On optimal control problem for the heat equation with integral boundary condition

Abstract


In this paper we consider the optimal control problem for the heat equation with an integral boundary condition. Control functions are the free term and the coefficient of the equation of state and the free term of the integral boundary condition. The coefficients and the constant term of the equation of state are elements of a Lebesgue space and the free term of the integral condition is an element of Sobolev space. The functional goal is the final. The questions of correct setting of optimal control problem in the weak topology of controls space are studied. We prove that in this problem there exist at least one optimal control. The set of optimal controls is weakly compact in the space of controls and any minimizing sequence of controls of a functional of goal converges weakly to the set of optimal controls. There is proved Frechet differentiability of the functional of purpose on the set of admissible controls. The formulas for the differential of the gradient of the purpose functional are obtained. The necessary optimality condition is established in the form of variational inequality.

Full Text

Введение. Задачи оптимального управления процессами, описываемыми уравнениями с частными производными параболического типа, встречаются в различных приложениях [1,2]. Такие задачи наиболее полно исследованы в случаях, когда краевые условия для уравнений состояний являются классическими, т.е. локальными [1-6 и др.]. Однако известны многочисленные задачи физики, техники, биологии и др., в которых процессы описываются уравнениями параболического типа, где краевые условия являются неклассическими, 54 Об одной задаче оптимального управления . . . или нелокальными [7-9]. Среди нелокальных краевых задач для уравнений параболического типа особое место занимают краевые задачи с интегральными граничными условиями [10-13]. Задачи оптимального управления для уравнений параболического типа с нелокальными краевыми условиями, в том числе с интегральными граничными условиями, изучены мало. В данной работе рассматривается задача оптимального управления для уравнения теплопроводности с интегральным граничным условием. Исследованы вопросы корректности постановки задачи в слабой топологии пространства управлений, доказана дифференцируемость по Фреше функционала цели, получены формулы для его дифференциала и градиента, установлено необходимое условие оптимальности в форме вариационного неравенства. 1. Постановка задачи. Пусть управляемый процесс описывается в QT = {(x, t) : 0 < x < l, 0 < t < T } следующей нелокальной начально-краевой задачей для уравнения теплопроводности с интегральным граничным условием: ut - uxx + v1 (x, t)u = v2 (x, t), (x, t) ∈ QT , u(x, 0) = ϕ(x), 0 x l, (1) (2) l ux (0, t) = 0, ux (l, t) = H(x)ux (x, t)dx + v3 (t), 0 0 - заданные числа. Поставим следующую задачу оптимального управления: минимизировать функционал l |u(x, T ; v) - y(x)|2 dx J(v) = (5) 0 на решениях u = u(x, t; v) краевой задачи (1)-(3), соответствующих всем до1 пустимым управлениям v ∈ V. Здесь y(x) ∈ W2 (0, l) - заданная функция. Эту задачу ниже будем называть задачей (1)-(5). Обозначения используемых в работе функциональных пространств соответствуют принятым в [14, c. 24]. Ниже положительные постоянные, не зависящие от оцениваемых величин и допустимых управлений, обозначаются через M . Под решением краевой задачи (1)-(3), соответствующим управлению v ∈ V , будем понимать обобщенное решение из V21,0 (QT ), т.е. функцию u = u(x, t) = = u(x, t; v) из V21,0 (QT ), удовлетворяющую интегральному тождеству 55 Т а г и е в Р. К., Г а б и б о в В. М. -uηt + ux ηx + v1 (x, t)uη dxdt = QT T l v2 (x, t)ηdxdt + QT l H(x)ux (x, t)dx + v3 (t) η(l, t)dt (6) ϕ(x)η(x, 0)dx + + 0 0 0 1 при любой функции η = η(x, t) ∈ W2 (QT ), равной нулю при t = T . Используя методики работ [13], [14, c. 165-171], можно показать, что при сделанных предположениях краевая задача (1)-(3) имеет единственное обобщенное решение из V21,0 (QT ) при каждом фиксированном v ∈ V и справедлива априорная оценка u 1,0 V2 (QT ) ≡ max u(x, t; v) 0 t T L2 (0,l) M + ux v2 L2 (QT ) L2 (QT ) + ϕ L2 (0,l) + v3 L2 (0,T ) . (7) Более того, обобщенное решение из V21,0 (QT ) краевой задачи (1)-(3) также 2,1 принадлежит пространству W2 (QT ) и для него справедлива оценка u 2,1 W2 (QT ) M v2 L2 (QT ) + ϕ 1 W2 (0,l) + v3 1 W2 (0,T ) . (8) Из оценки (7) следует, что функционал (5) определен на V и принимает конечные значения. 2. Корректность постановки задачи. Корректность постановки задачи (1)- 1 (5) в слабой топологии пространства H = L2 (QT ) × L2 (QT ) × W2 (0, T ) устанавливает следующая теорема. Теорема 1. Пусть выполнены условия, принятые при постановке задачи (1)-(5). Тогда множество оптимальных управлений задачи (1)-(5) V∗ = v∗ ∈ V : J(v∗ ) = J∗ ≡ inf{J(v) : v ∈ V } непусто, V∗ слабо компактно в H и любая минимизирующая последовательность {v (n) } функционала (5) слабо в H сходится к множеству V∗ . Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что функционал (5) непрерывен на V в слабой топологии пространства H. (n) (n) (n) Пусть {v (n) } = v1 (x, t), v2 (x, t), v3 (t) ⊂ V - произвольная последовательность такая, что {v (n) } → v = v1 (x, t), v2 (x, t), v3 (t) слабо в H к некоторому элементу v = v1 (x, t), v2 (x, t), v3 (t) ∈ H: (n) vi (x, t) → vi (x, t) слабо в L2 (QT ), (n) v3 (t) i = 1, 2, 1 → v3 (t) слабо в W2 (0, T ). (9) (10) Так как V ⊂ H - выпуклое замкнутое в H множество, оно слабо замкнуто и в гильбертовом пространстве H, поэтому v = v1 (x, t), v2 (x, t), v3 (t) ∈ V . 1 Из компактности вложения W2 (0, T ) → C[0, T ] [14, c. 84] и (10) следует, что (n) v3 (t) → v3 (t) сильно в C[0, T ]. (11) 56 Об одной задаче оптимального управления . . . Кроме этого, в силу однозначной разрешимости задачи (1)-(3) каждому управлению v (n) ∈ V соответствует единственное решение u(n) = u(x, t; v (n) ) ∈ 2,1 W2 (QT ) задачи (1)-(3) при v = v (n) и справедлива оценка u(n) 2,1 W2 (QT ) M, n = 1, 2, . . . , (12) т.е. последовательность {u(n) } равномерно ограничена в норме пространства 2,1 W2 (QT ). 2,1 Известно [15, c. 33, 39], что пространство W2 (QT ) компактно вложено в Lr (QT ) для любого конечного r 2. Кроме того, следы элементов u(x, t) ∈ 2,1 W2 (QT ) определены при каждом фиксированном t ∈ [0, T ] как элементы 1 W2 (0, l) и справедлива оценка [16, c. 98] sup u(x, t) 0 t T 1 W2 (0,l) M u 2,1 W2 (QT ) . (13) 1 Отсюда и из компактности вложения W2 (0, l) → C[0, l] [14, c. 84] следует, 2,1 что отображение u → u|t=T пространства W2 (QT ) в C[0, l] компактно. Тогда из (12) следует, что из последовательности {u(n) } можно извлечь подпоследовательность {u(nk ) } такую, что 2,1 u(nk ) (x, t) → u(x, t) слабо в W2 (QT ), (14) (nk ) (x, t) → u(x, t) сильно в L2 (QT ), (15) (nk ) (x, T ) → u(x, T ) сильно в C[0, l], (16) u u 2,1 где u = u(x, t) - некоторый элемент из W2 (QT ). Далее на основе соотношений (6), (9), (11), (12), (14)-(16) и ограничений на входные данные и управление v можно показать, что u = u(x, t) - решение задачи (1)-(3), соответствующее управлению v, т.е. u(x, t) = u(x, t; v). Таким образом, установлено, что при выполнении соотношений (9), (10) справедлива сходимость u(nk ) (x, T ) = u(x, T ; v (nk ) ) → u(x, T ) = u(x, T ; v) сильно в C[0, l]. (17) Используя единственность решения краевой задачи (1)-(3), соответствующее каждому фиксированному управлению v ∈ V , можно показать, что соотношение (17) справедливо не только для подпоследовательности {u(nk ) }, но и для всей последовательности {u(n) }: u(n) (x, T ) = u(x, T ; v (n) ) → u(x, T ) = u(x, T ; v) сильно в C[0, l]. (18) Тогда, используя соотношение (18) из (5), получаем, что J(v (n) ) → J(v) при n → ∞. Таким образом, установлено, что функционал (5) слабо в H непрерывен на множестве V . Тогда, применяя результат из [1, c. 49], получаем, что задача (1)-(5) корректно поставлена в слабой топологии пространства H, т.е. справедливы все утверждения теоремы 1. 57 Т а г и е в Р. К., Г а б и б о в В. М. 3. Дифференцируемость функционала цели и необходимое условие оптимальности. Для задачи (1)-(5) введем сопряженное состояние ψ = ψ(x, t) = = ψ(x, t; v) как решение задачи ψt + ψxx - v1 (x, t)ψ - H (x)ψ(l, t) = 0, (x, t) ∈ QT , ψ(x, T ) = 2[u(x, T ; v) - y(x)], 0 x l, ψx (0, t) = 0, ψx (l, t) = 0, 0 t < T. (19) (20) (21) Под решением краевой задачи (19)-(21), соответствующим управлению v ∈ V , будем понимать обобщенное решение из V21,0 (QT ), т.е. функцию ψ = = ψ(x, t) = ψ(x, t; v) из V21,0 (QT ), удовлетворяющую интегральному тождеству T l ψηt + ψx ηx + v1 (x, t)ψη dxdt - QT H(x)ηx (x, t)dx ψ(l, t)dt = 0 0 T u(x, T ; v) - y(x) η(x, T )dx (22) =2 0 1 при любой функции η = η(x, t) ∈ W2 (QT ), равной нулю при t = 0. Используя методики работ [13], [14, c. 165-171], можно показать, что для каждого заданного v ∈ V краевая задача (19)-(21) имеет единственное обобщенное решение из V21,0 (QT ). Более того, это решение принадлежит простран2,1 ству W2 (QT ) и справедлива оценка ψ 2,1 W2 (QT ) M u(x, T ; v) - y(x) 1 W2 (0,l) . (23) Учитывая здесь неравенство (13) и оценки (8), получаем оценку ψ 2,1 W2 (QT ) M v2 L2 (QT ) + ϕ 1 W2 (0,l) + y 1 W2 (0,l) + v3 1 W2 (0,T ) . (24) Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда функционал (5) дифференцируем по Фреше на V и его дифференциал в точке v ∈ V при приращении ∆v = (∆v1 , ∆v2 , ∆v3 ) ∈ H определяется равенством T dJ(v, ∆v) = (-uψ∆v1 + ψ∆v2 )dxdt + QT ψ(l, t; v)∆v3 (t)dt. (25) 0 Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть v, v + ∆v ∈ V - произвольные управления и ∆u = ∆u(x, t) = u(x, t; v + ∆v) - u(x, t; v), u = u(x, t) = u(x, t; v). 2,1 Из условий (1)-(3) следует, что ∆u является решением из W2 (QT ) задачи ∆ut - ∆uxx + (v1 + ∆v1 )∆u = -∆v1 u + ∆v2 , ∆u(x, 0) = 0, 0 x l, (x, t) ∈ QT , (26) (27) l ∆ux (0, t) = 0, ∆ux (l, t) = H(x)∆ux (x, t)dx + ∆v3 (t), 0 58 0<t T. (28) Об одной задаче оптимального управления . . . Можно показать, что для решения задачи (26)-(28) верна оценка [14, c. 165-173], [16, c. 197-209] ∆u M 2,1 W2 (QT ) ∆v1 u + ∆v2 L2 (QT ) L2 (QT ) + ∆v3 1 W2 (0,T ) . (29) 2,1 Известно [15, c. 33, 39], что вложение W2 (QT ) → L∞ (QT ) ограничено. Используя этот факт, имеем ∆v1 u ∆v1 L2 (QT ) L2 (QT ) u M ∆v1 L∞ (QT ) L2 (QT ) u 2,1 W2 (QT ) . Из последней оценки и из оценок (29), (8) получаем ∆u M ∆v 2,1 W2 (QT ) H. (30) Приращение функционала (5) имеет вид ∆J(v) = J(v + ∆v) - J(v) = l l |∆u(x, T )|2 dx. (31) u(x, T ; v) - y(x) ∆u(x, T )dx + =2 0 0 С помощью решения ψ = ψ(x, t) = ψ(x, t; v) краевой задачи (19)-(21) преобразуем приращение (31). Решение краевой задачи (26)-(28) удовлетворяет равенству T l (∆ut ψ + ∆ux ψx + v1 ∆uψ)dxdt - QT H(x)∆ux (x, t)dx ψ(l, t)dt = 0 = 0 T (-uψ∆v1 + ψ∆v2 )dxdt + QT ψ(l, t; v)∆v3 (t)dt- 0 - ψ∆u∆v1 dxdt. (32) QT Если в тождестве (22) положим η = ∆u и полученное равенство вычтем из (32), то придем к равенству l u(x, T ; v) - y(x) ∆u(x, T )dx = 2 0 T = ψ(l, t; v)∆v3 (t)dt - (-uψ∆v1 + ψ∆v2 )dxdt + QT 0 ψ∆u∆v1 dxdt. QT Учитывая последнее равенство, (31) запишем в виде T ∆J(v) = (-uψ∆v1 + ψ∆v2 )dxdt + QT ψ(l, t; v)∆v3 (t)dt + R, (33) 0 где l |∆u(x, T )|2 dx - R= 0 ψ∆u∆v1 dxdt. (34) QT 59 Т а г и е в Р. К., Г а б и б о в В. М. Покажем, что сумма первых двух слагаемых в правой части равенства (33), т.е. выражение (25), при заданном v ∈ V определяет линейный ограниченный функционал от ∆v в H. Линейность функционала (25) по ∆v очевид- 2,1 на. Используя ограниченность вложения W2 (QT ) → L∞ (QT ) [15, c. 33, 39], оценку (13) для функции ψ, неравенство Коши-Буняковского и оценки (8), (23), получаем неравенства T |dJ(v, ∆v)| = ψ(l, t; v)∆v3 (t)dt (-uψ∆v1 + ψ∆v2 )dxdt + QT u L∞ (QT ) ψ 0 L2 (QT ) ∆v1 L2 (QT ) + ψ L2 (QT ) ∆v2 L2 (QT ) + + ψ(l, t; v) M u 2,1 W2 (QT ) ψ L2 (QT ) ∆v1 L2 (0,T ) ∆v3 L2 (0,T ) + ψ L2 (QT ) ∆v2 L2 (QT ) + L2 (QT ) +M ψ 2,1 W2 (QT ) ∆v3 M ∆v L2 (0,T ) H, из которых следует ограниченность функционала (25). 2,1 Кроме этого, используя ограниченность вложения W2 (QT ) → L∞ (QT ), неравенство (13) для функции ∆u и оценки (24), (30), для остаточного члена R, определяемого равенством (34), получаем оценку |R| = ∆u(x, T ) M ∆u M 2 L2 (0,l) - ψ∆u∆v1 dxdt QT 2 + 2,1 W2 (QT ) ∆v 2 + M H ψ ψ L∞ (QT ) ∆u 2,1 W2 (QT ) L2 (QT ) ∆v H ∆v1 ∆v1 L2 (QT ) L2 (QT ) M ∆v 2 H . Учитывая в (33) эту оценку, заключаем, что функционал (5) дифференцируем по Фреше на V и его дифференциал определяется выражением (25). Теперь получим явную формулу для градиента функционала (5). Поставим следующую краевую задачу для определения функции θ = θ(t) = θ(t; v): -θ (t) + θ(t) = ψ(l, t; v), 0 < t < T, θ (0) = θ (T ) = 0. (35) (36) Под решением задачи (35), (36) при заданном v ∈ V будем понимать 1 функцию θ = θ(t) = θ(t; v) из W2 (0, T ), удовлетворяющую интегральному тождеству T T [θ (t)η (t) + θ(t)η(t)]dt = 0 ψ(l, t; v)η(t)dt (37) 0 1 при любой функции η = η(t) ∈ W2 (0, T ). Можно показать [14, c. 112-114], что краевая задача (35), (36) при задан- 1 ном v ∈ V однозначно разрешима в W2 (0, T ). Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда градиент функционала (5) в произвольной точке v ∈ V определяется равенством J (v) = -u(x, t; v)ψ(x, t; v), ψ(x, t; v), θ(t; v) 60 (38) Об одной задаче оптимального управления . . . и отображение v → J (v) непрерывно действует из V в H. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть v, v + ∆v ∈ V - произвольные управления, где ∆v = (∆v1 , ∆v2 , ∆v3 ) ∈ H - приращение управления на элементе v = = (v1 , v2 , v3 ) ∈ V . Полагая в тождестве (37) η = ∆v3 , получаем равенство T T θ (t)∆v3 (t) + θ(t)∆v3 (t) dt = 0 ψ(l, t; v)∆v3 (t)dt, 0 учитывая которое в (25), имеем (-uψ∆v1 + ψ∆v2 )dxdt+ dJ(v, ∆v) = QT T + θ (t)∆v3 (t) + θ(t)∆v3 dt = J (v), ∆v 0 H . Отсюда следует, что градиент функционала (5) определяется равенством (38). Доказательство непрерывности отображения v → J (v) проводится, как в работе [5], и ввиду ограниченности объема работы оно здесь опускается. Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда для оптимальности управления v∗ = (v1∗ , v2∗ , v3∗ ) ∈ V в задаче (1)-(5) необходимо, чтобы неравенство -u∗ ψ∗ (v1 - v1∗ ) + ψ∗ (v2 - v2∗ ) dxdt+ QT T θ∗ (v3 - v3∗ ) + θ∗ (v3 - v3∗ ) dt + 0 (39) 0 выполнялось для любого v = (v1 , v2 , v3 ) ∈ V, где u∗ = u(x, t; v∗ ), ψ∗ = ψ(x, t; v∗ ), θ∗ = θ(t; v∗ ) - решения задач (1)-(3); (19)-(21); (35), (36) соответственно при v = v∗ . Действительно, множество V , определяемое равенством (4), выпукло в H. Кроме этого, согласно формулировкам теорем 2 и 3, функционал (5) непрерывно дифференцируем по Фреше на V . Тогда в силу теоремы 5 из [1, c. 28] на элементе v∗ ∈ V∗ необходимо выполнение неравенства J (v), v - v∗ H 0 при всех v ∈ V . Отсюда и из (38) следует справедливость неравенства (39). ORCIDs

About the authors

Rafiq K Tagiev

Baku State University

Email: r.tagiyev@list.ru
23, Z. Khalilov st., Baku, AZ-1148, Azerbaijan
(Dr. Phys. & Math. Sci.; r.tagiyev@list.ru; Corresponding Author), Professor, Dept. of Optimization and Control

Vahab M Habibov

Lankaran State University

Email: vahab.hebibov@mail.ru
50, Azi Aslanov prospectus, Lankaran, AZ-4200, Azerbaijan
Senior Lecturer, Dept. of Physics, Mathematics and Computer Science

References

  1. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. Задачи минимизации в функциональных пространствах, регуляризация, аппроксимация. М.: Наука, 1981. 400 с.
  2. Егоров А. И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М.: Наука, 1978. 436 с.
  3. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. 416 с.
  4. Искендеров А. Д., Тагиев Р. К. Задачи оптимизации с управлениями в коэффициентах параболического уравнения // Дифференц. уравнения, 1983. Т. 19, № 8. С. 1324-1334.
  5. Тагиев Р. К. Оптимальное управление коэффициентами в параболических системах // Дифференц. уравнения, 2009. Т. 45, № 10. С. 1492-1501.
  6. Тагиев Р. К. Задача оптимального управления для квазилинейного параболического уравнения с управлениями в коэффициентах и с фазовыми ограничениями // Дифференц. уравнения, 2013. Т. 49, № 3. С. 380-392. doi: 10.1134/S0374064113030138.
  7. Ионкин Н. И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием // Дифференц. уравнения, 1977. Т. 13, № 2. С. 294-304.
  8. Самарский А. А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения, 1980. Т. 16, № 11. С. 1925-1935.
  9. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высш. шк., 1995. 301 с.
  10. Иванчов Н. И. Краевые задачи для параболического уравнения с интегральными условиями // Дифференц. уравнения, 2004. Т. 40, № 4. С. 547-564.
  11. Кожанов А. И. О разрешимости краевой задачи с нелокальным граничным условием для линейных параболических уравнений // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.мат. науки, 2004. № 30. С. 63-69. doi: 10.14498/vsgtu308.
  12. Пулькина Л. С. Нелокальная задача для уравнения теплопроводности / Неклассические уравнения математической физики: Международный семинар, посвященный 60-летию со дня рождения профессора В. Н. Врагова (Новосибирск, 3-5 октября 2005 г.); ред. А. И. Кожанов. Новосибирск: Инс-т мат. СО РАН, 2005. С. 231-239.
  13. Данилкина О. Ю. Об одной нелокальной задаче для уравнения теплопроводности с интегральным условием // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2007. № 1(14). С. 5-9. doi: 10.14498/vsgtu480.
  14. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.
  15. Лионс Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами. М.: Мир, 1987. 368 с.
  16. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.

Statistics

Views

Abstract - 21

PDF (Russian) - 25

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2016 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies