Goursat problem for loaded degenerate second order hyperbolic equation with Gellerstedt operator in principal part

Abstract


In the paper we study a loaded degenerate hyperbolic equation of the second order with variable coefficients. The principal part of the equation is the Gellerstedt operator. The loaded term is given in the form of the trace of desired solution on the degenerate line. The latter is located in the inner part of the domain. We investigate a boundary value problem. The boundary conditions are given on a characteristics line of the equation under study. For the model equation (when all subordinated coefficients are zero) we construct an explicit representation for solution of the Goursat problem. In the general case, we reduce the problem to an integral Volterra equation of the second kind. We apply the method realized by Sven Gellerstedt solving the second Darboux problem. In both cases, model and general, we use widely properties of the Green-Hadamard function.

Full Text

Исследованию краевых задач для линейных нагруженных дифференциальных уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными посвящено много работ. Достаточно полная библиография приведена в монографии [1]. Нагруженным уравнением в области Ω ∈ Rn называется уравнение Lu(x) = f (x), где L - оператор, содержащий след некоторых операций от искомого решения ¯ u(x) на принадлежащих Ω многообразиях размерности меньше n [2]. Существенную роль для корректной разрешимости тех или иных задач для нагруженных уравнений играет не просто наличие следа Γ от искомого решения, а в большей степени следообразующее отображение ¯ F : Ω → Γ. Особенно этот эффект проявляется для нагруженных гиперболических уравнений. Поясним это на примере. Пусть заданы два модельных уравнения ux + uy = λu(x, 0) и ux + uy = λu(x - y, 0), где λ = const. След от искомого решения в правых частях есть одно и то же многообразие, хотя легко заменить, что общие интегралы этих двух уравнений принципиально отличаются. Задачам с данными на характеристических многообразиях для нагруженных строго и слабо гиперболических уравнений посвящены работы [3-7]. Характеристической задаче и задаче Дарбу для широкого класса систем нагруженных вырождающихся гиперболических уравнений посвящены работы [8, 9]. В данной работе объектом исследования является уравнение вида Lm u = uyy - |y|m uxx + a(x, y)ux + b(x, y)uy + c(x, y)u = n αi ai (x, y)D0ξ u(ξ, 0) + d(x, y), =λ ξ =x- i=1 m+2 2 |y| 2 . (1) m+2 Пусть Ω - область, ограниченная характеристиками x- m+2 2 |y| 2 = 0, m+2 x+ m+2 2 |y| 2 = 1 m+2 уравнения (1). Здесь λ и m - действительные числа, причем m 0, α1 < α2 < . . . < αn = α < 1; l Dax - оператор дробного интегрирования (при l < 0) и дробного дифференцирования (при l > 0) порядка |l| с началом в точке a, определяемый как и в [10] формулой  sign(x - a) x f (t)dt   , l < 0,  l+1  Γ(-l)  a |x - t|   l f (x), l = 0, Dax f (t) =     [l]+1    sign[l]+1 (x - a) d Dl-[l]-1 f (t), l > 0, dx[l]+1 ax 8 Задача Гурса для нагруженного вырождающегося гиперболического уравнения . . . где [l] - целая часть l, [l] l < [l] + 1, Γ(z) - Гамма-функция Эйлера. Задача Гурса. Найти регулярное в области Ω при y = 0 решение u(x, y) ¯ уравнения (1) из класса C(Ω) ∩ C 1 (Ω), удовлетворяющее условию u x m+2 , sign y x 2 4 2 m+2 = ϕ± (x), 0 x 1, (2) где знак “+” берется при y > 0 и знак “-” - при y < 0. ¯ Предполагается, что ϕ+ (0) = ϕ- (0); b, c, d, ai ∈ C 1 (Ω) ∩ C 3 (Ω), i = = 1, 2, . . . , n; ¯ ϕ± ∈ C 1 (J) ∩ C 3 (J), (3) ¯ где J = {(x, y) : 0 x 1, y = 0}. Имеет место следующая теорема. Теорема 1. Пусть коэффициенты a(x, y), c(x, y) по переменной y являются четными функциями, а коэффициент b(x, y) - нечетной; коэффициент a(x, y) удовлетворяет условию Геллерстедта: a(x, y) = a0 (x, y)|y|γ(m) , ¯ a0 ∈ C 1 (Ω) ∩ C 3 (Ω), где γ(m) = 0 при m < 2 и γ(m) = const > m/2 - 1 при m 2. Тогда задача Гурса разрешима и притом единственным образом. Сначала приведем д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 1 для случая a = b = = c = d ≡ 0, a1 = 1, α1 = 0; ai (x, y) = 0, i = 2, 3, . . . , n, т.е. для модельного локально нагруженного уравнения Геллерстедта: uyy - |y|m uxx = λu x - m+2 2 |y| 2 , 0 . m+2 (4) Через Ω+ и Ω- обозначим части Ω, расположенные в верхней и нижней полуплоскостях соответственно. В области Ω- уравнение (4) и краевые условия (2) имеют вид uyy - (-y)m uxx = λu x - u x m+2 ,- x 2 4 2 m+2 m+2 2 (-y) 2 , 0 , m+2 = ϕ- (x), 0 x 1. (5) (6) Соотношения (5) и (6) в характеристических переменных ξ =x- m+2 2 (-y) 2 , m+2 η =x+ m+2 2 (-y) 2 m+2 (7) записываются в виде vξη + β µv(ξ, ξ) (vη - vξ ) = , η-ξ (η - ξ)4β v(0, η) = ψ(η) ≡ ϕ- (η), 0 η (8) 1, 9 А т т а е в А. Х. где 4µ = λ(2 - 4β)4β , β = m/(2m + 4), ξ+η m+2 ,- 2 4 v(ξ, η) = u 1-2β (η - ξ)1-2β . Пусть H(ξ, η, ξ0 , η0 ) - функция Грина-Адамара второй задачи Дарбу для уравнения Эйлера-Дарбу-Пуассона Lv ≡ vξη - β (vη - vξ ) = 0, η-ξ определяемая следующими условиями: 1) H(ξ, η, ξ0 , η0 ) как функция от (ξ, η) есть решение сопряженного уравнения L∗ v = 0, а как функция от (ξ0 , η0 ) - решение уравнения (8); 2) H(ξ0 , η0 , ξ0 , η0 ) = 1; 3) H(ξ, ξ, ξ0 , η0 ) = 0; [H] ∂[H] +β = 0 при η = ξ0 , где 4) ∂ξ η-ξ [H] = lim H(ξ, ξ0 + ε, ξ0 , η0 ) - H(ξ, ξ0 - ε, ξ0 , η0 ) . ε→0 Как известно, функция Грина-Адамара H(ξ, η, ξ0 , η0 ) была явно построена Геллерстедтом [11] и имеет вид H(ξ, η; ξ0 , η0 ) = R(ξ, η; ξ0 , η0 ), ¯ R(ξ, η; ξ0 , η0 ), η η ξ0 , ξ0 , где R(ξ, η; ξ0 , η0 ) = (η - ξ)β (η0 - ξ0 )-β F (β, 1 - β, 1, σ) - функция Римана, ¯ R(ξ, η; ξ0 , η0 ) = γ (η - ξ)2β F (β, β, 2β; 1/σ) . (ξ0 - ξ)β (η0 - η)β Здесь γ= Γ(β) , Γ(1 - β)Γ(2β) σ= (ξ0 - ξ)(η0 - η) . (η - ξ)(η0 - ξ0 ) Пусть существует решение задачи Гурса (2) для уравнения (4) и пусть функция ν(x) = uy (x, 0), 0 < x < 1 имеет дробный интеграл порядка 1 - 2β с началом в точке 0 и с концом в любой точке x ∈ ]0, 1]. Тогда, пользуясь свойством функции H, по схеме, реализованной Геллерстедтом [11], при доказательстве существования решения второй задачи Дарбу можно доказать, что u(x, y) = 1 4 2 m+2 ξ 2β γ ν(t)(ξ - t)-β (η - t)-β dt+ 0 η + ψ (t) + 0 10 β ψ(t) H(0, t; ξ, η)dt+ t Задача Гурса для нагруженного вырождающегося гиперболического уравнения . . . η ξ +µ dξ1 ξ1 0 u(ξ1 , 0) H(ξ1 , η1 ; ξ, η)dη1 . (9) (η1 - ξ1 )4β Из (9) при y = 0, η = ξ = x, t < ξ, с учетом пределов lim η-ξ→+0 lim η-ξ→+0 H(0, t; ξ, η) = H(ξ1 , η1 ; ξ, η) = lim η-ξ→+0 lim η-ξ→+0 ¯ R(0, t; ξ, η) = γt2β ξ -β (ξ - t)-β , t < ξ; ¯ R(ξ1 , η1 ; ξ, η) = = γ(η1 - ξ1 )2β (ξ - η1 )-β (ξ - ξ1 )-β , η1 < ξ, имеем u(x, 0) = 1 4 2 m+2 x 2β γ 0 ν(t)dt + (x - t)2β x + µγ x dξ1 0 ξ1 u(ξ1 , 0) dη1 + (η1 - ξ1 )2β (x - η1 )β (x - ξ1 )β x + γx-β tψ (t) + βψ(t) t2β-1 (x - t)-β dt. (10) 0 Произведем замену переменной интегрирования η1 по формуле η1 = ξ1 + (x - ξ1 )t. Тогда, принимая во внимание, что x (x - η1 )-β (η1 - ξ1 )-2β dη1 = ξ1 1 = (x - ξ1 )1-3β t-2β (1 - t)-β dt = (x - ξ1 )1-3β B(1 - 2β, 1 - β) 0 и используя определение дробного интеграла, соотношению (10) можно придать более компактный вид: 4β-2 2β-1 τ (x) = λγ1 D0x τ (t) + γ2 D0x ν(t) + Ψ(x), 0 0, (12) 1, (13) 0 < x < 1. (14) 0 x lim uy (x, y) = ν(x), y→0+ В системе (12)-(14) произведем преобразование y = -y, x = x, y) = u(x, -y). u = u(x, После этого она примет вид uyy - (-y)m uxx = λu x - u x m+2 ,- x 2 2 u(x, 0) = τ (x), m+2 2 (-y) 2 , 0 , m+2 2 m+2 = ϕ+ (x), 0 lim uy = -ν(x), x y < 0, 1, 0 < x < 1. y→0- Поэтому нетрудно заключить, что фундаментальное соотношение между τ (x) и ν(x), принесенное из области Ω+ , задается формулой 4β-2 2β-1 τ (x) = λγ1 D0x τ (t) - γ2 D0x ν(t) + Ψ(x), 0 < x < 1, (15) где β-1 Ψ(x) = γΓ(1 - β)x-β D0x tψ (t) + β ψ(t) t2β-1 , ψ(t) = ϕ+ (t), 0 t 1. Cистема (11), (15), очевидно, эквивалентна системе 2β-1 D0x ν(t) = f1 (x), τ (x) - 4β-2 λγ1 D0x τ (t) 0 < x < 1, = f2 (x), 0 x (16) 1, (17) где 1 Ψ(x) - Ψ(x) , 2γ2 1 f2 (x) = Ψ(x) + Ψ(x) . 2 f1 (x) = (18) (19) Итак, доказана лемма, которая очень важна для доказательства теоремы 1 в случае уравнения (4). Лемма. Решение u(x, t) задачи Гурса (2) для уравнения (4) в области Ω существует тогда и только тогда, когда функция ν(x) = uy (x, 0) является решением уравнения Абеля (16) с правой частью (18), а τ (x) = u(x, 0) - решение уравнения (17) с правой частью (19). 12 Задача Гурса для нагруженного вырождающегося гиперболического уравнения . . . Исследуем разрешимость уравнений (16) и (17). С этой целью изучим свойства функции f1 (x) и f2 (x). Из (3) заключаем, что ¯ Φ(x) = xψ (x) + βψ(x) ∈ C(J) ∩ C 2 (J). (20) Ясно, что β-1 Ψ(x) = γΓ(1 - β)x-β D0x t2β-1 Φ(t) = γx-β x 0 Φ(t)t2β-1 dt. (x - t)β Отсюда после замены t = xz находим 1 Ψ(x) = γ z 2β-1 (1 - z)-β Φ(xz)dz. (21) 0 ¯ Стало быть, Ψ(x) ∈ C(J) ∩ C 2 (J). Теперь нет сомнений в том, что ¯ f1 (x), f2 (x) ∈ C(J) ∩ C 2 (J). (22) В силу (21) решение уравнения Абеля (16) имеет вид 1-2β ν(x) = D0x f1 (t). (23) Из (21) c учётом (20) видно, что 1 Ψ(0) = γΦ(0) z 2β-1 (1 - z)-β dz = γβψ(0)B(2β, 1 - β). 0 Так как γβB(2β, 1 - β) = Γ(β)β Γ(2β)Γ(1 - β) =1 Γ(2β)Γ(1 - β) Γ(1 + β) и ψ(0) = ϕ(0), получаем Ψ(0) = ϕ(0). Аналогично, Ψ(0) = ϕ(0). Следовательно, f1 (0) = 0. С учетом этого (23) можно переписать в виде x d -2β d 1 D0x f1 (x) = f1 (t)(x - t)2β-1 dt = dx dx Γ(2β) 0 x x 1 d 1 1 = - f1 (t)(x - t)2β + f (t)(x - t)2β dt = dx Γ(2β) 2β 2β 0 1 0 x x 1 d 1 f1 (t)dt = f1 (t)(x - t)2β dt = , 2βΓ(2β) dx 0 Γ(2β) 0 (x - t)1-2β ν(x) = т. е. -2β ν(x) = D0x f1 (t). (24) ¯ Из (24) и (22) вытекает, что функция ν(x) ∈ C(J) ∩ C 1 (J) и при x → 0 обращается в нуль. ¯ Поскольку функция f2 (x) ∈ C(J) ∩ C 2 (J), решение уравнения Вольтерра ¯ второго рода (17) принадлежит C(J) ∩ C 2 (J). 13 А т т а е в А. Х. Доказана (см. формулу (9)) следующая теорема. Теорема 2. Единственное решение задачи Гурса (2) для уравнения (4) в области Ω- задается формулой u(x, y) = 1 4 2 m+2 ξ 2β γ -2β D0t f1 (t)dt η β (ξ - t)(η - t) 0 + 0 η ξ dξ1 +µ 0 ξ1 Φ(t) H(0, t; ξ, η)dt+ t τ (ξ1 ) H(ξ1 , η1 ; ξ, η)dη1 . (η1 - ξ1 )4β Вернемся к случаю уравнения (1). В характеристических координатах (7) оно приводится к виду vξη + β (vξ - vη ) - (η - ξ)-4β A(ξ, η)(vξ + vη )- η-ξ - (η - ξ)-2β B(ξ, η)(vξ - vη ) - (η - ξ)-4β C(ξ, η)v = αi = (η - ξ)-4β Ai (ξ, η)D0ξ v(ξ, ξ) + f (ξ, η) , (25) где 1 4 4 m+2 1 4 Ai (ξ, η) = 4 m+2 f (ξ, η) = - 4β d 4β ai m+2 ξ+η ,- 2 4 m+2 ξ+η ,- 2 4 1-2β 1-2β (η - ξ)1-2β , (η - ξ)1-2β , а коэффициенты A, B, C определяются через u(x, y) точно так же, как v(ξ, η). Существование функции Грина-Адамара G(ξ, η; ξ0 , η0 ) второй задачи Дарбу для уравнения (1) при λ = 0 доказано Геллерстедтом [11]: G(ξ, η; ξ0 , η0 ) = g(ξ, η; ξ0 , η0 ), g (ξ, η; ξ0 , η0 ), ¯ η η ξ0 , ξ0 . Здесь g - функция Римана, а g - функция, обладающая следующими свой¯ ствами: 1) g (ξ, η; ξ0 , η0 ) по переменным (ξ0 , η0 ) удовлетворяет уравнению (25), а по ¯ переменным (ξ, η) - ему сопряженному; 2) g (ξ, ξ0 ; ξ0 , η0 ) - g(ξ, ξ0 ; ξ0 , η0 ) = ¯ cos πβ lim g(ξ, ξ0 + ε; ξ0 , ξ0 + ε)g(ξ, ξ0 + ε; ξ0 , η0 ) ; ε→0 3) g при η = ξ обращается в нуль порядка 2β. ¯ Так как функция Римана g(ξ, η; ξ0 , η0 ) удовлетворяет соотношениям η g(ξ0 , η; ξ0 , η0 ) = exp A(ξ0 , t)dt = η0 ξ g(ξ, η0 ; ξ0 , η0 ) = exp B(t, η0 )dt = ξ0 14 η - ξ0 η 0 - ξ0 η0 - ξ η 0 - ξ0 η β β exp A1 (ξ0 , t)dt, η0 ξ exp B1 (t, η0 )dt, ξ0 Задача Гурса для нагруженного вырождающегося гиперболического уравнения . . . условие 2) можно записать в виде g (ξ, ξ0 ; ξ0 , η0 ) - g(ξ, ξ0 ; ξ0 , η0 ) = ¯ = cos πβA∗ (ξ, ξ0 , η0 ) ξ0 - ξ exp η0 - ξ0 η0 ξ0 b(ξ0 , t)dt - (t - ξ0 )2β ξ0 ξ b(t, ξ0 )dt , (ξ0 - t)2β где ξ0 A∗ (ξ; ξ0 , η0 ) = lim exp x→0 ξ a(t, ξ + ε)dt + (ξ0 + ε - t)4β η0 ξ0 +ε a(ξ0 , t)dt , (t - ξ0 )4β 4β 1 4 ξ+η m + 2 1-2β a (η - ξ)1-2β , ,- 4 m+2 2 4 4β 1 4 ξ+η m + 2 1-2β b(ξ, η) = b (η - ξ)1-2β . ,- 4 m+2 2 4 Таким образом, для существования функции Грина-Адамара необходимо потребовать, чтобы выполнялось неравенство a(ξ, η) = A∗ (ξ; ξ0 , η0 ) < ∞ (0 < ξ < 1, 0 < ξ0 , η0 < 1). Это условие, впервые выписанное А. М. Нахушевым [12], выполняется, если, ¯ например, m < 2 или a(x, y) = O(1)y α , где α > m/2 - 1 в Ω. Не нарушая общности, д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 1 проведем в случае однородной задачи Гурса (ϕ(y) ≡ 0) для неоднородного уравнения. Пусть существует решение u(x, y) однородной задачи Гурса и, как и ранее, u(x, 0) = τ (x), uy (x, 0) = ν(x). Тогда в силу тождества Римана для уравнения (25) и свойств функции Грина второй задачи Дарбу существует такой интегральный оператор Aξ , опредеη ленный на функциях ν(x), имеющих дробный интеграл порядка 1 - 2β с началом в точке 0 и с концом в любой точке x ∈ ]0, 1], что для любой точки (x, y) ∈ Ω- ξ u(x, y) = Aξ ν + µ η η dξ1 0 ξ1 αi Ai (ξ1 , η1 )D0x τ G(ξ1 , η1 ; ξ1 , η)dη1 + F (x, y), (26) (η1 - ξ1 )4β где ξ F (x, y) = η dξ1 0 ξ1 f (ξ1 , η1 ) G(ξ1 , η1 ; ξ, η)dη1 . (η1 - ξ1 )4β Из 26 при ξ = η = x и y → 0 имеем x τ (x) = Ax ν + µ x x dξ1 0 ξ1 αi A(ξ1 , η1 )D0x τ g (ξ1 , η1 ; x, x)dη1 + F (x, x). ¯ (η1 - ξ1 )4β (27) Допустим теперь, что (x, y) ∈ Ω+ . В уравнении (1) произведем преобразования x = x, y = -y. В результате область Ω+ отобразится в область Ω- , ограниченную отрезком ¯ J = {(x, y) : 0 x 1, y = 0} 15 А т т а е в А. Х. прямой y = 0 и характеристиками x- m+2 2 (-y) 2 = 0, m+2 x+ m+2 2 (-y) 2 = 1 m+2 уравнения uyy - (-y)m uxx + a(x, -y)ux - ¯ -y)uy + c(x, -y)u = b(x, = λai (x, -y)Dαi u(ξ, 0) + d(x, -y). (28) 0ξ Здесь u = u(x, y) = u(x, -y), ξ =x- m+2 2 (-y) 2 . m+2 Так как для всех (x, y) ∈ Ω- a(x, -y) = a(x, y), b(x, -y) = -b(x, y), c(x, -y) = c(x, y), уравнение (28) можно переписать в форме uyy - (-y)m uxx + a(x, y)ux + b(x, y)uy + c(x, y)u = = λai (x, y)Dαi u(ξ, 0) + d(x, y). 0ξ Очевидно, что lim uy (x, y) = -ν(x), τ (x) = τ (x), y→0- m+2 2 (-y) 2 , y = 0, m+2 Пусть, как и выше, u f (ξ, η) = - 1 4 4 m+2 d η dξ1 0 Ai (ξ, η) = 1 4 4 m+2 ξ1 4β ai m+2 2 ξ+η m+2 ,- 2 4 4β ξ F (x, y) = - 2 m+2 1-2β y 0. (η - ξ)1-2β , f (ξ1 , η1 ) G(ξ1 , η1 ; ξ, η)dη1 , (η1 - ξ1 )4β ξ+η m+2 ,- 2 4 1-2β (η - ξ)1-2β , где ξ =x- m+2 2 (-y) 2 , m+2 η =x+ m+2 2 (-y) 2 . m+2 Тогда в силу (26) имеем u(x, y) = -Aξ ν + µ η 16 ξ η dξ1 0 ξ1 αi Ai (ξ1 , η1 )D0ξ1 τ (η1 - ξ1 )4β G(ξ1 , η1 ; ξ, η)dη1 + F (x, y). (29) Задача Гурса для нагруженного вырождающегося гиперболического уравнения . . . Равенство (29) дает нам право записать x x τ (x) = -Ax ν + µ x dξ1 αi Ai (ξ, η1 )D0ξ1 τ (η1 - ξ1 )4β ξ1 0 g (ξ1 , η1 ; x, x)dη1 + ¯ + F (x, x), 0 x 1. (30) Равенство (30) выражает фундаментальное соотношение между τ (x) и ν(x), принесенное из области Ω+ на линию параболического выражения y = 0. Из (27) и (30) после их почленного сложения находим x τ (x) = µ x dξ1 0 αi ¯ Ai (ξ1 , η1 )D0ξ1 τ (η1 - ξ1 )4β ξ1 ¯ g (ξ1 , η1 ; x, x)dη1 + F (x), ¯ (31) где 1 ¯ Ai (ξ, η) = Ai (ξ, η) + Ai (ξ, η) , 2 1 ¯ F (x) = F (x, x) + F (x, x) . 2 Рассмотрим оператор x Vi τ = x dξ1 0 αi Ai (ξ1 , η1 )D0ξ1 τ (η1 - ξ1 )4β ξ1 g (ξ1 , η1 ; x, x)dξ1 . ¯ (32) Очевидно, что n Vτ = x Vi τ, Vi τ = 0 i=1 где x Gi (x, ξ1 ) = ξ1 αi D0ξ1 τ Gi (x, ξ1 )dξ1 , ¯ Ai (ξ1 , η1 )¯(ξ1 , η1 ; x, x) g dη1 . (η1 - ξ1 )4β Не нарушая общности, можно предположить, что αi 0 при i = 1, 2, . . . , m и αi > 0 при i = m + 1, m + 2, . . . , n. Пусть i m + 1. Тогда для любой функции τ (ξ) ∈ D(Vi ) на основании определения производной дробного порядка x Vi τ = 0 t Gi (x, t) d Γ(1 - αi ) dt = Gi (x, t) Γ(1 - αi ) 0 t 0 τ (η) dη dt = (t - η)αi τ (η)dη (t - η)αi t=x x ∂ G (x, t) ∂t i - t=0 0 Γ(1 - αi ) t dt 0 τ (η) dη. (t - η)αi Отсюда после законной перестановки порядка интегрирования в двойном интеграле получаем Vi τ = Gi (x, x) Γ(1 - αi ) x 0 τ (η) dη- (x - η)αi 17 А т т а е в А. Х. x - ∂ ∂t Gi (x, t) x τ (η)dη 0 t Γ(1 - αi )(t - η)αi или dt, ∀i m + 1, x αi Vi τ = Gi (x, x)D0x-1 τ (η) + G0 (x, η)τ (η)dη, i 0 где ∂ ∂t Gi (x, t) x G0 (x, η) = i Γ(1 - αi )(t - η)αi t dt. ¯ На основании (3) G0 (x, η) ∈ C(Ω). i Пусть теперь i m, тогда, согласно определению дробного интеграла порядка -αi , имеем x Vi τ = 0 Gi (x, t) dt Γ(-αi ) t 0 τ (η) dη. (t - η)αi +1 Формула перестановки Дирихле говорит о том, что это равенство эквивалентно равенству x G0 (x, η)τ (η)dη, i Vi τ = i = 1, 2, . . . , m, 0 где x G0 (x, η) = i η Gi (x, t) dt. Γ(-αi )(t - η)αi +1 ¯ Очевидно, что ∈ C(Ω). Таким образом, доказано, что V - оператор, действующий на τ ∈ C[0, 1] по формуле (32), представим в виде G0 (x, η) i x Vτ = K ∗ (x, t)τ (t)dt, 0 K ∗ (x, t) где ядро при x = t может иметь лишь слабую особенность. Следовательно, уравнение (31) эквивалентно интегральному уравнению Вольтерра второго рода x τ (x) = µ ¯ K ∗ (x, t)τ (t)dt + F (x). (33) 0 После того как из (33) τ (x) найдено однозначно, решение u(x, y) задачи Гурса (2) для уравнения (1) определяется как решение этой же задачи, но уже для ненагруженного уравнения uyy - |y|m uxx + aux + buy + cu = d0 (x, y), где αi d0 (x, y) = λai D0ξ τ (ξ) + d(x, y).

About the authors

Anatoly H Attaev

Institute of Applied Mathematics and Automation

Email: attaev.anatoly@yandex.ru
89 a, Shortanova st., Nal'chik, 360000, Russian Federation (Cand. Phys. & Math. Sci.; attaev.anatoly@yandex.ru), Head of Dept., Dept. CAD of Mixed Systems and Management

References

  1. Нахушев А. М. Нагруженные уравнения и их применение. М.: Наука, 2012. 232 с.
  2. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995. 301 с.
  3. Нахушев А. М. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегродифференциального уравнения второго порядка // Дифференц. уравнения, 1976. Т. 12, № 1. С. 103-108.
  4. Казиев М. В. Задача Гурса для одного нагруженного интегро-дифференциального уравнения // Дифференц. уравнения, 1981. Т. 17, № 2. С. 313-319.
  5. Репин О. А., Тарасенко А. В. Задача Гурса и Дарбу для одного нагруженного интегродифференциального уравнения второго порядка // Математический журнал. Алматы, 2011. Т. 11, № 2. С. 64-72, http://www.math.kz/images/journal/2011-2/Repin_Tarasenko.pdf (дата обращения: 23.10.2015).
  6. Аттаев А. Х. Задача Гурса для локально нагруженного уравнения со степенным параболическим вырождением // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 2008. Т. 10, № 2. С. 14-17.
  7. Аттаев А. Х. Задача Гурса для нагруженного гиперболического уравнения // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 2014. Т. 16, № 3. С. 9-12.
  8. Огородников Е. Н. Некоторые характеристические задачи для систем нагруженных дифференциальных уравнений и их связь с нелокальными краевыми задачами // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2003. № 19. С. 22-28. doi: 10.14498/vsgtu134.
  9. Огородников Е. Н. Корректность задачи Коши-Гурса для системы вырождающихся нагруженных гиперболических уравнений в некоторых специальных случаях и ее равносильность задачам с нелокальными краевыми условиями // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2004. № 26. С. 26-38. doi: 10.14498/vsgtu173.
  10. Нахушев А. М. О нелокальных краевых задачах со смещением и их связи с нагруженными уравнениями // Дифференц. уравнения, 1985. Т. 21, № 1. С. 92-101.
  11. Gellerstedt S. Sur une équation linéaire aux dérivées partielles de type mixte // Ark. Mat. Astron. Fys. A, 1937. vol. 25, no. 29. pp. 1-23.
  12. Нахушев А. М. Об одном классе линейных краевых задач для гиперболического и смешанного типов уравнений второго порядка. Нальчик: Эльбрус, 1992. 154 с.

Statistics

Views

Abstract - 9

PDF (Russian) - 5

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2016 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies