An internal boundary value problem with the Riemann-Liouville operator for the mixed type equation of the third order

Abstract


The unique solvability of the internal boundary value problem is investigated for the mixed type equation of the third order with Riemann-Liouville operators in boundary condition. The uniqueness theorem is proved for the different orders of operators of fractional integro-differentiation when the inequality constraints on the known functions exist. The existence of solution is verified by the method of reduction to Fredholm equations of the second kind, which unconditional solvability follows from the uniqueness of the solution of the problem.

Full Text

Теория краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными и представляет как теоретический, так и практический интерес. Это обусловлено непосредственными связями уравнений смешанного типа с прикладными задачами околозвуковой газовой динамики, математической биологии, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, магнитной гидродинамики и задачами в других областях. 1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение 0= uxxx - uy , y > 0, y 2m uxx + y uyy + αuy , y < 0, (1) 43 Р е п и н О. А., К у м ы к о в а С. К. где m - натуральное число, α = const, (1 - 2m)/2 < α < 1 в конечной области Ω, ограниченной отрезками AA0 , BB0 , A0 B0 прямых x = 0, x = 1, y = 1 соответственно и характеристиками AC : x - 2m+1 2 (-y) 2 = 0, 2m + 1 BC : x + 2m+1 2 (-y) 2 = 1 2m + 1 уравнения (1) при y < 0. Пусть Ω1 = Ω ∩ (y > 0), Ω2 = Ω ∩ (y < 0), I ≡ AB - единичный интервал 0 < x < 1 прямой y = 0. Задача. Найти функцию u(x, y) ∈ C(Ω)∩C 3,1 (Ω1 )∩C 2,2 (Ω2 ), являющуюся решением уравнения (1) в Ω при y = 0 и удовлетворяющую условиям u(0, y) = ϕ1 (y), u(1, y) = ϕ2 (y), ux (0, y) = ϕ3 (y), 0 β1 α1 a(x)D0x δ(x)u[Θ0 (x)] + b(x)Dx1 w(x)u[Θ1 (x)] + c(x)u(x, 0)+ ∂u = γ(x), +d(x) lim (-y)α y→-0 ∂y y 1, (2) ∀x ∈ I (3) и условию сопряжения lim uy (x, y) = lim (-y)α uy (x, y), y→0+ (4) y→-0 где ϕi (y) (i = 1, 3), a(x), b(x), c(x), d(x), γ(x), δ(x), w(x) - непрерывные функции, причем a2 (x) + b2 (x) + c2 (x) + d2 (x) = 0, a(x), b(x), c(x), d(x), γ(x) ∈ C 1 (I) ∩ C 3 (I), ϕi (y) ∈ C[0, 1], Θ0 (x), Θ1 (x) - точки пересечения характеристик уравнения (1), выходящих l из точки (x,0) ∈ I с характеристиками AC, BC соответственно; D0x , l - операторы дробного в смысле Римана-Лиувилля интегро-дифференDx1 цирования [1, 2]. Задача (1)-(4) относится к классу задач со смещением [3]. Нелокальные задачи со смещением для уравнений смешанного типа ранее исследовались авторами статьи в работах [4, с. 57-65], [5, с. 755-763], [6, с. 17-25]. Данная работа продолжает эти исследования. 2. Единственность решения задачи. Теорема. В области Ω не может существовать более одного решения задачи (1)-(4) при (1 - 2m)/2 < α < 1, если либо α1 = β1 = 1 - β, w(x) = δ(x) ≡ 1, Γ(β) β M1 (x) = γ1 (1 - x)β a(x) + γ1 xβ b(x) - x (1 - x)β d(x) = 0, Γ(2β) (1 - x)β a(x) M1 (x) 0, xβ b(x) M1 (x) 0, xβ (1 - x)β c(x) M1 (x) 0, ∀x ∈ I, (5) (6) (7) либо α1 = β1 = β, 44 δ(x) = x2β-1 , w(x) = (1 - x)2β-1 (8) Внутреннекраевая задача с операторами Римана-Лиувилля для уравнения смешанного типа . . . и выполняются условия M2 (x) = (1 - x)1-β a(x) + x1-β b(x) + γ1 (1 - x)β a(x) M2 (x) 0, γ1 x1-β b(x) M2 (x) где γ1 = 0, Γ(β) 1-β x (1 - x)1-β c(x) = 0, Γ(2β) x1-β (1 - x)1-β d(x) M2 (x) Γ(β)Γ(1 - 2β) 2m + 1 2Γ(2β)Γ(1 - β) 4 (9) 0, ∀x ∈ I, (10) -2β . Д о к а з а т е л ь с т в о. Регулярное в области Ω2 решение уравнения (1) при (1 - 2m)/2 < α < 1, удовлетворяющее условиям lim (-y)α uy = ν(x), u(x, 0) = τ (x), y→-0 0 < x < 1, (11) единственно и имеет вид [7] 2m+1 2(1 - 2t) Γ(2β) 1 τ x+ tβ-1 (1 - t)β-1 dt- (-y) 2 2 (β) Γ 2m + 1 0 1 2m+1 2 Γ(1 - 2β) 2(1 - 2t) - ν x+ (-y)1-α (-y) 2 t-β (1 - t)-β dt, m + 1 Γ2 (1 - β) 2m + 1 0 (12) u(x, y) = где β= 2m - 1 + 2α . 2(2m + 1) При выполнении условий (5) теоремы соотношение между τ (x) и ν(x) из области Ω2 запишем в виде 1-2β 1-2β ν(x) = A1 (x)D0x τ (x) + B1 (x)Dx1 τ (x) + C1 (x)τ (x) + F1 (x), (13) где A1 (x) = C1 (x) = (1 - x)β a(x) , M1 (x) xβ (1 - x)β c(x) , M1 (x) B1 (x) = F1 (x) = - xβ b(x) , M1 (x) Γ(β) xβ (1 - x)β γ(x) . Γ(2β) M1 (x) Рассмотрим интеграл 1 I∗ = τ (x)ν(x)dx 0 при γ(x) = 0. Подставляя ν(x), будем иметь 1 Γ(2β)I ∗ = A1 (x)τ (x) 0 d dx x 0 τ (t)dt dx + Γ(2β) (x - t)1-2β 1 C1 (x)τ 2 (x)dx- 0 45 Р е п и н О. А., К у м ы к о в а С. К. 1 - 1 d dx B1 (x)τ (x) 0 x τ (t)dt dx. (t - x)1-2β С учетом обозначений x sin(2πβ) d π dx τ (t)dt = τ1 (x), (x - t)1-2β 0 - 1 sin(2πβ) d π dx x τ (t)dt = τ2 (x) (t - x)1-2β и формулы обращения интегрального уравнения Абеля, получим Γ(2β)I ∗ = π sin(2πβ) 1 x A1 (x)τ1 (x)dx 0 0 + 1 τ1 (ξ)dξ +Γ(2β) (x - ξ)2β C1 (x)τ 2 (x)dx+ 0 1 π sin(2πβ) 1 B1 (x)τ2 (x)dx 0 x τ2 (ξ)dξ . (ξ - x)2β Воспользуемся известной формулой для гамма-функции [1] ∞ Γ(µ) µπ cos , µ k 2 tµ-1 cos(kt)dt = 0 k > 0, 0 < µ < 1. (14) Полагая k = |x - ξ|, µ = 2β, получим 1 1 = Γ(2β) cos(πβ) |x - ξ|2β ∞ t2β-1 cos(t|x - ξ|)dt 0 и, следовательно, 1 2 Γ (2β) sin(2πβ) cos(πβ)I ∗ = π 1 = t2β-1 cos(t|x - ξ|)dt+ τ1 (ξ)dξ 0 0 1 + ∞ x A1 (x)τ1 (x)dx 0 ∞ 1 B1 (x)τ2 (x)dx t2β-1 cos(t|ξ - x|)dt+ τ2 (ξ)dξ 0 x 0 1 + Γ2 (2β) sin(2πβ) cos(πβ) π 1 C1 (x)τ 2 (x)dx. 0 Поменяв порядок интегрирования, а затем интегрируя по частям с учетом B1 (0) = A1 (1) = 0, будем иметь 1 2 Γ (2β) sin(2πβ) cos(πβ)I ∗ = π 1 = Γ2 (2β) sin(2πβ) cos(πβ) π - + 1 2 1 2 ∞ 1 t2β-1 dt 0 ∞ 0 0 1 0 2 τ1 (ξ) cos(tξ)dξ 0 1 B1 (x) 0 C1 (x)τ 2 (x)dx- x A1 (x) t2β-1 dt 1 x τ1 (ξ) sin(tξ)dξ 0 1 2 τ2 (ξ) cos(tξ)dξ 2 x + 2 τ2 (ξ) sin(tξ)dξ + dx+ dx. x (15) 46 Внутреннекраевая задача с операторами Римана-Лиувилля для уравнения смешанного типа . . . При выполнении условий (8) теоремы соотношение между τ (x) и ν(x) из области Ω2 имеет вид 2β-1 2β-1 τ (x) = A2 (x)D0x ν(x) + B2 (x)Dx1 ν(x) - C2 (x)ν(x) + F2 (x), (16) где A2 (x) = C2 (x) = γ1 (1 - x)1-β a(x) , M2 (x) x1-β (1 - x)1-β d(x) , M2 (x) B2 (x) = γ1 x1-β b(x) , M2 (x) Γ(β) x1-β (1 - x)1-β γ(x) . Γ(2β) M2 (x) F2 (x) = При γ(x) = 0, учитывая (14), а также что A2 (1) = B2 (0) = 0, преобразованиями, аналогичными приведенным, получим 2 π I ∗ = - sin(πβ) 2 sin(πβ) π - + 1 2 1 2 ∞ 1 C2 (x)ν 2 (x)dx- 0 1 t2β-1 dt 0 ∞ ν(ξ) cos(tξ)dξ 0 1 t2β-1 dt 0 2 x A2 (x) 0 1 B2 (x) 0 ν(ξ) sin(tξ)dξ 0 1 2 ν(ξ) cos(tξ)dξ 2 x + + x dx+ 2 ν(ξ) sin(tξ)dξ dx. x (17) Из (15) и (17) видно, что при выполнении условий (5)-(10) теоремы I ∗ 0. С другой стороны, переходя в уравнении (1) к пределу при y → +0, получим функциональное соотношение между τ (x) и ν(x), принесенное из области Ω1 на линию y = 0: τ (x) - ν(x) = 0. Подставив ν(x) = τ (x) в 1 I∗ = τ (x)ν(x)dx, 0 будем иметь 1 I∗ = 1 τ (x)τ (x)dx = 0 τ (x)d[τ (x)]. 0 Интегрируя по частям с учетом однородных граничных условий (2) τ (0) = τ (1) = τ (0) = 0, нетрудно усмотреть, что [τ (1)]2 0. 2 Отсюда заключаем, что I ∗ = 0. Поскольку слагаемые в правых частях (17) и (15) неотрицательны, они также равны нулю. I∗ = - 47 Р е п и н О. А., К у м ы к о в а С. К. В частности, из (17) ∞ 2 1 t2β-1 dt ∞ ν(ξ) cos(tξ)dξ 0 0 0 2 1 t2β-1 dt = 0, ν(ξ) sin(tξ)dξ = 0. 0 Интегралы 1 1 ν(ξ) sin(tξ)dξ = 0 ν(ξ) cos(tξ)dξ = 0, 0 0 для всех t ∈ (0, ∞), в частности, при t = 2πk, k = 0, 1, 2, . . . , так как t2β-1 0. При этих значениях t функции sin(tξ) и cos(tξ) образуют полную ортогональную систему функций в L2 . Следовательно, ν(ξ) = 0 почти всюду, а так как функция ν(ξ) непрерывна по условию, ν(ξ) = 0 всюду. Отсюда и из (16) при γ(x) = 0 имеем τ (ξ) = 0. Аналогичными рассуждениями из (15) можно получить τi (x) = 0, i = 1, 2 и, следовательно, τ (x) = 0, а из (13) при γ(x) = 0 имеем ν(x) = 0. Таким образом, решение задачи u(x, y) ≡ в Ω2 как решение задачи (11) с нулевыми данными, а в области Ω1 как решение однородной задачи (1), (2). 3. Существование решения задачи. Интегрируя трижды от 0 до x уравнение uxxx - uy = 0 и учитывая условия (2), получим τ (x) = 1 2 x (x - ξ)2 ν(ξ)dξ - 0 1 x2 2 (1 - ξ)2 ν(ξ)dξ + ϕ2 (0)x2 + 0 + (x - x2 )ϕ3 (0) + (1 - x2 )ϕ1 (0). (18) При выполнении условий (8), исключив τ (x) из (16) и (18), будем иметь x 1 A2 (x) ν(ξ)dξ B2 (x) ν(ξ)dξ + - C2 (x)ν(x) + F2 (x) = Γ(1 - 2β) 0 (x - ξ)2β Γ(1 - 2β) x (ξ + x)2β x2 1 1 x (x-ξ)2 ν(ξ)dξ- (1-ξ)2 ν(ξ)dξ+ϕ2 (0)x2 +(x-x2 )ϕ3 (0)+(1-x2 )ϕ1 (0). = 2 0 2 0 Сгруппировав соответствующие слагаемые, перепишем последнее в виде 1 C2 (x)ν(x) + 0 K(x, ξ)ν(ξ)dξ = F3 (x), |x - ξ|2β (19) где F3 (x) = F2 (x) - ϕ2 (0)x2 - (x - x2 )ϕ3 (0) - (1 - x2 )ϕ1 (0),  2  1  (x - ξ)2+2β - A2 (x) - x (1 - ξ)(x - ξ)2β при ξ  2 Γ(1 - 2β) 2 K(x, ξ) = B2 (x) x2   -  - (1 - ξ)(ξ - x)2β при ξ Γ(1 - 2β) 2 x, x. Ядро K(x, ξ) ∈ C(I × I) ∩ C 1 (I × I), правая часть F3 (x) ∈ C(I) ∩ C 3 (I). 48 Внутреннекраевая задача с операторами Римана-Лиувилля для уравнения смешанного типа . . . Уравнение (19) при C2 (x) = 0 есть уравнение Фредгольма второго рода, безусловная разрешимость которого в требуемом классе функций следует из единственности решения задачи (1)-(4). При выполнении условий (5) исключим ν(x) из (18) и (13), получим τ (x) = x 1 2Γ(2β) ξ d τ (t)dt - dξ 0 (ξ - t)1-2β τ (t)dt + Γ(2β)C1 (ξ)τ (ξ) dξ- (t - ξ)1-2β (x - ξ)2 A1 (ξ) 0 - B1 (ξ) 1 d dξ ξ 1 x2 - 2Γ(2β) d - B1 (ξ) dξ (1 - ξ)2 A1 (ξ) 0 1 ξ ξ 0 τ (t)dt - (ξ - t)1-2β τ (t)dt + Γ(2β)C1 (ξ)τ (ξ) dξ+ (t - ξ)1-2β x 1 + 2 d dξ (x - ξ)2 F1 (ξ)dξ - 0 x2 2 1 (1 - ξ)2 F1 (ξ)dξ + ϕ2 (0)x2 + 0 + (x - x2 )ϕ3 (0) + (1 - x2 )ϕ1 (0). (20) Интегрируя по частям в двойных интегралах, а затем поменяв порядок интегрирования, из (20) получим интегральное уравнение Фредгольма второго рода 1 τ (x) + ∗ K1 (x, t)τ (t)dt = F1 (x), (21) 0 где ∗ F1 (x) = 1 2 x (x - ξ)2 F1 (ξ)dξ - 0 K1 (x, t) = x2 1 (1 - ξ)2 F1 (ξ)dξ+ 2 0 + ϕ2 (0)x2 + (x - x2 )ϕ3 (0) + (1 - x2 )ϕ1 (0), K11 (x, t) при t K12 (x, t) при t x, x, x t N1 (ξ)dξ N2 (ξ)dξ 1 + + 2Γ(2β) t (ξ - t)1-2β (ξ - t)1-2β 0 x 1 t x2 N1 (ξ)dξ N1 (ξ)dξ N2 (ξ)dξ + + - + 2Γ(2β) t (ξ - t)1-2β (ξ - t)1-2β (ξ - t)1-2β x 0 1 x2 + (x - ξ)2 C1 (ξ) - (1 - ξ)2 C1 (ξ), 2 2 K11 (x, t) = 1 2Γ(2β) x2 + 2Γ(2β) x K12 (x, t) = - 0 N2 (ξ)dξ x2 - (1 - ξ)2 C1 (ξ)+ 2 (ξ - t)1-2β 1 x N1 (ξ)dξ N2 (ξ)dξ - - (ξ - t)1-2β (ξ - t)1-2β ξ 0 1 x N2 (ξ)dξ , (ξ - t)1-2β 49 Р е п и н О. А., К у м ы к о в а С. К. N1 (ξ) = [(1 - ξ)2 A1 (ξ)] , N2 (ξ) = [(1 - ξ)2 B1 (ξ)] , ∗ F1 (x) ∈ C(I) ∩ C 3 (I). K11 (x, t), K12 (x, t) ∈ C(I × I) ∩ C 3 (I × I), Безусловная разрешимость уравнения (21) следует из единственности решения задачи. По найденному τ (x) можно из (13) определить ν(x) и решение задачи (1)- (4) в области Ω2 как решение задачи (11) по формуле (12), а в области Ω2 - как решение задачи (1), (2), u(x, 0) = τ (x). При α = (1 - 2m)/2 решение задачи (11) имеет вид 2m+1 2m+1 1 2 1 2 u(x, y) = τ x - (-y) 2 + τ x+ (-y) 2 - 2 2m + 1 2 2m + 1 1 2m+1 2m+1 2 2(1 - 2t) - (-y) 2 ν x+ (-y) 2 dt. (22) 2m + 1 2m + 1 0 При выполнении условий (5) теоремы имеем соотношение ν(x) = A3 (x)τ (x) + B3 (x)τ (x) + f (x), (23) где A3 (x) = b(x) - a(x) , M3 (x) B3 (x) = - 2c(x) , M3 (x) f (x) = 2γ(x) , M3 (x) M3 (x) = 2d(x) - a(x) - b(x) = 0. Рассмотрим 1 I∗ = 1 τ (x)ν(x)dx = 0 1 B3 (x)τ 2 (x)dx = A3 (x)τ (x)τ (x)dx + 0 0 1 = 2 1 1 A3 (x)d[τ 2 (x)] + 0 B3 (x)τ 2 (x)dx. 0 Отсюда, учитывая τ (0) = τ (1) = 0, легко получить I∗ = - 1 2 1 1 A3 (x)τ 2 (x)dx + 0 B3 (x)τ 2 (x)dx. 0 Условия A3 (x) 0, B3 (x) 0 обеспечивают знак I ∗ 0. Так как сверху 0, следует, что I ∗ = 0 и из последнего равенства τ (x) = 0, и из (23) ν(x) = 0. Тогда из (22) u(x, y) ≡ 0 в Ω2 . Исключая ν(x) из (18) и (23), получим уравнение Фредгольма второго рода I∗ 1 τ (x) + K3 (x, ξ)τ (ξ)dξ = f1 (x), 0 где f1 (x) = ϕ2 (0)x2 + (x - x2 )ϕ3 (0) + (1 - x2 )ϕ1 (0)+ 50 (24) Внутреннекраевая задача с операторами Римана-Лиувилля для уравнения смешанного типа . . . + 1 2 x f (ξ)(x - ξ)2 dξ - 0 x2 2 1 (1 - ξ)2 f (ξ)dξ, 0   1 [A (ξ) - B (ξ)] [(x - ξ)2 - x2 (1 - ξ)2 ]-  3  2 3  -A3 (ξ) [(x - ξ) - x2 (1 - ξ)] при ξ K3 (x, ξ) =  x2    - (1 - ξ)[A2 (ξ) - B2 (ξ)] + A2 (ξ)x2 (1 - ξ) при ξ 2 K3 (x, ξ) ∈ C 1 (I × I) ∩ C 2 (I × I), x, x, f1 (x) ∈ C 1 (I) ∩ C 3 (I). Безусловная разрешимость уравнения (24) следует из единственности решения задачи. В случае α = (1 - 2m)/2 и выполнения условия (8) теоремы единственность и существование решения задачи (1)-(4) установлены аналогично.

About the authors

Oleg A Repin

Samara State Economic University

Email: matstat@mail.ru
141, Sovetskoy Armii st., Samara, 443090, Russian Federation
(Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; matstat@mail.ru; Corresponding Author), Head of Department, Dept. of Mathematical Statistics and Econometrics

Svetlana K Kumykova

Kabardino-Balkarian State University

Email: bsk@rect.kbsu.ru
173, Chernyshevskogo st., Nalchik, 360004, Russian Federation
(Cand. Phys. & Math. Sci.; bsk@rect.kbsu.ru), Associate Professor, Dept. of Mathematical Analysis and Theory of Functions

References

  1. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.
  2. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.
  3. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006. 287 с.
  4. Репин О. А., Кумыкова С. К. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа, порядок которого вырождается вдоль линии изменения типа // Изв. вузов. Матем., 2013. № 8. С. 57-65.
  5. Репин О. А., Кумыкова С. К. Об одной нелокальной задаче для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками // Дифференц. Уравнения, 2015. Т. 51, № 6. С. 755-763. doi: 10.1134/S0374064115060072.
  6. Репин О. А., Кумыкова С. К. Задача со смещением для уравнения третьего порядка с разрывными коэффициентами // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2012. № 4(29). С. 17-25. doi: 10.14498/vsgtu1123.
  7. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.
  8. Кумыкова С. К. Об одной задаче с нелокальными краевыми условиями на характеристиках для уравнения смешанного типа // Дифференц. уравнения, 1974. Т. 10, № 1. С. 78-88.

Statistics

Views

Abstract - 36

PDF (Russian) - 4

Cited-By


Article Metrics

Metrics Loading ...

PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2016 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies