The complete solution of the Yang-Mills equations for centrally symmetric metric in the presence of electromagnetic field

Abstract


Previously, we found the complete solution of Yang-Mills equations for a centrally symmetric metric in 4-dimensional space of conformal torsion-free connection in the absence of the electromagnetic field. Later, in another article, we found a solution of the Yang-Mills equations for the same metric in the presence of an electromagnetic field of a special type, suggesting that its components depend not on the four, but only on two variables. There we compared the resulting solutions with the well-known Reissner-Nordstrom solution and indicated the reason why these solutions do not match. In this paper, we do not impose any prior restrictions on the components of the electromagnetic field. This greatly complicates the derivation of the Yang-Mills equations. However, all computational diffculties were overcome. It turned out that the solutions of these equations all the same depend only on two variables and new solutions, in addition to previously obtained, do not arise. Consequently, we have found all the solutions of the Yang-Mills equations for a centrally symmetric metric in the presence of an arbitrary electromagnetic field, agreed with the Yang-Mills equations in the torsionfree space (i.e., without sources). These solutions are expressed in terms of the Weierstrass elliptic function.

Full Text

Введение. В работе [1] авторы нашли все решения уравнений Янга-Миллса для метрики вида ψ = -e2ν dt2 + e2λ dr2 + e2µ (dθ2 + σ 2 (θ) dϕ2 ), (1) где λ, µ, ν - функции, зависящие только от r и t, а функция σ(θ) удовлетворяет уравнению d2 σ = -κσ, κ = const, (2) dθ2 при нулевом электромагнитном поле. Метрика (1) является небольшим обобщением центрально-симметрической метрики. При личном общении с одним из авторов настоящей работы (В. А. Лукьяновым) профессор Казанского федерального университета Ю. Г. Игнатьев порекомендовал найти решение уравнения Янга-Миллса для центральносимметрической метрики при наличии электромагнитного поля. Авторы благодарны профессору Ю. Г. Игнатьеву за это предложение. В итоге авторами была опубликована работа [2], в которой найдены решения уравнений Янга- Миллса для метрики вида (1) при наличии электромагнитного поля специального вида, компоненты которого в неголономном базисе зависят только от r и t. Но в работе [2] авторами была допущена существенная ошибка: промежуточные формулы (1.14) и (1.15) в той работе не должны содержать слагаемых с множителем κ. Эта ошибка не повлияла на правильность всех 1 окончательных уравнений и их решений, указанных в [1] при σ dσ = const, dθ 1 dσ но обесценила обсуждения случая σ dθ = const, хотя и в этом случае были получены верные окончательные уравнения. В настоящей работе авторы сняли всякие предварительные ограничения на компоненты электромагнитного поля. Это сильно усложнило вывод уравнений Янга-Миллса, но оказалось, что в окончательных уравнениях компоненты электромагнитного поля всё равно зависят только от r и t, а сами уравнения такие же, как в [2]. Поэтому оказались в силе все решения, указанные в [2], и новых решений не возникает. Таким образом, авторами найдены все решения уравнений Янга-Миллса на 4-многообразии конформной связности без кручения для центрально-симметрической метрики при наличии произвольного электромагнитного поля. Сделаем следующие замечания. Замечание 1. Электромагнитное поле, согласованное с уравнениями Янга-Миллса, не содержит источников. Это было доказано авторами в работе [3]. Но еще раньше это было показано в работе [4]. Разница только в том, что в работе [4] сначала были постулированы уравнения Эйнштейна путем наложения некоторых условий, равносильных уравнениям Эйнштейна, на компоненты твисторной связности, а потом выведены уравнения Янга-Миллса. В работе [3] никаких предварительных ограничений на компоненты конформной связности (кроме равенства нулю кручения) не накладывается, а уравнения Эйнштейна возникают в процессе вывода уравнений Янга-Миллса. В работе [4] группа уравнений Янга-Миллса, не сводящаяся к уравнениям Максвелла, записана с помощью тензора Баха [5]. В работе [3] соответствующая группа уравнений была названа уравнениями движения вещества, и в них слагаемые, относящиеся к тензору Баха, специально не выделялись. Если же не обращать в нуль кручение, то электромагнитное поле, согласованное 463 К р и в о н о с о в Л. Н., Л у к ь я н о в В. А. с уравнениями Янга-Миллса, уже может иметь источники. Но для этого случае авторы не умеют находить решение уравнения Янга-Миллса. Замечание 2. Уравнения Янга-Миллса, которые авторы вывели в работе [3] (они же выведены и в работе [4], только к ним надо добавить уравнения Эйнштейна), связывают гравитацию и электромагнетизм совсем не так, как это постулировано Райсснером и Нордстремом. У них тензор электромагнитного поля подставляется в правую часть уравнений Эйнштейна, а в работе [4] этот тензор приравнивается к тензору Баха. Поэтому решения уравнений Янга-Миллса из настоящей статьи ни в коем случае не могут привести к решению Райсснера-Нордстрема уравнений Эйнштейна (это решение можно найти в работе [6]). Замечание 3. Авторам настоящей работы известны только две работы, в которых уравнения Янга-Миллса решаются на 4-многообразии конформной связности другими авторами. Это работа [7], в которой найдены решения уравнений Янга-Миллса для метрики Феффермана, и работа [8], где приведено одно чисто временное решение, но оно является частным случаем решений авторов из работы [9]. Сами Янг и Миллс [10] свои уравнения ввели в 1954 году для компактной группы SU (2). С тех пор необозримое количество работ посвящено уравнениям Янга-Миллса и их решениям, но лишь для компактных групп. Авторы же рассматривают 4-многообразия конформной связности с сигнатурой угловой метрики (- + ++). Структурная конформная группа при такой сигнатуре некомпактна. К тому же при такой сигнатуре оператор Ходжа ∗ удовлетворяет равенству ∗2 = -id (а в случае компактных групп ∗2 = id), что не позволяет уравнениям Янга-Миллса иметь автодуальные и антиавтодуальные решения. Поэтому в случае, рассматриваемом авторами настоящей работы, задача решения уравнений Янга-Миллса гораздо труднее, чем для компактных структурных групп. Основная цель авторов - построить теорию, объединяющую все 4 фундаментальных взаимодействия. Пока эта задача далека от завершения из-за неумения авторами находить решения уравнения Янга-Миллса при ненулевом кручении. 1. Вывод уравнений Янга-Миллса. В работе [1] указано, что метрику (1) всегда можно привести к виду ψ = -e2ν dt2 + e2λ dr2 + dθ2 + σ 2 (θ)dϕ2 . (3) Отправляясь от метрики (3), введем пфаффовы формы ω 1 = eν dt, ω 2 = eλ dr, ω 3 = dθ, ω 4 = σ(θ)dϕ. Тогда метрика (3) запишется в стандартном виде: ψ = ηij ω i ω j , где -1  0 = 0 0  (ηij ) = η ij 0 1 0 0 0 0 1 0  0 0  0  1 есть тензор Минковского. Точкой над буквой будем обозначать частную производную по t, штрихом - частную производную по r, а производные по θ и 464 Полное электромагнитное решение уравнений Янга-Миллса. . . ϕ будем записывать символами σθ , (b12 )ϕ и т. д.: σθ 3 ω ∧ ω4. σ Пфаффовы формы Кристоффеля для квадратичной формы (3) имеют вид dω 1 = -e-λ ν ω 1 ∧ ω 2 , ˙ dω 2 = e-ν λω 1 ∧ ω 2 , dω 3 = 0, dω 4 = dσ 1 4 3 4 3 4 ω , ω1 = ω1 = ω2 = ω2 = 0. dθ σ Внешние 2-формы римановой кривизны квадратичной формы (3) имеют вид 2 ˙ ω1 = e-λ ν ω 1 + e-ν λω 2 , 2 R1 = Aω 1 ∧ ω 2 , 4 ω3 = 4 R3 = -κω 3 ∧ ω 4 , 3 4 3 4 R1 = R1 = R2 = R2 = 0, где для краткости введено обозначение def ¨ ˙˙ ˙ A = e-2λ λ ν - ν - ν 2 + e-2ν λ - λν + λ2 . (4) k Ненулевые компоненты тензора Риччи Rij = Rijk и скалярная кривизна R = ij R определяются следующими соотношениями = η ij R11 = A, R22 = -A, R33 = R44 = -κ, R = -2A - 2κ. Для компонент bjm пфаффовых форм ωi = bij ω j можно вычислить симметрическую часть b(jm) = bjm + bmj из уравнений Эйнштейна b(jm) = Rjm - - 1 Rηjm [3, с. 439]. Имеем 6 1 1 1 b11 = 1 A - 6 κ, b22 = - 3 A + 6 κ, 3 1 1 b33 = b44 = 6 A - 3 κ, b(jm) = 0 при j = m, (5) то есть недиагональные элементы кососимметричны. Уравнения Максвелла имеют вид dΦ0 = 0, 0 d ∗ Φ0 = 0 0 (6) [3, c. 440], где 1 1 Φ0 = b[ij] ω j ∧ ω i = (bij - bji ) ω j ∧ ω i = bij ω j ∧ ω i = 0 2 2 = -2 b12 ω 1 ∧ ω 2 + b13 ω 1 ∧ ω 3 + b14 ω 1 ∧ ω 4 + + b23 ω 2 ∧ ω 3 + b24 ω 2 ∧ ω 4 + b34 ω 3 ∧ ω 4 , а ∗ - оператор Ходжа: ∗ Φ0 = 2 -b12 ω 3 ∧ ω 4 + b13 ω 2 ∧ ω 4 - b14 ω 2 ∧ ω 3 + 0 + b23 ω 1 ∧ ω 4 - b24 ω 1 ∧ ω 3 + b34 ω 1 ∧ ω 2 . Уравнения (6) в компонентах принимают соответственно вид e-λ (b13 + b13 ν σθ ˙ b34 e-ν - b14 σ e-λ (b14 + b14 ν σθ b34 e-λ - b24 σ ˙ ˙ ) = e-ν (b23 + b23 λ) + (b12 )θ , + (b13 )ϕ σ - (b14 )θ = 0, ˙ ˙ ) = e-ν (b24 + b24 λ) + + (b23 )ϕ σ (b12 )ϕ σ , (7) - (b24 )θ = 0; 465 К р и в о н о с о в Л. Н., Л у к ь я н о в В. А. ˙ ˙ e-λ (b24 + b24 ν ) + (b34 )θ = e-ν (b14 + b14 λ), σθ (b24 )ϕ ˙ b12 e-ν + b23 + (b23 )θ + σ = 0, σ (b34 ) ˙ ˙ e-λ (b23 + b23 ν ) = e-ν (b13 + b13 λ) + σ ϕ , σθ (b14 ) b12 e-λ + b13 + (b13 )θ + σ ϕ = 0. σ j , из формул (5) получаем Так как ωi = bij ω (8) 1 1 A - κ ω 1 + b12 ω 2 + b13 ω 3 + b14 ω 4 , 3 6 1 1 1 = -b12 ω + - A + κ ω 2 + b23 ω 3 + b24 ω 4 , 3 6 1 1 = -b13 ω 1 - b23 ω 2 + A - κ ω 3 + b34 ω 4 , 6 3 1 1 1 2 3 A - κ ω4. = -b14 ω - b24 ω - b34 ω + 6 3 ω1 = ω2 ω3 ω4 Найдём внешние формы конформной кривизны i Φi = Rj + ω i ∧ ωj + η im ηjn ωm ∧ ω n j k и Φi = dωi - ωi ∧ ωk и сразу вычислим преобразования Ходжа [1, c. 352]. При возможности упростим выражения с помощью (7) и (8): ∗Φ4 3 ∗Φ4 2 ∗Φ3 2 ∗Φ4 1 ∗Φ3 1 ∗Φ2 1 1 = 3 (A + κ) ω 1 ∧ ω 2 + b13 ω 2 ∧ ω 3 + b14 ω 2 ∧ ω 4 + b23 ω 1 ∧ ω 3 + b24 ω 1 ∧ ω 4 , 1 = 6 (A + κ) ω 1 ∧ ω 3 + b12 ω 2 ∧ ω 3 - b14 ω 3 ∧ ω 4 + b23 ω 1 ∧ ω 2 - b34 ω 1 ∧ ω 4 , 1 = - 6 (A + κ) ω 1 ∧ ω 4 - b12 ω 2 ∧ ω 4 - b13 ω 3 ∧ ω 4 - b24 ω 1 ∧ ω 2 - b34 ω 1 ∧ ω 3 , 1 = - 6 (A + κ) ω 2 ∧ ω 3 - b12 ω 1 ∧ ω 3 - b24 ω 3 ∧ ω 4 + b13 ω 1 ∧ ω 2 + b34 ω 2 ∧ ω 4 , 1 = 6 (A + κ) ω 2 ∧ ω 4 + b12 ω 1 ∧ ω 4 - b23 ω 3 ∧ ω 4 - b14 ω 1 ∧ ω 2 + b34 ω 2 ∧ ω 3 , 1 = 3 (A + κ) ω 3 ∧ ω 4 - b13 ω 1 ∧ ω 4 - b23 ω 2 ∧ ω 4 + b14 ω 1 ∧ ω 3 + b24 ω 2 ∧ ω 3 ; 1 ˙ ˙ ∗ Φ1 = b12 e-ν - e-λ A ω 3 ∧ ω 4 + b23 e-λ ν - b13 e-ν ω 2 ∧ ω 4 + 3 ˙ ˙ + b14 e-ν - b24 e-λ ν ω 2 ∧ ω 3 + b24 e-ν - b14 e-λ ν ω 1 ∧ ω 3 + ˙ ˙ + b13 e-λ ν - b23 e-ν ω 1 ∧ ω 4 - b34 e-ν ω 1 ∧ ω 2 , 1 ˙ ˙ ∗ Φ2 = b12 e-λ - e-ν A ω 3 ∧ ω 4 + b23 e-ν λ - b13 e-λ ω 2 ∧ ω 4 + 3 ˙ ˙ + b14 e-λ - b24 e-ν λ ω 2 ∧ ω 3 + b24 e-λ - b14 e-ν λ ω 1 ∧ ω 3 + ˙ + b13 e-ν λ - b e-λ ω 1 ∧ ω 4 - b e-λ ω 1 ∧ ω 2 , 23 ∗ Φ3 = (b12 )θ ω 3 ∧ ω 4 - - 466 34 1 -ν ˙ e A + (b13 )θ ω 2 ∧ ω 4 + (b14 )θ ω 2 ∧ ω 3 - 6 1 -λ e A + (b23 )θ ω 1 ∧ ω 4 + (b24 )θ ω 1 ∧ ω 3 - (b34 )θ ω 1 ∧ ω 2 , 6 Полное электромагнитное решение уравнений Янга-Миллса. . . (b12 )ϕ ω3 ∧ ω4 + b14 σθ - (b13 )ϕ ω2 ∧ ω4+ σ σ 1 -ν ˙ (b14 )ϕ + b13 σθ 2 + e A+ ω ∧ ω 3 + b34 e-λ - (b24 )θ ω 1 ∧ ω 4 + 6 σ (b24 )ϕ + b23 σθ 1 (b34 )ϕ 1 1 -λ + e A + ω ∧ ω3 - ω ∧ ω2. 6 σ σ ∗ Φ4 = Найдём внешние 3-формы d ∗ Φi : ˙˙ ¨ d ∗ Φ1 = e-2ν b14 λν - λ + e-2λ b14 ν - λ ν + +e -λ-ν ˙ ˙ b24 ν - b24 λ + (b12 )ϕ e-λ ν σ ω1 ∧ ω2 ∧ ω3+ ¨ ˙˙ + e-2ν b13 (λ - λν) + e-2λ b13 (λ ν - ν )+ ˙ ˙ + e-λ-ν (b23 λ - b23 ν ) - (b12 )θ e-λ ν ω 1 ∧ ω 2 ∧ ω 4 + + 1 -λ-ν ˙ ˙ e (A λ - A ) + b12 e-2λ ν ω 1 ∧ ω 3 ∧ ω 4 + 3 ˙ 1 + e-λ-ν b12 λ + e-2λ A λ - A ω2 ∧ ω3 ∧ ω4, 3 ˙˙ ¨ d ∗ Φ2 = e-2ν b24 (λν - λ) + e-2λ b24 (ν - λ ν )+ ˙ ˙ + e-λ-ν (b14 ν - b14 λ) + ˙ (b12 )ϕ e-ν λ σ ω1 ∧ ω2 ∧ ω3+ ¨ ˙˙ + e-2ν b23 (λ - λν) + e-2λ b23 (λ ν - ν )+ ˙ ˙ ˙ + e-λ-ν (b13 λ - b13 ν ) - (b12 )θ e-ν λ ω 1 ∧ ω 2 ∧ ω 4 + 1 ˙ ˙˙ ¨ + e-λ-ν b12 ν + e-2ν (Aν - A) ω 1 ∧ ω 3 ∧ ω 4 + 3 1 -λ-ν ˙ ˙ ˙ ˙ + e (Aν - A ) + e-2ν b12 λ ω 2 ∧ ω 3 ∧ ω 4 , 3 d ∗ Φ3 = 1 -2λ e (A - A λ + A ν )+ 6 (b34 )ϕ σθ 1 1 ˙˙ ¨ ˙˙ + e-2ν (Aν - A - Aλ) - ω ∧ ω2 ∧ ω4+ 6 σ2 σθ σθ ˙ + A e-λ + b23 κ - (b23 )θ + b12 e-ν ω 1 ∧ ω 3 ∧ ω 4 + 6σ σ σθ ˙ -ν σθ + Ae + b13 κ - (b13 )θ + b12 e-λ ω 2 ∧ ω 3 ∧ ω 4 , 6σ σ 467 К р и в о н о с о в Л. Н., Л у к ь я н о в В. А. 1 -2λ 1 ¨ ˙˙ ˙˙ e (A λ - A - A ν ) + e-2ν (A - Aν + Aλ) ω 1 ∧ ω 2 ∧ ω 3 + 6 6 σθ σθ (b34 )θ ω 1 ∧ ω 2 ∧ ω 4 + b24 κ - (b24 )θ ω 1 ∧ ω 3 ∧ ω 4 + + σ σ σθ (b14 )θ ω 2 ∧ ω 3 ∧ ω 4 . + b14 κ - σ d ∗ Φ4 = При i = 1 получим первое уравнение Янга-Миллса [1, c. 352]: i d ∗ Φ1 + ωi ∧ ∗Φi - ∗Φi ∧ ω1 - ∗Φ0 ∧ ω1 = 0. 1 0 (9) С помощью полученных выше выражений запишем его в компонентах и получим четыре уравнения: b12 b24 + b13 b34 = 0, b12 b23 - b14 b34 = 0, ˙ ˙ ˙ e-λ-ν (Aν + A λ - A ) + 12b13 b23 + 12b14 b24 = 0, ˙˙ e-2λ (A λ - A ) + 1 κ 2 - A2 + e-2ν Aλ+ 2 2 2 2 2 +6 (b12 ) + (b13 ) + (b14 ) + (b23 ) + (b24 )2 + (b34 )2 = 0. (10) При i = 2 получаем еще три уравнения: b12 b14 + b23 b34 = 0, b12 b13 - b24 b34 = 0, 1 ˙˙ ¨ e-2ν (Aν - A) + 2 A2 - κ 2 + e-2λ A ν + +6 (b13 )2 + (b14 )2 + (b23 )2 + (b24 )2 - (b12 )2 - (b34 )2 = 0. (11) При i = 3 будем иметь только два новых уравнения: b23 b24 - b13 b14 = 0, ˙˙ ¨ ˙˙ e-2λ (A - A λ + A ν ) + e-2ν (Aν - A - Aλ) + A2 - κ 2 + 2 2 2 2 +12 (b13 ) - (b14 ) - (b23 ) + (b24 ) - (b12 )2 - (b34 )2 = 0. (12) При i = 4 добавится лишь уравнение e-2λ A - A λ + A ν ˙˙ ¨ ˙˙ + e-2ν (Aν - A - Aλ) + A2 - κ 2 + + 12 (b14 )2 + (b23 )2 - (b13 )2 - (b24 )2 - (b12 )2 - (b34 )2 = 0. (13) Уравнения (10)-(13) получаются в таком виде только после использования (для упрощения) формул (7), (8) и (4). Например, в уравнении (9) приравнивание к нулю коэффициента при ω 1 ∧ ω 2 ∧ ω 3 первоначально приводило к соотношению 1 (b12 )ϕ e-λ ν + σ ˙ ˙ + e-λ-ν (b24 ν + b24 ν λ) + b14 A - 4b12 b24 - 4b13 b34 = 0. ˙˙ ¨ ˙ e-2ν b14 (λν - λ - λ2 ) + e-2λ (ν - ν λ - b14 ν ) + Теперь, если вместо A подставить его выражение из (4), то будем иметь ˙ ˙ e-λ ν e-ν (b24 + b24 λ) - e-λ (b14 + b14 ν ) + 468 (b12 )ϕ σ - 4b12 b24 - 4b13 b34 = 0. Полное электромагнитное решение уравнений Янга-Миллса. . . Наконец, используя одно из уравнений (7), приходим к первому уравнению (10). Итак, все уравнения Янга-Миллса свелись к (7), (8) и (10)-(13), где величина A вычисляется по формуле (4). 2. Отыскание решений системы уравнений (7), (8) и (10)-(13). Выпишем короткие уравнения из (10)-(11): b12 b13 - b24 b34 = 0, b12 b14 + b23 b34 = 0, b12 b23 - b14 b34 = 0, b12 b24 + b13 b34 = 0. Эти равенства можно рассматривать как линейную однородную систему уравнений с неизвестными b13 , b14 , b23 , b24 . Определитель ее основной матрицы 2 равен (b12 )2 + (b34 )2 . В зависимости от того, равен он нулю или нет, возникают две возможности. Первый случай: (b12 )2 + (b34 )2 = 0. Это означает, что b13 = b14 = b23 = = b24 = 0. Уравнения (7) и (8) сводятся к тому, что b12 и b34 являются константами. Из (10)-(13) получим всего три независимых уравнения: ˙ ˙ ˙ Aν + A λ - A = 0, ˙˙ e-2λ (A λ - A ) + e-2ν Aλ + 1 K 2 - A2 = 0, 2 1 ˙˙ ¨ e-2ν Aν - A + e-2λ A ν + 2 A2 - K 2 = 0, где def K = κ 2 + 12 (b12 )2 + 12 (b34 )2 = const. Этот случай был разобран в [1], только вместо κ здесь константа K. Например, при ν = 0 имеем A (t, r) = 12℘ t + s (r) , K2 ,α , 12 ˙ eλ = As (r) , где α = const, s (r) - произвольная функция. Второй случай: b12 = b34 = 0. Система (10)-(13) примет вид ˙ ˙ ˙ e-λ-ν (Aν + A λ - A ) + 12b13 b23 + 12b14 b24 = 0, -2λ (A λ - A ) + 1 κ 2 - A2 + e-2ν Aλ+ ˙˙ e 2 2 2 +6 (b13 ) + (b14 ) + (b23 )2 + (b24 )2 = 0. ˙˙ ¨ e-2ν (Aν - A) + (14) A2 - κ 2 + e-2λ A ν + +6 (b13 )2 + (b14 )2 + (b23 )2 + (b24 )2 = 0. (15) b23 b24 - b13 b14 = 0, ˙˙ ¨ ˙˙ e-2λ (A - A λ + A ν ) + e-2ν (Aν - A - Aλ) + A2 - κ 2 + 2 2 +12 (b13 ) - (b14 ) - (b23 )2 + (b24 )2 = 0. (16) 1 2 ˙˙ ¨ ˙˙ e-2λ (A - A λ + A ν ) + e-2ν (Aν - A - Aλ) + A2 - κ 2 + 2 2 +12 (b14 ) + (b23 ) - (b13 )2 - (b24 )2 = 0. Последние два уравнения равносильны уравнениям e-2λ A - A λ + A ν ˙˙ ¨ ˙˙ + e-2ν (Aν - A - Aλ) + A2 - κ 2 = 0, (17) 469 К р и в о н о с о в Л. Н., Л у к ь я н о в В. А. (b14 )2 + (b23 )2 - (b13 )2 - (b24 )2 = 0. (18) Разность последнего уравнения (14) и уравнения (15) дает (17). Первое уравнение (16) совместно с уравнением (18) имеет только следующее решение: b23 = εb13 , b24 = εb14 , ε = ±1. В итоге вся система уравнений Янга-Миллса для 2-го случая сводится к системе . . (b13 eν ) = ε b13 eλ , (b14 eν ) = ε b14 eλ , (19) (b13 )ϕ = (σb14 )θ , (b14 )ϕ + (σb13 )θ = 0; ˙ ˙ ˙ e-λ-ν (Aν + A λ - A ) + εL = 0, -2ν (Aν - A) + 1 A2 - κ 2 + e-2λ A ν + L = 0, ˙˙ ¨ e 2 ˙˙ e-2λ (A λ - A ) + 1 κ 2 - A2 + e-2ν Aλ + L = 0, 2 (20) def где L = 12 (b13 )2 + (b14 )2 . ˙ ˙ ˙ В первом уравнении (20) величина e-λ-ν (Aν + A λ - A ) зависит только 2 2 от t и r, следовательно, L = 12 (b13 ) + (b14 ) также зависит только t и r. Отсюда, дифференцируя по θ и ϕ, получаем b13 (b13 )θ + b14 (b14 )θ = 0, b13 (b13 )ϕ + b14 (b14 )ϕ = 0. Подставляем сюда вместо (b13 )ϕ и (b14 )ϕ выражения из последних уравнений (19) и приходим к системе b13 (b14 )θ - b14 (b13 )θ = 0, b14 (b14 )θ + b13 (b13 )θ = 0 линейных однородных уравнений с неизвестными (b14 )θ и (b13 )θ и определителем основной матрицы (b13 )2 + (b14 )2 . Если он равен нулю, то это означает отсутствие электромагнитного поля, и мы приходим к ситуации, разобранной в [1]. Если он не равен нулю, то (b14 )θ = (b13 )θ = 0 (21) и последние два уравнения (19) запишутся в виде (b13 )ϕ = b14 σθ , (b14 )ϕ + b13 σθ = 0. (22) Так как b14 и b13 не зависят от θ, величина σθ также не должна зависеть от θ, то есть σθ = C = const, σθθ = 0. Из (2) получаем κ = 0. В этом случае заменой переменных x= σ cos Cϕ, C y= σ sin Cϕ C форма dθ2 + σ 2 (θ) dϕ2 сводится к dx2 + dy 2 , то есть σ = 1. Тогда из (22) следует, что (b13 )ϕ = (b14 )ϕ = 0. Учитывая (21), приходим к случаю, когда bij зависят только от t и r, то есть к ситуации, разобранной в [2]. Система (19), (20) станет такой же, как в [2, формулы 2.14]. 470 Полное электромагнитное решение уравнений Янга-Миллса. . . Выводы. Уравнения Янга-Миллса, полученные нами в первом случае, когда (b12 )2 +(b34 )2 = 0, полностью совпадают с теми, что были найдены в [2], так как b12 и b34 оказываются зависящими только от t и r. Их общее решение выражается через эллиптическую функцию Вейерштрасса. Второй случай, когда b12 = b34 = 0, возможен лишь при κ = 0 (в этом случае метрика (1) центрально-симметрической не называется). Здесь снова получается такая же система уравнений, как и в [2]. Хотя она и является вполне интегрируемой, найти ее общее решение в элементарных функциях авторам не удалось.

About the authors

Leonid N Krivonosov

Nizhny Novgorod State Technical University

Email: Leonid N.Krivonosov (Cand.Phys.& Math.Sci.; l.n.krivonosov@gmail.com
24, Minina st., Nizhnii Novgorod, 603600, Russian Federation
(Cand. Phys. & Math. Sci.; l.n.krivonosov@gmail.com; Corresponding Author), Associate Professor, Dept. of Applied Mathematics

Vyacheslav A Luk'yanov

Zavolzhskij Branch of Nizhny Novgorod State Technical University

Email: oxyzt@ya.ru
1a, Pavlovskogo st., Zavolzh’e, Nizhegorodskaya obl., 606520, Russian Federation
Senior Lecturer, Dept. of Computer Science and General Disciplines

References

  1. Кривоносов Л. Н., Лукьянов В. А. Полное решение уравнений Янга-Миллса для центрально-симметрической метрики // Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ., 2011. Т. 4, № 3. С. 350-362.
  2. Кривоносов Л. Н., Лукьянов В. А. Решение уравнений Янга-Миллса для центрально-симметрической метрики при наличии электромагнитного поля // Пространство, время и фундаментальные взаимодействия, 2013. № 3. С. 54-63.
  3. Кривоносов Л. Н., Лукьянов В. А. Связь уравнений Янга-Миллса с уравнениями Эйнштейна и Максвелла // Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ., 2009. Т. 2, № 4. С. 432-448.
  4. Меркулов С. А. Твисторная связность и конформная гравитация // ТМФ, 1984. Т. 60, № 2. С. 311-316.
  5. Bach R. Zur Weylschen Relativitätstheorie und der Weylschen Erweiterung des Krümmungstensorbegriffs // Math. Z., 1921. vol. 9, no. 1. pp. 110-135. doi: 10.1007/bf01378338.
  6. Владимиров Ю. С. Геометрофизика. М.: Бином, 2010. 536 с.
  7. Korzyński M., Lewandowski J. The normal conformal Cartan connection and the Bach tensor // Class. Quantum Grav., 2003. vol. 20, no. 16. pp. 3745-3764, arXiv: gr-qc/0301096. doi: 10.1088/0264-9381/20/16/314.
  8. Трунев А. П. Моделирование метрики адронов на основе уравнений Янга-Миллса // Научный журнал КубГАУ, 2012. № 84(10). С. 1-14, http://ej.kubagro.ru/2012/10/pdf/68.pdf.
  9. Merkulov S. A. A conformally invariant theory of gravitation and electromagnetism // Class. Quantum Grav., 1984. vol. 1, no. 4. pp. 349-354. doi: 10.1088/0264-9381/1/4/007.
  10. Krivonosov L. N., Lukyanov V. A. Purely time-dependent solutions to the Yang-Mills equations on a 4-dimensional manifold with conformal torsion-free connection // J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys., 2013. vol. 6, no. 1. pp. 40-52.
  11. Yang C. N., Mills R. L. Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance // Phys. Rev., 1954. vol. 96, no. 1. pp. 191-195. doi: 10.1103/physrev.96.191.

Statistics

Views

Abstract - 17

PDF (Russian) - 15

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2015 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies