Entanglement of two qubits interacting with one-mode quantum field

Full Text

Настоящая статья представляет собой расширенный вариант доклада [1], сделанного авторами на Четвёртой международной конференции «Математическая физика и её приложения» (Россия, Самара, 25 августа - 1 сентября 2014). Квантовые перепутанные состояния являются основным ресурсом квантовой информатики [2, 3]. Для приложений в физике квантовых вычислений нужны максимально перепутанные чистые состояния с достаточно большим временем жизни. В настоящее время предложены и реализованы различные схемы генерации и использования долгоживущих перепутанных состояний для атомов и ионов в резонаторах и оптических и магнитных ловушках, сверхпроводящих джозефсоновских колец, примесных спинов в твердых телах и др. [4-8]. Однако в реальных условиях квантовые системы всегда взаимодействуют с окружением. Такое взаимодействие обычно приводит к декогеренции, так что исследуемая система эволюционирует в смешанное перепутанное состояние, которое оказывается непригодным для целей квантовых вычислений. Поэтому с практической точки зрения основная задача при получении и использовании атомных перепутанных состояний заключается в том, чтобы предотвратить, минимизировать или использовать влияние шума. Было высказано большое количество предложений по защите, минимизированию или использованию влияния окружения для создания и сохранения максимально перепутанных состояний, например стратегия кольцевого контроля, коррекция квантовых ошибок, использование избыточного кодирования и др. Однако указанные способы успешно решают проблему только при малой скорости генерации ошибок в исследуемой системе [7]. Недавно в целом ряде работ была высказана идея о том, что в некоторых случаях диссипация и шум могут, напротив, являться источником перепутывания. Впервые такая возможность была рассмотрена в работе [9]. В ней авторы показали, что за счет диссипации два атома (два кубита) в оптическом резонаторе могут перейти в максимально перепутанное состояние. Возможность генерации перепутанных состояний в системе двух и более атомов в резонаторе за счет различных механизмов диссипации рассматривалась позднее в большом количестве работ (см. ссылки в работах [10-13]). В последнее время ряд работ был посвящен исследованию возможности генерации перепутывания в атомных системах в резонаторах, индуцированного тепловым шумом. Идея о возможности возникновения перепутывания при взаимодействии атомов в резонаторах с тепловым полем принадлежит Питеру Найту с соавторами [14]. В указанной работе впервые было показано, что перепутывание всегда возникает при взаимодействии произвольной системы с большим числом степеней свободы в смешанном состоянии и одиночного кубита в чистом состоянии, и общие результаты проиллюстрированы на примере модели Джейнса-Каммингса одиночного атома в чистом состоянии, взаимодействующего с модой теплового поля в идеальном резонаторе. В своей следующей работе Питер Найт с соавторами [15] показали, что одномодовый тепловой шум может также индуцировать атом-атомное перепутывание в системе двух идентичных двухуровневых атомов в идеальном резонаторе. Указанный эффект для неидентичных атомов с различными константами атом-полевого взаимодействия предсказан в [16], а с различными частотами атомных переходов - в [17]. Перепутывание в двухатомной системе с вырожденным двухфотонным взаимодействием, индуцированное одномодовым тепловым шумом, было рассмотрено в работе [18], а влияние двухмодового теплового шума на перепутывание двух двухуровневых атомов с невырожденными переходами и переходами рамановского типа - в работе [19]. При этом было показано, что при двухфотонном взаимодействии степень перепутывания атомных состояний может значительно превосходить соответствующую величину для однофотонного взаимодействия. Возможность генерации перепутывания атомов, последовательно пролетающих резонатор с тепловым полем, показана в работах [20-22]). Как хорошо известно, диполь-дипольное взаимодействие атомных систем является естественным механизмом возникновения атомного перепутывания. Наличие диполь-дипольного взаимодействия, в частности, может привести к значительному увеличению степени перепутывания двух естественных или искусственных атомов, взаимодействующих с модой теплового поля в идеальном резонаторе посредством как однофотонных переходов [23, 24], так и двухфотонных вырожденных [25] и невырожденных переходов [26]. Физически диполь-дипольное взаимодействие можно увеличить, уменьшая относительное расстояние между атомами в резонаторе. Преимущество такой схемы заключается в том, что относительное расстояние между атомами можно легко контролировать. Например, в современных магнитных ловушках Пауля охлажденные атомы могут быть заперты на расстояниях порядка длины волны излучения. В этом случае параметр диполь-дипольного взаимодействия становится сравнимым с константой диполь-фотонного взаимодействия. В результате такие экспериментальные установки могут быть использованы для генерации значительной степени перепутывания атомов даже при наличии шума. В работах [15, 17-19, 23-25] рассматривались двухатомные модели, в которых оба естественных или искусственных атома одновременно заперты в оптической ловушке. В то же время для практических применений в квантовой информатике часто необходимо перемещать атомы без потери квантовых корреляций между ними. Для реализации перепутывания атомов в таких условиях предложено большое число различных схем [27-30]. В работе [31] предложена простая схема, в которой только один кубит заперт в ловушке, а другой может свободно перемещаться вне резонатора. Взаимодействие между атомами реализовано не за счёт взаимодействия с общим полем, а благодаря прямому диполь-дипольному взаимодействию. При этом авторы ограничились рассмотрением простейшего начального состояния системы, когда оба атома приготовлены в основном состоянии, а резонатор - в вакуумном состоянии. Представляет значительный интерес исследовать динамику перепутывания между кубитами в рамках модели, предложенной в [31], для теплового состояния поля в резонаторе. В настоящей работе нами исследована динамика перепутывания атомов, приготовленных в некогерентных начальных чистых состояниях, в то время как резонаторное поле находится в одномодовом тепловом состоянии. Заметим, что рассматриваемая в настоящей работе модель может быть также более просто реализована для системы двух сверхпроводящих джозефсоновских кубитов, один из которых взаимодействует со сверхпроводящим LC-контуром (SQIDом). Рассмотрим модель, состоящую из двух идентичных двухуровневых естественных или искусственных двухуровневых атомов (ридберговских атомов, ионов или сверхпроводящих джозефсоновских контуров). При этом один атом заперт в идеальном резонаторе и взаимодействует с модой теплового квантового электромагнитного поля (колебаниями электронной плотности в сверхпроводящем LC-контуре в случае джозефсоновских кубитов), а второй атом находится вне резонатора в свободном состоянии. Будем полагать, что расстояние между атомами сравнимо с длиной волны их излучения на рабочем переходе. В этом случае мы должны принять во внимание диполь-дипольное взаимодействие атомов. В результате в рассматриваемой модели взаимодействие между атомами осуществляется только посредством прямого дипольдипольного взаимодействия. Будем полагать, что частота атомного перехода ω0 двухуровневого атома, запертого в резонаторе, совпадает с частотой резонаторной моды ω. Гамильтониан такой модели в дипольном приближении и приближении вращающейся волны может быть записан как - + + - - + z z H = (1/2) ω(σ1 + σ2 ) + ωa+ a + g(σ1 a + a+ σ1 ) + J(σ1 σ2 + σ1 σ2 ), (1) z где (1/2)σi - оператор инверсии для i-того двухуровневого атома (i = 1, 2); + - σi = |+ ii -|, σi = |- ii +| - операторы переходов между возбуждённым |+ i и основным |- i состояниями в i-том двухуровневом атоме; a+ и a - операторы рождения и уничтожения фотонов резонаторной моды; g - эффективная константа атом-полевого взаимодействия; J - параметр прямого диполь-дипольного взаимодействия кубитов. Будем полагать, что в начальный момент времени кубиты находятся в чистом состоянии, а поле - в тепловом состоянии. В настоящей работе мы ограничимся рассмотрением атом-атомных перепутанных состояний. Информация о перепутанности двух атомов содержится в редуцированной атомной матрице плотности ρatom (t). А. Перес и Хородецкие доказали [32, 33], что необходимым и достаточным условием сепарабельности двух кубитов является то, что некая дополнительная матрица ρT1 , полученная путём частичatom ной перестановки индексов (транспонирование по переменным одного кубита) матрицы плотности ρatom (t), имеет только неотрицательные собственные значения. Тогда для определения степени атом-атомного перепутывания можно воспользоваться параметром Переса-Хородецких, который определим как µ- , i ε = -2 (2) i где µ- - отрицательные собственные значения транспонированной по переi менным одного кубита атомной матрицы плотности ρT1 . Отсутствие у чаatom стично транспонированной по переменным одного кубита атомной матрицы плотности (2) отрицательных собственных значений означает, как уже было сказано выше, что атомы в любой момент времени остаются неперепутанными, в этом случае полагают ε = 0. Для случая ε > 0 атомы находятся в перепутанном состоянии. Для максимально перепутанного состояния ε = 1. Рассмотрим теперь динамику параметра перепутывания (2) для различных начальных чистых состояний атомной подсистемы и теплового состояния резонаторного поля pn |n n|. ρF (0) = (3) n Здесь |n - одномодовое фоковское состояние поля и вероятности pn задаются для теплового поля формулой pn = nn ¯ , n + 1)n+1 (¯ n где n - среднее число фотонов в моде. Для этой цели предварительно найдем ¯ решения временного уравнения Шрёдингера для модели с гамильтонианом (1) в случае чистого фоковского состояния поля и различных начальных чистых состояний кубитов. Для начальной волновой функции полной системы |Ψ(0) указанное решение можно представить в виде |Ψ(t) = e-ıHt/ |Ψ(0) = Ci (0)e-ıEi t/ |Φi , (4) i где |Ψ(0) = i Ci (0)|Φi ; |Φi и Ei - собственные функции и собственные значения гамильтониана (1) соответственно. В двухатомном базисе |-, -, n + 2 , |+, -, n + 1 , |-, +, n + 1 , |+, +, n собственные функции гамильтониана (1) есть |Φin = ξin (Xi1n |-, -, n + 2 + Xi2n |+, -, n + 1 + + Xi3n |-, +, n + 1 + Xi4n |+, +, n ) (i = 1, 2, 3, 4), (5) где Xi3n ξin = 1/ |Xi1n |2 + |Xi2n |2 + |Xi3n |2 + |Xi4n |2 , Sn Xi1n = 1, Xi2n = (-1)i+1 √ , n+2 2 S 2 - (n + 2) Sn (Sn - (n + 2) - α2 ) √ √ √ = n , Xi4n = (-1)i+1 . ( n + 2)α ( n + 1 n + 2)α Здесь Sn = An для нечетных i и Sn = Bn для четных i. Соответствующие собственные значения имеют вид E1n / = (n + 1)ω + An , E2n / = (n + 1)ω - An , E3n / = (n + 1)ω + Bn , E4n / = (n + 1)ω - Bn , (6) где An = Wn + Vn /2, 2 Wn = 4n + 6 + 2α , Bn = Wn - Vn /2, Vn = 2 4(n + 1)α2 + (α2 + 1), α = Γ/g. В двухатомном базисе |-, -, 1 , |+, -, 0 , |-, +, 0 собственные функции и собственные значения гамильтониана (1) можно представить в виде |ϕ1 = (α2√ /Ω)[|-, -, 1 - (1/α)|-, +, 0 ], E1 = 0; |ϕ2 = (1/√2)[(1/Ω)|-, -, 1 + |+, -, 0 + (α/Ω)|-, +, 0 ], E2 / = Ω; |ϕ3 = (1/ 2)[-(1/Ω)|-, -, 1 + |+, -, 0 - (α/Ω)|-, +, 0 ], E2 / = -Ω, √ где Ω = 1 + α2 . Наконец, гамильтониан (1) имеет еще одну собственную функцию вида ϕ0 = |-, -, 0 , соответствующую энергии E0 = 0. Предположим, что рассматриваемая система приготовлена в начальный момент времени в чистом состоянии |+, -, n + 1 . В этом случае с использованием соотношений (4)-(6) временную волновую функцию системы можно записать в виде |Ψ(t) = Z1n |-, -, n + 2 + Z2n |+, -, n + 1 + Z3n |-, +, n + 1 + Z4n |+, +, n , (7) где Z1,n = e-ıE1n t/ ξ1n Y21n X11n + e-ıE2n t/ ξ2n Y22n X21n + +e-ıE3n t/ ξ3n Y23n X31n + e-ıE4n t/ ξ4n Y24n X41n , Z2,n = e-ıE1n t/ ξ1n Y21n X12n + e-ıE2n t/ ξ2n Y22n X22n + +e-ıE3n t/ ξ3n Y23n X32n + e-ıE4n t/ ξ4n Y24n X42n , Z3,n = e-ıE1n t/ ξ1n Y21n X13n + e-ıE2n t/ ξ2n Y22n X23n + +e-ıE3n t/ ξ3n Y23n X33n + e-ıE4n t/ ξ4n Y24n X43n , Z4,n = e-ıE1n t/ ξ1n Y21n X14n + e-ıE2n t/ ξ2n Y22n X24n + +e-ıE3n t/ ξ3n Y23n X34n + e-ıE4n t/ ξ4n Y24n X44n . ∗ Здесь Yijn = ξjn Xjin . Если же начальное состояние полной системы выбрать в виде |+, -, 0 , то временная функция примет вид |Ψ(t) = Z1 |-, -, 1 + Z2 |+, -, 0 + Z3 |-, +, 0 , (8) где ı ıα sin Ωt, Z2 = cos Ωt, Z3 = - sin Ωt. Ω Ω Теперь с использованием соотношений (7), (8) мы можем найти временную зависимость матрицы плотности полной системы для атомов, приготовленных в чистом состоянии |+, - , и поля, приготовленного в тепловом состоянии (3), т. е. для начальной матрицы плотности системы вида Z1 = - ρ(0) = |+, - +, -|ρF (0) = pn |+, -, n +, -, n|. n После несложных преобразований получаем pn Z1,n-1 |-, -, n + 1 + Z2,n-1 |+, -, n + 1 + ρ(t) = n=1 + Z3,n-1 |-, +, n + 1 + Z4,n-1 |+, +, n - 1 × × ∗ Z1,n-1 ∗ ∗ -, -, n + 1| + Z2,n-1 +, -, n + 1| + Z3,n-1 -, +, n + 1|+ (9) Перепутывание двух кубитов, взаимодействующих с одномодовым квантовым полем ∗ + Z4,n-1 +, +, n - 1| + p0 Z1 |-, -, 1 + Z2 |+, -, 0 + Z3 |-, +, 0 × ∗ ∗ ∗ × Z1 -, -, 1| + Z2 +, -, 0| + Z3 -, +, 0| . (10) Тогда соответствующую (10) редуцированную атомную матрицу плотности можно представить в виде U  0 ρatom (t) =  0 0 0 0 V H H∗ W 0 0   0 0  , 0  R (11) где pn |Z4,n-1 |2 , U= n=1 n=1 2 2 pn |Z3,n-1 | + p0 |Z3 | , W = pn |Z2,n-1 |2 + p0 |Z2 |2 , V = ∗ ∗ pn Z2,n-1 Z3,n-1 + p0 Z2 Z3 , H= n=1 n=1 pn |Z1,n-1 |2 . R= n=1 Частично транспонированная по переменным одного кубита атомная матрица плотности (11) имеет всего одно собственное значение, которое может быть отрицательным при условии RU |H|. В этом случае параметр Переса-Хородецких можно записать как ε= (R - U )2 + 4|H|2 - R - U. (12) В противном случае ε = 0. Рассмотрим также динамику системы для других начальных чистых состояний систем. Выберем в начальный момент времени волновую функцию в виде |-, +, n + 1 , тогда ее временная эволюция будет описываться вектором состояния (7), если в этом выражении заменить величины Y2in на Y3in , где i = 1, 2, 3, 4. Для начального состояния |-, +, 0 временная функция имеет вид |Ψ(t) = Z1 |-, -, 1 + Z2 |+, -, 0 + Z3 |-, +, 0 , где Z1 = α (cos Ωt - 1), Ω2 Z2 = - ıα sin Ωt, Ω Z3 = 1 α2 + 2 cos Ωt. Ω2 Ω Тогда для начального состояния ρ(0) = |-, + -, +|ρF (0) = pn |-, +, n -, +, n| (13) n мы можем использовать формулы (10)-(12) с учетом указанных выше замен. Для начального состояния |-, -, n + 2 формула (7) также остается справедливой при замене величин Y2in на Y1in , где i = 1, 2, 3, 4. Для начального состояния |-, -, 1 временная функция также имеет вид (8) c коэффициентами Z1 = - 1 2 (α + cos Ωt), Ω2 Z2 = - ı sin Ωt, Ω Z3 = - α (1 - cos Ωt). Ω2 Наконец, начальное состояние |-, -, 0 не эволюционирует с течением времени. Тогда для начального состояния ρ(0) = |-, - -, -|ρF (0) = pn |-, -, n -, -, n| (14) n мы по-прежнему можем использовать формулу (10) с учетом замены величин Y2in на Y1in . Редуцированная атомная матрица плотности в рассматриваемом случае имеет также вид (11). Однако матричные элементы теперь следующие: pn |Z4,n-2 |2 , U= n=2 n=2 2 2 pn |Z3,n-2 | + p1 |Z3 | , W = pn |Z2,n-2 |2 + p1 |Z2 |2 , V = ∗ ∗ pn Z2,n-2 Z3,n-2 + p1 Z2 Z3 , H= n=2 n=2 2 pn |Z1,n-2 | + p1 |Z1 |2 + p0 . R= n=2 Для начального состояния ρ(0) = |+, + +, +|ρF (0) = pn |+, +, n +, +, n| n формулы (7), (10) и (11) остаются справедливыми при замене Y2in на Y4in . При этом элементы редуцированной атомной матрицы плотности есть pn |Z4,n |2 , U= n=0 2 pn |Z3,n | , W = n=0 pn |Z2,n |2 , V = n=0 ∗ pn Z2,n Z3,n , H= n=0 pn |Z1,n |2 . R= n=0 Результаты численного моделирования параметра атом-атомного перепутывания (12) для начальных условий (9), (13) и (14) приведены на рис. 1, 2. На рис. 1 представлена зависимость параметра перепутывания от интенсивности диполь-дипольного взаимодействия атомов для поля с n = 1. Из ¯ рисунка видно, что для начальных состояний атомов |+, - и |-, + увеличение интенсивности диполь-дипольного взаимодействия приводит к увеличению степени перепутывания кубитов. Для состояния |-, - указанная зависимость является немотонной. Для области значений интенсивности дипольного взаимодействия J < 2g увеличение J ведет к росту максимальной степени перепутывания атомов, а для области значений интенсивности J > 2g - к уменьшению перепутывания. На рис. 2 показана временная зависимость параметра перепутывания для различных значений среднего числа тепловых фотонов в резонаторе. Из рисунка видно, что для слабых тепловых полей n < 3 степень перепутывания Рис. 1. (online в цвете) Временная зависимость параметра перепутывания ε(t) от интенсивности диполь-дипольного взаимодействия для начальных состояний (9) (рис. a), (13) (рис. b) и (14) (рис. c). Среднее число тепловых фотонов n = 1. Интенсивность ди¯ поль-дипольного взаимодействия α равна 0.5 (пунктирная линия), 1 (штриховая линия) и 3 (сплошная линия) [Figure 1. (color online) The time dependence of the entanglement parameter ε(t) on the dipole-dipole interaction strength for initial states: for Eqn. (9) see Fig. a, for Eqn. (13) see Fig. b, and for Eqn. (14) see Fig. c. The mean value of the thermal photons number n = 1. ¯ The dipole-dipole interaction strength α = 0.5 (dotted line), α = 1 (dashed line), and α = 3 (solid line)] Рис. 2. (online в цвете) Временная зависимость параметра перепутывания ε(t) от интенсивности теплового поля для начальных состояний (9) (рис. a), (13) (рис. b) и (14) (рис. c). Интенсивность дипольного взаимодействия α = 1. Среднее число фотонов в тепловом поле n равно 0.5 (пунктирная линия), 1 (штриховая линия) и 3 (сплошная линия) ¯ [Figure 2. (color online) The time dependence of the entanglement parameter ε(t) on the thermal field intensity for initial states: for Eqn. (9) see Fig. a, for Eqn. (13) see Fig. b, and for Eqn. (14) see Fig. c. The dipole-dipole interaction strength α = 0.5. The mean value of the thermal photons number n = 0.5 (dotted line), n = 1 (dashed line), and n = 3 (solid line)] ¯ ¯ ¯ увеличивается с увеличением среднего числа фотонов в моде. Для интенсивных тепловых полей с ростом среднего числа фотонов в моде максимальное значение атомного перепутывания резко уменьшается. Таким образом, в настоящей работе нами показано, что тепловое поле может индуцировать высокую степень перепутывания двух кубитов, один из которых заперт в резонаторе, а второй может перемещаться вне его. При этом имеется возможность управления и контроля за степенью перепутывания за счет изменения интенсивности диполь-дипольного взаимодействия кубитов (растояния между ними) и температуры резонатора (среднего числа фотонов в резонаторе). Как показано в последнее время, степень атомного перепутывания кубитов существенно возрастает при наличии атомной когерентности в системе [34, 35]. При описании динамики перепутывания кубитов важен также учет диссипативных процессов, возникающих за счёт взаимодействия кубитов с окружением. Такие взаимодействия приводят к распаду квантовых корреляций межу кубитами, или декогеренции. Учет влияния атомной когерентности и окружения на динамику перепутывания кубитов, оценка времени декогеренции и рассмотрение других механизмов контроля перепутывания в рамках рассмотренной в настоящей работе модели будет предметом нашей следующей работы. ORCIDs Евгений Константинович Башкиров: http://orcid.org/0000-0001-8682-4956 Мастюгин Михаил Сергеевич: http://orcid.org/0000-0002-8375-0821

About the authors

Eugene K Bashkirov

Samara State University

Email: bash@samsu.ru
(Dr. Phys. & Math. Sci.; bash@samsu.ru; Corresponding Author), Professor, Dept. of General and Theoretical Physics 1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russian Federation

Michail S Mastyugin

Samara State University

Email: mastyugin.mikhail@mail.ru
Postgraduate Student, Dept. of General and Theoretical Physics 1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russian Federation

References

Supplementary files