De la Vallée Poussin problem in the kernel of the convolution operator on the half-plane

Full Text

Настоящая статья представляет собой расширенный вариант доклада [1], сделанного авторами на Четвёртой международной конференции «Математическая физика и её приложения» (Россия, Самара, 25 августа - 1 сентября 2014). Введение. Пусть D = {z : Re z < α, α > 0}, H(D) - пространство аналитических функций в области D с топологией равномерной сходимости на компактах. Основной результат данной статьи - решение многоточечной задачи Валле Пуссена [2]. Многоточечная задача Валле Пуссена (интерполяционная задача). Пусть ψ(z) ∈ H(D); µ1 , µ2 , . . . ∈ D - положительные нулевые точки этой функции и их предел лежит на границе D. Предположим, что µk имеют кратность sk , k = 1, 2, . . . . Пусть Mϕ - оператор свертки с характеристической функцией ϕ(z). Рассмотрим произвольную последовательность комплексных чисел akj , j = 0, 1, . . . , sk - 1. Существует ли функция u(z) ∈ Ker Mϕ такая, что u(j) (µk ) = akj , j = 0, 1, . . . , sk - 1? Ранее задача Валле Пуссена рассматривалась на всей комплексной плоскости в работах [3-8]. В работе [3] задача решается в классе дифференциальных операторов конечного порядка, в [4-6] авторы решают задачу Валле Пуссена для оператора свертки на пространстве целых функций. В статьях [7, 8] эта задача решается для операторов свертки Данкла и обобщенной свертки. В настоящей работе задача Валле Пуссена [2] решается в ядре оператора свертки на полуплоскости. Берется условие, что характеристическая функция оператора имеет вполне регулярный рост [9, c. 182]. 1. Предварительные сведения. Обозначим через H ∗ (D) сопряженное к H(D) пространство с сильной топологией. Пусть f (z) ∈ H(D), для любого функционала L из H ∗ (D) существует выпуклый компакт BL ⊂ D и мера µ, носитель которой лежит в BL , такая что (L, f (z)) = f (z)dµ (1) BL (см. [10]). Введем преобразование Лапласа ˆ L(z) = (L, ezt ), ˆ L(z) ∈ PD , где пространством PD обозначим преобразование Лапласа всех функционалов из H ∗ (D). Определим рост функции из PD . Из интеграла (1) вытекает оценка ˆ |L(z)| CehL (θ)|z| , где hL (-θ) - опорная функция множества BL . Тогда по теореме Полиа [11, ˆ c. 51] hL (θ) - индикатриса роста функции L(z). Пусть F ∈ H ∗ (D); ϕ(z) - преобразование Лапласа функционала F . Через D1 обозначим пересечение всех выпуклых компактов BL и назовем его сопряженной диаграммой функции ϕ(z) [11, c. 45]. Тогда ∀ ε > 0 выполняется неравенство |ϕ(z)| C(ε)e(hϕ (θ)+ε)|z| . Определим топологию в PD . Пусть Qj - последовательность выпуклых возрастающих компактов таких, что Qj ⊆ Q0 , j+1 где Q0 - внутренние точки Qj и ∪Qj = D. Для каждого Qj опорную функцию j обозначим hQj (-θ). Введем нормированные пространства Bj такие, что Bj = β ∈ H(D) : β j = sup |β(z)|e -hQj (θ)|z| <∞ , j = 1, 2, . . . . z∈C Тогда топология в PD есть индуктивный предел нормированных пространств Bj . В этой топологии последовательность ϕk ∈ PD сходится к 0, если сущеh (θ)|z| ствуют числа C, Qj0 такие, что |ϕk (z)| Ce Qj0 , и ϕk (z) → 0 равномерно на компактах из области C (см. [12]). 284 Задача Валле Пуссена в ядре оператора свертки на полуплоскости Определение 1. Пусть N множество в C; qk ∈ L - произвольная последовательность, где L - подпространство PD с индуцированной из PD топологией. Будем говорить, что множество N является секвенциально достаточным в L, если из условий h (θ)|z| 1) ∃C > 0, Qj : |qk (z)| < Ce Qj , z ∈ N, ∀θ, ∀k ∈ N, 2) qk (z) → 0 равномерно на любом компакте из N (2) (3) вытекает сходимость последовательности в L. Введем оператор свертки. По определению, Mϕ [f (z)] = (F, f (z + t)). Будем рассматривать такой функционал F ∈ H ∗ (D), что ϕ(z) = (F, ezt ). Введем условие, что функция ϕ(z) - функция вполне регулярного роста вдоль вещественной оси [9, c. 182]. Обозначим через λ1 , λ2 , . . . подпоследовательность нулей ϕ(z) таких, что λ k ∈ R+ , λ k ∞ k = 1, 2, . . . . (4) Так как ϕ(z) - функция вполне регулярного роста, оператор Mϕ [f (z)] действует из H(D) в H(D2 ). Будем считать, что сопряженная диаграмма функции ϕ(z) такая, что D1 +D2 = D. Оператор Mϕ [f (z)] линейный, непрерывный и сюръективный, так как ϕ(z) - функция вполне регулярного роста [13]. Пусть функция ψ из H(D) имеет нули µk кратности sk такие, что µk < µk+1 , µk ∈ R+ , lim µk = µ0 , k→∞ µ0 ∈ ∂D, k = 1, 2, . . . . (5) Рассмотрим оператор [14] Mψ [y(z)], y(z) ∈ PD : Mψ [y(z)] = 1 2πi ψ(w)ezw γ(w)dw, A где γ - функция, ассоциированная по Борелю к y(z); контур A охватывает особенности γ и не пересекает нули ψ(z). Оператор действует из PD в PD . Ядро оператора - множество конечных линейных комбинаций решений z l eµk z , 0 l < sk [14]. Важную роль играет следующий оператор свертки Mϕ [ψ · f (z)]. Он действует линейно и непрерывно из H(D) в H(D2 ). Выпишем сопряженный к нему оператор 1 Mψ [ϕ · g(z)] = ψ(w)ezw γ(w)dw, 2πi A где g(z) ∈ PD2 ; γ - функция, ассоциированная по Борелю к ϕ · g(z); контур A охватывает особенности γ и не пересекает нули ψ(z). Этот оператор действует из PD2 в PD в силу того, что для произведения функций вполне регулярного роста индикаторные диаграммы складываются [9, c. 207]. 2. Решение задачи Валле Пуссена на полуплоскости. Теорема 1. Многоточечная задача Валле Пуссена для Mϕ разрешима тогда и только тогда, когда имеет место представление Фишера [3]: H(D) = Ker Mϕ + {ψ(λ) · r(λ) : r(λ) ∈ H(D)}, (6) где { · · · } - множество всех произведений функции ψ(λ) на всевозможные r(λ) ∈ H(D). Д о к а з а т е л ь с т в о. Решение многоточечной задачи Валле Пуссена эквивалентно тому, что для любой функции h(z) ∈ H(D) существует решение u(z) ∈ H(D) уравнения Mϕ [f ] = 0, такое что (u - h)/ψ ∈ H(D). Отсюда u - h = l(z)ψ, l(z) ∈ H(D) или h = u + lψ. Получили представление Фишера. Докажем обратное. Любая функция h(z) ∈ H(D) представима в виде h(z) = h1 (z) + h2 (z), где h1 (z) ∈ Ker Mϕ , h2 (z) ∈ {ψ(λ) · r(λ) : r(λ) ∈ H(D)}. Пусть µk , k = = 1, 2, . . . - нули функции ψ кратности sk ; akj , j = 0, 1, . . . , sk -1 - произвольная последовательность комплексных чисел. Поставим многоточечную задачу Валле Пуссена следующим образом: существует ли функция u(z) ∈ Ker Mϕ такая, что u(j) (µk ) = akj ? Действительно, возьмем определенную функцию h(z) ∈ H(D) такую, что h(j) (µk ) = akj . Такая функция существует в силу (j) (j) теоремы Вейерштрасса. Тогда h(j) (µk ) = h1 (µk ) + h2 (µk ), следовательно, (j) akj есть h1 (µk ). Теорема доказана. Лемма 1. Сюръективность оператора Mϕ [ψ·] в H(D2 ) эквивалентна представлению Фишера (6). Лемма 1 доказывается по аналогии с [4]. Значит, из теоремы 1 и леммы 1 следует, что для решения задачи Валле Пуссена нужно доказать сюръективность оператора Mϕ [ψ·] в H(D2 ). Теорема 2. Пусть функция ψ ∈ H(D) имеет нули µk кратности sk , которые удовлетворяют (5); функция ϕ(z) - функция вполне регулярного роста вдоль вещественной оси, а последовательность нулей λk удовлетворяет (4). Тогда Nϕ = {λk }, k = 1, 2, . . . - секвенциально достаточное множество в ядре оператора Mψ в PD . Д о к а з а т е л ь с т в о. В определении 1 роль N будет играть Nϕ . Нужно показать, что выполнение условий (2), (3) в точках z ∈ Nϕ влечет выполнение этих условий во всех точках плоскости C. Рассмотрим уравнение Mψ [y(z)] = 0, y(z) ∈ PD . (7) В работе [14] показано, что каждый нуль µk функции ψ порождает sk решений уравнения (7) eµk z , zeµk z , . . . , z sk -1 eµk z и что всякое решение уравнения (7) представляется в виде линейной комбинации этих экспонент. Пусть задана последовательность pm sk -1 Ckl (m)z l eµk z , rm (z) = k=1 l=0 286 m = 1, 2, . . . . Предположим, что rm (z) сходится к нулю при m → ∞ в точках z ∈ Nϕ . Это означает выполнение (2) в точках z ∈ Nϕ с индикатрисой роста функции ϕ(z) и выполнение (3) на любом компакте из Nϕ . Покажем, что в каждый член последовательности, удовлетворяющей неравенству (2) в точках z ∈ Nϕ , входят только те eµk z , у которых µk < hQj (θ). Достаточно рассмотреть при θ = 0, потому что существует компакт Qj0 , содержащий множество точек µ1 , µ2 , . . . µp . Зафиксируем m. В последовательности rm (z) выберем нуль µp такой, что µp < hQj (θ), а µp+1 hQj (θ). Пусть нуль µp имеет кратность sp . Вынесем за скобки последовательности (8) элемент z sp -1 eµp z . Заметим, что z sp -1 eµp z < Ce hQj (θ)|z| . Тогда получим z sp -1 eµp z (rm (z)/z sp -1 eµp z ). Выражение в скобке будет стремиться к единице при z → ∞ и z ∈ Nϕ . Таким образом, в каждой rm (z) для любого m последний член имеет экспоненту с показателем µk < hQj (θ). Это будет выполняться для любого θ, так как опорная функция множества Qj (0) будет совпадать с опорной функцией множеств Qj (θ) в силу того, что µk ∈ R+ . Значит, слагаемых в (8) конечное число. Докажем теперь (3) для последовательности rm (z) на любом компакте в плоскости C. Поскольку число членов в ряде ограничено, достаточно показать, что Ckl (m) → 0. Строим матрицу A. Берем первый элемент eµ1 λ1 , нуль λj2 выбираем так, чтобы определитель матрицы второго порядка ∆2 = det eµ1 λ1 eµ1 λj2 λ1 eµ1 λ1 = 0. λj2 eµ1 λj2 Точку λj3 выбираем так, чтобы определитель матрицы третьего порядка eµ1 λ1 ∆3 = det eµ1 λj2 eµ1 λj3 λ1 eµ1 λ1 λj2 eµ1 λj2 λj3 eµ1 λj3 λ2 eµ1 λ1 1 λ2 eµ1 λj2 = 0. j2 λ2 eµ1 λj3 j3 Аналогично строим матрицу четвертого порядка и т.д. Точку λjn выбираем так, что eµn λjn превосходит все элементы данной матрицы, чтобы ∆n = 0. В результате получим следующую квадратную матрицу A размера s1 + s2 + + · · · + sp = d:   s -1 eµ1 λ1 λ1 eµ1 λ1 . . . λs1 -1 eµ1 λ1 . . . eµp λ1 . . . λ1p eµp λ1 1  µ1 λj2  sp -1 λj2 eµ1 λj2 . . . λs1 -1 eµ1 λj2 . . . eµp λj2 . . . λj2 eµp λj2  e j2  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sp -1 eµ1 λjd λjd eµ1 λjd . . . λs1 -1 eµ1 λjd . . . eµp λjd . . . λjd eµp λjd jd Последний элемент в главной диагонали матрицы можно сделать столь большим за счет выбора λjd и чтобы det A = 0. По формуле Крамера Cjn (m) = det |Ajn (m)| , det A где матрица Ajn (m) получена из A заменой (j + n)-ного столбца столбцом свободных членов (A1 (m), . . . , Ad (m))T . При этом p sk -1 Ckl (m)λl eµk λj j Aj (m) = k=1 l=0 и Aj (m) → 0 из (3) равномерно при m → ∞ на конечном множестве точек λj , следовательно, Ckl (m) → 0 при m → ∞. Поэтому для любого z на компакте плоскости C выполняется (3) равномерно при m → ∞. Теперь получаем, что |rm (z)| → 0 при m → ∞ в плоскости C. Поскольку коэффициенты Ckl (m) ограничены и µk < hQj (θ) для любого m последовательности (8), получаем, что неравенство (2) будет выполняться и для точек z всей плоскости C. А это означает, что Nϕ является секвенциально достаточным множеством в ядре оператора Mψ . Теорема доказана. Замечание. Из доказательства теоремы 2 вытекает, что Nϕ - множество единственности в ядре оператора Mψ . Теорема 3. Пусть ϕ - функция вполне регулярного роста, Nϕ = {λk }∞ k=1 секвенциально достаточное множество в ядре оператора Mψ , тогда оператор Mϕ [ψ·] сюръективен в H(D2 ). Д о к а з а т е л ь с т в о. Сюръективность оператора Mϕ [ψ·] - это есть замкнутость и всюду плотность его образа в H(D2 ). По теореме Дьедонне- Щварца [15] это эквивалентно инъективности оператора Mψ [ϕ·] и замкнутости его образа в PD . Для линейного оператора инъективность эквивалентна тому, что его ядро тривиально. Покажем, что Ker Mψ [ϕ·] = {0}. Пусть g(z) ∈ PD2 такое, что Mψ [ϕ · g(z)] = 0, тогда ϕ · g(z) ∈ Ker Mψ . Учитывая замечание к теореме 2, получаем, что ϕ · g(z) ≡ 0, а следовательно, g(z) ≡ 0, так как ϕ(z) = 0. Для замкнутости образа оператора Mψ [ϕ·] в PD необходимо показать, что если последовательность gn (z) сходится к g(z) и gn (z) ∈ Im Mψ [ϕ·], то g(z) ∈ Im Mψ [ϕ·]. Так как gn (z) ∈ Im Mψ [ϕ·], существует последовательность функций Qn (z) ∈ PD2 , удовлетворяющая следующему равенству: Mψ [ϕ · Qn (z)] = gn (z). В работе [14] показано, что оператор Mψ сюръективен. Значит (см. [16]) су-1 ществует непрерывный правый обратный Mψ , поэтому существует последовательность функций yn (z) ∈ PD , удовлетворяющая следующим условиям: 1) Mψ [yn ] = gn (z); 2) yn (z) → y(z), y(z) ∈ PD . Из первого условия и (9) в силу линейности оператора Mψ получим Mψ [yn (z) - ϕ · Qn (z)] = 0. Обозначим vn (z) = yn (z) - ϕ · Qn (z), тогда vn (z) ∈ PD , vn (λk ) = yn (λk ). Так как Nϕ - секвенциально достаточное множество в Ker Mψ , имеет место vn (z) → v(z) в PD , где v(z) ∈ Ker Mψ . Тогда с учетом второго условия ϕ · Qn (z) сходится к некоторой функции l(z) ∈ PD и нули l(z) включают нули ϕ. Обозначим Q(z) = l(z)/ϕ. Функция l(z) ∈ PD , ϕ(z) - функция вполне регулярного роста, ϕ(z) ∈ PD1 , значит, по [9, c. 207] Q(z) ∈ PD2 . Покажем, что Qn (z) сходится к этой Q(z) равномерно на компактах. Пусть K - замкнутый круг с центром в нуле и |ϕ| > δ на границе K. Так как ϕ · Qn (z) сходится к l(z) в PD , имеется равномерная сходимость ϕ · Qn (z) к l(z) на компактах. Это означает, что для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что выполняется |ϕ · Qn (z) - l(z)| < ε, n > N (ε), z ∈ K. Следовательно, |Qn (z)-l(z)/ϕ| < ε/δ на границе K. По принципу максимума модуля сходимость может быть продолжена на весь компакт K. Таким образом, Qn (z) равномерно сходится к Q(z) на K. В силу сходимости ϕ · Qn (z) к l(z) в PD1 верна оценка |ϕ · Qn (z)| < CehD (θ)|z| . Значит, согласно определению 1 получаем, что ϕ · Qn (z) равномерно сходится к ϕ · Q(z) в PD . В силу непрерывности оператора свертки имеем Mψ [y(z) - ϕ · Q(z)] = 0. Поэтому Mψ [ϕ · Q(z)] = Mψ [y(z)] = g(z), то есть g(z) ∈ Im Mψ [ϕ·]. Получили, что оператор Mϕ [ψ·] сюръективен. Теорема доказана. Таким образом, из теорем 2 и 3 следует сюръективность оператора Mϕ [ψ ·], а значит, и условия разрешения многоточечной задачи Валле Пуссена на выпуклых областях.

About the authors

Valentin V Napalkov

Institute of Mathematics with Computing Centre, Ufa Science Centre, Russian Academy of Sciences

Email: shaig@anrb.ru
(Dr. Phys. & Math. Sci., Corresponding member of RAS; shaig@anrb.ru), Director of Institute 112, Chernyshevskiy st., Ufa, 450077, Russian Federation

Karina R Zimens

Ufa State Aviation Technical University

Email: karinazabirova@gmail.com
(karinazabirova@gmail.com; Corresponding Author), Postgraduate Student, Dept. of Special Chapters of Mathematics 12, K. Marks st., Ufa, 450000, Russian Federation

References

Supplementary files