# Abstract

We consider three problems for hyperbolic equation on a plane in the characteristic domain. In these problems at least one of the conditions of the Goursat problem is replaced by nonlocal condition on the relevant characteristic. Non-local conditions are the linear combinations of the normal derivatives at points on opposite characteristics. In case of replacement of one condition we solve the problem by reduction to the Goursat problem for which it exists and is unique. To find the unknown Goursat condition author receives the integral equation, rewrite it in operational form and finds its unique solvability cases. To prove the unique solvability of the equation, the author shows the continuous linear operator and the fact, that some degree of the resulting operator is a contraction mapping. It is known that in this case the required Goursat condition can be written as Neumann series. We considered in detail only one of the tasks, but for both the unique solvability theorems are formulated. If the two conditions are changed, the uniqueness of the solution on the assumption that it exists, is proved by the method of a priori estimates. For this purpose, the inner product and the norm in $L_2$ are used. As a result, the conditions were obtained for the coefficients of a hyperbolic equation that ensure the uniqueness of the solution. An example is given, confirming that these conditions are essential. Namely, constructed an equation whose coefficients do not satisfy the conditions of the last theorem, given the conditions on the characteristics and nontrivial solution is built.

# Full Text

Многие авторы работают над изучением задач со смещениями в граничных условиях, называемых еще нелокальными, для различных уравнений в частных производных (см., например, [1-8] и др.). В статье [9] для уравнения L (u) = uxy + aux + buy + cu = f (x, y) (1) в характеристическом прямоугольнике D = {0 < x < x1 , 0 < y < y1 } рассмотрена задача об отыскании решения по условиям, связывающим значения искомой функции в четырех переменных точках, лежащих на границе D. Указаны условия, обеспечивающие возможность редукции задачи к системе нагруженных уравнений Фредгольма, которая затем и исследуется. В представленной статье в тех же точках берутся значения нормальных производных искомой функции. Предлагается способ получения условий, обеспечивающих однозначную разрешимость поставленных задач. Задача 1. Найти функцию u(x, y) ∈ C 1,1 (D) ∩ C 0,0 (D), являющуюся в области D решением уравнения (1) и удовлетворяющую условиям u(0, y) = ϕ(y), uy (x, 0) = α(x) + β(x)uy (x, y1 ), (2) (3) где α, β, ϕ - известные достаточно гладкие функции. Считаем, что коэффициенты уравнения (1) принадлежат классам a ∈ C 1,0 (D), b ∈ C 0,1 (D), c, f ∈ C 0,0 (D). Эта задача при β(x) ≡ 0 изучалась ранее в [10]. А само условие рассматривалось для другого уравнения и применительно задаче к другого типа в [11]. Для редукции к задаче Гурса требуется определить неизвестное условие u(x, 0) = ψ(x). (4) Переобозначим в (1) x через t и проинтегрируем полученное уравнение по t в пределах от x∗ до x (x∗ , x) ∈ D, устремив x∗ к 0, y к 0, и получим первое интегральное уравнение: x uy (x, 0) - uy (0, 0) + au(x, 0) - au(0, 0) + -at (t, 0) + c(t, 0) u(t, 0)dt+ 0 x + x b(t, 0)uy (t, 0)dt = f (t, 0)dt. 0 0 Затем, также устремив x∗ к 0, а y - к y1 , получим второе интегральное уравнение: x uy (x, y1 ) - uy (0, y1 ) + au(x, y1 ) - au(0, y1 ) + -at (t, y1 ) + c(t, y1 ) u(t, y1 )dt+ 0 x + x b(t, y1 )uy (t, y1 )dt = 0 f (t, y1 )dt. 0 Умножим второе из полученных уравнений на β(x) и вычтем из первого: 66 О задачах со смещениями в граничных условиях. . . α(x) - ϕ (0) + β(x)ϕ (y1 ) + a(x, 0)u(x, 0) - β(x)a(x, y1 )u(x, y1 ) - a(0, 0)ϕ(0)+ x + a(0, y1 )ϕ(y1 )β(x) + (-at + c)u(t, 0) + b(t, 0)uy (t, 0) dt- 0 x - β(x) (-at + c)(t, y1 )u(t, y1 ) + b(t, y1 )uy (t, y1 ) dt = 0 x x f (t, 0)dt - β(x) = f (t, y1 )dt. (5) 0 0 Далее запишем решение задачи для (1) с условиями (2), (4) (это и есть задача Гурса). Соотношения (2), (4) представляют собой граничные значения Гурса, решение которой хорошо известно [10,12] и др. Мы будем использовать формулу (1.20) из [10]: u(x, y) = R (x, 0, x, y) ψ(x) + R (0, y, x, y) ϕ(y) - R (0, 0, x, y) ψ (0) + x ∂ R (α, 0, x, y) ψ(α)dα+ + b (α, 0) R (α, 0, x, y) - ∂α 0 y ∂ + a (0, β) R (0, β, x, y) - R (0, β, x, y) ϕ(β)dβ+ ∂β 0 x y + R (α, β, x, y) f (α, β) dβdα, (6) 0 0 где R - функция Римана. Далее мы считаем (6) общим представлением искомого решения через ϕ, ψ. Подставим в (6) аргументы точки (x, y1 ) и учтем, что значение (2) известно. Мы придем к интегральному уравнению, из которого определим u(x, y1 ) через известные функции и пока неизвестную ψ(x). Затем продифференцируем (6) по y и, подставив аргументы точки (x, y1 ), найдем uy (x, y1 ). После этого подставим u(x, y1 ) и uy (x, y1 ) в (5), получим x A(x)ψ(x) + x B(x, t)ψ(t)dt+ 0 t ∂2 R(k, 0, t, y1 ) ψ(k)dkdt- ∂k∂y 0 0 x t ∂ - β(x) (-at + c)(t, y1 ) b(k, 0)R(k, 0, t, y) - R(k, 0, t, y) ψ(k)dkdt+ ∂k 0 0 x t ∂ + R(k, 0, t, y1 ) ψ(k)dkdt - b(t, y1 ) b(k, 0)Ry (k, 0, t, y1 ) - ∂k∂y 0 0 + b(k, 0)Ry (k, 0, t, y1 ) - b(t, 0)β(t) y1 - β(x)a(x, y1 ) exp a(x, τ )dτ × 0 y1 ∂ R (0, τ, x, y1 ) ϕ (τ ) dτ + ∂τ 0 x y1 ∂2 + b(t, 0)β(t) a(0, β)Ry (0, τ, t, y1 ) - R(0, τ, t, y1 ) ϕ(τ )dτ dt- ∂τ ∂y 0 0 x y ∂ -β(x) (-at +c)(t, y1 ) a (0, τ ) R (0, τ, t, y) - R (0, τ, t, y) ϕ (τ ) dτ dt- ∂τ 0 0 × a (0, τ ) R (0, τ, x, y1 ) - 67 У т к и н а Е. А. x - β(x) y1 a(0, τ )Ry (0, τ, t, y1 ) - b(t, y1 ) 0 0 ∂2 R(0, τ, t, y1 ) ϕ(τ )dτ dt = ∂τ ∂y = ω(x), где y1 A(x) = a(x, 0) - β(x)a(x, y1 ) exp a(x, τ )dτ , 0 ∂ R (t, 0, x, y1 ) + ∂t B(x, t) = -β(x)a(x, y1 ) b (t, 0) R (t, 0, x, y1 ) - + (-at + c)(t, 0) + b(t, 0)β(t)Ry (t, 0, t, y1 )- - β(x)(-at + c)(t, y1 )R (t, 0, t, y) - β(x)b(t, y1 )Ry (t, 0, t, y1 ), x x f (t, 0)dt - β(x) ω(x) = 0 f (t, y1 )dt - α(x) + ϕ (0) - β(x)ϕ (y1 )+ 0 + β(x)a(x, y1 ) R (0, y1 , x, y1 ) ϕ (y1 ) - R (0, 0, x, y1 ) ϕ (0) + + a(0, 0)ϕ(0) - a(0, y1 )ϕ(y1 )β(x)- x - β(x) (-at + c)(t, y1 )R (0, y1 , t, y1 ) ϕ (y1 ) dt+ 0 y1 x R (α, τ, x, y1 ) f (α, τ ) dτ dα- + β(x)a(x, y1 ) 0 0 x - β(x) (-at + c)(t, y1 )R (0, 0, t, y) ϕ (0) dt+ 0 x t + β(x) y (-at + c)(t, y1 ) 0 R (α, τ, t, y) f (α, β) dτ dα dt- 0 0 x - b(t, 0)α(t) + b(t, 0)β(t) Ry (0, y1 , t, y1 )ϕ(y1 )+ 0 + R(0, y1 , x, y1 )ϕ (y1 ) - Ry (0, 0, t, y1 )ϕ(0)+ + a(0, y1 )R(0, y1 , x, y1 ) - Ry (0, y1 , t, y1 ) ϕ(y1 )+ t t y1 R(α, y1 , t, y1 )f (α, y1 )dα + + Ry (α, τ, t, y1 )dαdτ 0 0 dt+ 0 x + β(x) b(t, y1 ) Ry (0, y1 , t, y1 )ϕ(y1 )+ 0 + R(0, y1 , t, y1 )ϕ (y1 ) - Ry (0, 0, t, y1 )ϕ(0)+ ∂ + a(0, y1 )R(0, y1 , t, y1 ) - R(0, y1 , t, y1 ) ϕ(y1 )+ ∂y t + t y1 R(α, y1 , t, y1 )f (α, y1 )dα + 0 Ry (α, τ, t, y1 )f (α, τ )dτ dα dt. 0 0 Итак, мы получили интегральное уравнение для нахождения ψ. Запишем его в операторной форме, разделив обе части (1) на A(x) и считая, что 68 О задачах со смещениями в граничных условиях. . . A(x) = 0: ψ = F ψ + F1 ϕ + Пусть |A(x)| |B(x, t)| , ω(x) . A(x) (7) m > 0, а модули b(t, 0)β(t) b(k, 0)Ry (k, 0, t, y1 ) - β(x)(-at + c)(t, y1 ) b(k, 0)R(k, 0, t, y) - β(x)b(t, y1 ) b(k, 0)Ry (k, 0, t, y1 ) - ∂2 R(k, 0, t, y1 ) ∂k∂y ∂ R(k, 0, t, y) ∂k , , ∂ R(k, 0, t, y1 ) ∂k∂y не превосходят M . В силу непрерывности всех функций и производных, стоящих под знаком модуля, такое число существует. Проверим непрерывность линейного оператора F и то, что некоторая его степень является сжимающим отображением. Пусть ψ1 , ψ2 ∈ C [0, x1 ]. Тогда x M x 1+ ψ1 - ψ2 . (8) m 2 x1 , отсюда следует непрерывность оператора F . Из F ψ1 - F ψ2 < В силу того, что x (8) выводятся оценки F k ψ1 - F k ψ2 M k xk x 1+ k+1 mk k! k ψ1 - ψ2 , k = 1, 2, . . . Ясно, что при некотором k x M k xk 1+ k k! k+1 m k < M k x k x1 1 e < 1, mk k! то есть F k является сжимающим оператором. Поэтому [12] уравнение (7) имеет единственное решение. Оно записывается в виде ряда Неймана. Вернемся к задаче 1, чтобы выяснить возможность ее редукции к задаче Гурса для (1). Определив с помощью (2) и (3) граничное значение (4), можно записать решение задачи 1 с помощью формулы (6). Следовательно, условие разрешимости указанной задачи определяется из утверждения Теорема 1. Задача 1 однозначно разрешима, если y1 a(x, 0) - β(x)a(x, y1 ) exp a(x, τ )dτ = 0. 0 Задача 2. Найти функцию u(x, y) ∈ C 1,1 (D) ∩ C 0,0 D , являющуюся в области D решением уравнения (1) и удовлетворяющую условиям (4) и ux (0, y) = γ(y) + δ(y)ux (x1 , y) , (9) 69 У т к и н а Е. А. где γ, δ - известные достаточно гладкие функции. Считаем, что коэффициенты уравнения (1) принадлежат классам a ∈ C 1,0 (D), b ∈ C 0,1 (D), c, f ∈ C 0,0 (D). Здесь применяется тот же метод, что и в случае задачи 1. Опуская рассуждения, сформулируем результат в виде следующего утверждения. Теорема 2. Задача 2 однозначно разрешима, если x1 b(0, y) - δ(y)b(x1 , y) exp b(α, y)dα = 0. 0 Задача 3. Найти функцию u(x, y) ∈ C 1,1 (D) ∩ C 0,0 D , являющуюся в области D решением уравнения (1) и удовлетворяющую условиям (3), (9). Для последней задачи пока доказана единственность решения. Для этого показано, что при однородных условиях (3), (9) однородное уравнение (1) имеет только нулевое решение. Доказательство осуществляем методом априорной оценки с помощью энергетического неравенства [13]. Воспользовавшись понятиями скалярного произведения и нормы в пространстве L2 [0, x1 ] × [0, y1 ]: x1 y1 (u, v) = u(x, y)v(x, y)dydx, 0 u 0 2 x1 y1 = 0 u2 (x, y)dydx, 0 вычислим скалярное произведение (L (u) , uxy ) = (uxy + aux + buy + cu, uxy ) = x1 y1 = 0 (u2 + aux uxy + buy uxy + cuuxy )(x, y)dydx. xy 0 Далее проинтегрируем выражение по частям и выпишем значения получившихся в результате преобразований слагаемых: 0 = (L(u), uxy ) = (f, uxy ) = 1 x1 (au2 )(x, y1 ) - (au2 )(x, 0) dx- = uxy 2 + x x 2 0 x1 y1 1 - (ay u2 )(x, y) + (bx u2 )(x, y) dydx+ x y 2 0 0 1 y1 + (bu2 )(x1 , y) - (cy u2 )(x1 , y) dy+ y 2 0 1 y1 + -(bu2 )(0, y) + (cy u2 )(0, y) dy+ y 2 0 1 + u2 (x1 , y1 ) + (cu2 )(0, 0) - (cu2 )(x1 , 0) - (cu2 )(0, y1 ) . (10) 2 Потребуем выполнения условий a(x, y1 ) 0, a(x, 0) < 0, ay 0, bx 0, b(x1 , y) 0, cy (x1 , y) 0, b(0, y) < 0, cy (0, y) c(0, 0) > 0, c(x1 , 0) 0, c(0, y1 ) 0. 70 0, (11) О задачах со смещениями в граничных условиях. . . Тогда, если f ≡ 0, то все слагаемые в правой части (10) тождественно равны нулю. Следовательно, uxy ≡ 0, а значит, и u ≡ 0. Таким образом, имеет место следующее утверждение. Теорема 3. Если коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют неравенствам (11), то если задача (1), (3), (9) имеет решение, то оно единственно. Отметим, что все условия теоремы являются существенными. Рассмотрим, например, задачу для уравнения uxy - ux = 0 в области D = (0, 1) × (0, 1) с условиями ux (0, y) = e-1 ux (1, y), uy (x, 0) = e-1 uy (x, 1). В нем коэффициент a ≡ -1, что противоречит условиям теоремы. Решением, в чем можно убедиться непосредственно, является u(x, y) = ex+y , отличная от тождественного нуля в области D.

### Elena A Utkina

Kazan (Volga Region) Federal University

Email: eutkina1@yandex.ru
18, Kremlyovskaya st., Kazan, 420008, Russian Federation
(Ph. D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept. of Applied Mathematics

# References

1. Жегалов В. И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными условиями на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии / Краевые задачи теории аналитических функций / Учен. зап. Казан. ун-та., Т. 122. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1962. С. 3-16.
2. Нахушев А. М. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения, 1969. Т. 5, № 1. С. 44-59.
3. Бицадзе А. В., Самарский А. А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач // ДАН СССР, 1969. Т. 185, № 4. С. 739-740.
4. Скубачевский А. Л. О спектре некоторых нелокальных эллиптических краевых задач // Матем. сб., 1982. Т. 117(159), № 4. С. 548-558.
5. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Двумерная нелокальная краевая задача для оператора Пуассона в дифференциальной и разностной трактовках // Матем. моделирование, 1990. Т. 2, № 8. С. 139-156.
6. Пулькина Л. С. Нелокальная задача для нагруженного гиперболического уравнения / Дифференциальные уравнения и динамические системы: Сборник статей. К 80-летию со дня рождения академика Евгения Фроловича Мищенко / Тр. МИАН, Т. 236. М.: Наука, 2002. С. 298-303.
7. Солдатов А. П., Шхануков М. Х. Краевые задачи с общим нелокальным условием А. А. Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка // ДАН СССР, 1987. Т. 297, № 3. С. 547-552.
8. Керефов А. А. Нелокальные граничные задачи для параболических уравнений // Дифференц. уравнения, 1979. Т. 15, № 1. С. 74-78.
9. Уткина Е. А. Об одной задаче со смещениями в граничных условиях // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер., 2011. № 8(89). С. 102-107.
10. Жегалов В. И., Миронов А. Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными. Казань: Казанское матем. общество, 2001. 226 с.
11. Кожанов А. И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Ж. Вычисл. матем. и матем. физ., 2004. Т. 44, № 4. С. 694-716.
12. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.
13. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.

# Statistics

#### Views

Abstract - 79

PDF (Russian) - 20

### Refbacks

• There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2016 Samara State Technical University