Gauge group contraction of electroweak model and its natural energy limits

Full Text

Настоящая статья представляет собой расширенный вариант доклада [1], сделанного авторами на Четвёртой международной конференции «Математическая физика и её приложения» (Россия, Самара, 25 августа - 1 сентября 2014). 1. Введение. Современной теорией электрослабых процессов является электрослабая модель, объединяющая электромагнитные и слабые взаимодействия элементарных частиц. Она хорошо описывает имеющиеся экспериментальные данные и получила дальнейшие убедительные подтверждения своей адекватности с недавним открытием скалярного бозона Хиггса в экспериментах на большом адронном коллайдере. Эта модель представляет собой калибровочную теорию, основанную на калибровочной группе SU (2) × U (1), являющейся прямым произведением двух простых групп. В физике хорошо известна операция контракции (или предельного перехода) групп [2], которая преобразует простую группу в неполупростую. В частности, специальная унитарная группа SU (2) контрактируется в группу, изоморфную группе Евклида E(2) - группе движений евклидовой плоскости [3]. Для симметричной физической системы контракция ее группы симметрии означает переход к предельному состоянию системы. В случае сложной физической системы, каковой является электрослабая модель, изучение ее предельных состояний при тех или иных предельных значениях физических параметров дает возможность лучше понять поведение системы в целом. Мы обсудим на уровне классических калибровочных полей модифицированную электрослабую модель с контрактированной калибровочной группой. Ранее было показано [4, 5], что контракционный параметр связан с энергией s элементарной частицы в системе центра масс, так что контракция калибровочной группы отвечает низкоэнергетическому пределу электрослабой модели. Вместе с тем, в отличие от чисто математического подхода, в котором компоненты векторов рассматриваются как числовые поля, электрослабая модель включает интерпретацию этих компонент как физических полей, отвечающих различным элементарным частицам, что позволяет описать высокоэнергетический предел электрослабой модели. Мы рассмотрим обе возможности и обсудим некоторые свойства частиц в ранней Вселенной, где имели место подобные высокие энергии. 2. Стандартная электрослабая модель. Опишем стандартную электрослабую модель, следуя монографиям [6, 7]. Ее лагранжиан есть сумма бозонного, лептонного и кваркового лагранжианов: L = LB + LL + LQ . Бозонный сектор LB = LA + Lφ состоит из двух частей: лагранжиана калибровочных полей LA = 1 1 1 1 1 2 3 Tr(Fµν )2 - (Bµν )2 = - [(Fµν )2 + (Fµν )2 + (Fµν )2 ] - (Bµν )2 (1) 2 8g 4 4 4 и лагранжиана полей материи λ † 1 φ φ - v2 Lφ = (Dµ φ)† Dµ φ - 2 4 2 , (2) φ1 где φ = ∈ C2 есть поля материи. Ковариантные производные полей φ2 материи следующие: 3 Tk Ak µ Dµ φ = ∂µ φ - ig φ - ig Y Bµ φ, k=1 где Tk = 1 τk , k = 1, 2, 3 - генераторы группы SU (2), Y = 2 группы U (1), g и g - константы. Калибровочные поля 1 2 1 - генератор 3 Tk Ak (x), µ Aµ (x) = -ig k=1 426 Bµ (x) = -ig Bµ (x) (3) Контракция калибровочной группы электрослабой модели . . . принимают значения в алгебрах Ли su(2), u(1) соответственно, а тензоры напряжений Fµν (x) = Fµν (x) + [Aµ (x), Aν (x)], Bµν = ∂µ Bν - ∂ν Bµ . Чтобы получить массы у векторных бозонов, используется специальный механизм спонтанного нарушения симметрии. Одно из основных состояний лагранжиана LB : 0 , Ak = Bµ = 0 φvac = µ v выбирается в качестве вакуума модели, а затем рассматриваются малые возбуждения полей v + χ(x) относительно этого вакуума. Фермионный сектор складывается из лептонного LL и кваркового лагранжианов LQ . Лептонный лагранжиан выбирается в виде LL = L† i˜µ Dµ Ll + e† iτµ Dµ er - he [e† (φ† Ll ) + (L† φ)er ], r r l l τ (4) νl - SU (2)-дублет, er - SU (2)-синглет, he - константа и er , el , el νl - двухкомпонентные лоренцевы спиноры. Здесь τµ - матрицы Паули, τ0 = = τ0 = 1, τk = -τk . Последнее слагаемое с множителем he описывает массу ˜ ˜ электрона. Ковариантные производные даются следующими формулами: где Ll = g + - Dµ Ll = ∂µ Ll - i √ Wµ T+ + Wµ T- Ll - 2 g -i Zµ T3 - Q sin2 θw Ll - ieAµ QLl , cos θw Dµ er = ∂µ er - ig QAµ er cos θw + ig QZµ er sin θw , где T± = T1 ± iT2 , Q = Y + T3 - генератор электромагнитной подгруп1 пы U (1)em , Y = 2 1 - гиперзаряд, e = gg (g 2 + g 2 )-1/2 - заряд электрона и sin θw = eg -1 . Новые калибровочные поля Zµ = 1 g2 +g 2 gA3 - g Bµ , µ Aµ = 1 ± Wµ = √ A1 µ 2 1 g2 iA2 µ +g2 g A3 + gBµ , µ (5) вводятся вместо полей (3). Выпишем кварковый лагранжиан LQ = Q† i˜µ Dµ Ql + u† iτµ Dµ ur + d† iτµ Dµ dr - r r l τ ˜ ˜ - hd [d† (φ† Ql ) + (Q† φ)dr ] - hu [u† (φ† Ql ) + (Q† φ)ur ]. (6) r r l l Здесь левые поля u- и d-кварков первого поколения образуют дублет Ql = ul = относительно электрослабой группы SU (2), а правые поля ur , dr - dl 427 Г р о м о в Н. А. ˜ ¯ SU (2)-синглеты, φi = ik φk , 00 = 1, ii = -1 - представление группы SU (2), сопряженное к фундаментальному, наконец, hu , hd - константы при массовых слагаемых. Все поля ul , dl , ur , dr - двухкомпонентные лоренцевы спиноры. Последние четыре слагаемых с множителями hd и hu описывают массы d- и u-кварков. Выпишем ковариантные производные 3 ∂µ - ig Dµ Ql = k=1 Dµ ur = ∂µ - ig 1 τk k Aµ - ig Bµ Ql , 2 6 2 Bµ ur , 3 Dµ dr = ∂µ + ig 1 Bµ dr . 3 С точки зрения электрослабых взаимодействий кварки, как и лептоны, разбиваются на три поколения. Следующие два поколения лептонов вводятся аналогично (4). Они представляют собой левые SU (2)-дублеты: νµ µ ντ τ , l Y =- , l 1 2 и правые SU (2)-синглеты: µr , τr , Y = -1. В дополнение к u- и d-кваркам первого поколения имеются пары (c, s) и (t, b) кварков следующих поколений, левые поля которых cl sl , tl bl , Y = 1 6 описываются SU (2)-дублетами, а правые поля представляют собой SU (2)синглеты: 2 1 cr , tr , Y = ; sr , br , Y = - . 3 3 Их лагранжианы вводятся аналогично (6). Полные лептонный и кварковый лагранжианы получаются суммированием по всем поколениям. В дальнейшем мы будем рассматривать только первые поколения лептонов и кварков. 3. Модифицированная электрослабая модель. Мы рассмотрим электрослабую модель, в которой контрактированная калибровочная группа SU(2;j)×U(1) действует в бозонном, лептонном и кварковом секторах. Контрактированная группа SU (2; j) и пространство ее фундаментального представления C2 (j) получаются [8, 9] согласованным преобразованием простой унитарной группы SU (2) и комплексного пространства C2 вида z (j) = jz1 z2 = α jβ ¯ ¯ -j β α det u(j) = |α|2 + j 2 |β|2 = 1, jz1 z2 u(j)u† (j) = 1 таким образом, что эрмитова форма z † z(j) = j 2 |z1 |2 + |z2 |2 428 = u(j)z(j), (7) Контракция калибровочной группы электрослабой модели . . . остается инвариантной при стремящемся к нулю контракционном параметре j → 0 или при нильпотентном значении последнего j = ι, ι2 = 0. Контрактированная группа SU (2; ι) изоморфна евклидовой группе E(2), а пространство C2 (ι) - расслоенное пространство с одномерной базой {z2 } и одномерным слоем {z1 }. Действие унитарной группы U (1) и электромагнитной подгруппы U (1)em в пространстве C2 (j) описывается теми же самыми матрицами, что и в C2 . Пространство C2 (j) можно получить из C2 заменой z1 → jz1 , которая, в свою очередь, индуцирует замену генераторов алгебры Ли вида T1 → jT1 , T2 → jT2 , T3 → T3 . Поскольку калибровочные поля принимают значения в алгебре Ли калибровочной группы, мы можем вместо преобразования генераторов произвести замену калибровочных полей: A1 → jA1 , A2 → jA2 , A3 → A3 , Bµ → Bµ . µ µ µ µ µ µ Действительно, вследствие коммутативности и ассоциативности умножения на j справедливо соотношение A1 (jT1 ) + A2 (jT2 ) + A3 T3 = (jA1 )T1 + (jA2 )T2 + A3 T3 . µ µ µ µ µ µ su(2; j) Для стандартных бозонных калибровочных полей (5) эта замена выглядит следующим образом: ± ± Wµ → jWµ , Zµ → Zµ , Aµ → Aµ . (8) ul νl , Ql = dl el являются SU (2)-дублетами, т.е. векторами пространства C2 , поэтому их компоненты преобразуются так же, как компоненты вектора z: Левые фермионные поля лептонов и кварков Ll = νl → jνl , el → el , ul → jul , dl → dl . (9) Правые поля лептонов и кварков являются SU (2)-синглетами, т.е. скалярами, и поэтому не преобразуются. В результате преобразований (8), (9) и спонтанного нарушения симметрии бозонный лагранжиан (1), (2) можно представить в виде [8] (2) LB (j) = LB (j) + Lint (j) = B 1 1 1 1 = (∂µ χ)2 - m2 χ2 - Zµν Zµν + m2 Zµ Zµ - 2 2 χ 4 2 Z 1 1 + - + - - Fµν Fµν + j 2 - Wµν Wµν + m2 Wµ Wµ + W 4 2 + Lint (j) = LB,b + j 2 LB,f , (10) B где, как обычно, слагаемые второго порядка описывают спектр частиц модели, а слагаемые более высокого порядка Lint (j) рассматриваются как их B 429 Г р о м о в Н. А. взаимодействия. Лагранжиан (10) включает заряженные W -бозоны с идентичными массами mW = 1 gv, безмассовый фотон Aµ , нейтральный Z-бозон 2 √ с массой mZ = v g 2 + g 2 и скалярный бозон Хиггса χ, mχ = 2λv. В преде2 ле j → 0 лагранжиан (10) распадается на две части: лагранжиан LB,b полей в базе расслоения LB,b = 1 1 1 2 1 1 2 (∂µ χ)2 - m2 χ2 - Zµν + m2 (Zµ )2 - Fµν + 2 2 χ 4 2 Z 4 gmz g2 λ + (Zµ )2 χ - λvχ3 + (Zµ )2 χ2 - χ4 2 cos θW 8 cos2 θW 4 и лагранжиан LB,f полей в слое 1 + - + - LB,f = - Wµν Wµν + m2 Wµ Wµ - W 2 + - - + - 2ig Wµ Wν - Wµ Wν (Fµν sin θW + Zµν cos θW ) - i + - + - - + + - - + - e Aµ Wµν Wν - Wµν Wν - Aν Wµν Wµ - Wµν Wµ + gWµ Wµ χ- 2 i + - - + + - - + - g cos θW Zµ Wµν Wν - Wµν Wν - Zν Wµν Wµ - Wµν Wµ + 2 g2 g2 + - + - - + 2 + Wµ Wν - Wµ Wν + Wµ Wν χ2 - 4 4 2 e + + - - + 2 - 2 - (Aν )2 - 2 Wµ Wν + Wµ Wν Aµ Aν + W µ + Wµ 4 g2 + 2 - 2 + 2 - 2 (Aµ )2 - cos θW Wµ + Wµ (Zν )2 - + Wν + Wν 4 + + - - - 2 Wµ Wν + Wµ Wν Zµ Zν + + Wν 2 - + Wν 2 (Zµ )2 - + - + - - eg cos θW Wµ Wµ Aν Zν + Wν Wν Aµ Zµ - - 1 + - + - Wµ Wν + Wν Wµ (Aµ Zν + Aν Zµ ) . 2 Лептонный лагранжиан (4) через поля электронов и нейтрино записывается в виде LL (j) = e† i˜µ ∂µ el + e† iτµ ∂µ er - me (e† el + e† er )+ r r l τ l g cos 2θw † † e τµ Zµ el - eel τµ Aµ el - g cos θw e† τµ Aµ er + g sin θw e† τµ Zµ er + ˜ + ˜ r r 2 cos θw l g g - ˜ + + j 2 νl† i˜µ ∂µ νl + τ νl† τµ Zµ νl + √ νl† τµ Wµ el + e† τµ Wµ νl = ˜ l˜ 2 cos θw 2 = LL,b + j 2 LL,f . (11) Кварковый лагранжиан (6) выражается через поля u- и d-кварков: e LQ (j) = d† i˜µ ∂µ dl + d† iτµ ∂µ dr - md (d† dl + d† dr ) - d† τµ Aµ dl - ˜ r r l τ l 3 l 430 Контракция калибровочной группы электрослабой модели . . . - g 1 2 1 - sin2 θw d† τµ Zµ dl - g cos θw d† τµ Aµ dr + r l˜ cos θw 2 3 3 1 + g sin θw d† τµ Zµ dr + j 2 u† i˜µ ∂µ ul + u† iτµ ∂µ ur - mu (u† ul + u† ur )+ r r r l τ l 3 1 2 2e g - sin2 θw u† τµ Zµ ul + u† τµ Aµ ul + ˜ + l˜ cos θw 2 3 3 l g 2 + - + √ u† τµ Wµ dl + d† τµ Wµ ul + g cos θw u† τµ Aµ ur - r l˜ l˜ 3 2 2 - g sin θw u† τµ Zµ ur = LQ,b + j 2 LQ,f . r 3 √ √ √ Константы me = he v/ 2, mu = hu v/ 2, md = hd v/ 2 задают массы электрона и кварков. Полный лагранжиан модифицированной модели дается суммой бозонного, лептонного и кваркового лагранжианов: L(j) = LB (j) + LQ (j) + LL (j) = = LB,b + LL,b + LQ,b + j 2 {LB,f + LL,f + LQ,f } = Lb + j 2 Lf , (12) где Lb - лагранжиан полей в базе, а Lf - лагранжиан полей в слое. Бозонный лагранжиан классических калибровочных полей LB (j) обсуждался в работах [8, 9], где было показано, что массы всех частиц электрослабой модели остаются неизменными при контракции j 2 → 0. В этом пределе вклад j 2 Lf полей нейтрино, W -бозона и u-кварка, а также их взаимодействий с другими полями в полный лагранжиан (12) оказывается исчезающе малым по сравнению с вкладом Lb полей электрона, d-кварка и остальных бозонов. Таким образом, лагранжиан (12) описывает очень слабое взаимодействие нейтрино с веществом. С другой стороны, вклад нейтринной части j 2 Lf в полный лагранжиан возрастает с ростом параметра j 2 , что отвечает экспериментально установленному росту сечения взаимодействия нейтрино с веществом с возрастанием энергии нейтрино. Все это позволяет феноменологически связать контракционный параметр с энергией нейтрино. 4. Взаимодействие нейтрино с веществом и физическая интерпретация параметра j. Для того чтобы установить связь контракции калибровочной группы с предельным случаем электрослабой модели и прояснить физический смысл контракционного параметра, необходим более тонкий анализ на уровне квантованных полей, а именно, мы рассмотрим упругое рассеяние на электронах и кварках. Соответствующие диаграммы, описывающие взаимодействия посредством нейтральных и заряженных токов, представлены на рис. 1 и 2. При подстановке (8), (9) обе вершины диаграммы на рис. 1, a умножаются на j 2 , как это следует из лептонного лагранжиана (11). Пропагатор виртуального поля W в соответствии с бозонным лагранжианом (10) умножается на j -2 . Действительно, пропагатор есть обратный оператор к оператору свободного поля, а последний для поля W умножается на j 2 . Таким образом, в целом амплитуда вероятности для взаимодействия заряженных слабых токов преобразуется по закону MW → j 2 MW . 431 Г р о м о в Н. А. Рис. 1. Упругое рассеяние нейтрино на электроне [Figure 1. Neutrino elastic scattering on electron] Для диаграммы на рис. 1, b только одна вершина умножается на j 2 , тогда как вторая вершина и пропагатор нейтрального поля Z не изменяются, поэтому соответствующая амплитуда для взаимодействия нейтральных слабых токов преобразуется точно так же: MZ → j 2 MZ . Сечение взаимодействия пропорционально квадрату амплитуды, следовательно, сечение упругого рассеяния нейтрино на электронах при контракции калибровочной группы умножается на j 4 . При малых энергиях s m2 оно W вносит основной вклад во взаимодействие нейтрино с электронами и имеет вид [10] g4 ˜ (13) σνe = G2 sf (ξ) = 4 f (ξ), F mW 1 где GF = 10-5 m2 = 1.17·10-5 GeV-2 - константа Ферми, s - квадрат энергии p ˜ в системе центра масс, ξ = sin θw , f (ξ) = f (ξ)/32 - функция угла Вайнберга. В лабораторной системе отсчета это сечение взаимодействия при энергии нейтрино me Eν mW дается выражением [11, Eq. (10.19)] σνe = G2 me Eν g (ξ). ˜ F Вместе с тем, принимая во внимание, что параметр контракции j безразмерный, можно написать σνe = j 4 σ0 = (GF s)(GF f (ξ)) (14) и получить выражение контракционного параметра через константу Ферми и фундаментальные параметры электрослабой модели √ g s 2 j (s) = GF s ≈ . (15) mW Упругое рассеяние нейтрино на кварках посредством нейтральных и заряженных токов изображено на диаграммах рис. 2. Сечение взаимодействия рассеяния нейтрино на кварках получается аналогично лептонному случаю и имеет вид [10] W Z ˆ σν = G2 sf (ξ), σν = G2 s h(ξ). F F 432 Контракция калибровочной группы электрослабой модели . . . Рис. 2. Упругое рассеяние нейтрино на кварке [Figure 2. Neutrino elastic scattering on quarks] Нуклоны представляют собой сложные образования из кварков, поэтому в выражении для сечения рассеяния нейтрино на нуклонах появляется формфактор. Окончательное выражение ˆ σνn = G2 sF (ξ) F совпадает с (13), т.е. это сечение рассеяния преобразуется как (14) с контракционным параметром (15). При низких энергиях упругое рассеяние вносит основной вклад в общее сечение взаимодействия нейтрино с веществом, поэтому последнее имеет такие же свойства (14), (15) относительно контракции калибровочной группы. Таким образом, оба экспериментальных факта: очень слабое взаимодействие нейтрино с веществом и линейная зависимость сечения взаимодействия нейтрино с веществом от энергии нейтрино находят объяснения в рамках электрослабой модели с контрактированной калибровочной группой. 5. Лагранжиан электрослабой модели при высоких энергиях. В предыдущем разделе было показано, что контракция j → 0 калибровочной группы (7) соответствует низкоэнергетическому пределу электрослабой модели. При этом первые компоненты лептонных и кварковых дублетов становятся бесконечно малыми по сравнению со вторыми компонентами. Наоборот, при увеличении энергии первые компоненты дублетов возрастают и превосходят вторые компоненты. В пределе бесконечно большой энергии вторые компоненты лептонных и кварковых дублетов становятся бесконечно малыми по сравнению с первыми компонентами. Чтобы описать этот предел, введем, согласно [12], новый контракционный параметр и новое согласованное действие группы SU (2) на пространстве C2 : z( )= z1 z2 = det u( ) = |α|2 + α ¯ - β 2 β α ¯ |β|2 = 1, z1 z2 = u( )z( ), u( )u† ( ) = 1. (16) Обе контрактированные группы SU (2; j) (7) и SU (2; ) (16) одинаковы и изоморфны группе Евклида E(2), но пространство C2 ( ) в пределе → 0 расслаивается на одномерную базу {z1 } и одномерный слой {z2 }. С математической точки зрения несущественно, на какую декартову координатную ось - первую или вторую - натягивается база расслоения, и в этом смысле обе конструкции (7) и (16) эквивалентны. Однако компоненты дублетов интерпретируются как определенные физические поля, поэтому фундаментальные представления (7) и (16) одной и той же контрактированной унитарной группы 433 Г р о м о в Н. А. приводят к разным - низкоэнергетическому и высокоэнергетическому - пределам электрослабой модели. Во второй контракционной схеме (16) поля всех калибровочных бозонов преобразуются по правилам (8) с очевидной заменой параметра j на . Поля лептонов и кварков вместо (9) теперь преобразуются по правилам el → el , dl → dl , νl → νl , ul → ul . (17) Еще одной причиной неэквивалентности первых и вторых компонент дублетов является механизм спонтанного нарушения симметрии, который используется в электрослабой модели для генерации масс векторных бозонов и других элементарных частиц. В этом механизме одно из основных состо0 яний лагранжиана φvac = выбирается в качестве вакуума модели и v затем рассматриваются малые возбуждения скалярного поля v + χ(x) и других полей относительно этого вакуума. Таким образом, поле бозона Хиггса χ и константа v умножаются на . Поскольку массы всех частиц пропорциональны v, мы получаем следующие преобразования при контракции (16): χ → χ, v → v, mp → mp , p = χ, W, Z, e, u, d. (18) В результате преобразований (8), (17), (18) бозонный лагранжиан электрослабой модели приобретает вид 1 2 1 2 LB ( ) = - Zµν - Fµν + 4 4 2 LB,2 + 3 + - gWµ Wµ χ + λ 1 + - LB,4 = m2 Wµ Wµ - m2 χ2 - λvχ3 - χ4 + χ W 2 4 g2 + - - + + Wµ Wν - Wµ Wν 4 LB,2 = + LB,4 , + g2 + - 2 W W χ , 4 µ ν 1 1 1 + - gmz (∂µ χ)2 + m2 (Zµ )2 - Wµν Wµν + (Zµ )2 χ+ Z 2 2 2 2 cos θw g2 + - - + (Zµ )2 χ2 - 2ig Wµ Wν - Wµ Wν Fµν sin θw + Zµν cos θw - 8 cos2 θw i i + - - + + - - + - e Aµ Wµν Wν - Wµν Wν + eAν Wµν Wµ - Wµν Wµ - 2 2 i + - - + + - - + - g cos θw Zµ Wµν Wν - Wµν Wν - Zν Wµν Wµ - Wµν Wµ - 2 e2 + 2 - 2 + + - - - Wµ + Wµ (Aν )2 - 2 Wµ Wν + Wµ Wν Aµ Aν + 4 g2 + 2 - 2 + 2 - 2 (Zν )2 - + Wν + Wν (Aµ )2 - cos θw Wµ + Wµ 4 + + - - -2 Wµ Wν + Wµ Wν Zµ Zν + 434 2 4 + Wν 2 - + Wν 2 (Zµ )2 - Контракция калибровочной группы электрослабой модели . . . + - + - - eg cos θw Wµ Wµ Aν Zν + Wν Wν Aµ Zµ - - 1 + - + - Wµ Wν + Wν Wµ (Aµ Zν + Aν Zµ ) . 2 Лептонный лагранжиан через поля электрона и нейтрино записывается в виде LL ( ) = LL,0 + 2 LL,2 = νl† i˜µ ∂µ νl + e† iτµ ∂µ er + g sin θw e† τµ Zµ er - τ r r -g cos θw e† τµ Aµ er + r g ˜ ν † τµ Zµ νl + 2 cos θw l 2 e† i˜µ ∂µ el - me (e† el + e† er )+ r l l τ g cos 2θw † g - ˜ e τµ Zµ el - ee† τµ Aµ el + √ νl† τµ Wµ el + e† τµ Wµ νl . ˜ + l˜ l˜ 2 cos θw l 2 Кварковый лагранжиан в терминах полей u- и d-кварков переписывается в виде LQ ( ) = LQ,0 - mu (u† ul + u† ur ) + 2 LQ,2 , r l + 1 LQ,0 = d† iτµ ∂µ dr + u† i˜µ ∂µ ul + u† iτµ ∂µ ur - g cos θw d† τµ Aµ dr + r r r l τ 3 g 1 2e 1 2 + g sin θw d† τµ Zµ dr + u† τµ Aµ ul + - sin2 θw u† τµ Zµ ul + r l˜ l˜ 3 3 cos θw 2 3 2 2 + g cos θw u† τµ Aµ ur - g sin θw u† τµ Zµ ur , r r 3 3 e ˜ LQ,2 = d† i˜µ ∂µ dl - md (d† dl + d† dr ) - d† τµ Aµ dl - r l l τ 3 l g 1 2 g + - - - sin2 θw d† τµ Zµ dl + √ u† τµ Wµ dl + d† τµ Wµ ul . l˜ l˜ l˜ cos θw 2 3 2 Полный лагранжиан электрослабой модели дается суммой L( ) = LB ( ) + LL ( ) + LQ ( ) и может быть разложен по степеням : L( ) = L∞ + L1 + 2 L2 + 3 L3 + 4 L4 . (19) В отличие от низкоэнергетического предела (12), электрослабая модель при → 0 демонстрирует пять режимов поведения, которые отличаются степенями контракционного параметра. В пределе бесконечной энергии (при = 0) лагранжиан (19) имеет вид 1 2 1 2 L∞ = - Zµν - Fµν + νl† i˜µ ∂µ νl + u† i˜µ ∂µ ul + τ l τ 4 4 + e† iτµ ∂µ er + d† iτµ ∂µ dr + u† iτµ ∂µ ur + Lint (Aµ , Zµ ), r r r ∞ 435 Г р о м о в Н. А. где 2e g νl† τµ Zµ νl + u† τµ Aµ ul + g sin θw e† τµ Zµ er + ˜ ˜ r 2 cos θw 3 l g 1 2 + - sin2 θw u† τµ Zµ ul - g cos θw e† τµ Aµ er - r l˜ cos θw 2 3 1 1 - g cos θw d† τµ Aµ dr + g sin θw d† τµ Zµ dr + r r 3 3 2 2 + g cos θw u† τµ Aµ ur - g sin θw u† τµ Zµ ur . r r 3 3 Lint (Aµ , Zµ ) = ∞ Предельная бесконечноэнергетическая модель включает только безмассовые частицы: нейтральный безмассовый бозон Zµ и фотон, безмассовый правый электрон er и нейтрино νl , а также безмассовые левые и правые кварки ul , ur , dr . Электрослабые взаимодействия становятся дальнодействующими, поскольку они переносятся теперь уже безмассовыми Z-бозонами и фотонами. Подобные высокие энергии могут существовать только в ранней Вселенной (см., например, рисунок на четвёртом слайде презентации [15]). Наиболее интересным вопросом является эволюция Вселенной, и предельный лагранжиан L∞ можно рассматривать как хорошую аппроксимацию в течение первой секунды после горячего Большого Взрыва и инфляции [13, 14], подобно тому как нерелятивистская механика является хорошим приближением релятивистской при малых скоростях. Из явного вида Lint (Aµ , Zµ ) следует, что ∞ взаимодействуют только частицы одного вида, например, нейтрино взаимодействуют только друг с другом посредством нейтральных токов. Частицы разных видов не взаимодействуют. В пределе высоких энергий происходит своеобразная стратификация электрослабой модели, такая, что в каждый слой попадают частицы только одного сорта. Хорошо известно, что для лучшего понимания сложной физической системы полезно исследовать ее свойства при предельных значениях тех или иных ее параметров. Из разложения (19) следует, что после рождения Вселенной электрослабая модель проходит ряд стадий в восстановлении из предельного состояния, которые различаются степенями контракционного параметра . Это предоставляет возможность для построения целого ряда промежуточных моделей различной степени сложности. Можно взять лагранжиан L∞ для первоначальной предельной модели, затем добавить L1 = -mu (u† ul + u† ur ) и r l получить вторую модель с лагранжианом L1 = L∞ + L1 . После этого можно добавить L2 и получить третью модель с лагранжианом L2 = L∞ + L1 + L2 . Последняя предельная модель имеет лагранжиан L3 = L∞ + L1 + L2 + L3 . Следует, однако, отметить, что среди этих предельных моделей только одна с лагранжианом L∞ является калибровочной моделью с калибровочной группой, которая изоморфна группе Евклида E(2). Еще до квантования, уже на уровне классических калибровочных полей можно сделать ряд выводов, в частности, заключить, что u-кварк первым приобретает массу в процессе эволюции Вселенной. В самом деле, массовое слагаемое u-кварка в лагранжиане (19) пропорционально первой степени контракционного параметра , в то время как массовые слагаемые Z-бозона, 436 Контракция калибровочной группы электрослабой модели . . . электрона и d-кварка умножаются на вторую степень 2 1 2 m (Zµ )2 + me (e† el + e† er ) + md (d† dl + d† dr ) . r r l l 2 Z Хиггс-бозон и заряженный W -бозон, массовые слагаемые которых умножаются на 4 , становятся массивными в последнюю очередь, после всех остальных частиц электрослабой модели. Заключение. Мы исследовали высоко- и низкоэнергетические пределы электрослабой модели исходя из первых принципов калибровочных теорий, а именно контракции калибровочной группы. Оба предела получаются одной и той же контракцией калибровочной группы, но разными согласованными с ней преобразованиями пространства представления. Показано, что в обоих случаях математический контракционный параметр интерпретируется как типичная энергия системы. Очень слабое взаимодействие нейтрино с веществом, особенно при низких энергиях, может быть объяснено в рамках контрактированной модели уже на уровне классических (не квантовых) калибровочных полей. Стремящийся к нулю параметр контракции связан с энергией нейтрино и обуславливает линейную зависимость сечения взаимодействия нейтрино с веществом от энергии нейтрино. Альтернативное предыдущему преобразование пространства полей соответствует пределу бесконечной энергии электрослабой модели, которая проходит на этом пути ряд стадий, различающихся степенями контракционного параметра. При бесконечной энергии все частицы, в том числе калибровочные бозоны, теряют массу и электрослабые взаимодействия становятся дальнодействующими. Однако бесконечная энергия существует только в момент Большого Взрыва, т.е. в момент рождения Вселенной, когда она сосредоточена в точке и не совсем ясно какой смысл имеет дальнодействие. Более интересной, однако, является эволюция Вселенной, и тогда предельный лагранжиан L∞ можно рассматривать как хорошую аппроксимацию вблизи Большого Взрыва, скажем, в течение первой секунды после рождения, аналогично тому как при малых скоростях нерелятивистская механика является приближением релятивистской. Другим следствием является упорядочение частиц по времени восстановления их массы, в частности вывод о том, что в процессе эволюции Вселенной u-кварк первым среди остальных частиц становится массивным.

About the authors

Nikolay A Gromov

Komi Scientific Center of Ural Branch of RAS

Email: gromov@dm.komisc.ru
(Dr. Phys. & Math. Sci.; gromov@dm.komisc.ru), Head of Division, Div. of Mathematics, Komi Scientific Center of Ural Branch of RAS 24, Kommunisticheskaya str., Syktyvkar, 167982, Russian Federation

References

Supplementary files