The nonlocal A. A. Desin's problem for an equation of mixed elliptichyperbolic type

Abstract


In this paper for the equation of mixed elliptic-hyperbolic type in rectangular area the task with the conditions of periodicity and the nonlocal problem of A. A. Desin was studied, the uniqueness criterion was set. The solution of the problem was constructed as a sum of orthogonal series in eigenfunctions of the corresponding one-dimensional spectral problem. The problem of small denominators arises in justifying the convergence of the series. Therefore the evaluation on the separation from zero of small denominators with the corresponding asymptotics was established. This assessment allowed under certain conditions relative to the set objectives and functions to prove convergence of the constructed series in the class of regular solutions and the stability of the solution.

Full Text

1. Постановка задачи. Рассмотрим неоднородное уравнение смешанного типа Lu ≡ uxx + (sgn y)uyy - b2 u = F (x, y) (1) в прямоугольной области D = {(x, y) | 0 < x < l, -α < y < β}, где l, b, α и β - заданные положительные постоянные, и поставим задачу А. А. Дезина [1]. Задача Дезина Найти в области D функцию u(x, y), удовлетворяющую следующим условиям: u ∈ C 1 (D) ∩ C 2 (D- ∪ D+ ); Lu = F (x, y), (x, y) ∈ D- ∪ D+ ; (2) (3) 22 Нелокальная задача Дезина для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа u(0, y) - u(l, y) = 0, ux (0, y) - ux (l, y) = 0, -α u(x, β) = ϕ(x), 0 x l; uy (x, -α) - λu(x, 0) = ψ(x), 0 x l, y β; (4) (5) (6) где ϕ(x), ψ(x) - заданные достаточно гладкие функции; D+ = D ∩ {y > 0}, D- = D ∩ {y < 0}; λ - заданный действительный параметр. А. А. Дезин в своих работах [1, 2] отметил, что метод поиска разрешимых расширений для дифференциальных операторов может быть адаптирован к оператору Лаврентьева-Бицадзе с условиями периодичности по переменной x. В работах З. А. Нахушевой [3], [4, с. 143-153] задача (2)-(6) изучена, когда α = l, ϕ(x) = ψ(x) = 0, b = 0, λ 0, F (x, y) = f (x, y) · H(y), где H(y) - функция Хевисайда. Показано, что при λ < 0 однородная задача (т. е. когда f (x, y) ≡ 0) имеет нетривиальные решения. В работе [5] была изучена задача (2)-(6) при F (x, y) ≡ 0, b = 0, где установлен критерий единственности решения поставленной задачи. Решение построено в виде суммы ряда по собственным функциям соответствующей одномерной спектральной задачи. При обосновании сходимости ряда возникла проблема малых знаменателей относительно отношения сторон α/l прямоугольника D- . При некоторых условиях относительно α/l, λ, β и функций ϕ(x), ψ(x) показано, что сумма построенного ряда принадлежит классу (2). Доказана также устойчивость решения задачи от заданных функций ϕ(x) и ψ(x). В данной работе задача (2)-(6) изучена для уравнения (1) при F (x, y) ≡ 0 и всех b = 0. Также установлен критерий единственности. Решение построено в виде суммы ряда Фурье, равномерная сходимость которого зависит от α/l, λ, β и b. Установлены теоремы существования и устойчивости решения. Отметим, что впервые нелокальные задачи для уравнений смешанного типа были изучены в работах [6-8]. 2. Единственность решения задачи. Пусть существует решение задачи (2)- (6) при F (x, y) ≡ 0. Следуя [5, 9, 10] введем функции 1 u0 (y) = √ l l u(x, y)dx, uk (y) = 0 υk (y) = 2 l 2 l l u(x, y) cos µk xdx, (7) 0 l u(x, y) sin µk xdx, k ∈ N, (8) 0 и аналогично этим работам относительно функций (7) и (8) получим дифференциальные уравнения 2 uk (y) - (sgny)γk uk (y) = 0, 2 u0 (y) - (sgny)b u = 0, υk (y) - 2 (sgny)γk υk (y) = 0, y ∈ (α,0) ∪ (0, β), y ∈ (-α, 0) ∪ (0, β), y ∈ (-α,0) ∪ (0, β), k ∈ N, (9) (10) (11) 2 где γk = µ2 + b2 . Найдем общее решение уравнения (9): k uk (y) = ck eγk y + dk e-γk y , y > 0, ak cos γk y + bk sin γk y, y < 0, (12) 23 Г у щ и н а В. А. где ak , bk , ck и dk - произвольные постоянные. Выберем эти постоянные так, чтобы в силу (2) выполнялись условия сопряжения uk (0 + 0) = uk (0 - 0), uk (0 + 0) = uk (0 - 0). (13) Удовлетворяя функции (12) условиям (13), найдем ck = ak + bk , 2 dk = ak - bk . 2 Тогда с учётом найденных значений ck и dk функции (12) примут вид uk (y) = ak ch γk y + bk sh γk y, y > 0, ak cos γk y + bk sin γk y, y < 0. (14) Для нахождения постоянных ak и bk воспользуемся условиями (5), (6) и формулой (7): uk (β) = 2 l l u(x, β) cos µk xdx = 0 uk (-α) - λuk (0) = 2 l 2 l l ϕ(x) cos µk xdx = ϕk , (15) 0 l [uy (x, -α) - λu(x, 0)] cos µk xdx = 0 = 2 l l ψ(x) cos µk xdx = ψk . (16) 0 Теперь на основании (14)-(16) получим систему ak ch γk β + bk sh γk β = ϕk , ak (sin γk α - λ/γk ) + bk cos γk α = ψk /γk . (17) Если определитель системы (17) ∆(k) = cos γk α ch γk β - sh γk β sin γk α + (λ/γk ) sh γk β = 0 (18) при всех k ∈ N, то данная система имеет единственное решение: 1 sh γk β ϕk cos γk α - ψk , ∆(k) γk 1 λ ch γk β bk = ϕk - sin γk α + ψk . ∆(k) γk γk ak = (19) (20) Отметим, что определитель ∆(k), помимо переменной k, зависит также от данных задачи α, β, l, b и λ как параметров. Подставляя (19) и (20) в (17), найдём окончательный вид функций:  sh γk (β - y)  Ak (α, y) ϕk - ψk , y > 0,  ∆(k) ∆(k) uk (y) = (21) Ck (y, β)  Bk (α, y) ϕk  + ψk , y < 0, ∆(k) ∆(k) 24 Нелокальная задача Дезина для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа где Ak (α, y) = cos γk α ch γk y - sin γk α sh γk y + (λ/γk ) sh γk y, Bk (α, y) = cos γk (α + y) + (λ/γk ) sin γk y, Ck (y, β) = ch γk β sin γk y - sh γk β cos γk y. (22) (23) (24) По аналогичной схеме исходя из уравнения (10) на основании условий сопряжения и граничных условий (5) и (6) найдём  sh b(β - y)  A0 (α, y) ϕ0 + ψ0 , y > 0,  ∆(0) ∆(0) (25) u0 (y) = C0 (y, β)  B0 (α, y) ϕ0  + ψ0 , y < 0, ∆(0) ∆(0) где ∆(0) = ch(bβ) cos(bα) - sh(bβ) sin(bα) + (λ/b) sh(bβ) = 0. A0 (α, y) = cos(bα) ch(by) - sin(bα) sh(by) + (λ/b) sh(by), B0 (α, y) = cos b(α + y) + (λ/b) sin(by), C0 (y, β) = ch(bβ) sin(by) - sh(bβ) cos(by), 1 ϕ0 = √ l l ϕ(x)dx, 1 ψ0 = √ 0 (26) l l ψ(x)dx. 0 Формулу (25) и условие (26) можно получить исходя из равенств (21)-(24) и (18) при k = 0. Повторяя рассуждения, аналогичные при построении формулы (21), на основании общего решения уравнения (11) найдем  sh γk (β - y)  Ak (α, y) ϕk - ψk , y > 0,  ∆(k) ∆(k) (27) υk (y) = Ck (y, β)  Bk (α, y) ϕk  + ψk , y < 0, ∆(k) ∆(k) где 2 l 2 l ϕ(x) sin µk xdx, ψk = ψ(x) sin µk xdx. l 0 l 0 Теперь мы в состоянии доказать теорему единственности решения задачи (2)-(6). Пусть ϕ(x) ≡ 0, ψ(x) ≡ 0 и выполнены условия (18) при всех k ∈ N0 . Тогда ϕk = ψk = ϕk = ψk = 0 при всех k ∈ N0 и из равенств (21), (25), (27), (7), (8) при всех y ∈ [-α, β] и k ∈ N0 следует, что ϕk = 1 l u(x, y)dx = 0, 0 l u(x, y) cos µk xdx = 0, 0 u(x, y) sin µk xdx = 0. 0 Отсюда в силу полноты системы функций 1 √ , l 2 cos µk x, l 2 sin µk x l 25 Г у щ и н а В. А. в пространстве L2 [0, l] следует, что u(x, y) = 0 почти всюду на [0, l] при любом y ∈ [-α, β]. Функция u(x, y) ≡ 0 в D, поскольку она непрерывна на D. Пусть при некоторых α, β, b, l, λ и k = p ∈ N0 нарушено условие (18), т.е. ∆(p) = 0. Тогда однородная задача (2)-(6) (где ϕ(x) = ψ(x) ≡ 0) имеет нетривиальные решения: up (x, y) = up (y)(A1 + A2 cos γp x + A3 sin γp x),   sh γp (β - y)  , y > 0,  sh γp β up (y) =  γp cos γp (α + y) + λ sin γp y   , y < 0, p ∈ N0 . γp cos γp α (28) (29) Здесь A1 , A2 , A3 - произвольные постоянные. Теперь естественно возникает вопрос о существовании корней уравнения ∆(p) = 0. Для этого представим его в виде ∆(p) = - ch 2γp β sin (2πpαγp - θp ) + (λ/γp ) sh γp β = 0, (30) где θp = arcsin ch γp β ch 2γp β , α= α , l 1 + (bl/2πp)2 . γp = Отсюда видно, что уравнение (30) имеет счётное множество нулей относительно α= (-1)n λ sh γp β θp πn arcsin + + , 2πpγp γp ch 2γp β 2πpγp 2πpγp n ∈ N0 , p ∈ N, (31) при условии |λ| γp sh γp β 1. (32) sh2 γp β + ch2 γp β Когда γp |λ|, т.е. p |λ|l/2π, неравенство (32) всегда имеет место для таких p. Таким образом, установлен критерий единственности. Теорема 1. Если существует решение задачи (2)-(6), то оно единственно только тогда, когда выполнены условия (18) при всех k ∈ N0 . 3. Построение решения задачи. Решение поставленной задачи (2)-(6) при выполнении условий (18) будем искать формально в виде суммы ряда 1 u(x, y) = √ u0 (y) + l 2 l +∞ uk (y) cos γk x + υk (y) sin γk x, (33) k=1 где коэффициенты u0 (y), uk (y) и υk (y) определяются соответственно формулами (25), (21) и (27). Поскольку ∆(k) входит в знаменатель коэффициентов ряда (33) и, как показано выше, выражение ∆(k) имеет относительно α счётное множество нулей (31), то при α, близких к корням уравнения (30), выражение ∆(k) может стать достаточно малым, т.е. возникает проблема «малых 26 Нелокальная задача Дезина для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа знаменателей» [5, 10, 11]. Следовательно, для обоснования существования решения задачи надо показать существование положительных чисел α, β, l, b и λ, при которых выражение ∆(k) отделено от нуля с соответствующей асимптотикой. Лемма 1. Если α = p/q, p, q ∈ N, (q, 4) = 1, (p, q) = 1, то существуют ˜ положительные постоянные C0 и k0 (k0 ∈ N), вообще говоря, зависящие от α, l, b и λ, такие, что при всех k > k0 справедлива оценка C0 eγk β > 0. |∆(k)| (34) Д о к а з а т е л ь с т в о. При b = 0 выражение γk , которое зависит от lb, при условии lb lb lb < 1 или k > k1 = 2πk 2π 2π можно представить в виде γk = lb 2πk 1+ 2 1/2 = 1 + rk , (35) при этом для остатка rk справедлива оценка 3 lb 8 2πk 2 < rk < 1 lb 2 2πk 2 . (36) Пусть α = p/q ∈ Q. В этом случае разделим 2kp на q с остатком: 2kp = sq + r. Здесь s, r ∈ N0 , 0 (35) примет вид r < q. Тогда выражение ∆(k) c учетом (30) и равенства ch 2γk β(-1)s+1 sin ∆(k) = πr λ + αrk - θk + sh γk β, q γk rk = 2πkrk . (37) Поскольку θk → π/4 при k → +∞ и последовательность rk → 0 в силу оценки (36), существует натуральное число k2 , такое, что при всех k > k2 |δ(k)| = sin πr + αrk - θk q 1 r 1 sin π - 2 q 4 = C1 > 0. (38) Тогда из (37) на основании оценки (38) имеем πr λ sh γk β √ + αrk - θk + > q γk ch 2γk β eγk β |λ| 1 eγk β |λ| eγk |λ|l √ > √ C1 - √ = √ C1 - √ > √ |δ(k)| - . (39) γk 2 2 2 µk 2 2 2 2πk |∆(k)| = ch 2γk β (-1)s+1 sin 27 Г у щ и н а В. А. Отсюда видно, что существует число k3 ∈ N, такое, что при всех |λ|l k > k3 = √ 2πC1 справедливо неравенство |λ|l C1 √ . 2 2π 2k Тогда из (39) следует требуемая оценка (34) при всех k > k0 = max{k1 , k2 , k3 }. Лемма 2. Пусть выполнены условия леммы 1. Тогда при всех k > k0 и любом y ∈ [-α, β] справедливы оценки |uk (y)| M1 (|ϕk | + |ψk |), uk (y) M2 k(|ϕk | + |ψk |), |υk (y)| ˜ M1 |ϕk | + |ψk | , ˜ υk (y) ˜ M2 k(|ϕk | + |ψk |), ˜ uk (y) M3 k 2 (|ϕk | + |ψk |), υk (y) ˜ M3 k 2 (|ϕk | + |ψk |), ˜ где Mi - здесь и далее положительные постоянные. Д о к а з а т е л ь с т в о. Справедливость приведённых в лемме 2 оценок непосредственно следует из формул (21)-(24) и (27) в силу оценки (34). В силу леммы 2 ряд (33) и его производные первого порядка в замкнутой области D и производные второго порядка соответственно в областях D+ и D- мажорируются числовым рядом +∞ ˜ k 2 |ϕk | + |ψk | + |ϕk | + |ψk | . ˜ M4 (40) k=k0 +1 Из теории рядов Фурье известно, что если ϕ(x), ψ(x) ∈ C 3 [0, l] и ϕ(i) (0) = = ϕ(i) (l), ψ (i) (0) = ψ (i) (l), i = 0, 1, 2, то ряд (40) оценивается сходящимся числовым рядом +∞ M5 k=k0 +1 1 (3) (3) (3) ˜(3) |ϕ | + |ψk | + |ϕk | + |ψk | , ˜ k k (41) где (3) ϕk = (3) ϕk = 2 l 2 l 1 ϕ(3) (x) sin µk xdx, 0 1 ϕ(3) (x) cos µk xdx, 0 +∞ ϕ(3) (x) 2 l 1 ψ (3) (x) sin µk xdx, 0 1 ψ (3) (x) cos µk xdx, 0 |ψk |2 (3) ψ (3) (x) 2 L2 , (3) 2 L2 , k=1 +∞ ψ (3) (x) 2 L2 . k=1 +∞ (3) |ϕk |2 28 (3) ψk = 2 l +∞ (3) |ϕk |2 k=1 (3) ψk = ϕ(3) (x) 2 L2 , |ψk |2 k=1 Нелокальная задача Дезина для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа Если для указанных в лемме 1 чисел α выражение ∆(k) = 0 при всех ˜ k = 0, k0 , то из сходимости ряда (41) в силу признака Вейерштрасса сумма ряда (33) удовлетворяет условиям (2) и (3) при F (x, y) ≡ 0. Если для указанных в лемме 1 чисел α при некоторых k = k1 , k2 , . . . , kp ˜ k0 , где 0 k1 k2 < . . . < kp , ki , i = 1, p и p - заданные натуральные числа, выражение ∆(k) = 0, то для разрешимости задачи (2)-(6) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия ϕk γk cos γk α - ψk sh γk β = 0, ϕk γk cos γk α - ψk sh γk β = 0, (42) k = k1 , k2 , . . . , kp . Тогда решение задачи определяется в виде суммы 1 u(x, y) = √ u0 (y) + l 2 l k1 -1 + k=1 kp -1 k2 -1 +... + k=k1 +1 +∞ × + k=kp-1 +1 k=kp+1 +1 × uk (y) cos γk x + υk (y) sin γk x + um (x, y), (43) m где в последней сумме m принимает значения k1 , k2 , . . ., kp , функции um (x, y) определяются следующей формулой: up (x, y) = up (y) cos γp x + υp (y) sin γp x. (44) Здесь  sh γp (β - y)  sh γp y ϕp + Cp ,  sh γp β sh γp β up (y) =  ψp sin γp y + Cp γp cos γp (y + α) + λ sin γp y ,  γp cos γp α γp cos γp α  sh γp (β - y)  sh γp y ϕp + Cp ,  sh γp β sh γp β υp (y) =  ψp sin γp y + Cp γp cos γp (y + α) + λ sin γp y ,  γp cos γp α γp cos γp α y > 0, (45) y < 0, y > 0, (46) y < 0, а Cp - произвольная постоянная. Отметим, что равенства (44)-(46) составлены с учетом ненулевых решений (28) и (29) однородной задачи. Таким образом, доказано следующее утверждение. Теорема 2. Пусть выполнены условия леммы 1 (следовательно, выполнена оценка (34) при всех k > k0 ) и ϕ(x), ψ(x) ∈ C 3 [0, l], ϕ(i) (0) = ϕ(i) (l), ψ (i) (0) = ψ (i) (l), i = 0, 1, 2. Если при ∆(k) = 0 при всех k = 0, k0 , то существует единственное решение задачи (2)-(6) и это решение определяется рядом (33); если ∆(k) = 0 при некоторых k = k1 , k2 , . . . , kp k0 , то задача (2)-(6) разрешима только тогда, когда выполнены условия (42) и решение в этом случае определяется рядом (43). 29 Г у щ и н а В. А. 4. Устойчивость решения задачи. Рассмотрим известные нормы 1/2 l u L2 [0,1] = u L2 |u(x, y)|2 dx = , 0 u(x, y) C(D) = max |u(x, y)|. D Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2 и ∆(k) = 0 при k = = 0, k0 . Тогда для решения (33) задачи (2)-(6) имеют место следующие оценки: u(x, y) u(x, y) C(D) M7 L2 M6 ( ϕ(x) L2 + ψ(x) ϕ(x) L2 + ψ(x) L2 + ϕ (x) L2 ) , L2 + ψ (x) L2 , где постоянные M6 и M7 не зависят от функций ϕ(x) и ψ(x). Д о к а з а т е л ь с т в о проводится аналогично работе [5].

About the authors

Violetta A Gushchina

Samara State University of Social and Humanities

Email: violetta.novikova.1991@mail.ru
65/67, M. Gorky st., Samara, 443099, Russian Federation
Postgraduate Student, Dept. of Physics, Mathematics and Methods of Teaching

References

  1. Dezin A. A. On the solvable extensions of partial differential operators / Outlines Joint Sympos. Partial Differential Equations (Novosibirsk, 1963). Moscow: Acad. Sci. USSR Siberian Branch, 1963. pp. 65-66.
  2. Дезин А. А. Операторы с первой производной по «времени» и нелокальные граничные условия // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1967. Т. 31, № 1. С. 61-86.
  3. Нахушева З. А. Об одной нелокальной задаче А. А. Дезина для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Дифференц. уравнения, 2009. Т. 45, № 8. С. 1199-2003.
  4. Нахушева З. А. Нелокальные краевые задачи для основных и смешанных типов дифференциальных уравнений, 2011. 196 с.
  5. Сабитов К. Б., Новикова В. А. Нелокальная задача А. А. Дезина для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Изв. вузов. Матем., 2016. № 6 (в печати).
  6. Франкль Ф. И. Обтекание профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения // ПММ, 1956. Т. 20, № 2. С. 196-202.
  7. Жегалов В. И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными условиями на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии / Краевые задачи теории аналитических функций / Учен. зап. Казан. ун-та., Т. 122. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1962. С. 3-16.
  8. Нахушев А. М. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения, 1969. Т. 5, № 1. С. 44-59.
  9. Сабитов К. Б. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа // ДАН, 2007. Т. 413, № 1. С. 23-26.
  10. Сабитов К. Б., Сидоренко О. Г. Задача с условиями периодичности для вырождающегося уравнения смешанного типа // Дифференц. уравнения, 2010. Т. 46, № 1. С. 105-113.
  11. Арнольд В. И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике // УМН, 1963. Т. 18, № 6(114). С. 91-192.

Statistics

Views

Abstract - 40

PDF (Russian) - 7

Cited-By


Article Metrics

Metrics Loading ...

PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2016 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies