (фазовая траектория 1, 2, 3 в плоскости $Q_1,Q_2$ на рис. 6), а окончание процесса управления фиксируется по моменту достижения равенства $Q_1=Q_2$ на втором интервале управления.

Рис. 6. Линии переключения и фазовые траектории в системе оптимального по быстродействию управления: 1, 2, 3 - фазовые траектории на первом и втором интервалах для $Q_0=20$; $1\text{'}\mathrm{,2}\text{'}\mathrm{,3}\text{'}$- фазовые траектории на первом и втором интервалах для $Q_0=80$; 4 - линии переключения (18); 5 - прямые переключения (19)

Следует отметить, что процесс в замкнутой системе с алгоритмом управления (17), построенной по схеме рис. 2, остается строго оптимальным по быстродействию с переключением управляющего воздействия на второй интервал в точках пересечения линий (18) с прямыми (19) только при равенстве начальной температуры $Q_0$ ее расчетному значению, для которого находятся коэффициенты ${\rho }_{11},{\rho }_{22}$ в (19). При отклонениях $Q_0$ от этого значения, принятого в исходных данных для рассматриваемой задачи, конечное температурное распределение будет отличаться от температурного состояния при оптимальном режиме нагрева. В частности, на рис. 6 представлены фазовые траектории процесса нагрева при начальной температуре $Q_0=80$, при которой траектории $1\text{'}\mathrm{,2}\text{'}$ не попадают в точки пересечения линий (18) с прямыми (19) и переключение происходит на прямых 5.

Таким образом, задача синтеза двухканального оптимального по быстродействию управления объектом (1)–(3) с сосредоточенными управляющими воздействиями вида (17) сводится к построению релейной системы автоматического регулирования (схема 2) для каждого из каналов управления с линейными обратными связями по значениям управляемой величины в некоторых точках пространственной области ее распределения, число которых должно быть равно числу интервалов постоянства оптимальных программных управляющих воздействий.

Об авторах

Наталья Андреевна Ильина

Автор, ответственный за переписку.
Email: ilina.natalyaa@yandex.ru

аспирантка

Список литературы

Дополнительные файлы

Доп. файлы

Действие

1. JATS XML

Скачать

2. Рис. 1. Оптимальное по быстродействию двухканальное двухинтервальное управление по мощности внутренних источников тепла

Скачать (50KB)

Метаданные

3. Рис. 3. Кривая конечного температурного распределения при 

Скачать (108KB)

Метаданные

4. Рис. 2. Структурная схема замкнутой системы оптимального по быстродействию управления процессом индукционного нагрева при 

Скачать (81KB)

Метаданные

5. Рис. 4. Структура объекта управления в виде параллельного соединения n-числа апериодических звеньев

Скачать (184KB)

Метаданные

6. Рис. 5. Оптимальный по быстродействию процесс управления нагревом пластины в замкнутой системе: а – температурное поле (1 – , 2 – ); б – оптимальное управление

Скачать (127KB)

Метаданные

7. Рис. 6. Линии переключения и фазовые траектории в системе оптимального по быстродействию управления: 1, 2, 3 - фазовые траектории на первом и втором интервалах для ; - фазовые траектории на первом и втором интервалах для ; 4 - линии переключения (18); 5 - прямые переключения (19)

Скачать (114KB)

Метаданные