Description of radiative decays of $V \to P \gamma^{*}$ in different forms of Poincaré-invariant quantum mechanics

Abstract


The description of the radiative decays of $V \to P \gamma^*$ in different forms Poincaré invariant quantum mechanics (PIQM) is considered. To construct the matrix element of the electromagnetic current we use the non-diagonal parametrization procedure. The obtained matrix element of the current satisfies the conditions of the Lorentz covariance and conservation. To illustrate this approach in a modified relativistic impulse approximation the description of the radiative transition $\rho \to \pi \gamma^{*}$ is performed. An analytic expression for the transition form factor $F_{\pi \rho}(Q^2)$, matching all forms PIQM, is obtained. Numerical calculations of the transition form factor are made with different model wave functions.

Full Text

Настоящая статья представляет собой расширенный вариант доклада [1], сделанного авторами на Четвёртой международной конференции «Математическая физика и её приложения» (Россия, Самара, 25 августа - 1 сентября 2014). В последние несколько лет был проведен ряд экспериментов по изучению радиационных распадов векторных мезонов. Так коллаборациями NA 60 [2-4] и KLOE-2 [5], были измерены переходные формфакторы в реакциях ω → πγ ∗ , φ → ηγ и определены соответствующие константы распадов. В радиационном переходе ρ → πγ ∗ изучались вклады пиона в сечение распадов векторных мезонов и получены соответствующие ширины радиационного распада [6]. Указанные процессы дают важную информацию о непертурбативной кварковой динамике на средних и больших расстояниях. Одним из основных теоретических методов описания перечисленных выше процессов является Пуанкаре-инвариантная квантовая механика (ПИКМ), которая может быть сформулирована в различных формах - мгновенная форма, точечная форма и динамика на световом фронте (см, например, [7]). Одним из важных вопросов, возникающих при описании составных систем, остается выбор формы ПИКМ. В работах [8-12] при вычислении электромагнитных формфакторов скалярных и векторных мезонов для основных форм ПИКМ получаются разные результаты. Причина расхождения результатов, по-видимому, связана с различием приближений, используемых при построении матричного элемента тока и, в частности, с учетом условий лоренцковариантности и сохранения [7]. Таким образом, формулировка новых способов построения операторов электромагнитных переходов является в настоящее время актуальной задачей. Отметим, что мгновенная форма ПИКМ была с успехом применена авторами для описания электромагнитной структуры таких систем с сильным взаимодействием, как пион, ρ-мезон, дейтрон, включая области больших переданных импульсов [7, 13]. В этих работах построение тока осуществлялось для случаев диагональных по полному угловому моменту матричных элементов. В настоящей работе для описания процессов радиационных распадов векторных мезонов V → P γ ∗ проводится обобщение методики построения тока на недиагональные по полному угловому моменту матричные элементы и на другие формы ПИКМ. Ядром развитого подхода является процедура построения матричных элементов локальных операторов (см., например, [7]). Эта процедура позволяет выделить из матричного элемента оператора любой тензорной размерности приведенные матричные элементы (формфакторы), которые являются инвариантами при преобразованиях из группы Пуанкаре. В рамках рассматриваемого подхода с использованием модифицированного импульсного приближения была показана эквивалентность основных форм ПИКМ на примере расчета электромагнитного формфактора пиона [14]. В представленной работе показана эквивалентность основных форм ПИКМ при расчете переходного формфактора радиационного перехода ρ → πγ ∗ . Используемый при этом математический аппарат параметризации матричных элементов локальных операторов [15] применен для описания недиагональных по полному угловому моменту матричных элементов тока. В работе произведен также расчет переходного формфактора процесса ρ → πγ ∗ с двумя типами модельных волновых функций. 1. Построение матричного элемента электромагнитного тока перехода для систем невзаимодействующих частиц с квантовыми числами ρ- и π-мезонов. Рассмотрим параметризацию матричного элемента тока между состояниями с квантовыми числами ρ- и π-мезонов, т.е. недиагонального по полному угловому моменту: √ √ 0 W i , s|jµ (0)|W i , s , 1, 0, 1, m . (1) √ i i Здесь W i = w1 + w2 ; s - инвариантная масса системы двух свободных частиц; wi - трехмерный вектор, различный для разных форм ПИКМ. В мгновенной форме w1 = p - импульс, в точечной w2 = v - 4-скорость и в динамике ˜ на световом фронте - w3 = p, где √ ˜ p = (p⊥ , p+ ), p⊥ = (p1 , p2 ), p+ = (p0 + p3 )/ 2 . 260 Описание радиационных распадов V → P γ ∗ . . . Для инвариантной параметризации матричного элемента (1) выполним преобразование Лоренца из исходной (лабораторной) системы координат в систему Брейта (БС): w(j 0 w) ˜ 0 0 0 ˜ - w j0 , j 0 0 = j0 w0 - (j 0 w) = jµ wµ , j0 = j0 + 1 + w0 √ где wµ = Kµ / K 2 - 4-скорость, соответствующая указанному преобразова˜ нию Лоренца; j 0 µ - 4-вектор оператора электромагнитного тока в БС. Связь между матричными элементами токов в лабораторной системе (1) и системе Брейта имеет следующий вид: W i, √ √ 0 s|jµ (0)|W i , s , 1, 0, 1, m = 0 ∗1 D0,m (W i , w)Dm ,m (W i , w)× ˜ ˜ m,m ˜ ˜ ˜ √ j0 ˜ √ × W i , s|˜µ (0)|W i , s , 1, 0, 1, m , (2) ˜ ˜ W i0 = ˜ ˜ W i = (W i 0 , q), ˜ s + (q)2 , W i 0 = ˜ ˜ W i = (W i 0 , -q), √ s + (q)2 Kµ = ( K 2 , 0, 0, 0), (3) где q - трехмерный вектор с модулем q= 2 2 2 2 λ(M1 , M2 , Q2 )/[8(M1 + M2 ) + 4Q2 ], Q2 - квадрат переданного импульса. Раскладывая нулевую компоненту матричного элемента оператора тока в БС (2) по сферическим углам вектора q и применяя теорему Вигнера- Эккарта [16], получим W i, √ s|j0 (0)|W i , √ s , 1, 0, 1, m = 0 1 D0m (W i , w)Dm m (W i , w)× ˜ ˜ = m ,m,l ,k ˜ ˜ × 1m l k |0m · Yl k (q) · G0,l (s, Q2 , s ), (4) ˜ ˜ 01 где G0,l (s, Q2 , s ) представляет собой набор скаляров или свободных электро01 магнитных формфакторов. Перейдем теперь к рассмотрению трехмерной части матричного элемента оператора тока √ √ W i , s|j 0 t (0)|W i , s , 1, 0, 1, m , t = 1, 2, 3. (5) Трехмерную часть оператора мы можем описать в терминах тензорного оператора первого ранга. Для этого достаточно перейти к каноническому базису, т.е. от декартовых компонент тока к базису сферических гармоник [17]. 261 К р у т о в А. Ф., П о л е ж а е в Р. Г. Раскладывая матричный элемент (5) по сферическим углам вектора q в БС и применяя теорему Вигнера-Эккарта, получим √ √ 1 W i , s|j 0 M (0)|W i , s , 1, 0, 1, m = 0 1 D0m (W i , w)Dm m (W i , w)× ˜ ˜ = m ,m,M,k,l,j,n ˜ ˜ × 1m jn|0m · 1M lk|jn · Ylk (q) · G1,l,j (s, Q2 , s ). (6) ˜ ˜ 01 С другой стороны, матричный элемент тока (1) можно записать в базисе индивидуальных переменных частиц системы: W i, √ √ 0 s|jµ (0)|W i , s , 1, 0, 1, m = = × W i, √ i d3 w1 i 2w10 i d3 w2 i 2w20 i d3 w1 i 2w10 i d 3 w2 × i 2w20 0 i i i i i i s|w1 , m1 ; w2 , m2 · w1 , m1 ; w2 , m2 |jµ (0)|w1 , m1 ; w2 , m2 × √ i i × w1 , m1 ; w2 , m2 |W i , s , 1, 0, 1, m , (7) где 0 i i i i w1 , m1 ; w2 , m2 |jµ (0)|w1 , m1 ; w2 , m2 = 0 i i i i = w1 , m1 |j1µ (0)|w1 , m1 · δ(w2 - w2 )δm2 m2 + 0 i i i i + w2 , m2 |j2µ (0)|w2 , m2 δ(w1 - w1 )δm1 m1 . Приравнивая покомпонентно выражение (7) с (4) и (6), используя разложение по каноническому базису и выполняя интегрирование в (БС) в системе отсчета q = (0, 0, q), получим аналитические выражения для свободных двухчастичных формфакторов. В силу громоздкости данных выражений выпишем только один формфактор, который в дальнейшем будет использоваться: √ 2 · Θ(s, Q2 , s )(s + s + Q2 )2 111 2 G01 (s, Q , s ) = √ × √ 2 s - 4M 2 s - 4M 2 4M 2 + Q2 [λ(s, -Q2 , s )]1/2 s (s - s + 3Q2 ) ¯ × cos[(ω1 + ω2 )/2] Gu (Q2 ) + Gd (Q2 ) + M M 2 , s )]1/2 [λ(s, -Q s - s - Q2 ξ(s, s , Q2 ) u ¯ √ + sin[(ω1 + ω2 )/2] GM (Q2 ) + Gd (Q2 ) - M s + s + Q2 s 4M ¯ 2 - sin[(ω1 + ω2 )/2] ξ(s, s , Q ) Gu (Q2 ) + Gd (Q2 ) , (8) E s + s + Q2 E где Θ(s, Q2 , s ) = ϑ(s - s1 ) - ϑ(s - s2 ), ξ(s, s , Q2 ) = 262 ss Q2 - M 2 λ(s, -Q2 , s ), Описание радиационных распадов V → P γ ∗ . . . 1 1 Q2 (Q2 + 4M 2 )s(s - 4M 2 ), (2M 2 + Q2 )(s - 2M 2 ) 2 2M 2M 2 ξ(s, s , Q2 ) √ √ √ , ω1 = arctan √ √ M [( s + s )2 + Q2 ] + ss ( s + s ) √ √ ξ(s, s , Q2 )(2M + s + s ) √ √ ω2 = arctan , √ M (s + s + Q2 )(2M + s + s ) + ss (4M 2 + Q2 ) s1,2 = 2M 2 + ϑ - ступенчатая функция. Отметим, что аналитическое выражение (8) полностью совпадает с перечисленными выше основными формами ПИКМ. 2. Построение матричного элемента тока составной системы. Матричный элемент электромагнитного тока перехода ρ → πγ ∗ для основных форм ПИКМ можно записать следующим образом [18]: i i iσ iδ Wπ |jµc (0)|Wρ , 1, mρ = ni Fπρ (Q2 )εµνσδ η ν (mρ )Wπ Wρ , c (9) i i где Wπ и Wρ - 4-векторы π- и ρ-мезонов для основных форм ПИКМ; η ν (mρ ) - 4-вектор поляризации; εµνσδ - антисимметричный тензор четвертого ранга; Fπρ (Q2 ) - формфактор, соответствующий данному переходу; ni - нормироc вочный множитель разный для разных форм ПИКМ (n1 = 1, n2 = 1/Mπ Mρ , c c n3 = 1); Mπ и Mρ - массы π- и ρ-мезонов. c Для дальнейшей работы с матричным элементом (9) перейдем в брейтовскую систему отсчета (3). В выбранной системе отсчета вектор поляризации имеет следующий вид: 1 η ν (mρ ) = - √ (0, 0, 1, i). 2 В системе Брейта выражение (9) имеет вид W i i π|j1 (0)|Wρ , 1, mρ q =- 2 Mπ + q 2 + √ 2 2 Mρ + q 2 Fπρ (Q2 ). (10) Следует отметить, что компоненты матричного элемента тока (9) j0 , j2 , j3 и соответствующие формфакторы оказываются равными нулю в ходе математических преобразований (3). Таким образом, для радиационного перехода ρ → πγ ∗ существует единственный формфактор, выраженный через первую трехмерную компоненту матричного элемента электромагнитного тока: 1 i i Wπ |j1 (0)|Wρ , 1, mρ = - √ G111 (Q2 ), 01 3 (11) где G111 (Q2 ) - формфактор составной системы, полученный при недиаго01 нальной параметризации. Приравняв выражения (10) и (11), получим Fπρ (Q2 ) = 2 3q G111 (Q2 ) 01 2 Mπ + q 2 + , (12) 2 Mρ + q 2 263 К р у т о в А. Ф., П о л е ж а е в Р. Г. Используя модифицированное импульсное приближение [7], можно показать, что √ √ G1,l,1 (s, Q2 , s )ϕ(s)ϕJ (s ) d s d s , S 01 G1,l,1 (Q2 ) = 01 где ϕ(s) = √ 4 skψ(k), ϕJ (s ) = S √ 4 (13) sk ψ(k ); ψ(k) и ψ(k ) - волновые функции, удовлетворяющие условию нормировки +∞ ψ 2 (k)k 2 dk = 1. -∞ Поставляя (13) в (12), получим окончательное выражение для расчета переходного формфактора Fπρ (Q2 ): Fπρ (Q2 ) = 2 3q 1 2 Mπ + q2 × + 2 Mρ + q 2 × √ √ G111 (s, Q2 , s )ϕ(s)ϕJ (s ) d s d s . (14) 01 S 3. Расчет переходного формфактора Fπρ (Q2 ). Для расчета формфактора (14) используем волновую функцию основного состояния гармонического осциллятора и волновую функцию степенного типа [19]: 2 k2 exp - 2 , 2a π 1/4 a3/2 9 1 2 , ψ(k) = 3 (1 + k 2 /b2 )3 7πb ψ(k) = (15) (16) где a и b - параметры волновых функций, которые фиксируются из требования описания среднеквадратичных радиусов π- и ρ-мезонов [20]. Для расчета переходного формфактора выберем саксовские формфакторы кварков в виде GE (Q2 ) = eq fq (Q2 ), GM (Q2 ) = (eq + κq )fq (Q2 ), где eq - заряд кварка, κq - аномальный магнитный момент кварка в естественных единицах [21]. Для расчета функции fq (Q2 ) будем использовать выражение, введенное в [22]: fq (Q2 ) = 1 , 2 1 + rq Q2 /6 2 где rq = 0.3/M 2 - среднеквадратичный радиус кварка [22]. Результаты расчета переходного формфактора (14) представлены на рисунке. 264 Описание радиационных распадов V → P γ ∗ . . . Результаты расчета переходного формфактора (14) для разных типов волновых функций: сплошная линия - расчет с использованием волновой функции (15); штриховая линия - расчет с использованием волновой функции (16) (online в цвете) [The results of the calculation of the transition form factor (14) for different types of wave functions. Solid line is the results of the calculation using the wave function (15); dashed line is the results of a calculation using the wave function (16) (color online)] Заключение. В рамках подхода ПИКМ проведена процедура построения матричного элемента тока перехода недиагонального по полному угловому моменту. Изложение данной методики проводилось на примере радиационного перехода ρ → πγ ∗ . Для решения задачи в модифицированном релятивистском импульсном приближении проведено построение оператора электромагнитного тока для составной двухчастичной системы с учетом условий лоренц-ковариантности и сохранения. Получено аналитическое выражение для формфактора указанного перехода, которое совпадает с основными формами ПИКМ. Произведен численный расчет переходного формфактора с волновыми функциями двух видов.

About the authors

Alexander F Krutov

Samara State University

Email: krutov@samsu.ru
1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russian Federation
(Dr. Phys. & Math. Sci.; krutov@samsu.ru), Professor, Dept. of General and Theoretical Physics

Roman G Polezhaev

Samara State University

Email: polezaev@list.ru
1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russian Federation
(polezaev@list.ru; Corresponding Author), Postgraduate Student, Dept. of General and Theoretical Physics

References

  1. Крутов А. Ф., Полежаев Р. Г. Описание радиационных распадов $V to P gamma^{*}$ в различных формах Пуанкаре-инвариантной квантовой механики / Четвертая международная конференция «Математическая физика и ее приложения»: материалы конф.; ред. чл.-корр. РАН И. В. Волович; д.ф.-м.н., проф. В. П. Радченко. Самара: СамГТУ, 2014. С. 210-211.
  2. Arnaldi R. (et.al. NA60 Collaboration) Study of the electromagnetic transition form-factors in $etato mu^{+}mu^{-}gamma$ and $omegato mu^{+}mu^{-}pi^{0}$ decays with NA60 // Phys. Lett. B, 2009. vol. 677, no. 5. pp. 260-266, arXiv: 0902.2547 [hep-ph]. doi: 10.1016/j.physletb.2009.05.029.
  3. Usai G. (et.al. NA60 Collaboration) Low mass dimuon production in proton-nucleus collisions at 400 GeV/c // Nucl. Phys. A, 2011. vol. 855, no. 1. pp. 918-196. doi: 10.1016/j.nuclphysa.2011.02.037.
  4. Uras A. (et.al. NA60 Collaboration) Measurement of the η and ω Dalitz decays transition form factors in p-A collisions at 400 GeV/c with the NA60 apparatus // J. Phys.: Conf. Ser., 2011. vol. 270, no. 1, 012038, arXiv: 1108.0968 [hep-ex]. doi: 10.1088/1742-6596/270/1/012038.
  5. Archilli F. (et.al. KLOE-2 Collaboration) Search for a vector gauge boson in φ meson decays with the KLOE detector // Phys. Lett. B, 2012. vol. 706, no. 4-5. pp. 251-255, arXiv: 1110.0411 [hep-ph]. doi: 10.1016/j.physletb.2011.11.033.
  6. Amsler C. (et.al. Particle Data Group) Review of particle physics // Phys. Lett. B, 2008. vol. 667, no. 1-5. pp. 1-6. doi: 10.1016/j.physletb.2008.07.018.
  7. Крутов А. Ф., Троицкий В. Е. Мгновенная форма Пуанкаре-инвариантной квантовой механики и описание структуры составных систем // Физика элементарных частиц и атомного ядра, 2009. Т. 40, № 2. С. 269-319.
  8. Maris P., Tandy P.C. Electromagnetic transition form factors of light mesons // Phys. Rev. C, 2002. vol. 65, no. 4, 045211, arXiv: nucl-th/0201017. doi: 10.1103/physrevc.65.045211.
  9. Yu J., Xiao B.-W., Ma B.-Q. Space-like and time-like pion-rho transition form factors in the light-cone formalism // J. Phys. G: Nucl. Part. Phys., 2007. vol. 34, no. 7. pp. 1845-1860, arXiv: 0706.2018 [hep-ph]. doi: 10.1088/0954-3899/34/7/021.
  10. Desplanques B. RQM description of the charge form factor of the pion and its asymptotic behavior // Eur. Phys. J. A, 2009. vol. 42, no. 2. pp. 219-236, arXiv: 0906.1889 [nucl-th]. doi: 10.1140/epja/i2009-10864-8.
  11. Ivashyn S.A. Vector to pseudoscalar meson radiative transition in chiral theory with resonances / Problems of Atomic Science and Technology. No. 1 / Nuclear Physics Investigations, 57, 2012. pp. 179-182, arXiv: 1111.1291 [hep-ph].
  12. Bierrat E. P., Schweiger W. Electromagnetic ρ-meson form factors in point-form relativistic quantum mechanics // Phys. Rev. C, 2014. vol. 89, no. 5, 055205, arXiv: 1404.2440 [hep-ph]. doi: 10.1103/physrevc.89.055205.
  13. Krutov A. F., Troitsky V. E., Tsirova N. A. Nonperturbative relativistic approach to pion form factor: predictions for future JLab experiments // Phys. Rev. C, 2009. vol. 80, no. 5, 055210, arXiv: 0910.3604 [nucl-th]. doi: 10.1103/physrevc.80.055210.
  14. Крутов А. Ф., Полежаев Р. Г. Описание электромагнитной структуры пиона в различных формах Пуанкаре-инвариантной квантовой механики // Ядерная физика и инжиниринг, 2013. Т. 4, № 9-10. С. 848-852. doi: 10.1134/S2079562913090200.
  15. Чешков А. А., Широков Ю. М. Инвариантная параметризация локальных операторов // Ж. экспер. теорет. физ., 1963. Т. 44. С. 1982-1992.
  16. Zare R. N. Angular Momentum: Understanding Spatial Aspects in Chemistry and Physics. New York: Wiley, 1988. xi+349 pp.
  17. Edmonds A. R. Angular Momentum in Quantum Mechanics / Investigations in Physics. vol. 4. Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1957. viii+146 pp.
  18. Cardarelli F., Grach I. L., Narodetskii I. M., Salmfé G., Simula S. Radiative πρ and πω transition form factor in a light-front constituent quark model // Phys. Lett. B, 1995. vol. 359, no. 1-2. pp. 1-7, arXiv: nucl-th/9509004. doi: 10.1016/0370-2693(95)01058-x.
  19. Андреев В. В., Крутов А. Ф. Электромагнитные формфакторы мезонов // Проблемы физики, математики и техники, 2011. № 1(6). С. 7-19.
  20. Крутов А. Ф., Троицкий В. Е. Релятивистские эффекты в электромагнитной структуре ρ-мезона // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер., 2003. Второй спец. выпуск. С. 95-111.
  21. Gerasimov S. B. Magnetic moments of baryons and strange content of the nucleon // Phys. Lett. B, 1995. Т. 357, № 4. С. 666-670. doi: 10.1016/0370-2693(95)00934-d.
  22. Cardarelli F., Grach I. L., Narodetskii I. M., Pace E., Salme G., Simula S. Hard Constituent Quarks and Electroweak Properties of Pseudoscalar Mesons // Phys. Lett. B, 1994. vol. 332, no. 1-2. pp. 1-7, arXiv: nucl-th/9405014. doi: 10.1016/0370-2693(94)90849-4.

Statistics

Views

Abstract - 21

PDF (Russian) - 7

Cited-By


Article Metrics

Metrics Loading ...

PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2015 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies