Hyperfine structure of S-states of muonic deuterium

Full Text

Настоящая статья представляет собой расширенный вариант доклада [1], сделанного авторами на Четвёртой международной конференции «Математическая физика и её приложения» (Россия, Самара, 25 августа - 1 сентября 2014). В последние годы значительный интерес в исследовании тонкой и сверхтонкой структуры простейших атомов связан с легкими мюонными атомами: мюонный водород, мюонный дейтерий, ионы мюонного гелия. Это обусловлено существенным прогрессом, достигнутым экспериментальной коллаборацией CREMA (Charge Radius Experiment with Muonic Atoms) при изучении таких мюонных атомов [2, 3]. Так, например, из измерения частоты перехода F =2 F =1 2P3/2 - 2S1/2 в мюонном водороде было получено новое более точное значение зарядового радиуса протона rp = 0.84087(39) фм. Измерение частоты пеF =1 F =0 рехода 2P3/2 - 2S1/2 для синглетного 2S-состояния позволило найти сверхтонкое расщепление уровня энергии 2S в мюонном водороде, значения радиуса Земаха rZ = 1.082(37) фм и магнитного радиуса rM = 0.87(6) фм. Аналогичные измерения для мюонного дейтерия уже выполнены и готовятся к публикации. Необходимо подчеркнуть, что эксперименты коллаборации CREMA ставят одну очень важную задачу - улучшить на порядок точность определения зарядовых радиусов протона, дейтрона, гелиона и альфа-частицы, которые входят в теоретические выражения различных интервалов тонкой и сверхтонкой структуры. Для успешной реализации этой программы необходимы теоретические вычисления поправок различного порядка в тонкой и сверхтонкой структуре спектра энергии мюонных атомов [4-15]. Особый интерес могут представлять поправки на структуру ядра, с которыми может быть связано решение загадки радиуса протона [2, 16]. Теоретические исследования энергетической структуры мюонных атомов выли выполнены в [4-15] на основе уравнения Дирака и в нерелятивистском подходе при помощи теории возмущений в квантовой электродинамике. В связи с экспериментальной активностью в последние годы появилась необходимость в анализе ранее выполненных вычислений с целью получить надежную оценку энергетических интервалов: лэмбовского сдвига (2P1/2 -2S1/2 ), сверхтонкой структуры 2S-состояния, тонкой структуры (2P1/2 -2P3/2 ), которые измеряются в экспериментах коллаборации CREMA. Цель нашей работы состоит в расчете поправок порядка α5 and α6 в сверхтонкой структуре мюонного дейтерия, которые определяются эффектами поляризации вакуума, отдачи, релятивистскими поправками и поправким на структуру дейтрона. Современные значения фундаментальных физических констант взяты из [17]. В нашем расчете мы используем квазипотенциальный метод в квантовой электродинамике [18], в котором двухчастичное связанное состояние описывается уравнением Шредингера. Основной вклад в оператор взаимодействия мюона и дейтрона в S-состоянии определяется гамильтонианом Брейта [19]: f hf HB = H0 + ∆VB s + ∆VB s , f ∆VB s = - p4 p4 πZα 1 δI - 3 3 + 2 2 + m2 8m1 8m2 m1 2 hf ∆VB s (r) = p2 Zα - , 2µ r Zα r(rp)p δ(r) - p2 + , 2m1 m2 r r2 H0 = 2πα gd gµ (s1 s2 )δ(r), 3m1 mp (1) где m1 , m2 - массы мюона и дейтрона соответственно, mp - масса протона, gd , gµ - гиромагнитные факторы дейтрона и мюона. Основной вклад в 475 М а р т ы н е н к о А. П., М а р т ы н е н к о Г. А., С о р о к и н В. В., Ф а у с т о в Р. Н. сверхтонкое расщепление S-уровней (энергия Ферми) дает потенциал спинспинового взаимодействия (1). Усредняя (1) по кулоновским волновым функциям 1S- и 2S-состояний, получим основной вклад в энергию сверхтонкого расщепления в мюонном дейтерии: EF (nS) = 2µ3 α4 µd = m1 mp n3 1S : 49.0875 meV, 2S : 6.1359 meV. Поправку на аномальный магнитный момент мюона (АММ) удобно представить отдельно, взяв экспериментальное значение АММ мюона из [17]: 1S : 0.0572 meV, 2S : 0.0072 meV. hf ∆Eaµ s (nS) = aµ EF (nS) = Релятивистская поправка порядка α6 в сверхтонкой структуре может быть получена при помощи аналитического выражения из [20]: hf ∆Erels (nS) = 3 2 2 (Zα) EF (1S) 17 2 8 (Zα) EF (2S) = 1S : 0.0039 meV, 2S : 0.0007 meV. Важный класс поправок представляют поправки на поляризацию вакуума в первом, втором и третьем порядках теории возмущений (ТВ). Вначале рассмотрим вклад однопетлевой электронной поляризации вакуума в сверхтонкую структуру S-состояний, который определяется следующим потенциалом [5, 19]: hf s ∆V1γ,V P (r) = 4αµd (1 + aµ ) α (s1 s2 ) 3m1 mp 3π ∞ ρ(s)ds πδ(r) - 1 m2 ξ 2 -2me ξr e . (2) e r Мы также сохраняем фактор с АММ мюона, что приводит к учету поправки порядка α6 . Усредняя (2) по волновым функциям, мы получаем поправку порядка α5 в сверхтонкой структуре 1S- и 2S-состояний: hf s ∆E1γ,V P (1S) = 2µ3 α5 µd (1 + aµ ) ∞ ρ(ξ)dξ× 3m1 mp π 1 me ξ m2 ξ 2 ∞ × 1- e2 xdxe-x(1+ W ) = 0.1039 meV, (3) W 0 µ3 α5 µd (1 + aµ ) ∞ ρ(ξ)dξ× 3m1 mp π 1 2me ξ 4m2 ξ 2 ∞ x 2 e × 1- x 1- dxe-x(1+ W ) = 0.0134 meV. (4) 2 W 2 0 hf s ∆E1γ,V P (2S) = Заменяя массу электрона me на массу мюона m1 в (3) и (4), получим вклад мюонной поляризации вакуума: 0.0009 meV (1S), 0.0001 meV (2S). Поправка мюонной поляризации вакуума имеет более высокий порядок α6 из-за W/m1 1. Тот же порядок α6 дают и поправки двухпетлевой поляризации 476 Сверхтонкая структура S-состояний мюонного дейтерия вакуума. Потенциал двухпетлевой поляризации вакуума с двумя последовательными петлями имеет следующий вид: hf s ∆V1γ,V P -V P (r) = ∞ 8παµd (1 + aµ ) α 2 ∞ ρ(η)dη× (s1 s2 ) ρ(ξ)dξ 3m1 mp 3π 1 1 m2 e × δ(r) - η 4 e-2me ηr - ξ 4 e-2me ξr πr(η 2 - ξ 2 ) . Соответствующая поправка в сверхтонкую структуру 1S и 2S может быть представлена в интегральной форме с интегрированием по координате r и спектральным параметрам ξ и η. Интегрирование по r может быть проведено аналитически, оставшиеся интегралы вычисляются численно при помощи системы Mathematica. Двухпетлевые поправки порядка α6 c двумя вложенными петлями вычисляются аналогично. В этом случае потенциал мюондейтронного взаимодействия определяется выражением hf s ∆V1γ,2-loop V P (r) = 8α3 µd (1 + aµ ) (s1 s2 ) 9π 2 m1 mp 1 0 f (v)dv × 1 - v2 × πδ(r) - 2m - √ er m2 e e 1-v2 , r(1 - v 2 ) где f (v) - двухпетлевая спектральная функция [21]. Однопетлевые и двухпетлевые поправки порядка α5 и α6 должны быть также рассмотрены во втором порядке теории возмущений. Во втором порядке ТВ поправки определяются редуцированной кулонов˜ ской функцией Грина G, которая имеет следующее парциальное разложение: ∗ gnl (r, r )Ylm (n)Ylm (n ). ˜ ˜ Gn (r, r ) = l,m Радиальная функция gnl (r, r ) была получена в [22] в виде штурмовского раз˜ ложения по полиномам Лаггера. Основной вклад электронной поляризации вакуума в сверхтонкой структуре во втором порядке ТВ имеет вид hf s ∆ESOP T VP 1 hf C ˜ = 2 ψ|∆VV P · G · ∆VB s |ψ , где модифицированный кулоновский потенциал C ∆VV P (r) = α 3π ∞ ρ(ξ)dξ - 1 Zα r e-2me ξr . hf ∆VB s (r) Потенциал пропорционален δ(r), поэтому необходимо использовать редуцированную кулоновскую функцию Грина с одним нулевым аргументом. Для этого случая она была получена в представлении Хостлера после вычитания полюсного члена в следующем виде [22]: Zαµ2 e-x ˜ g1S (x), G1S (r, 0) = 4π x g1S (x) = 4x(ln 2x + C) + 4x2 - 10x - 2 , (5) 477 М а р т ы н е н к о А. П., М а р т ы н е н к о Г. А., С о р о к и н В. В., Ф а у с т о в Р. Н. 2 -x/2 Zαµ e ˜ G2S (r, 0) = - g2S (x), 4π 2x g2S (x) = [4x(x - 2)(ln x + C) + x3 - 13x2 + 6x + 4], (6) где C = 0.5772 . . . постоянная Эйлера, x = W r. В результате необходимая поправка к сверхтонкой структуре (µd) может быть представлена в следующем виде: hf ∆EV Ps 1 (1S) = -EF (1S) ∞ α (1 + aµ ) 3π ρ(ξ)dξ× ∞ × 1 e-x(1+ me ξ W ) g (x)dx = 0.2056 meV, (7) 1S 0 hf ∆EV Ps 1 (2S) = EF (2S) α (1 + aµ ) 3π ∞ × ∞ ρ(ξ)dξ× 1 e-x(1+ 2me ξ W 0 ) g (x)(1 - x )dx = 0.0207 meV. (8) 2S 2 Фактор (1 + aµ ) включен в (7) и (8), поэтому эти выражения содержат поправки порядка α5 и α6 . Заменой me → m1 в (7), (8) мы вычисляем вклад однопетлевой мюонной поляризации вакуума во втором порядке ТВ порядка α6 : 0.0009 meV (1S), 0.0001 meV (2S). Двухпетлевые поправки во втором порядке ТВ имеют порядок α6 . Удобное представление для редуцированной кулоновской функции Грина с двумя ненулевыми аргументами было получено в [22]: Zαµ2 -(x1 +x2 ) ˜ e g1S (x1 , x2 ), G1S (r, r ) = - π 1 1 - e2x< 7 g1S (x1 , x2 ) = - ln 2x> - ln 2x< + Ei(2x< ) + - 2C - (x1 + x2 ) + , 2x< 2 2x< Zαµ2 -(x1 +x2 ) ˜ e g2S (x1 , x2 ), G2S (r, r ) = - 16πx1 x2 g2S (x1 , x2 ) = 8x< - 4x2 + 8x> + 12x< x> - 26x2 x> + < < + 2x3 x> - 4x2 - 26x< x2 + 23x2 x2 - x3 x2 + 2x< x3 - x2 x3 + < > > < > < > > < > +4ex (1-x< )(x> -2)x> +4(x< -2)x< (x> -2)x> [-2C+Ei(x< )-ln(x< )-ln(x> )]. Вклады трех других диаграмм в сверхтонкую структуру могут быть вычислены с использованием следующих потенциалов [23]: C ∆VV P -V P (r) = α 3π ∞ 2 ∞ ρ(η)dη - ρ(ξ)dξ 1 1 × 478 Zα r × 1 ξ 2 e-2me ξr - η 2 e-2me ηr , ξ2 - η2 Сверхтонкая структура S-состояний мюонного дейтерия C ∆V2-loop V P (r) = - 2Zα3 3π 2 r 1 0 2me r f (v)dv - √1-v2 . e (1 - v 2 ) Поправку порядка α6 к сверхтонкой структуре дает также поляризация вакуума в третьем порядке теории возмущений [24]. Основной вклад структуры ядра в сверхтонкую структуру S-состояний определяется двухфотонными обменными диаграммами. Параметризация электромагнитного тока дейтрона имеет вид µ Jd (p2 , q2 ) = ε∗ (q2 ) ρ (p2 + q2 )µ (p2 + q2 )µ kρ kσ gρσ F1 (k 2 ) - F2 (k 2 )- 2m2 2m2 2m2 2 - Σµν ρσ kν F3 (k 2 ) εσ (p2 ), 2m2 где p2 , q2 - 4-импульсы дейтрона в конечном и начальном состояниях, k = = q2 - p2 . Вектор поляризации дейтрона εµ удовлетворяет следующим соотношениям: ε∗ (k, λ)εµ (k, λ ) = -δλλ , kµ εµ (k, λ) = 0, µ ε∗ (k, λ)εν (k, λ) = -gµν + µ λ kµ kν . m2 2 Генератор инфинитезимальных преобразований Лоренца имеет вид µ ν µ ν Σµν = gρ gσ - gσ gρ . ρσ Электромагнитные формфакторы дейтрона Fi (k 2 ) зависят от квадрата 4-импульса фотона. Они связаны с зарядовым FC , магнитным FM и квадрупольным FQ формфакторами дейтрона следующим образом: 2 FC = F1 + η [F1 + (1 + η)F2 - F3 ] , 3 FM = F3 , FQ = F1 + (1 + η)F2 - F3 , η=- k2 . 4m2 2 Электромагнитный ток мюона имеет вид Jlµ (p1 , q1 ) = u(q1 ) ¯ kν (p1 + q1 )µ - (1 + aµ )σ µν u(p1 ), 2m1 2m1 где p1 , q1 - начальный и конечный 4-импульсы мюона, σ µν = (γ µ γ ν -γ ν γ µ )/2. Амплитуды виртуального комптоновского рассеяния мюона и дейтрона могут тогда быть представлены в виде [25] (l) Mµν = u(q1 ) γµ ¯ ˆ ˆ p1 + k + m1 ˆ p1 - k + m1 ˆ 2 γν + γν (p - k)2 - m2 γµ u(p1 ), (p1 + k)2 - m1 1 1 (9) 479 М а р т ы н е н к о А. П., М а р т ы н е н к о Г. А., С о р о к и н В. В., Ф а у с т о в Р. Н. (d) Mµν = ε∗ (q2 ) ρ × (q2 + p2 - k)µ kρ kλ (q2 + p2 - k)µ µα kα gρλ F1 - 2 F2 - Σρλ 2m F3 × 2m2 2m2 2m2 2 (p2 -k)λ (p2 -k)ω m2 2 (p2 - k)2 - m2 2 -gλω + (p2 + q2 - k)ν kω kσ (p2 + q2 - k)ν gωσ F1 - F2 + 2m2 2m2 2m2 2 + Σνβ ωσ kβ F3 εσ (p2 ). (10) 2m2 Для построения потенциала сверхтонкого взаимодействия по амплитуде мы используем проекционные операторы πµ,3/2 и πµ,1/2 на состояния мюонˆ ˆ дейтронной пары со спином 3/2 и 1/2. Перемножая амплитуды (9) и (10) и применяя проекционные операторы, с помощью пакета Form [26] мы получаем выражение для сверхтонкой части потенциала двухфотонного взаимодействия в кулоновской калибровке для обменных фотонов [25]: id4 k 1 1 1 × 2 (k 2 )2 k 4 - 4k 2 m2 k 4 - 4k 2 m2 π 0 1 0 2 hf s V2γ,str = (Zα)2 k2 k2 k4 - 2 - 4 + 2F2 F3 2 m2 m2 m2 2 × 2F1 F3 k 6 4 2 4k0 + k4 - 4k2 k0 - 2 2 + 2F3 k 2 k2 k0 + k6 m2 2 k4 m2 2 + . (11) Инфракрасная расходимость при k → 0 связана со слагаемым ∼ F1 F3 k 2 . Она может быть устранена с помощью итерационного слагаемого квазипотенциала ∞ HF S 16µα dk hf ∆Viters = V1γ × Gf × V1γ = EF (S1 S2 ) F1 F3 . (12) 3 3πn k2 0 Интегрирование по углам в (11) в евклидовом импульсном пространстве можно выполнить аналитически. В результате вклад двухфотонных амплитуд в сверхтонкое расщепление S-уровня представляется в виде одномерного интеграла ∞ dk V2γ (k) = k2 0 ∞ EF α dk = 4m2 m2 F1 F3 k 5 (m2 -m2 )+8k 2 m2 m2 (h2 -h1 )+ 1 2 2 1 1 2 3 m5 (m2 - m2 ) k2 16πm1 2 1 0 2 hf E2γ s = EF α + 16m2 m4 (h2 - h1 ) - 32m2 m4 (m2 - m1 ) + k 4 (m2 h2 - m2 h1 ) + 1 2 1 2 1 2 +F2 F3 k 2 k 5 (m4 -m4 )+6k 3 m2 m2 (m2 -m2 )+8k 2 m2 m2 m2 (h2 - 2h1 ) + m2 h1 + 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 + 16m4 m4 (h2 - h1 ) + k 4 (m4 h2 - m4 h1 ) + F3 k 2 m2 k 3 (m2 - m2 )(5m2 + m2 )+ 1 2 1 2 2 1 2 1 2 + k 2 -5m4 h2 + m4 h1 + 4m2 m2 h1 + 6km2 m2 (m2 - m2 ) 1 2 1 2 1 2 1 2 480 , (13) Сверхтонкая структура S-состояний мюонного дейтерия где произведено вычитание итерационного члена (12), h1,2 = k 2 + 4m2 . 1,2 Численное интегрирование в (13) с использованием параметризации форфакторов дейтрона из [27] дает следующий результат: 1S : -0.9305 meV, 2S : -0.1163 meV. hf s ∆E2γ,str (nS) = Выражение (13) может быть использовано для вычисления двухфотонных поправок с учетом поляризации вакуума. Соответствующая поправка на электронную поляризацию вакуума имеет вид hf s E2γ,V P = -EF 2α2 3π ∞ ∞ ρ(ξ)dξ 1 V2γ (k) 0 dk = k 2 + 4m2 ξ 2 e 1S : 0.0152 meV, 2S : 0.0019 meV. = (14) Аналогичный вклад мюонной поляризации вакуума может быть получен из формулы (14) при помощи замены массы электрона на массу мюона: 1S : 0.0015 meV, 2S : 0.0002 meV. hf s E2γ,M V P = Для увеличения точности расчета мы учитываем адронную поляризацию вакуума [28]. Замена в фотонном пропагаторе для учета адронной поляризации вакуума имеет вид ∞ 1 α ρhad (s)ds → 2 k π sth k 2 + s и приводит к следующему выражению для поправки на адронную поляризацию вакуума: hf s E2γ,HV P = -EF 2α2 π ∞ ∞ ρhad (s)ds 1 V2γ (k) 0 dk . +s k2 Основной вклад в адронную спектральную функцию ρhad (s) определяется пионным формфактором Fπ (s) для энергии 4m2 ÷ 0.81 GeV2 : π ρhad (s) = (s - 4m2 )3/2 π |Fπ (s)|2 . 5/2 12s Вклад порядка α6 дают также поправки на структуру ядра в однофотонном взаимодействии в первом и втором порядках теории возмущений. Потенциал поправки на структуру ядра в однофотонном взаимодействии в координатном представлении имеет вид ∆V hf s (k) = 4παµd 2 r (s1 s2 ) 9m1 mp M 2 δ(r). (15) 481 М а р т ы н е н к о А. П., М а р т ы н е н к о Г. А., С о р о к и н В. В., Ф а у с т о в Р. Н. Усредняя (15) по кулоновским волновым функциям, получим аналитическое выражение для поправки. Численные значения для уровней 1S и 2S следующие: 2 1S : 0.0082 meV, 2 hf s 2 3n + 1 EF = ∆E1γ,str = µ2 α2 rM 3 n2 2S : 0.0008 meV. Во втором порядке теории возмущений оба потенциала пропорциональ˜ ны δ(r), что приводит к появлению расходящейся функции G(0, 0). Поэтому удобно использовать потенциал поправки на структуру ядра в однофотонном взаимодействии в следующей форме: √ Zα(2 + Λr) -Λr 12 C ∆Vstr,1γ (r) = e , Λ= . 8πr rd При получении данного потенциала мы используем дипольную параметризацию магнитного формфактора дейтрона. Используя функции Грина (5) и (6), можно провести аналитическое интегрирование поправки на структуру ядра во втором порядке теории возмущений. В результате получим hf s,1S 1S ∆Estr,SOP T = EF - 16 W Λ 1+ µα 2πΛ(1 + W Λ hf s,2S 2S ∆Estr,SOP T = -EF +8 W Λ 1+ W Λ 2W 4 Λ ) 1+ µα 8πΛ(1 + 3+ W Λ 2W Λ W 6 Λ) -2 W W W 4 (5 + 3 ) + 13 - Λ Λ Λ 4W Λ - 3 = -0.0555 meV, 14 + 3 W Λ coth-1 1 + W Λ W Λ W2 2W + 4 coth-1 1 + +6 2 Λ Λ + 31 W2 + 16 + Λ2 = -0.0069 meV. Вклад порядка α(Zα)5 дают двухфотонные обменные диаграммы с радиационным фотоном в мюонной линии и учетом структуры ядра. Данные поправки были детально рассмотрены в нашей работе [29] и включены в итоговые значения для сверхтонких расщеплений. В отличие от ранее проведенных исследований энергетического спектра легких мюонных атомов в [4], мы используем трехмерный квазипотенциальный подход для описания связанного состояния мюона и дейтрона. Все рассмотренные нами поправки представлены в интегральной форме и рассчитаны численно. Как уже отмечалось ранее, сверхтонкая структура мюонных атомов была исследована в [4, 5]. В этих статьях были получены частоты переходов между уровнями энергии 2P и 2S в случае мюонного водорода, мюонного дейтерия и ионов мюонного гелия. Единственный детальный расчет сверхтонкого расщепления 2S-состояния в мюонном дейтерии представлен в [4]. Формула 3 ∆E2s = βD (1 + aµ )(1 + V P + vertex + Breit + Zemach ) = 6.0584(7) meV, 2 482 Сверхтонкая структура S-состояний мюонного дейтерия полученная работе [4], содержит основные поправки к энергии Ферми: поляризацию вакуума, релятивистскую поправку, вершинную поправку и поправку Земаха. Важно отметить, что поправка Земаха (-0.1177(7)) meV для 2S-состояния в мюонном дейтерии из [4] немного отличается от нашего значения (-0.1163) meV, что может быть связано с эффектами отдачи. Однопетлевые поправки на поляризацию вакуума в первом V P 1 = 0.00218 и втором V P 2 = 0.00337 порядках теории возмущений в 2S-состоянии из [4] полностью совпадает с нашими выражениями (4) и (8). Полное значение сверхтонкого расщепления 2S-состояния 6.0683 meV без учета вклада поляризуемости дейтрона находится в хорошем согласии с результатом 6.0584 meV из [4]. Небольшая разница в значениях обусловлена прежде всего эффектами отдачи и структуры ядра в двухфотонных обменных диаграммах, которые мы вычисляем, используя современные экспериментальные данные по электромагнитным факторам дейтрона, а также учетом поправок на структуру ядра порядка α6 . В конечные значения мы включаем эффекты поляризуемости дейтрона, вклад которых был вычислен при помощи аналитического выражения из [6], полученного для электронного дейтерия. Это основная часть поправки на поляризуемость. Мы также проводим оценку внутренней поляризуемости дейтрона на базе результатов для мюонного водорода [30]. Полагая, что параметризации электромагнитных формфакторов дейтрона были получены с неопределенностью порядка 0.5 процента на малых значениях квадрата импульса фотона Q2 , мы получаем погрешность основной поправки на структуру ядра порядка (Zα)5 не менее ±0.0010 meV для 2Sсостояния. Погрешность при определении поправки на внутреннюю поляризуемость можно оценить на основе результатов для мюонного водорода. Она составляет 0.0025 meV (в 2S-состоянии) (около 25 процентов). Неопределенность в поправке на поляризуемость дейтрона оценена на основе результатов из [6] и примерно равна 0.0042 meV (2 процента). Вклад слабого взаимодействия в нерелятивистском приближении равен нулю, как было показано в работах [15, 31]. Полная теоретическая неопределенность составляет 0.0050 meV в случае 2S-состояния. Интервал сверхтонкой структуры ∆12 не содержит неопределенностей, связанных со структурой и поляризуемостью ядра, поэтому полученное в нашей работе значение ∆12 = -0.0379 meV может быть использовано для проверки квантовой электродинамики для мюонного дейтерия с точностью 0.001 meV. Полученные итоговые численные значения сверхтонких расщеплений ∆E hf s (1S) = 50.2814 ± 0.0410 meV и ∆E hf s (2S) = 6.2804 ± 0.0050 meV являются надежной оценкой для сравнения с экспериментальными данными коллаборации CREMA.

About the authors

Alexei P Martynenko

Samara State Aerospace University

Email: a.p.martynenko@samsu.ru
(Dr. Phys. & Math. Sci.; a.p.martynenko@samsu.ru; Corresponding Author), Professor, Dept. of Physics 34, Moskovskoye sh., Samara, 443086, Russian Federation

Gregory A Martynenko

Samara State University

Student, Dept. of General and Theoretical Physics 1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russian Federation

Vyacheslav V Sorokin

Samara State University

Email: wws63rus@yandex.ru
Student, Dept. of General and Theoretical Physics 1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russian Federation

Rudolf N Faustov

Federal Research Center “Computer Science and Control” of Russian Academy of Sciences

Email: faustov@theory.sinp.msu.ru
(Dr. Phys. & Math. Sci.; faustov@theory.sinp.msu.ru), Head of Sector, Federal Research Center “Computer Science and Control” 40, Vavilova str., Moscow, 119333, Russian Federation

References

Supplementary files