The nonlocal A. A. Desin's problem for an equation of mixed elliptichyperbolic type

Full Text

1. Постановка задачи. Рассмотрим неоднородное уравнение смешанного типа Lu ≡ uxx + (sgn y)uyy - b2 u = F (x, y) (1) в прямоугольной области D = {(x, y) | 0 < x < l, -α < y < β}, где l, b, α и β - заданные положительные постоянные, и поставим задачу А. А. Дезина [1]. Задача Дезина Найти в области D функцию u(x, y), удовлетворяющую следующим условиям: u ∈ C 1 (D) ∩ C 2 (D- ∪ D+ ); Lu = F (x, y), (x, y) ∈ D- ∪ D+ ; (2) (3) 22 Нелокальная задача Дезина для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа u(0, y) - u(l, y) = 0, ux (0, y) - ux (l, y) = 0, -α u(x, β) = ϕ(x), 0 x l; uy (x, -α) - λu(x, 0) = ψ(x), 0 x l, y β; (4) (5) (6) где ϕ(x), ψ(x) - заданные достаточно гладкие функции; D+ = D ∩ {y > 0}, D- = D ∩ {y < 0}; λ - заданный действительный параметр. А. А. Дезин в своих работах [1, 2] отметил, что метод поиска разрешимых расширений для дифференциальных операторов может быть адаптирован к оператору Лаврентьева-Бицадзе с условиями периодичности по переменной x. В работах З. А. Нахушевой [3], [4, с. 143-153] задача (2)-(6) изучена, когда α = l, ϕ(x) = ψ(x) = 0, b = 0, λ 0, F (x, y) = f (x, y) · H(y), где H(y) - функция Хевисайда. Показано, что при λ < 0 однородная задача (т. е. когда f (x, y) ≡ 0) имеет нетривиальные решения. В работе [5] была изучена задача (2)-(6) при F (x, y) ≡ 0, b = 0, где установлен критерий единственности решения поставленной задачи. Решение построено в виде суммы ряда по собственным функциям соответствующей одномерной спектральной задачи. При обосновании сходимости ряда возникла проблема малых знаменателей относительно отношения сторон α/l прямоугольника D- . При некоторых условиях относительно α/l, λ, β и функций ϕ(x), ψ(x) показано, что сумма построенного ряда принадлежит классу (2). Доказана также устойчивость решения задачи от заданных функций ϕ(x) и ψ(x). В данной работе задача (2)-(6) изучена для уравнения (1) при F (x, y) ≡ 0 и всех b = 0. Также установлен критерий единственности. Решение построено в виде суммы ряда Фурье, равномерная сходимость которого зависит от α/l, λ, β и b. Установлены теоремы существования и устойчивости решения. Отметим, что впервые нелокальные задачи для уравнений смешанного типа были изучены в работах [6-8]. 2. Единственность решения задачи. Пусть существует решение задачи (2)- (6) при F (x, y) ≡ 0. Следуя [5, 9, 10] введем функции 1 u0 (y) = √ l l u(x, y)dx, uk (y) = 0 υk (y) = 2 l 2 l l u(x, y) cos µk xdx, (7) 0 l u(x, y) sin µk xdx, k ∈ N, (8) 0 и аналогично этим работам относительно функций (7) и (8) получим дифференциальные уравнения 2 uk (y) - (sgny)γk uk (y) = 0, 2 u0 (y) - (sgny)b u = 0, υk (y) - 2 (sgny)γk υk (y) = 0, y ∈ (α,0) ∪ (0, β), y ∈ (-α, 0) ∪ (0, β), y ∈ (-α,0) ∪ (0, β), k ∈ N, (9) (10) (11) 2 где γk = µ2 + b2 . Найдем общее решение уравнения (9): k uk (y) = ck eγk y + dk e-γk y , y > 0, ak cos γk y + bk sin γk y, y < 0, (12) 23 Г у щ и н а В. А. где ak , bk , ck и dk - произвольные постоянные. Выберем эти постоянные так, чтобы в силу (2) выполнялись условия сопряжения uk (0 + 0) = uk (0 - 0), uk (0 + 0) = uk (0 - 0). (13) Удовлетворяя функции (12) условиям (13), найдем ck = ak + bk , 2 dk = ak - bk . 2 Тогда с учётом найденных значений ck и dk функции (12) примут вид uk (y) = ak ch γk y + bk sh γk y, y > 0, ak cos γk y + bk sin γk y, y < 0. (14) Для нахождения постоянных ak и bk воспользуемся условиями (5), (6) и формулой (7): uk (β) = 2 l l u(x, β) cos µk xdx = 0 uk (-α) - λuk (0) = 2 l 2 l l ϕ(x) cos µk xdx = ϕk , (15) 0 l [uy (x, -α) - λu(x, 0)] cos µk xdx = 0 = 2 l l ψ(x) cos µk xdx = ψk . (16) 0 Теперь на основании (14)-(16) получим систему ak ch γk β + bk sh γk β = ϕk , ak (sin γk α - λ/γk ) + bk cos γk α = ψk /γk . (17) Если определитель системы (17) ∆(k) = cos γk α ch γk β - sh γk β sin γk α + (λ/γk ) sh γk β = 0 (18) при всех k ∈ N, то данная система имеет единственное решение: 1 sh γk β ϕk cos γk α - ψk , ∆(k) γk 1 λ ch γk β bk = ϕk - sin γk α + ψk . ∆(k) γk γk ak = (19) (20) Отметим, что определитель ∆(k), помимо переменной k, зависит также от данных задачи α, β, l, b и λ как параметров. Подставляя (19) и (20) в (17), найдём окончательный вид функций:  sh γk (β - y)  Ak (α, y) ϕk - ψk , y > 0,  ∆(k) ∆(k) uk (y) = (21) Ck (y, β)  Bk (α, y) ϕk  + ψk , y < 0, ∆(k) ∆(k) 24 Нелокальная задача Дезина для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа где Ak (α, y) = cos γk α ch γk y - sin γk α sh γk y + (λ/γk ) sh γk y, Bk (α, y) = cos γk (α + y) + (λ/γk ) sin γk y, Ck (y, β) = ch γk β sin γk y - sh γk β cos γk y. (22) (23) (24) По аналогичной схеме исходя из уравнения (10) на основании условий сопряжения и граничных условий (5) и (6) найдём  sh b(β - y)  A0 (α, y) ϕ0 + ψ0 , y > 0,  ∆(0) ∆(0) (25) u0 (y) = C0 (y, β)  B0 (α, y) ϕ0  + ψ0 , y < 0, ∆(0) ∆(0) где ∆(0) = ch(bβ) cos(bα) - sh(bβ) sin(bα) + (λ/b) sh(bβ) = 0. A0 (α, y) = cos(bα) ch(by) - sin(bα) sh(by) + (λ/b) sh(by), B0 (α, y) = cos b(α + y) + (λ/b) sin(by), C0 (y, β) = ch(bβ) sin(by) - sh(bβ) cos(by), 1 ϕ0 = √ l l ϕ(x)dx, 1 ψ0 = √ 0 (26) l l ψ(x)dx. 0 Формулу (25) и условие (26) можно получить исходя из равенств (21)-(24) и (18) при k = 0. Повторяя рассуждения, аналогичные при построении формулы (21), на основании общего решения уравнения (11) найдем  sh γk (β - y)  Ak (α, y) ϕk - ψk , y > 0,  ∆(k) ∆(k) (27) υk (y) = Ck (y, β)  Bk (α, y) ϕk  + ψk , y < 0, ∆(k) ∆(k) где 2 l 2 l ϕ(x) sin µk xdx, ψk = ψ(x) sin µk xdx. l 0 l 0 Теперь мы в состоянии доказать теорему единственности решения задачи (2)-(6). Пусть ϕ(x) ≡ 0, ψ(x) ≡ 0 и выполнены условия (18) при всех k ∈ N0 . Тогда ϕk = ψk = ϕk = ψk = 0 при всех k ∈ N0 и из равенств (21), (25), (27), (7), (8) при всех y ∈ [-α, β] и k ∈ N0 следует, что ϕk = 1 l u(x, y)dx = 0, 0 l u(x, y) cos µk xdx = 0, 0 u(x, y) sin µk xdx = 0. 0 Отсюда в силу полноты системы функций 1 √ , l 2 cos µk x, l 2 sin µk x l 25 Г у щ и н а В. А. в пространстве L2 [0, l] следует, что u(x, y) = 0 почти всюду на [0, l] при любом y ∈ [-α, β]. Функция u(x, y) ≡ 0 в D, поскольку она непрерывна на D. Пусть при некоторых α, β, b, l, λ и k = p ∈ N0 нарушено условие (18), т.е. ∆(p) = 0. Тогда однородная задача (2)-(6) (где ϕ(x) = ψ(x) ≡ 0) имеет нетривиальные решения: up (x, y) = up (y)(A1 + A2 cos γp x + A3 sin γp x),   sh γp (β - y)  , y > 0,  sh γp β up (y) =  γp cos γp (α + y) + λ sin γp y   , y < 0, p ∈ N0 . γp cos γp α (28) (29) Здесь A1 , A2 , A3 - произвольные постоянные. Теперь естественно возникает вопрос о существовании корней уравнения ∆(p) = 0. Для этого представим его в виде ∆(p) = - ch 2γp β sin (2πpαγp - θp ) + (λ/γp ) sh γp β = 0, (30) где θp = arcsin ch γp β ch 2γp β , α= α , l 1 + (bl/2πp)2 . γp = Отсюда видно, что уравнение (30) имеет счётное множество нулей относительно α= (-1)n λ sh γp β θp πn arcsin + + , 2πpγp γp ch 2γp β 2πpγp 2πpγp n ∈ N0 , p ∈ N, (31) при условии |λ| γp sh γp β 1. (32) sh2 γp β + ch2 γp β Когда γp |λ|, т.е. p |λ|l/2π, неравенство (32) всегда имеет место для таких p. Таким образом, установлен критерий единственности. Теорема 1. Если существует решение задачи (2)-(6), то оно единственно только тогда, когда выполнены условия (18) при всех k ∈ N0 . 3. Построение решения задачи. Решение поставленной задачи (2)-(6) при выполнении условий (18) будем искать формально в виде суммы ряда 1 u(x, y) = √ u0 (y) + l 2 l +∞ uk (y) cos γk x + υk (y) sin γk x, (33) k=1 где коэффициенты u0 (y), uk (y) и υk (y) определяются соответственно формулами (25), (21) и (27). Поскольку ∆(k) входит в знаменатель коэффициентов ряда (33) и, как показано выше, выражение ∆(k) имеет относительно α счётное множество нулей (31), то при α, близких к корням уравнения (30), выражение ∆(k) может стать достаточно малым, т.е. возникает проблема «малых 26 Нелокальная задача Дезина для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа знаменателей» [5, 10, 11]. Следовательно, для обоснования существования решения задачи надо показать существование положительных чисел α, β, l, b и λ, при которых выражение ∆(k) отделено от нуля с соответствующей асимптотикой. Лемма 1. Если α = p/q, p, q ∈ N, (q, 4) = 1, (p, q) = 1, то существуют ˜ положительные постоянные C0 и k0 (k0 ∈ N), вообще говоря, зависящие от α, l, b и λ, такие, что при всех k > k0 справедлива оценка C0 eγk β > 0. |∆(k)| (34) Д о к а з а т е л ь с т в о. При b = 0 выражение γk , которое зависит от lb, при условии lb lb lb < 1 или k > k1 = 2πk 2π 2π можно представить в виде γk = lb 2πk 1+ 2 1/2 = 1 + rk , (35) при этом для остатка rk справедлива оценка 3 lb 8 2πk 2 < rk < 1 lb 2 2πk 2 . (36) Пусть α = p/q ∈ Q. В этом случае разделим 2kp на q с остатком: 2kp = sq + r. Здесь s, r ∈ N0 , 0 (35) примет вид r < q. Тогда выражение ∆(k) c учетом (30) и равенства ch 2γk β(-1)s+1 sin ∆(k) = πr λ + αrk - θk + sh γk β, q γk rk = 2πkrk . (37) Поскольку θk → π/4 при k → +∞ и последовательность rk → 0 в силу оценки (36), существует натуральное число k2 , такое, что при всех k > k2 |δ(k)| = sin πr + αrk - θk q 1 r 1 sin π - 2 q 4 = C1 > 0. (38) Тогда из (37) на основании оценки (38) имеем πr λ sh γk β √ + αrk - θk + > q γk ch 2γk β eγk β |λ| 1 eγk β |λ| eγk |λ|l √ > √ C1 - √ = √ C1 - √ > √ |δ(k)| - . (39) γk 2 2 2 µk 2 2 2 2πk |∆(k)| = ch 2γk β (-1)s+1 sin 27 Г у щ и н а В. А. Отсюда видно, что существует число k3 ∈ N, такое, что при всех |λ|l k > k3 = √ 2πC1 справедливо неравенство |λ|l C1 √ . 2 2π 2k Тогда из (39) следует требуемая оценка (34) при всех k > k0 = max{k1 , k2 , k3 }. Лемма 2. Пусть выполнены условия леммы 1. Тогда при всех k > k0 и любом y ∈ [-α, β] справедливы оценки |uk (y)| M1 (|ϕk | + |ψk |), uk (y) M2 k(|ϕk | + |ψk |), |υk (y)| ˜ M1 |ϕk | + |ψk | , ˜ υk (y) ˜ M2 k(|ϕk | + |ψk |), ˜ uk (y) M3 k 2 (|ϕk | + |ψk |), υk (y) ˜ M3 k 2 (|ϕk | + |ψk |), ˜ где Mi - здесь и далее положительные постоянные. Д о к а з а т е л ь с т в о. Справедливость приведённых в лемме 2 оценок непосредственно следует из формул (21)-(24) и (27) в силу оценки (34). В силу леммы 2 ряд (33) и его производные первого порядка в замкнутой области D и производные второго порядка соответственно в областях D+ и D- мажорируются числовым рядом +∞ ˜ k 2 |ϕk | + |ψk | + |ϕk | + |ψk | . ˜ M4 (40) k=k0 +1 Из теории рядов Фурье известно, что если ϕ(x), ψ(x) ∈ C 3 [0, l] и ϕ(i) (0) = = ϕ(i) (l), ψ (i) (0) = ψ (i) (l), i = 0, 1, 2, то ряд (40) оценивается сходящимся числовым рядом +∞ M5 k=k0 +1 1 (3) (3) (3) ˜(3) |ϕ | + |ψk | + |ϕk | + |ψk | , ˜ k k (41) где (3) ϕk = (3) ϕk = 2 l 2 l 1 ϕ(3) (x) sin µk xdx, 0 1 ϕ(3) (x) cos µk xdx, 0 +∞ ϕ(3) (x) 2 l 1 ψ (3) (x) sin µk xdx, 0 1 ψ (3) (x) cos µk xdx, 0 |ψk |2 (3) ψ (3) (x) 2 L2 , (3) 2 L2 , k=1 +∞ ψ (3) (x) 2 L2 . k=1 +∞ (3) |ϕk |2 28 (3) ψk = 2 l +∞ (3) |ϕk |2 k=1 (3) ψk = ϕ(3) (x) 2 L2 , |ψk |2 k=1 Нелокальная задача Дезина для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа Если для указанных в лемме 1 чисел α выражение ∆(k) = 0 при всех ˜ k = 0, k0 , то из сходимости ряда (41) в силу признака Вейерштрасса сумма ряда (33) удовлетворяет условиям (2) и (3) при F (x, y) ≡ 0. Если для указанных в лемме 1 чисел α при некоторых k = k1 , k2 , . . . , kp ˜ k0 , где 0 k1 k2 < . . . < kp , ki , i = 1, p и p - заданные натуральные числа, выражение ∆(k) = 0, то для разрешимости задачи (2)-(6) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия ϕk γk cos γk α - ψk sh γk β = 0, ϕk γk cos γk α - ψk sh γk β = 0, (42) k = k1 , k2 , . . . , kp . Тогда решение задачи определяется в виде суммы 1 u(x, y) = √ u0 (y) + l 2 l k1 -1 + k=1 kp -1 k2 -1 +... + k=k1 +1 +∞ × + k=kp-1 +1 k=kp+1 +1 × uk (y) cos γk x + υk (y) sin γk x + um (x, y), (43) m где в последней сумме m принимает значения k1 , k2 , . . ., kp , функции um (x, y) определяются следующей формулой: up (x, y) = up (y) cos γp x + υp (y) sin γp x. (44) Здесь  sh γp (β - y)  sh γp y ϕp + Cp ,  sh γp β sh γp β up (y) =  ψp sin γp y + Cp γp cos γp (y + α) + λ sin γp y ,  γp cos γp α γp cos γp α  sh γp (β - y)  sh γp y ϕp + Cp ,  sh γp β sh γp β υp (y) =  ψp sin γp y + Cp γp cos γp (y + α) + λ sin γp y ,  γp cos γp α γp cos γp α y > 0, (45) y < 0, y > 0, (46) y < 0, а Cp - произвольная постоянная. Отметим, что равенства (44)-(46) составлены с учетом ненулевых решений (28) и (29) однородной задачи. Таким образом, доказано следующее утверждение. Теорема 2. Пусть выполнены условия леммы 1 (следовательно, выполнена оценка (34) при всех k > k0 ) и ϕ(x), ψ(x) ∈ C 3 [0, l], ϕ(i) (0) = ϕ(i) (l), ψ (i) (0) = ψ (i) (l), i = 0, 1, 2. Если при ∆(k) = 0 при всех k = 0, k0 , то существует единственное решение задачи (2)-(6) и это решение определяется рядом (33); если ∆(k) = 0 при некоторых k = k1 , k2 , . . . , kp k0 , то задача (2)-(6) разрешима только тогда, когда выполнены условия (42) и решение в этом случае определяется рядом (43). 29 Г у щ и н а В. А. 4. Устойчивость решения задачи. Рассмотрим известные нормы 1/2 l u L2 [0, 1] = u L2 |u(x, y)|2 dx = , 0 u(x, y) C(D) = max |u(x, y)|. D Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2 и ∆(k) = 0 при k = = 0, k0 . Тогда для решения (33) задачи (2)-(6) имеют место следующие оценки: u(x, y) u(x, y) C(D) M7 L2 M6 ( ϕ(x) L2 + ψ(x) ϕ(x) L2 + ψ(x) L2 + ϕ (x) L2 ) , L2 + ψ (x) L2 , где постоянные M6 и M7 не зависят от функций ϕ(x) и ψ(x). Д о к а з а т е л ь с т в о проводится аналогично работе [5].

About the authors

Violetta A Gushchina

Samara State University of Social and Humanities

Email: violetta.novikova.1991@mail.ru
Postgraduate Student, Dept. of Physics, Mathematics and Methods of Teaching 65/67, M. Gorky st., Samara, 443099, Russian Federation

References

Supplementary files