Lévy d'Alambertians and their application in the quantum theory

Full Text

Настоящая статья представляет собой расширенный вариант доклада [1], сделанного авторами на Четвёртой международной конференции «Математическая физика и её приложения» (Россия, Самара, 25 августа - 1 сентября 2014). Введение. В статье обсуждается связь между различными определениями даламбертиана Леви и выводится система бесконечномерных уравнений, содержащая даламбертиан типа Леви и эквивалентная уравнениям квантовой хромодинамики (уравнениям Янга-Миллса-Дирака). Для функционалов, определенных на L2 (0, 1), Полем Леви были сформулированы несколько определений лапласиана Леви (см. [2]). Одно из определений состоит в следующем. Если f - функция на L2 (0, 1) такая, что для всех x, u, v ∈ L2 (0, 1) выполняется соотношение 1 1 f (x)(u, v) = 1 KV (x)(t, s)u(t)v(s)dtdts + 0 0 KL (x)(t)u(t)v(t)dt, (1) 0 где KV (x) ∈ L2 ([0, 1] × [0, 1]) и KL (x) ∈ L∞ ([0, 1]), то значение лапласиана Леви на функции f определяется равенством 1 ∆L f (x) = KL (x)(t)dt. 0 Другое определение состоит в следующем. Пусть {en } - ортонормированный базис в L2 (0, 1). Тогда значение лапласиана Леви ∆L на f определяется равенством n 1 f (x)(ek , ek ) ∆L f (x) = lim n→∞ n k=1 (т.е. значение лапласиана Леви на функции f - это среднее Чезаро вторых производных этой функции по направлениям векторов из {en }). Если базис {en } - слабо равномерно плотный, эти два определения эквивалентны (см. [2, 3]). Второе определение лапласиана Леви естественно переносится на пространство функций, определенных на оснащенном гильбертовом пространстве. Свойства такого оператора и его обобщений, так называемых неклассических и экзотических лапласианов Леви, изучались в [4-16] (см. также цитируемую в этих работах литературу). Интерес к лапласиану Леви и его аналогам существенно возрос после того, как в [17, 18] Л. Аккарди, П. Джибилиско и И. В. Волович доказали, что связность в тривиальном векторном расслоении, базой которого является евклидово пространство, является решением уравнений Янга-Миллса тогда и только тогда, когда соответствующий связности параллельный перенос является Леви-гармоническим функционалом (см. также [19]). При этом использовался аналог первого определения лапласиана Леви, действующий на операторозначные функции, определенные на пространстве C 1 -гладких кривых в евклидовом пространстве. Такой лапласиан задается более сложной формой второй производной, чем (1). Подход работ [17, 18] к лапласиану Леви был использован также в [20], где теорема о связи с уравнениями Янга- Миллса доказывалась в случае нетривиального векторного расслоения, базой которого является компактное риманово многообразие, для параллельного переноса вдоль C 1 -гладких кривых и стохастического параллельного переноса. По аналогии с лапласианом Леви в [17, 18] был впервые введен даламбертиан Леви как интегральный функционал, определяемый специальным видом второй производной. Для даламбертиана Леви верна аналогичная теорема о связи с калибровочными полями на пространстве Минковского. В [5] и [14] были соответственно введены лапласиан и даламбертиан Леви на многообразиях, определенные с помощью среднего Чезаро вторых производных по направлению. Для таких операторов в [14] была доказана теорема о связи лапласиана Леви и даламбертиана Леви и калибровочных полей, при этом эквивалентность определений операторов с помощью чезаровских средних вторых производных по направлениям и определений с помощью интегрального представления не доказывалась. Для плоского случая эта эквивалентность доказывается ниже. Статья устроена следующим образом. В первом параграфе по аналогии с семейством неклассических лапласианов Леви вводится семейство неклассических даламбертианов Леви. Во втором параграфе доказывается эквивалентность определения классического даламбертиана Леви с помощью чезаровских средних вторых производных по направлениям и определения с помощью интегрального представления. В третьем параграфе приводятся общие сведения о связи классического даламбертиана Леви и калибровочных полей, а также доказывается, что если параллельный перенос зависит от конечного количества векторов ортонормированного базиса, то соответствующая связность является плоской. В четвертом параграфе исследуется связь между неклассическим даламбертианом Леви и уравнениями Янга-Милсса с источником, а также выводится система бесконечномерных уравнений, эквивалентная уравнениям квантовой хромодинамики и содержащая такой даламбертиан и производную в конечной точке. 1. Лапласианы и даламбертианы Леви. Везде ниже, если G1 , G2 - вещественные локально выпуклые пространства, для функции f : G1 → G2 , дифференцируемой по Гато в точке x, символом du f (x), где u ∈ G1 , обозначается d dε ε=0 f (x + εu) = f (x)u. Напомним общую схему определения однородных линейных дифференциальных операторов первого и второго порядка из статьи [21], которая включает в себя лапласианы Гросса-Вольтерры и Леви. Пусть E - вещественное локально выпуклое пространство и E ∗ - его сопряженное пространство, наделенное *-слабой топологией. Пусть S - линейный вещественный функционал, определенный на пространстве dom S ⊂ E ∗ . Областью определения dom DS дифференциального оператора первого порядка DS , порожденного линейным функционалом S, является пространство всех дифференцируемых по Гато действительных функций на пространстве E, для которых f (x) ∈ dom S для каждого x ∈ E. Оператор dom DS действует следующим образом: DS f (x) = S(f (x)) для x ∈ E, f ∈ dom DS . Примером дифференциального оператора первого порядка является производная в конечной точке, определение которой приводится в четвертом параграфе. Пусть L(E, E ∗ ) - пространство непрерывных линейных функционалов из E в E ∗ и пусть S - линейный вещественный функционал, определенный на пространстве dom S ⊂ L(E, E ∗ ). Областью определения dom DS дифференциального оператора второго порядка DS , порожденного линейным функционалом S, является пространство всех дважды дифференцируемых по Гато действительных функций на пространстве E, для которых f (x) ∈ dom S для каждого x ∈ E. Оператор dom DS действует следующим образом: DS f (x) = S(f (x)) для x ∈ E, f ∈ dom DS . Пусть E непрерывно вложено в действительное сепарабельное гильбертово пространство H так, что образ E при вложении плотен в H. Тогда E ⊂ H ⊂ E ∗ - оснащенное гильбертово пространство. Зафиксируем в H ортонормированный базис {en }, состоящий из векторов пространства E. Обобщенный лапласиан Леви (или экзотический лапласиан Леви) ∆l порядка L l 0 - это дифференциальный оператор второго порядка, порожденный функционалом trl (экзотическим следом Леви), который определяется слеL дующим образом: n 1 l trL (L) = lim l (Lek , ek ), (2) n→∞ n k=1 а область его определения состоит из всех L ∈ L(E, E ∗ ), для которых правая часть (2) существует (см. [7, 10]). Определение экзотического лапласиана Леви при l = 0 совпадает с определением лапласиана Гросса-Вольтерры, а при l = 1 совпадает с определением классического лапласиана Леви. Пусть R - линейный оператор, действующий из span{en : n ∈ N} в E. Неклассический лапласиан Леви ∆R , порожденный оператором R, - это дифференциальный L оператор второго порядка, порожденный линейным функционалом trR , коL торый определяется следующим образом: 1 n→∞ n n trR (L) = lim L (LRek , Rek ), (3) k=1 а область его определения состоит из всех L ∈ L(E, E ∗ ), для которых правая часть (3) существует (см. [6]). Все экзотические лапласианы Леви, кроме лапласиана Гросса-Вольтерры, представляются как неклассические лапласианы Леви (см. [16], а также ср. [7, 9]): для l > -1 выполняется равенство ∆L -l/2 = (l + 1)∆l+1 , L N где оператор N -l/2 на span{en : n ∈ N} определен следующим образом: N -l/2 en = n-l/2 en . По аналогии можно определить даламбертиан Леви. Пусть теперь E = = R1,3 ⊗ E1 и H = R1,3 ⊗ H1 , где E1 - вещественное локально выпуклое пространство, непрерывно вложенное в действительное сепарабельное гильбертово пространство H1 так, что образ E1 при вложении плотен в H1 . Пусть теперь {en } - ортонормированный базис в H1 , состоящий из векторов пространства E1 . Пусть {p0 , p1 , p2 , p3 } - базис в пространстве R1,3 = {x0 , x1 , x2 , x3 }. Метрика η в этом базисе имеет диагональный вид c диагональю {1, -1, -1, -1}. Неклассический даламбертиан Леви, порожденный линейным оператором R : span{en : n ∈ N} → E1 , - это дифференциальный оператор второго порядка, порожденный линейным функционалом S R , который определяется формулой n 1 S (L) = lim n→∞ n R L(p0 ⊗ Rek ), p0 ⊗ Rek - k=1 3 - L(pµ ⊗ Rek ), pµ ⊗ Rek , (4) µ=1 а область его определения состоит из всех L ∈ L(E, E ∗ ), для которых правая часть (4) существует. По-другому определение неклассического даламбертиана Леви можно сформулировать следующим образом. Определение 1. Неклассическим даламбертианом Леви, порожденным оператором R, называется отображение из Dom L в пространство функций R на E, определенное формулой R L f (x) 1 n→∞ n n 3 dp0 ⊗Rek dp0 ⊗Rek f (x) - = lim dpµ ⊗Rek dpµ ⊗Rek f (x) , (5) µ=1 k=1 где Dom L - пространство дважды дифференцируемых по Гато функций R на E, для которых правая часть (5) существует для всех x ∈ E. Если R - тождественный оператор, то порожденный R даламбертиан Леви - классический даламбертиан Леви. 2. Даламбертиан Леви, определенный с помощью интегрального представления. Греческие индексы пробегают {0, 1, 2, 3}, если не оговорено иное. Мы будем суммировать по повторяющимся индексам. Символ MN (C) обозначает пространство квадратных комплексных матриц порядка N . Напомним определение из [17]. Обозначим символом Ω пространство дважды дифференцируемых по Фреше функций из C 1 ([0, 1], R1,3 ) в MN (C), для второй производной которых в каждой точке σ ∈ C 1 ([0, 1], R1,3 ) выполняется соотношение 1 1 V Kµν (σ)(t, s)uµ (t)v ν (s)dtds+ f (σ)(u, v) = 0 0 1 1 L Kµν (σ)(t)uµ (t)v ν (t)dt + + 0 S Kµν (σ)(t)(uµ (t)v ν (t) + v µ (t)uν (t))dt, (6) ˙ ˙ 0 где u, v ∈ C 1 ([0, 1], R1,3 ) такие, что u(0) = v(0) = u(1) = v(1) = 0, V L S L Kµν ∈ L2 ([0, 1] × [0, 1], MN (C)), Kµν , Kµν ∈ L∞ ([0, 1], MN (C)), Kµν - симметричный тензор: L L Kµν = Kνµ , а Kµν - антисимметричный тензор: S S Kµν = -Kνµ . Определение 2. Даламбертиан Леви - это линейное отображение из Ω в пространство всех MN (C)-значных функций на C 1 ([0, 1], R1,3 ), определенное формулой 1 L1 f (σ) L η µν Kµν (σ)(t)dt. = 0 Напомним определение из [2]. Определение 3. Ортонормированный базис {hn } в L2 (0, 1) называется слабо равномерно плотным, если 1 lim h(t) n→∞ 0 1 n n h2 (t) - 1 dt = 0 k k=1 для любой функции h ∈ L∞ [0, 1]. Примером слабо равномерно плотного базиса в L2 (0, 1) является последо√ вательность hn (t) = 2 sin nπt. Следующая теорема связывает определения 1 и 2. Теорема 1. Пусть {hn } - слабо равномерно плотный базис в L2 (0, 1), состоящий из функций из C 1 ([0, 1], R) таких, что hn (0) = hn (1) = 0 для всех n ∈ N. Если f ∈ Ω, то 3 n 1 n→∞ n dp0 hk dp0 hk f (σ) - L1 f (σ) = lim k=1 dpµ hk dpµ hk f (σ) . µ=1 S Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, т.к. Kµν - антисимметричный тензор и hk (0) = hk (1) = 0, выполняется равенство 1 1 1 V Kµµ (σ)(t, s)hk (t)hk (s)dtds + f (σ)(pµ hk , pµ hk ) = 0 0 L Kµµ (σ)(t)h2 (t)dt. k 0 V Так как {hn } - ортонормированный базис в L2 (0, 1) и Kµµ (σ) ∈ L2 ([0, 1] × × [0, 1]), выполняется равенство 1 1 V Kµµ (σ)(t, s)hn (t)hn (s)dtds = 0. lim n→∞ 0 0 V Так как {hn } - слабо равномерно плотный базис и Kµµ (σ) ∈ L∞ ([0, 1]), выполняется равенство 1 lim n→∞ n 246 n 1 1 L Kµµ (σ)(t)h2 (t)dt = k k=1 0 L Kµµ (σ)(t)dt. 0 Отсюда следует утверждение теоремы. Замечание 1. Определение лапласиана Леви с помощью интегрального представления получается, если в определении 2 метрику Минковского заменить на евклидову. Утверждение, аналогичное утверждению теоремы 2, верно для лапласиана Леви. 3. Даламбертиан Леви и уравнения Янга-Миллса. Ниже связность в тривиальном векторном расслоении с базой R1,3 , слоем CN , структурной группой U (N ), ассоциированном с тривиальным главным расслоением U (N )×R1,3 , задана на R1,3 как u(N )-значная C ∞ -гладкая 1-форма Aµ (x)dxµ , определенная на R1,3 . Для функции ϕ ∈ C ∞ (R1,3 , u(N )) ковариантная производная вдоль поля (∂/∂µ ) определяется так: µϕ = ∂µ ϕ + [Aµ , ϕ]. Тензор кривизны определяется формулой Fµν = ∂µ Aν - ∂ν Aµ + [Aµ , Aν ]. 1 Для кривой σ ∈ W2 ([0, 1], R1,3 ) оператор Ut,s (σ), где 0 s t ется как решение системы дифференциальных уравнений1   d U (σ) = -A (σ(t))σ µ (t)U (σ)  ˙  µ t,s  dt t,s  d ˙µ   ds Ut,s (σ) = Ut,s (σ)Aµ (σ(s))σ (s)    Ut,s (σ)|t=s = IN . 1, определя- (7) Решение уравнения (7) выражается в виде ряда ∞ dτ1 . . . dτk (-Aµ (σ(τk ))σ µ (τk )) . . . (-Aµ (σ(τ1 ))σ µ (τ1 )) , ˙ ˙ Ut,s (σ) = IN + k=1 k ∆s,t где ∆k := (τ1 , . . . , τk ) ∈ Rk : s s,t τ1 ... τk t . Оператор U1,0 (σ) - параллельный перенос вдоль кривой σ. Пусть функция U : C 1 ([0, 1], R1,3 ) → MN (C) определена формулой U (σ) = U1,0 (σ), σ ∈ C 1 ([0, 1], R1,3 ). В [17] доказывается, что функция U (параллельный перенос вдоль C 1 -гладких V L S кривых) лежит в Ω, причем Kµν , Kµν , Kµν определяются так: V Kµν (σ)(t, s) = = 1 U1,t (σ)Fµλ (σ(t))σ λ (t)Ut,s (σ)Fνκ (σ(s))σ κ (s)Us,0 (σ), если t s ˙ ˙ κ (s)U (σ)F (σ(t))σ λ (t)U (σ), если t < s, U1,s (σ)Fνκ (σ(s))σ ˙ ˙ s,t t,0 µλ (8) Здесь и ниже символом Il обозначается единичная матрица из M at(l, C). 1 L Kµν (σ)(t) = U1,t (σ) - 2 ˙ µ Fνλ (σ(t))σ λ (t) - ˙ ν Fµλ (σ(t))σ λ (t) Ut,0 (σ), (9) 1 S Kµν (σ)(t) = U1,t (σ)Fµν (σ(t))Ut,0 (σ). 2 (10) Выполняется следующая теорема. Теорема 2. Следующие два утверждения равносильны: 1) связность A на R1,3 является решением уравнений Янга-Миллса: µ Fµν = 0; 2) функция U является решением уравнения Даламбера-Леви: L1 U (σ) = 0. (11) Д о к а з а т е л ь с т в о см. в [17]. В силу теоремы 1 в теореме 2 даламбертиан Леви, определенный с помощью интегрального представления, можно заменить на даламбертиан Леви в смысле среднего Чезаро вторых производных по направлению. Отсюда следует, что если параллельный перенос как функция на пространстве C 1 -гладких кривых зависит от конечного количества элементов базиса, то соответствующая связность является решением уравнений Янга-Миллса. Следующая теорема утверждает, что если параллельный перенос зависит от конечного количества элементов базиса, то соответствующая связность является плоской. Теорема 3. Пусть {hn } - ортонормированный базис в L2 ([0, 1], R) такой, что все элементы {hn } принадлежат C 1 ([0, 1], R), причем hn (0) = 0 для всех n ∈ N и hn (1) = 0 для всех n > N1 для некоторого натурального N1 . Если для каждого σ ∈ C 1 ([0, 1], R1,3 ) выполняется dpµ hn U (σ) = 0 для всех µ и n > Nσ для некоторого натурального Nσ , то F ≡ 0. Д о к а з а т е л ь с т в о. Известно (см. [17]), что 1 U1,t (σ)(-Fµν (σ(t))uµ (t)σ ν (t))Ut,0 (σ)dt+ ˙ du U (σ) = 0 + U1,0 (σ)Aµ (σ(1))uµ (1) - Aµ (σ(1))uµ (1)U1,0 (σ). (12) 1 Зафиксируем σ ∈ C 1 ([0, 1], R1,3 ). Пусть Nσ = max(Nσ , N1 ). Введем функцию Jµ : [0, 1] → MN (C), определенную формулой Jµ (t) = U1,t (σ)(-Fµν (σ(t))σ ν (t))Ut,0 (σ). ˙ 1 Тогда в силу (12) для n > Nσ выполняется 1 dpµ hn U (σ) = Jµ (t)hn (t)dt = 0. 0 1 Т.е. (Jµ (t))i ⊥ hn в L2 ([0, 1]) для всех n > Nσ и i, j ∈ {1, . . . , N }. Тогда j 1 Nσ Jµ (t) = Mn hn (t), n=1 где 1 Jµ (t)hn (t)dt. Mn = 0 Отсюда следует, что 1 Nσ ν -U1,0 (σ)Fµν (σ(0))σ (0) = Jµ (0) = ˙ Mn hn (0) = 0. n=1 Тогда Fµν (σ(0))σ ν (0) = 0 для всех σ ∈ C 1 ([0, 1], R1,3 ). Подбирая подходящие ˙ σ ∈ C 1 ([0, 1], R1,3 ), мы получаем F ≡ 0. 4. Даламбертиан Леви и уравнения квантовой хромодинамики. Пусть 1 1 W2,0 ([0, 1], R) = {σ ∈ W2 ([0, 1], R) : σ(0) = 0} - гильбертово пространство со скалярным произведением 1 (σ1 , σ2 )H = σ1 (t)σ2 (t)dt. ˙ ˙ 0 √ 2 Функции {fn }∞ , где f0 (t) = t и fn (t) = πn sin(πnt) для n ∈ N, образуют n=0 1 ([0, 1], R). Пусть ортонормированный базис W2,0 1 1 H = {σ ∈ W2 ([0, 1], R1,3 ) : σ(0) = 0} = R1,3 ⊗ W2,0 ([0, 1], R). Пусть функция Uw : H → MN (C) определена формулой Uw (σ) = U1,0 (σ), σ ∈ H. В дальнейшем мы будем рассматривать перенос вдоль кривых из H и пользоваться даламбертианом Леви, определенным с помощью базиса {fn }∞ , т.к. n=0 с помощью этого базиса можно определить производную в конечной точке. Следующее определение является частным случаем определения 1. Определение 4. Неклассический даламбертиан Леви L2 - это линейное отображение из пространства dom L2 в пространство всех MN (C)-значных функций на H, определенное следующим образом: 1 n→∞ n n 3 dπkp0 fk dπkp0 fk f (σ) - L2 f (σ) = lim k=1 dπkpµ fk dπkpµ fk f (σ) , (13) µ=1 где dom L2 - пространство дважды дифференцируемых по Гато MN (C)значных функций на H, для которых правая часть (13) существует для всех σ ∈ H. В доказательстве теоремы 4 и ниже символом σ r (r ∈ [0, 1]) обозначается кривая из H, определенная так: σ r (t) = σ(rt). Теорема 4. Пусть Jν (x)dxν - C ∞ -гладкая u(N )-значная 1-форма. Следующие два утверждения равносильны: 1) связность A является решением уравнений Янга-Миллса с источником: µ Fµν = Jν ; 2) для каждого σ ∈ H выполняется соотношение 1 L2 Uw (σ) U1,t (σ)Jν (σ(t))σ ν (t)Ut,0 (σ)dt. ˙ =- (14) 0 Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция Uw бесконечно дифференцируема по Фреше на H (см. [22]). Такими же рассуждениями, как и в [17], получаем, что для второй производной Uw выполняется соотношение (6) для всех σ, u, v ∈ H V L S таких, что u(1) = v(1) = 0, причем Kµν , Kµν , Kµν выражаются формулами (8), (9), (10) соответственно. Так как n 1 2 (πk)2 fk (t) = 1 lim n→∞ n k=1 равномерно на каждом отрезке [t1 , t2 ] ∈ (0, 1) и sup t∈[0, 1],n∈N n 1 n 2 (πk)2 fk (t) 2 k=1 (см. [2]), по теореме Лебега 1 n→∞ n n 1 L 2 Kµµ (σ)(t)(πk)2 fk (t)dt = lim k=1 0 1 n→∞ n n 1 U1,t (σ) - = lim ˙ µ Fµλ (σ(t))σ λ 2 (t)(πk)2 fk (t) Ut,0 (σ)dt = 0 k=1 1 U1,t (σ) - = ˙ µ Fµλ (σ(t))σ λ (t) Ut,0 (σ)dt 0 для каждого µ ∈ {0, 1, 2, 3}. Тогда 1 L2 Uw (σ) U1,t (σ) - = µ Fµλ (σ(t))σ λ (t) Ut,0 (σ)dt. ˙ 0 Отсюда очевидно следует, что если верно µ Fµν = Jν , то для параллельного переноса выполняется (14). Докажем обратное утверждение. Для каждой σ ∈ C 1 ([0, 1], R1,3 ) введем функцию Rσ на отрезке [0, 1] следующим образом: r U1,t (σ) - Rσ (r) = 0 250 µ Fµν (σ(t)) + Jν (σ(t)) σ ν (t)Ut,0 (σ)dt. ˙ Даламбертианы Леви и их применение в квантовой теории Так как σ rν (t) = rσ ν (rt), ˙ ˙ U(rt),(rs) (σ) = Ut,s (σ r ), выполняется 1 Rσ (r) = U1,r (σ) L2 Uw (σ r U1,t (σ r )Jν (σ r (t))σ rν (t)Ut,0 (σ r )dt ˙ )+ ≡ 0. 0 Тогда Rσ (r) = U1,r (σ) - µ Fµν (σ(r))σ ν (r) + Jν (σ(r))σ ν (r) Ur,0 (σ) ≡ 0. ˙ ˙ Так как U1,r (σ), Ur,0 (σ) ∈ U (N ), мы получаем µ Fµν (σ(r))σ ν (r) = Jν (σ(r))σ ν (r) ˙ ˙ для всех σ ∈ C 1 ([0, 1], R1,3 ) и для всех r ∈ [0, 1]. Тогда µ Fµν = Jν . Определение 5. Если функция f : H → V1 , где V1 - конечномерное векторное пространство, дифференцируема всюду по Гато, то производная f в конечной точке по направлению h ∈ R1,3 (endpoint derivation) определяется формулой ∞ Dh f (σ) = dhf0 f (σ) + √ 2(-1)n dhfn f (σ), n=1 если правая часть существует для всех σ ∈ H. Будем обозначать Dµ = Dpµ . Предложение 1. Пусть f : H → V1 , где V1 - конечномерное векторное пространство, дифференцируема всюду на H в смысле Гато, причем производная f представляется в виде 1 du f (σ) = u(t), νσ (dt) , (15) 0 где для каждого σ ∈ H νσ - это V1 × (R1,3 )∗ -значная борелевская мера. Тогда существует производная функции f в конечной точке по направлению h ∈ R1,3 , причем Dh f (σ) = h, νσ ({1}) , σ ∈ H. Д о к а з а т е л ь с т в о. Ряд Фурье ∞ (-1)n n=1 2 sin πnt πn сходится к t на [0, 1), причем частичные суммы этого ряда равномерно ограничены на [0, 1] (см. например [23, с. 555]). Тогда предложение следует из теоремы Лебега, т.к. ряд ∞ f0 (t) + √ (-1)n 2fn (t) n=1 сходится поточечно к 1{1} (t) (индикатору точки {1}), причем частичные суммы ряда равномерно ограничены на [0, 1]. Пусть {gα }4 - фиксированный базис в C4 . Если ϕ ∈ CN ⊗C4 , символами α=1 ϕα (α = 1, 2, 3, 4) будем обозначать такие векторы из CN , что 4 ϕα ⊗ gα . ϕ= α=1 Пусть γ µ - матрицы Дирака.2 Символ ϕγµ ϕ пусть обозначает оператор, действующий в CN и определенный формулой 4 ((IN ⊗ γ0 γµ )ϕ)α ⊗ ϕ∗ . α ϕγµ ϕ = α=1 Для того чтобы вывести систему уравнений, эквивалентную уравнениям Янга-Миллса-Дирака, напомним несколько известных фактов (см. [22]). Предложение 2. Если ϕ ∈ CN , то i ϕ γµ ϕ ∈ u(N ). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ξ1 , ξ2 ∈ CN , тогда 4 4 (IN ⊗ γ0 γµ ) (ϕγµ ϕξ1 , ξ2 )CN = α=1 ϕβ ⊗ gβ α β=1 4 β=1 = CN 4 α=1 (ξ1 , ϕα )CN , ξ2 ϕβ ⊗ (γ0 γµ gβ ) = α 4 = (ξ1 , ϕα )CN , ξ2 = CN 4 (ξ1 , ϕα )CN (γ0 γµ gβ , gα )C4 (ϕβ , ξ2 )CN . α=1 β=1 Аналогично доказывается, что 4 (ξ1 , ϕγµ ϕξ2 )CN = 4 (ξ1 , ϕα )CN (gβ , γ0 γµ gα )C4 (ϕβ , ξ2 )CN . α=1 β=1 Так как γ0 γµ - симметричный оператор на C4 для каждого µ ∈ {0, 1, 2, 3}, выполняется (ϕγµ ϕξ1 , ξ2 )CN = (ξ1 , ϕγµ ϕξ2 )CN . Тогда (iϕγµ ϕ)∗ = -i ϕγµ ϕ. Предложение 3. Если g ∈ U (N ) и ϕ ∈ CN , то (g ⊗ I4 )ϕγµ (g ⊗ I4 )ϕ = gϕγµ ϕg -1 . Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как операторы (g ⊗ I4 ) и (IN ⊗ γ0 γµ ) коммутируют, верна цепочка равенств 2 ∗ ∗ Мы считаем, что γ µ ∈ M at(4, C), причем γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2η µν I4 , γ0 = γ0 , γµ = -γµ при µ = 0. (g ⊗ I4 )ϕγµ (g ⊗ I4 )ϕ = (g ⊗ I4 )(IN ⊗ γ0 γµ )ϕ α ⊗ (g ⊗ I4 )ϕ ∗ α = α=1 4 g (IN ⊗ γ0 γµ )ϕ = α ⊗ (gϕα )∗ = α=1 4 (IN ⊗ γ0 γµ )ϕ =g α ⊗ (ϕα )∗ g -1 = gϕγµ ϕg -1 . α=1 Предпоследнее равенство выполняется, т.к. для β1 , β2 ∈ CN и g ∈ U (N ) верно равенство ∗ g(β1 ⊗ β2 )g -1 = (gβ1 ) ⊗ (gβ2 )∗ . Действительно, пусть ξ ∈ CN , тогда ∗ g(β1 ⊗ β2 )g -1 ξ = gβ1 (g -1 ξ, β2 )CN = gβ1 (ξ, gβ2 )CN = (gβ1 ) ⊗ (gβ2 )∗ ξ. Теорема 5. Пара (A, ψ), где ψ ∈ C ∞ (R1,3 , CN ⊗ C4 ), является решением системы уравнений квантовой хромодинамики (IN ⊗ γ µ )(∂µ + Aµ ⊗ I4 )ψ + imψ = 0, µ Fµν = -i(ψγν ψ) (16) тогда и только тогда, когда параллельный перенос Uw и функция Ψ : H → CN ⊗ C4 , определенная так : -1 Ψ(σ) = (Uw (σ) ⊗ I4 )ψ(σ(1)), являются решением системы    t L1 Uw (σ) σ ∈ H, (IN ⊗ γ µ )Dµ Ψ + imΨ = 0, 1 Ψ(σ r )γν Ψ(σ r )σ ν (r)dr. ˙ = iUw (σ) (17) 0 -1 Д о к а з а т е л ь с т в о. Для кривой σ ∈ H оператор Ut,s (σ), где 0 1 является решением системы дифференциальных уравнений  d -1 -1   U (σ) = Ut,s (σ)Aµ (σ(t))σ µ (t), ˙   dt t,s  d -1 -1 ˙µ  ds Ut,s (σ) = -Aµ (σ(s))σ (s)Ut,s (σ),     -1 Ut,s (σ) t=s = IN . s Это решение выражается как ряд ∞ -1 Ut,s (σ) = IN + k=1 ∆k s,t Aµ (στ1 )στ1 . . . Aµ (στk )στk dτ1 . . . dτk . ˙µ ˙µ 253 В о л к о в Б. О. -1 Тогда функция Uw дифференцируема всюду по Фреше. Аналогично (12) для любого u ∈ H выполняется 1 -1 du Uw (σ) = 0 -1 -1 -1 Ur,0 (σ)(Fνµ (σ(r))σ µ (r)uν (r))U1,r (σ)dr + U1,0 (σ)Aµ (σ(1))uµ (1). ˙ Тогда верна следующая цепочка равенств: -1 -1 du Ψ(σ) = du Uw (σ) ⊗ I4 ψ(σ(1)) + Uw (σ) ⊗ I4 ∂u(1) ψ(σ(1)) = 1 = 0 -1 -1 Ur,0 (σ)Fµν (σ(r))uµ (r)σ ν (r)Ur,1 (σ)dr ⊗ I4 ψ(σ(1))+ ˙ -1 -1 + Uw (σ)Aµ (σ(1)) ⊗ I4 uµ (1) + Uw (σ) ⊗ I4 ∂u(1) ψ(σ(1)). Отсюда следует, что производная по Гато функции Ψ имеет вид (15). Тогда в силу предложения 1 выполняется -1 Dµ Ψ(σ) = (Uw (σ) ⊗ I4 )(∂µ ψ(σ(1)) + (Aµ (σ(1)) ⊗ I4 )ψ(σ(1)). Из последнего равенства следует, что пара (A, ψ) удовлетворяет первому уравнению системы (16) тогда и только тогда, когда пара (Uw , Ψ) удовлетворяет первому уравнению системы (17). По теореме 4 пара (A, ψ) является решением второго уравнения системы (16) тогда и только тогда, когда для всех σ ∈ H выполняется 1 L1 Uw (σ) U1,r (σ)(iψ(σ(r))γν ψ(σ(r))σ ν (r))Ur,0 (σ)dr. ˙ = 0 -1 Из предложения 3 для g = Ur,0 (σ) следует, что 1 U1,0 (σ) 0 -1 ˙ Ur,0 (σ)ψ(σ(r))γν ψ(σ(r))σ ν (r)Ur,0 (σ)dr = 1 Ψ(σ r )γν Ψ(σ r )σ ν (r)dr. ˙ = U1,0 (σ) 0 Отсюда следует, что (A, ψ) удовлетворяют второму уравнению системы (16) тогда и только тогда, когда (Uw , Ψ) удовлетворяют второму уравнению системы (17). Верна аналогичная теорема для даламбертиана Леви и производной в конечной точке, определенных с помощью интегральных представлений. В статье [22] Л. Гросса доказывалась эквивалентность первых уравнений систем из теоремы 5, при этом производная в конечной точке была определена с помощью интегрального представления.

About the authors

Boris O Volkov

N. E. Bauman Moscow State Technical University

Email: borisvolkov1986@gmail.com
(Cand. Phys. & Math. Sci.; borisvolkov1986@gmail.com), Assistant Professor, Dept. of Mathematical simulation 5/1, 2-ya Baumanskaya st., Moscow, 105005, Russian Federation

References

Supplementary files