Two-channel time-optimal control of nonstationary heat conductive process with account for response time of boundary control actions

Full Text

Введение

Проблема синтеза замкнутых систем оптимального управления с обратными связями является значительно более сложной, нежели решение задач оптимального программного управления. Классические методы [1–3] построения алгоритмов и систем управления динамическими объектами разработаны применительно к моделям управляемых процессов с одним управляющим воздействием. В связи с этим возникает актуальная задача синтеза управляющих алгоритмов в условиях многоканального управления. Большинство известных результатов относится к синтезу объектов с сосредоточенными параметрами, в то время как задача синтеза применительно к объектам с распределенными параметрами оказывается качественно более сложной главным образом из-за бесконечного порядка объекта управления.

Постановка задачи оптимального управления

В данной работе в качестве объекта управления рассматривается процесс индукционного нагрева металлической заготовки с двумя сосредоточенными управляющими воздействиями $u_1\left(t\right)$ и $u_2\left(t\right)$ по мощности внутреннего тепловыделения на обеих поверхностях нагреваемой неограниченной пластины.

Подобная постановка задачи была предложена и рассмотрена в работе [4], где объект описывается в зависимости от пространственной координаты $x\in \left[\mathrm{0,}R\right]$ и времени $t\in \left[\mathrm{0,}{t}_{\text{кон}}\right]$ решением линейного одномерного неоднородного уравнения теплопроводности следующего вида:

$\frac{\partial Q\left(x,t\right)}{dt}=a\frac{{\partial }^{2}Q\left(x,t\right)}{d{x}^2}+W_1\left(x\right)u_1\left(t\right)+W_2\left(x\right)u_2\left(t\right)\text{,}$ (1)

$Q\left(x\mathrm{,0}\right)=Q_0=\text{const, }{Q}_0\ge 0$ (2)

с типовыми граничными условиями для модели объекта (1)–(2) вида

$\begin{array}{c}-\lambda \frac{\partial Q\left(\mathrm{0,}t\right)}{\partial x}=Q_{ср}\left(t\right)-{\alpha }_{1}Q\left(\mathrm{0,}t\right),t>\text{0;}\\ \lambda \frac{\partial Q(R,t)}{\partial x}=Q_{ср}\left(t\right)-{\alpha }_{2}Q(R,t),t>\text{0,}\end{array}$ (3)

где $a$ – коэффициент температуропроводности нагреваемого материала;

$\lambda$ – коэффициент теплопроводности;

${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$ – заданные теплофизические постоянные;

$Q_{ср}\left(t\right)$ – температура окружающей среды, принимается равной $Q_0$.

Функции пространственного распределения внутренних электромагнитных источников тепла $W_1\left(x\right),W_2\left(x\right)$ определяются соотношениями:

$W_1(\xi ,x)=\frac{\text{ch}\left(\sqrt{2}\xi \frac{x}{R}\right)-\cos \left(\sqrt{2}\xi \frac{x}{R}\right)}{\text{sh}\left(\sqrt{2}\xi \right)-\text{sin}\left(\sqrt{2}\xi \right)}\sqrt{2}\xi ;W_2(\xi ,x)=W_1(\xi ,R-x),$ (4)

где ξ – характерный параметр, вычисляемый по формулам:

$\xi =\frac{R\sqrt{2}}{\delta },\delta =\sqrt{\frac{2}{\mu \omega \sigma }}$.

Здесь δ – глубина проникновения тока в металл;

ω – частота питающего тока;

σ – электропроводность нагреваемого материала;

μ - абсолютная магнитная проницаемость [5].

Начальное температурное распределение $Q_0$ согласно (2) принимается равномерным по всему объему пластины.

На предельные значения сосредоточенных управляющих воздействий $u_1\left(t\right),u_2\left(t\right)$ накладываются следующие ограничения:

$\begin{array}{c}0\le u_1\left(t\right)\le u_{1\max };\\ 0\le u_2\left(t\right)\le u_{2\max }.\end{array}$ (5)

Для дальнейшей постановки задачи управления необходимо определить критерий оптимальности и указать требования к конечному температурному состоянию объекта.

В качестве критерия оптимальности выступает общее время процесса нагрева в виде следующего интегрального функционала качества:

$I=\underset{0}{\overset{t_{кон}}{\int }}dt=t_{кон}\to \underset{u_1\left(t\right),u_2\left(t\right)}{\min },$ (6)

где $t_{кон}$ – длительность процесса нагрева.

Требование к конечному температурному состоянию в момент $t_{кон}$ окончания процесса управления, как правило, связано с соблюдением допуска на отклонение ${\epsilon }_0$ конечной температуры $Q(x,t_{кон})$ от требуемого температурного распределения $Q^{*}\left(x\right)$ по толщине пластины $Q^{*}\left(x\right)=Q^{*}=\text{const}>Q_0$ и может быть записано в виде следующего неравенства [10, 11]:

$\underset{x\in \left[\mathrm{0,}R\right]}{\max }\left|Q(x,t_{кон})-Q*\right|\le {\epsilon }_0$ (7)

для всех $x\in [0_0,R_1]$.

В рассматриваемой задаче оптимального по быстродействию управления требуется определить такие управляющие воздействия $u_1^{*}\left(t\right),u_2^{*}\left(t\right)$, которые подчиняются заданным ограничениям (5) и переводят объект управления (1)–(4) в требуемое конечное состояние (7) за минимально возможное время согласно критерию оптимальности (6).

Алгоритмы оптимального по быстродействию программного управления с двумя сосредоточенными управляющими воздействиями

Применительно к базовому критерию быстродействия оптимальные программные управления $u_1^{*}\left(t\right)$ и $u_2^{*}\left(t\right)$ объектом (1)–(4) следует искать в классе релейных функций, попеременно принимающих на промежутке $t\in \left[\mathrm{0,}{t}_{кон}\right]$ только свои предельно допустимые значения в (5) [6–10]. Тем самым $u_1^{*}\left(t\right),u_2^{*}\left(t\right)$ определяются априори с точностью до числа $N_{01},N_{02}$ и длительностей ${\Delta }_{1i}^{\left(N_{01}\right)},i=\overline{\mathrm{1,}{N}_{01}},{\Delta }_{2i}^{\left(N_{02}\right)},i=\overline{\mathrm{1,}{N}_{02}}$ интервалов постоянства $u_1^{*}\left(t\right),u_2^{*}\left(t\right)$ соответственно.

В работе [4] было найдено пространственное распределение температурного состояния $Q(x,\overline{\Delta })$ в конце процесса управления, задаваемое в виде явной зависимости от ${\Delta }_{1i}^{\left(N_{01}\right)},{\Delta }_{2i}^{\left(N_{02}\right)},i=\mathrm{1,2}$ соответствующими решениями уравнений объекта с фиксированным начальным состоянием $Q_0$ для воздействий $u_1^{*}\left(t\right),u_2^{*}\left(t\right)$ в типичном двухинтервальном режиме нагрева при $N_{01}=N_{02}=N_0=2$ (рис. 1):

Рис. 1. Оптимальное по быстродействию двухканальное двухинтервальное управление по мощности внутренних источников тепла

$\begin{array}{c}Q(x,\overline{\Delta })=Q_0+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\lambda R^2}{a{E}_n{\eta }_n^2}\left(\cos \left({\eta }_n\frac{x}{R}\right)+\frac{B{i}_1}{{\eta }_n}\sin \left({\eta }_n\frac{x}{R}\right)\right)\times \\ \times \left[{\overline{W}}_{1n}{u}_{1\max }\left(e^{-{\eta }_n^2\frac{a}{R^2}{\Delta }_{12}^{\left(2\right)}}-e^{-{\eta }_n^2\frac{a}{R^2}({\Delta }_{11}^{\left(2\right)}+{\Delta }_{12}^{\left(2\right)})}\right)\right.+\left.{\overline{W}}_{2n}{u}_{2\max }\left(e^{-{\eta }_n^2\frac{a}{R^2}{\Delta }_{22}^{\left(2\right)}}-e^{-{\eta }_n^2\frac{a}{R^2}({\Delta }_{21}^{\left(2\right)}+{\Delta }_{22}^{\left(2\right)})}\right)\right],\end{array}$ (8)

где $\overline{\Delta }=({\Delta }_{11}^{\left(2\right)},{\Delta }_{12}^{\left(2\right)},{\Delta }_{21}^{\left(2\right)},{\Delta }_{22}^{\left(2\right)})$; ${\mu }_n^2=\frac{a}{R^2}{\eta }_n^2$ – собственные числа;

${\eta }_n,n=\mathrm{1,2,}\dots$ – бесконечно возрастающая последовательность корней уравнения:

$\text{tg}{\eta }_n=\frac{B{i}_1+B{i}_2}{{\eta }_n-\frac{B{i}_1\cdot B{i}_2}{{\eta }_n}},$$B{i}_1=\frac{{\alpha }_{1}R}{\lambda },$$B{i}_2=\frac{{\alpha }_{2}R}{\lambda };$
$B{i}_1,B{i}_2$ – безразмерный критерий Био, характеризующий уровень тепловых потерь с поверхностей пластины в окружающую среду с температурой $Q_{ср}=Q_0$ согласно (2);

R – толщина пластины; нормирующие множители $E_n$ вычисляются по формуле:

$E_n^2=\frac{{\lambda }^2}{a}R\left[\left(1-{\left(\frac{B{i}_1}{{\eta }_n}\right)}^2\right)\frac{{\eta }_n+\sin {\eta }_n\cos {\eta }_n}{2{\eta }_n}+{\left(\frac{B{i}_1}{{\eta }_n}\right)}^2+\frac{B{i}_1}{2{\eta }_n^2}(1-\cos 2{\eta }_n)\right].$

Моды функций (4) ${\overline{W}}_{1n},{\overline{W}}_{2n}$ определяются следующим образом:

${\overline{W}}_{1n}=\underset{0}{\overset{R}{\int }}{W}_1(\xi ,x)\cos \left({\mu }_n\frac{x}{R}\right)dx;{\overline{W}}_{2n}=\underset{0}{\overset{R}{\int }}{W}_2(\xi ,x)\cos \left({\mu }_n\frac{x}{R}\right)dx.$

В условиях $N_0=2$ требуемая величина ${\epsilon }_0$ в (7) должна удовлетворять требованию [11] ${\epsilon }_0:{\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)}\le {\epsilon }_0<{\epsilon }_{\min }^{\left(1\right)}$, где ${\epsilon }_{\min }^{\left(i\right)},i=\mathrm{1,2}$ – предельно достижимая точность нагрева в классе i-интервальных управляющих воздействий релейной формы.

В таком случае рассматриваемая задача быстродействия сводится при требованиях (7) к задаче полубесконечной оптимизации следующего вида [10, 11]:

$\begin{array}{l}I\left(\overline{\Delta }\right)={\Delta }_{11}^{\left(2\right)}+{\Delta }_{12}^{\left(2\right)}={\Delta }_{21}^{\left(2\right)}+{\Delta }_{22}^{\left(2\right)}\to \underset{{\Delta }_{si}^{\left(N_0\right)}\in \Omega }{\min };\\ \Omega =\left\{{\Delta }_{si}^{\left(2\right)}:0<{\Delta }_{si}^{\left(2\right)}<\infty ;s=\mathrm{1,2};i=\mathrm{1,2}\right\},\end{array}$ (9)

$\Phi \left(\overline{\Delta }\right)=\underset{x\in \left[\mathrm{0,}R\right]}{\max }\left|Q\left(x,\overline{\Delta }\right)-Q*\right|\le {\epsilon }_0,{\epsilon }_0>0.$ (10)

Далее будет рассматриваться типовая задача с предельно достижимой в классе двухинтервальных ($N_0=2$) управляющих воздействий релейной формы (рис. 1) абсолютной точностью ${\epsilon }_0={\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)}$ [10, 11].

Решение задачи полубесконечной оптимизации (9)–(10) сводится по схеме альтернансного метода [10, 11] к решению системы уравнений, определенной в [4] в соответствии с формой кривой конечного температурного распределения (рис. 3):

Рис. 3. Кривая конечного температурного распределения при ${\epsilon }_0={\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)}$

$\begin{array}{l}Q\left(\mathrm{0,}{\Delta }_{11}^{\left(2\right)},{\Delta }_{12}^{\left(2\right)},{\Delta }_{21}^{\left(2\right)},{\Delta }_{22}^{\left(2\right)}\right)-Q^{\ast }=-{\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)};\\ Q\left(x_2^0,{\Delta }_{11}^{\left(2\right)},{\Delta }_{12}^{\left(2\right)},{\Delta }_{21}^{\left(2\right)},{\Delta }_{22}^{\left(2\right)}\right)-Q^{\ast }={\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)};\\ Q\left(x_3^0,{\Delta }_{11}^{\left(2\right)},{\Delta }_{12}^{\left(2\right)},{\Delta }_{21}^{\left(2\right)},{\Delta }_{22}^{\left(2\right)}\right)-Q^{\ast }=-{\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)};\\ Q\left(x_4^0,{\Delta }_{11}^{\left(2\right)},{\Delta }_{12}^{\left(2\right)},{\Delta }_{21}^{\left(2\right)},{\Delta }_{22}^{\left(2\right)}\right)-Q^{\ast }={\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)};\\ \frac{\partial Q\left(x_j^0,{\Delta }_{11}^{\left(2\right)},{\Delta }_{12}^{\left(2\right)},{\Delta }_{21}^{\left(2\right)},{\Delta }_{22}^{\left(2\right)}\right)}{\partial x}=\mathrm{0,}j=\mathrm{2,3,4,}\end{array}$ (11)

относительно неизвестных значений $\overline{\Delta }$ длительностей интервалов постоянства программного управления $u_1^{*}\left(t\right),u_2^{*}\left(t\right)$, величины ${\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)}$ и координат $x_j^0,j=\mathrm{2,3,4}$ точек достижения предельно допустимых отклонений $Q(x,\overline{\Delta })$ от $Q^{*}$.

Синтез системы двухканального управления

Синтез оптимального регулятора по общему методу фазового пространства [10, 12] приводит к вполне реализуемой структуре замкнутой системы с неполным измерением температурного состояния объекта $Q({\tilde{x}}_j,t)=Q_j\left(t\right),j=\overline{\mathrm{1,}k}$ в некоторых k отдельных точках ${\tilde{x}}_j\in \left[\mathrm{0,}R\right]$ пространственной области его распределения и может быть выполнен путем выбора функции переключения $h_s\left(\overline{Q}\right),s=\mathrm{1,2}$ каждого из управляющих воздействий $u_1^{*}\left(t\right),u_2^{*}\left(t\right)$ в форме линейной комбинации k сигналов обратных связей по измеряемым величинам $Q_j,j=\overline{\mathrm{1,}k}$ с коэффициентами передачи ${\rho }_{sj}$, зависящими от начального состояния объекта [10]:

$h_s\left(\overline{Q}\right)=\sum _{j=1}^k{\rho }_{sj}\left[Q_j({\tilde{x}}_j,t_{кон})-Q_j\left(t\right)\right],s=\mathrm{1,2};j=\overline{\mathrm{1,}k}$. (12)

Если теперь принять число k точек контроля управляемой величины в (12) равным числу $N_{01}=N_{02}=N_0\ge 2$ интервалов оптимального управления для заданного ${\epsilon }_0$ в (10), т. е. положить

$h_s\left(\overline{Q}\right)=\sum _{j=1}^{N_0}{\rho }_{sj}\left[Q_j({\tilde{x}}_j,t_{кон})-Q_j\left(t\right)\right],s=\mathrm{1,2};j=\overline{\mathrm{1,}{N}_0},$ (13)

то условия равенства нулю $h_s\left(\overline{Q}\right)$ в расчетные моменты времени $t_{ms},m=\mathrm{1,2,...,}{N}_0-\mathrm{1,}s=\mathrm{1,2}$, переключения оптимальной программы соответственно $u_1^{*}\left(t\right),u_2^{*}\left(t\right)$ при $s=1$ и $s=2$ выполняются для каждого $Q_0$ в (2) в том случае (см. рис. 1), когда коэффициенты передачи ${\rho }_{sj},s=\mathrm{1,2};j=\overline{\mathrm{1,}{N}_0}$, опосредованно зависящие от $Q_0$ через значения $Q_j\left(t_{ms}\right)$, являются нетривиальными решениями однородной системы $N_0-1$ линейных уравнений с $N_0$ неизвестными:

$\sum _{j=1}^{N_0}{\rho }_{sj}\left[Q_j({\tilde{x}}_j,t_{кон})-Q_j\left(t_{ms}\right)\right]=\mathrm{0,}s=\mathrm{1,2};m=\mathrm{1,2,...,}{N}_0-1$. (14)

Полагая здесь для определенности ${\rho }_{s1}=1$ при s=1,2 [10], получим из (14) систему из $N_0-1$ линейных уравнений относительно $N_0-1$ неизвестных коэффициентов обратных связей ${\rho }_{sj},j=\overline{\mathrm{2,}{N}_0}$ для $s=1$ и $s=2$.

Значения ${\Delta }_{11}^{\left(2\right)},{\Delta }_{12}^{\left(2\right)},{\Delta }_{21}^{\left(2\right)},{\Delta }_{22}^{\left(2\right)}$ длительностей интервалов постоянства $u_1^{*}\left(t\right),u_2^{*}\left(t\right)$, а значит, и моменты переключения $t_{ms}$ вместе с оптимальной длительностью процесса управления, и величины $Q_j({\tilde{x}}_j,t_{кон})$ могут быть найдены при расчете программного оптимального управления по ходу решения задачи альтернансным методом, описанным в [11]. При известных $t_{ms}$ значения $Q_j\left(t_{ms}\right)$ находятся по решениям уравнений объекта, отвечающим программному управлению $u_1^{*}\left(t\right),u_2^{*}\left(t\right)$. По полученным данным искомые коэффициенты ${\rho }_{sj}$ находятся указанным выше способом из уравнений (14) с заданными элементами ее матрицы $Q_j({\tilde{x}}_j,t_{кон})-Q_j\left(t_{ms}\right),j=\overline{\mathrm{1,}{N}_0}$.

В случае двухинтервального характера нагрева при $N_0=2$ функции переключения (13) должны быть сформированы по сигналам обратной связи по температурам $Q({\tilde{x}}_1,t)=Q_1,Q({\tilde{x}}_2,t)=Q_2$ в двух точках ${\tilde{x}}_1$ и ${\tilde{x}}_2\in \left[\mathrm{0,}R\right]$ по толщине пластины:

$\begin{array}{l}{h}_1(Q_1,Q_2)={\rho }_{11}\left(Q^{*}-Q({\tilde{x}}_1,t)\right)+{\rho }_{12}\left(Q^{*}-Q({\tilde{x}}_2,t)\right),\\ h_2(Q_1,Q_2)={\rho }_{21}\left(Q^{*}-Q({\tilde{x}}_1,t)\right)+{\rho }_{22}\left(Q^{*}-Q({\tilde{x}}_2,t)\right),\end{array}$ (15)

в качестве которых удобно принять точки ${\tilde{x}}_1,{\tilde{x}}_2$ на множестве точек {$x_j^0$} в системе уравнений (11), например ${\tilde{x}}_1=\mathrm{0,}{\tilde{x}}_2=x_3^0$ (рис. 3), где результирующие значения температур $Q\left(\mathrm{0,}{t}_{кон}\right)=Q(\mathrm{0,}{\Delta }_{s1}^{\left(2\right)},{\Delta }_{s2}^{\left(2\right)})$ и $Q(x_3^0,t_{кон})=Q(x_3^0,{\Delta }_{s1}^{\left(2\right)},{\Delta }_{s2}^{\left(2\right)})$, $s=\mathrm{1,2}$ в конце оптимального процесса должны быть равны минимально допустимым величинам $Q^{*}-{\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)}$ согласно [4], что вытекает из альтернансных соотношений [11], независимо от начальной температуры $Q_0$ применительно к рассматриваемому случаю ${\epsilon }_0={\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)}$.

Тогда при ${\rho }_{s1}=1$ для $s=1$ и $s=2$ системы уравнений (14) сводятся к одному уравнению относительно ${\rho }_{s2}$, и функции переключения примут следующий вид:

$\begin{array}{l}{h}_1(Q_1,Q_2)=Q^{*}-{\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)}-Q\left(\mathrm{0,}t\right)+{\rho }_{12}\left(Q^{*}-{\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)}-Q(x_3^0,t)\right),\\ h_2(Q_1,Q_2)=Q^{*}-{\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)}-Q\left(\mathrm{0,}t\right)+{\rho }_{22}\left(Q^{*}-{\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)}-Q(x_3^0,t)\right).\end{array}$ (16)

В соответствии с полученными результатами алгоритм оптимального двухканального управления для каждого из управляющих воздействий определяется соотношениями

$\begin{array}{l}{u}_1^{*}\left(Q\right)=\frac{u_{1\max }}{2}\left[\text{1+sign}\left(Q^{*}-{\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)}-Q\left(\mathrm{0,}t\right)+{\rho }_{12}\left(Q^{*}-{\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)}-Q(x_3^0,t)\right)\right)\right],\\ u_2^{*}\left(Q\right)=\frac{u_{2\max }}{2}\left[\text{1+sign}\left(Q^{*}-{\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)}-Q\left(\mathrm{0,}t\right)+{\rho }_{22}\left(Q^{*}-{\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)}-Q(x_3^0,t)\right)\right)\right]\end{array}$ (17)

и реализуется в замкнутой системе управления, построенной по схеме (рис. 2), где коэффициенты передачи ос ро12 и ро22 вычисляются указанным выше способом.

Рис. 2. Структурная схема замкнутой системы оптимального по быстродействию управления процессом индукционного нагрева при ${\epsilon }_0={\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)}$

Для исходных номинальных данных, отвечающих процессу индукционного нагрева пластины из титанового сплава толщиной 0.2 м перед последующей операцией горячего прессования ($\xi =4$, $\lambda =14$ Вт/(м∙ºС), $Q_0=20$ºС, $Q^{*}=960$ºС, $a=\mathrm{4,34}\cdot {10}^{-6}{\text{ м}}^{\text{3}}\text{/с,}$ $u_{1\max }=300{\text{ кВт/м}}^3,$ $u_{2\max }=393{\text{ кВт/м}}^3,$ $B{i}_1=\mathrm{0,57,}B{i}_2=\mathrm{0,43}),$ найдены путем решения системы уравнений (11) значения параметров оптимального процесса и коэффициентов обратной связи в (16):

${\Delta }_{11}^{\left(2\right)}=1607$ с, ${\Delta }_{12}^{\left(2\right)}=130$ с, ${\Delta }_{21}^{\left(2\right)}=1475$ с, ${\Delta }_{22}^{\left(2\right)}=262$ с, $x_2^0=\mathrm{0,04}$ м, $x_3^0=\mathrm{0,01}$ м, $x_4^0=\mathrm{0,17}$ м, ${\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)}=19°C$, ${\rho }_{12}=\mathrm{1,26,}{\rho }_{22}=-\mathrm{0,07}$

и отвечающие этим результатам пространственные температурные распределения $Q(x,\overline{\Delta })-Q^{*}$ (рис. 3).

Моделирование замкнутой системы проводилось в среде программирования MATLAB/Simulink [14, 15]. При моделировании теплового объекта (1)–(3), (5) с граничными условиями третьего рода использовались методы конечномерного приближения [13], позволяющие представить объект в виде параллельного соединения достаточно большого числа типовых апериодических звеньев (рис. 4) с коэффициентами усиления $F_n^{*}\left(x\right)$ и постоянными времени $T_n^{*}$, которые предварительно вычисляются по следующим выражениям:

$\begin{array}{c}k=\frac{\lambda R^2}{a};T_n^{*}=\frac{R^2}{a{{\eta }_n}^2};\\ F_{1n}^{*}\left(x\right)=\frac{1}{E_n{\eta }_n^2}{\overline{W}}_{1n}\left[\cos \left({\eta }_n\frac{x}{R}\right)+\frac{B{i}_1}{{\eta }_n}\sin \left({\eta }_n\frac{x}{R}\right)\right];\\ F_{2n}^{*}\left(x\right)=\frac{1}{E_n{\eta }_n^2}{\overline{W}}_{2n}\left[\cos \left({\eta }_n\frac{x}{R}\right)+\frac{B{i}_1}{{\eta }_n}\sin \left({\eta }_n\frac{x}{R}\right)\right].\end{array}$

Рис. 4. Структура объекта управления в виде параллельного соединения n-числа апериодических звеньев

На рис. 5 приведены некоторые результаты компьютерного моделирования процесса управления индукционным нагревом в замкнутой системе оптимального быстродействия, построенной по схеме рис. 2, с алгоритмами управления вида (17) для вышеуказанных значений параметров объекта.

Рис. 5. Оптимальный по быстродействию процесс управления нагревом пластины в замкнутой системе: а – температурное поле (1 – $Q_1\left(t\right)$, 2 – $Q_2\left(t\right)$); б – оптимальное управление

Уравнения линий переключения для обоих управляющих воздействий на плоскости температур $Q_1=Q\left(\mathrm{0,}t\right),Q_2=Q(x_3^0,t)$ вычисляются по значениям $Q\left(\mathrm{0,}{\Delta }_{s1}^{\left(2\right)}\right),Q\left(x_3^0,{\Delta }_{s1}^{\left(2\right)}\right)$ в момент ${\Delta }_{s1}^{\left(2\right)}$ переключения $u_1^{*}\left(Q\right),u_2^{*}\left(Q\right)$ и записываются в зависимости от начальной температуры $Q_0$ в параметрической форме:

$\begin{array}{c}{Q}_1\left(Q_0,{\Delta }_{s1}^{\left(2\right)}\left(Q_0\right)\right)=Q_0+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\lambda R^2}{a{E}_n{\eta }_n^2}\times \\ \times \left[{\overline{W}}_{1n}{u}_{1\max }\left(1-e^{-{\eta }_n^2\frac{a}{R^2}{\Delta }_{s1}^{\left(2\right)}\left(Q_0\right)}\right)\right.+\left.{\overline{W}}_{2n}{u}_{2\max }\left(1-e^{-{\eta }_n^2\frac{a}{R^2}{\Delta }_{s1}^{\left(2\right)}\left(Q_0\right)}\right)\right];\\ Q_2\left(Q_0,{\Delta }_{s1}^{\left(2\right)}\left(Q_0\right)\right)=Q_0+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\lambda R^2}{a{E}_n{\eta }_n^2}\left(\cos \left({\eta }_n\frac{x_3^0}{R}\right)+\frac{B{i}_1}{{\eta }_n}\sin \left({\eta }_n\frac{x_3^0}{R}\right)\right)\times \\ \times \left[{\overline{W}}_{1n}{u}_{1\max }\left(1-e^{-{\eta }_n^2\frac{a}{R^2}{\Delta }_{s1}^{\left(2\right)}\left(Q_0\right)}\right)\right.+\left.{\overline{W}}_{2n}{u}_{2\max }\left(1-e^{-{\eta }_n^2\frac{a}{R^2}{\Delta }_{s1}^{\left(2\right)}\left(Q_0\right)}\right)\right],\end{array}$ (18)

где $s=\overline{\mathrm{1,2}}$.

Выбор функции переключения в форме (16) с постоянными коэффициентами обратной связи ${\rho }_{11},{\rho }_{12},{\rho }_{21},{\rho }_{22}$, соответствующими только одному принятому на начальном этапе постановки задачи значению $Q_0$, позволяет провести синтез квазиоптимальной системы управления [10] с заменой линий переключения (18) прямыми на плоскости температур $Q_1,Q_2$:

$\begin{array}{l}\left(Q^{*}-{\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)}\right)(1+{\rho }_{12})-Q_1-{\rho }_{12}{Q}_2=\mathrm{0,}\\ \left(Q^{*}-{\epsilon }_{\min }^{\left(2\right)}\right)(1+{\rho }_{22})-Q_1-{\rho }_{22}{Q}_2=0.\end{array}$ (19)

На рис. 6 изображены линии переключения (18), а также прямые (19) и фазовые траектории системы для принятого значения $Q_0$. Переключения управляющего воздействия в системе управления происходят при этом в точках А, Б пересечения линий (18) с прямыми (19) (фазовая траектория 1, 2, 3 в плоскости $Q_1,Q_2$ на рис. 6), а окончание процесса управления фиксируется по моменту достижения равенства $Q_1=Q_2$ на втором интервале управления.

Рис. 6. Линии переключения и фазовые траектории в системе оптимального по быстродействию управления: 1, 2, 3 - фазовые траектории на первом и втором интервалах для $Q_0=20$; $1\text{'}\mathrm{,2}\text{'}\mathrm{,3}\text{'}$- фазовые траектории на первом и втором интервалах для $Q_0=80$; 4 - линии переключения (18); 5 - прямые переключения (19)

Следует отметить, что процесс в замкнутой системе с алгоритмом управления (17), построенной по схеме рис. 2, остается строго оптимальным по быстродействию с переключением управляющего воздействия на второй интервал в точках пересечения линий (18) с прямыми (19) только при равенстве начальной температуры $Q_0$ ее расчетному значению, для которого находятся коэффициенты ${\rho }_{11},{\rho }_{22}$ в (19). При отклонениях $Q_0$ от этого значения, принятого в исходных данных для рассматриваемой задачи, конечное температурное распределение будет отличаться от температурного состояния при оптимальном режиме нагрева. В частности, на рис. 6 представлены фазовые траектории процесса нагрева при начальной температуре $Q_0=80$, при которой траектории $1\text{'}\mathrm{,2}\text{'}$ не попадают в точки пересечения линий (18) с прямыми (19) и переключение происходит на прямых 5.

Таким образом, задача синтеза двухканального оптимального по быстродействию управления объектом (1)–(3) с сосредоточенными управляющими воздействиями вида (17) сводится к построению релейной системы автоматического регулирования (схема 2) для каждого из каналов управления с линейными обратными связями по значениям управляемой величины в некоторых точках пространственной области ее распределения, число которых должно быть равно числу интервалов постоянства оптимальных программных управляющих воздействий.

About the authors

Natalya A. Il’ina

Author for correspondence.
Email: ilina.natalyaa@yandex.ru

Graduate student

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Fig. 1

Download (50KB)

Indexing metadata

3. Fig. 3

Download (108KB)

Indexing metadata

4. Fig. 2

Download (81KB)

Indexing metadata

5. Fig. 4

Download (184KB)

Indexing metadata

6. Fig. 5

Download (127KB)

Indexing metadata

7. Fig. 6

Download (114KB)

Indexing metadata